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7.3.3 余弦函数的性质与图象
课程标准
学习目标
（1）余弦函数图像的简单应用；
（2）余弦函数图象的区别与联系；
（3）会用余弦函数的性质解决一些简单的三角
函数问题。
（1）能正确使用“五点法”“图象变换法”作
出余弦函数
和
的，
并能体会正弦曲线和余弦曲线的关系，重点培养
直观想象核心素养；
（2）掌握余弦函数的性质，会求余弦函数的周
期、单调区间及最值，重点提升数学运算核心素
养。
知识点01 余弦函数的图象
1、余弦函数与余弦曲线：对于任意一个角
，都有唯一确定的余弦
与之对应，所以
是一个
函数，一般称为余弦函数。函数
的图象成为余弦曲线。
2、余弦函数图象的三种画法
（1）描点法：同正弦曲线的画法，通过列表、描点、连线、作图画出余弦函数在
上的图象；
（2）五点法：在函数
，
的图象上，有5 个关键点：
，
，
，
，
，描出五个关键点后，用平滑的曲线连接，可得
，
的图象。
（3）平移法：根据诱导公式
，可知
的图象可由
的图象向左平移
个单位得到（如图所示）。
【即学即练1】（2023·全国·高一专题练习）用“五点法”作
的图象，首先描出的五个点的横坐
标是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由“五点法”作图知：令
，
，
，
，
，
解得
，即为五个关键点的横坐标.故选：B.
知识点02 余弦函数的性质
1、定义域与值域：定义域为R，值域为
当且仅当
，
时，
；
当且仅当
，
时，
；
2、奇偶性：偶函数
3、周期性：最小正周期为
4、单调性：单调增区间为
；单调减区间为
5、对称性：对称轴为
，对称中心为
【即学即练2】（2023·全国·高一随堂练习）函数
，当
时，（ ）
A．在区间
上单调递增，在区间
上单调递减
B．在区间
上单调递增，在区间
上单调递减
C．在区间
上单调递增，在区间
、
上单调递减
D．在区间
、
上单调递增，在区间
上单调递减
【答案】D
【解析】函数
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增，D 正确；
对于A，由
，得
在
上单调递减，A 错误；
对于B，函数
在
上不单调，B 错误；
对于C，函数
在
上单调递减，C 错误.故选：D
【题型一：余弦函数图象的画法】
例1．（2020·高一课时练习）用“五点法”作出函数
的图象,下列点中不属于五点作图中的五
个关键点的是
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】易得当
时,
,
故
不属于五个关键点之一，故选：A
变式1-1．（2023·高一课时练习）用“五点法”作
，
的图象.
【答案】图象见解析
【解析】（1）取值列表：
0
－1
0
1
0
－1
（2）描点连线，如图所示.
变式1-2．（2023·全国·高一随堂练习）画出下列函数的图象，并根据图象讨论函数的性质：
（1）
，
；
（2）
，
．
【答案】（1）作图及性质见解析；（2）作图及性质见解析.
【解析】（1）函数
，
的图象如图，
函数
的定义域为R；值域为
；是偶函数；最小正周期为
；
函数
的递增区间为
，递减区间为
；
函数
的对称中心为
，对称轴为
.
（2）函数
，
的图象如图，
函数
的定义域为
，值域为
，
递增区间为
，递减区间为
，
对称轴为
，无对称中心.
变式1-3．（2023·高一课时练习）作出函数
，
的大致图像．
【答案】见解析
【解析】
根据五点法作图列表得：
画图像得：
【方法技巧与总结】
五点法作图是作三角函数图像时常用的方法，对形如
的余弦型函数，通常令
，再取
，分别求出对应的
，
的值，并列表、描点、连
线即可。
特别的，要注意函数的定义域，如果是给定的区间，列表时要取到给定区间的端点值。
【题型二：利用余弦函数有关的零点问题】
例2．（2024·山东青岛·高一统考期末）当
时，函数
与
的图象所有交点横
坐标之和为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】作出函数
和
在
上的图象如下
从图像上可得：函数
的图象和
的图象在
内有两个交点：
，即
，得
，
，
，得
，
所有交点横坐标之和为
.故选：A
变式2-1．（2024·湖南·高一校联考期末）函数
的零点个数为 .
【答案】4
【解析】函数
的零点个数转化为
与
两个函数图象的交点个数，
利作出图象，由图可知，
两个函数图象有四个交点，
所以函数
有4 个零点.
变式2-2．（2022·全国·高三专题练习）函数
的零点个数为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【答案】D
【解析】令
，因为
恒成立，则
的定义域为
，
由
，所以
为偶函数，
当
时，
，在
上单调递增，令
，
分别画出
与
的函数图象，由图可知，
与
有六个交点，
即函数
有六个零点.故选: D.
变式2-3．（2023·湖南长沙·高一长沙一中校考阶段练习）函数
的图象与直线
（为常数）的交点最多有（ ）
A．个 B．
个 C．个 D．
个
【答案】D
【解析】作出函数
与函数
的图象，如下图所示：
由图可知，当
时，
函数
的图象与直线
（为常数）的交点最多有
个.故选：D.
变式2-4．（2023·江苏扬州·高一统考期中）设函数
的定义域为R，
，
，当
时，
，则函数
在区间
上零点的个数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】D
【解析】由
，得
的图象关于y 轴对称，
由
，得
的图象关于直线
对称，
令
，得
，函数
是周期为1 的偶函数，
当
时，
，
在同一坐标系内作出函数
在
上的图象，函数
在
上的图象，如图，
观察图象知，函数
与
的图象在
上的交点有7 个，
所以函数
在区间
上零点的个数为7.故选：D
【方法技巧与总结】
图象法研究三角函数的零点问题的解题思路
（1）单个函数图象：利用图象交点的个数，画出函数
的图象，函数
的图象与
轴交点的个数
就是函数
的零点个数；
（2）两个函数图象：将函数
拆成两个函数
和
的差，根据
，则
函数
的零点个数就是函数
和
的图象的交点个数
【题型三：利用余弦函数图象解不等式】
例3．（2022·山东德州·高一校考阶段练习）满足
的角的集合为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
结合余弦函数的性质可得
，
故满足
的角的集合为
故选：C
变式3-1．（2022·云南曲靖·高一校考期末）当
，若
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意
，
，
当
时，
，
而
在
上单调递减，在
上单调递增，
故
的取值范围为
，故选：B
变式3-2．（2023·甘肃定西·高一统考期末）函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题知
，即
，解得
，
故函数的定义域为
.故选：B
变式3-3．（2023·高一单元测试）函数
的定义域是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】函数
有意义，则
，即
，
因此
，解得
，
所以函数
的定义域是
.故选：D
变式3-4．（2023·浙江宁波·高一鄞州中学校考阶段练习）已知函数
的定义域是
，则函数
的定义域是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为函数
的定义域是
，
所以函数
有意义需满足
，
解得
，
故函数的定义域为
，故选：B
【方法技巧与总结】
利用三角函数的周期性，求出一个周期内符合要求的自变量
的范围，在这个范围两边同时加上周期即可。
【题型四：余弦函数的周期性及应用】
例4．（2024·黑龙江牡丹江·高一牡丹江市第二高级中学校考期末）函数
的最小正周期是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题可知最小正周期
.故选：B.
变式4-1．（2024·全国·高一专题练习）若函数
的最小正周期是2，则
的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】依题意
．所以ω 的值为
，故选：B.
变式4-2．（2023·全国·高一专题练习）函数
的最小正周期为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，
所以该函数的最小正周期
.故选：
.
变式4-3．（2023·高一课时练习）如果函数
的相邻两个零点之间的距离为
，
则
.
【答案】6
【解析】∵函数f(x)的相邻两个零点之间的距离为
，∴周期
，
由
，得
.
变式4-4．（2024·河南商丘·高一统考期末）已知
，则
.
【答案】
【解析】因为
，所以
的周期
.
又
，
，
，
，
，
，
所以
.
又
，所以
.
【方法技巧与总结】
对于一般的余弦型函数
的周期，利用
求解即可。而对含有参数的三角型函
数，注意进行分类讨论。
【题型五：余弦函数的奇偶性及应用】
例5．（2023·全国·高一专题练习）判断下列函数的奇偶性：
（1）
；
（2）
.
【答案】（1）奇函数；（2）既是奇函数又是偶函数
【解析】（1）
，
的定义域为R，
又
，
所以，
为奇函数.
（2）由
解得
，
所以
，
易知，
的图象既关于原点对称，又关于y 轴对称，
所以，
为既是奇函数又是偶函数.
变式5-1．（2023·全国·高一专题练习）若
为奇函数，则实数
（ ）
A．
B． C． D．
【答案】D
【解析】对于函数
，有
，解得
，
所以，函数
的定义域为
，
因为函数
为奇函数，则
，
即
对任意的
恒成立，
所以，
，
所以，
，解得，
.故选：D.
变式5-2．（2024·湖南长沙·高一长沙市明德中学校考期末）已知函数
为
奇函数，则
.
【答案】
【解析】因为函数
为奇函数，
所以
，所以
，所以
，
又
，所以
时，
.
变式5-3．（2022·新疆乌鲁木齐·高一新疆农业大学附属中学校考期末）已知函数
是偶函数，则
的值为（ ）
A．
B．1 C．1 或
D．
【答案】A
【解析】因为函数
是偶函数，
所以
，则
，
所以
.故选：A.
变式5-4．（2023·全国·高一专题练习）函数
，则（ ）
A．若
，则
为奇函数 B．若
，则
为偶函数
C．若
，则
为偶函数 D．若
，则
为奇函数
【答案】B
【解析】
的定义域为
，
对A：若
，
，若
为奇函数，则
，
而
不恒成立，故
不是奇函数；
对B：若
，
，
，
故
为偶函数，B 正确；
对C：若
，
，
，
故
不是偶函数，故C 错误；
对D：若
，
，
若
为奇函数，则
，
而
不恒成立，故
不是奇函数；故选：B
【方法技巧与总结】
（1）函数
是奇函数
；
（2）函数
是偶函数
【题型六：余弦函数的对称性及应用】
例6．（2023·北京·高一北京市十一学校校考期末）函数
的对称中心为 .
【答案】
，
.
【解析】令
，解得
故函数
的对称中心为
，
.
变式6-1．（2023·河南驻马店·高一统考阶段练习）（多选）已知函数
，则（ ）
A．
的图象关于直线
对称 B．
的图象关于点
对称
C．
的图象关于点
对称 D．
的图象关于直线
对称
【答案】BD
【解析】因为
，
令
，则
，
所以
的对称轴方程为：
，
令
，则D 正确，A 错误；
令
，则
，
所以
的对称轴中心为：
，
令
，则
的一个对称中心为
，则B 正确，C 错误.故选：BD.
变式6-2．（2023·重庆九龙坡·高一杨家坪中学校考阶段练习）设函数
的最小正
周期为
，则它的一条对称轴方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为的
最小正周期为
，所以
，所以
，
令
，
，解得
，
所以
的对称轴为直线
，
当
时，
，其它各项均不符合，
所以
是函数
的对称轴，故选：A．
变式6-3．（2023·全国·高一专题练习）已知函数
的图象关于点
对称，那么
的
最小值为 ．
【答案】
【解析】
的图象关于点
对称，
，即
，
令
，可得
的最小值为
．
变式6-4．（2023·广东惠州·高一统考期末）已知函数
，（
）的图象在区间
内至多存在3 条对称轴，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
，
，所以
，
画出
的图象，
要想图象在区间
内至多存在3 条对称轴，
则
，解得
.故选：A
【方法技巧与总结】
关于正、余弦函数的对称性有以下重要结论：
1、
（或
）的图像关于
对称，则
或
；
2、
（或
）的图像关于点
中心对称，则
.
【题型七：求余弦函数的单调区间】
例7．（2023·广东广州·高一广州市南武中学校考期末）函数
的单调递减区间是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由余弦函数，令
，则
，
所以单调递减区间是
.故选：B
变式7-1．（2023·浙江温州·高一温州市第五十一中学校考阶段练习）已知函数
，则
的单调递增区间是（ ）
A．
B．
C．
，
D．
，
【答案】D
【解析】
，可化为
，
故单调增区间满足：
，
，解得
，
.
令
，
，令
，
，
，所以
的单调递增区间是
，
.故选：D
变式7-2．（2023·广东江门·高一鹤山市第一中学校考期末）函数
的单调递减区间是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】函数
的单调递减区间，即函数
的单调递增区间,
令
，
，解得
，
，
所以原函数的单调递减区间为
，
.故选：
．
变式7-3．（2023·河南焦作·高一校考阶段练习）函数
的一个单调减区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】画出
的图象，如下，
可以看出
的一个单调减区间为
，其他选项不合要求.故选：C
变式7-4．（2023·全国·高一课堂例题）函数
的单调递增区间为 ．
【答案】
，
【解析】由题意，得
，所以
，
，
解得
，
．
令
，
，则
，
．
所以
的单调递增区间为
，
，
所以函数
的单调递增区间为
，
．
【方法技巧与总结】
用“基本函数法”求函数
的单调区间的步骤
第一步：写出基本函数
的相应单调区间；
第二步：将“
”视为整体替换基本函数的单调区间（用不等式表示）中的“
”；
第三步：解关于
的不等式
【题型八：利用单调性比较余弦值大小】
例8．（2023·江西南昌·高一南昌市第三中学校考阶段练习）下列各式中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由于
在
上递增，所以
，A 选项错误.
由于
在
上递减，所以
，B 选项错误.
，
，
所以
，C 选项正确.
在
上递增，所以
，D 选项错误.故选：C
变式8-1．（2023·福建泉州·高一校联考期中）下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】对于A，因为
，
，所以
，故A 错误；
对于B，因为
，所以
，故B 错误；
对于C，因为
，
，
又
，所以
，故C 错误；
对于D，因为
，
，
又
，所以
，即
，故D 正确.故选：D.
变式8-2．（2023·安徽马鞍山·高一红星中学校考阶段练习）（多选）下列不等式中成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【解析】对于A，
在
上单调递增，又
，
，A 正确；
对于B，
在
上单调递减，又
，
，B 错误；
对于C，
，又
，
，C 正确；
对于D，
，
，
又
，
，D 正确.故选：ACD.
变式8-3．（2023·湖南·高一桃江县第一中学校联考期中）若
为锐角三角形，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】∵
为锐角三角形，∴
，
，
∵
在区间
上单调递增，
在区间
上单调递减，
∴对于A，当
时，
，故选项A 错误；
对于B，当
时，
，故选项B 错误；
对于C，∵
，
，
，∴
，∴
，
∴
，即
，
∴
，故选项C 错误；
对于D，由选项C 中判断，
，
∴
，故选项D 正确.故选：D.
【方法技巧与总结】
利用诱导公式将角度转化到同一个单调区间内，再利用单调性比较大小即可。
【题型九：由余弦函数单调性求参数】
例9．（2024·湖南·高一校联考期末）已知函数
，其中
.若
在区间
上单调递增，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意得，函数
的增区间为
，且
，
解得
.
由题意可知：
.
于是
，解得
.
又
，于是
.故选：A.
变式9-1．（2023·全国·高一期末）已知函数
在
上单调递减，则ω 的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
在区间
内单调递减，
所以
，得
，所以
，所以
，
由
，
，得
，
，
得
，
，
所以函数的单调递减区间为
（
），
因为函数
在区间
内单调递减，
所以
（
），解得
，
，
因为
，所以
，得
，所以
，
故
的取值范围为
.故选：B
变式9-2．（2023·江西抚州·高一校联考期中）已知函数
在区间
内单调递
增，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】对任意的
，
恒成立，
因为函数
在区间
内单调递增，
所以，函数
在
上为减函数，
当
时，因为
，则
，
所以，
，
所以，
，解得
，
所以，
，解得
，
因为
，则
，所以，
.故选：A.
变式9-3．（2024·山东青岛·高一青岛第五十八中学校考阶段练习）已知函数
在
上单调递减，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】函数
的最小正周期
，
所以
，即
．
当
时，
，
依题意知
，
，解得
，
又
，∴当
时成立，
．故选：A．
【方法技巧与总结】
已知单调性求参数的范围
（1）子集法：求出原函数的单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解；
（2）反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，
列不等式(组)求解；
（3）周期性法：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过周期列不等式(组)求解
【题型十：余弦函数的最值或值域】
例10．（2024·四川雅安·高一雅安中学校考阶段练习）函数
的最小值为（ ）
A．
B．
C．3 D．4
【答案】B
【解析】因为
，所以
，所以最小值为
，故选：B
变式10-1．（2024·广东汕头·高一统考期末）函数
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
-2
【答案】B
【解析】因为
，
所以当
时，
，故选：B
变式10-2．（2024·广西玉林·高一统考期末）已知函数
，
，则
的最小值为
．
【答案】
【解析】因为
，所以
，
所以由余弦函数图象和性质可知
，
所以
的最小值为
.
变式10-3．（2023·广东江门·高一鹤山市第一中学校考期末）函数
的值域是
．
【答案】
【解析】由
，可得
，
当
时等式不成立，∴
，则有
，
∵
，∴
，
，
或
，
∴函数
的值域是
，
【方法技巧与总结】
与余弦函数有关的最值问题
1、求在
上的值域：当余弦在1 或-1 处取得最值，可直接代入验证，或分情况代入；
2、求定区间上的最值：可先计算
的范围，根据
在所求出的范围内的单调性求最值；
3、关于余弦的二次式求最值：可用换元法或配方法求最值.
一、单选题
1．（2023·江西·高一校联考期末）函数
图象的一条对称轴的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】若
图象的一条对称轴的方程为
，
结合余弦函数图像，整体代入得：
，所以
，
经验证，只有
，当
时， 符合条件，故选：A.
2．（2023·全国·高一专题练习）已知函数
，
，则
的单调递增区间是
（ ）
A．
B．
C．
，
D．
，
【答案】D
【解析】
可化为
，
，
，解得
，
.
令
，
，令
，
.
，所以
的单调递增区间是
.故选：D
3．（2024·重庆九龙坡·高一统考期末）函数
的值域是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，
由
，故
，即
.故选：B.
4．（2024·北京丰台·高一统考期末）函数
，则（ ）
A．
是最小正周期为
的奇函数 B．
是最小正周期为
的偶函数
C．
是最小正周期为
的奇函数 D．
是最小正周期为
的偶函数
【答案】D
【解析】对A、C：由题意得
，定义域为
，
所以
，所以
为偶函数，故A、C 错误；
对B、D：函数
的最小正周期为
，故B 错误，D 正确，故选：D.
5．（2023·新疆塔城·高一塔城地区第一高级中学校考阶段练习）已知函数
，则
是
为奇函数的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
时，可得
，定义域为R，
此时
，故
为奇函数，故充分性成立，
而当
为奇函数时，得
，故
不一定为
，故必要性不成立，
是
为奇函数的充分不必要条件.故选：B
6．（2022·黑龙江大庆·高一大庆外国语学校校考期末）函数
零点的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．0
【答案】A
【解析】由
，得
，
所以函数
零点的个数等于
图象的交点的个数，
函数
的图象如图所示，
由图象可知两函数图象有4 个交点，所以
有4 个零点，故选：A
7．（2023·全国·高一专题练习）已知
为锐角三角形的两个内角，则以下结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
为锐角三角形的两个内角，则
，即
，
，
，
余弦函数在
上单调递减，所以
.
对于等边三角形，A、C、D 都不对；故选：B.
8．（2024·河南商丘·高一校考期末）已知函数
的对称中心是
，则
（ ）
A．
B．
C．3 D．0
【答案】D
【解析】
，其中
，
由
的对称中心是
知，两个相邻的对称中心相距
，
故
的最小正周期
，
即
，所以
，解得
，
故
．故选：D．
二、多选题
9．（2023·广东佛山·高一校考阶段练习）下列不等式成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【解析】对于A，
，而余弦函数
在
上单调递增，则
，
A 错误；
对于B，
，余弦函数
随锐角的增大而减小，
则有
，即
，B 正确；
对于C，
，
，
正弦函数
在
上单调递减，因此
，C 正确；
对于D，由
，得
，D 错误.故选：BC
10．（2024·广东江门·高一统考期末）已知函数
，则（ ）
A．
的最小正周期为
B．
的最大值为2
C．
是偶函数 D．
的单调递减区间为
，
【答案】ACD
【解析】由诱导公式可得：
对于A，由三角函数的性质，可得
的最小正周期为
，所以A 正确；
对于B，当
时，即
时，
的最大值为
，所以B 错误；
对于C，由
，
是偶函数，所以C 正确；
对于D，令
，解得
，
即函数的递减区间为
，所以D 正确.故选：ACD.
11．（2024·福建漳州·高一统考期末）为了得到函数
的图象，只需（ ）
A．将函数
的图象向左平移
个单位长度
B．将函数
的图象向左平移
个单位长度
C．将函数
的图象向左平移
个单位长度
D．将函数
的图象向右平移
个单位长度
【答案】ACD
【解析】对于选项A，
向左平移
个单位长度，
可得
,故A 正确;
对于选项B，
向左平移
个单位长度，
可得
，故B 错误；
对于选项C，
向左平移
个单位长度，
可得
，故C 正确；
对于选项D，
向右平移
个单位长度，
可得
，故D 正确.故选：ACD
12．（2023·广东佛山·高一乐从中学校考阶段练习）设函数
，则（ ）
A．
是偶函数 B．
在
上有无数个零点
C．
在
上单调递减 D．
的最大值为
【答案】ACD
【解析】函数
的定义域为R，
，
是偶函数，A 正
确；
当
时，
，
在
上无零点，B 错误；
当
时，
，
在
上单调递减，C 正确；
对
，
，当且仅当
时取等号，D 正确.故选：ACD
三、填空题
13．（2023·陕西西安·高一长安一中校考阶段练习）求函数
的定义域为
．
【答案】
【解析】根据题意可得
，解得
，
所以
；
又
，即
，解得
取交集部分可得，
的定义域为
.
14．（2023·山东潍坊·高一高密市第一中学校考阶段练习）已知函数
，
.则
的最大值为 .
【答案】1
【解析】因为
，所以
，
又函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
，所以
的最大值为1．
15．（2023·全国·高一专题练习）已知函数
，
是奇函数，则
的值为
．
【答案】
【解析】∵
为偶函数，所以
，
为奇函数，
∴
，
，
∵
，∴
．
16．（2023·广东·高一校联考期末）已知函数
在
上有且仅有2 个零点，
则
的取值范围为 ．
【答案】
【解析】当
时，
．
因为
在
上有且仅有2 个零点，
所以，
，解得
．
四、解答题
17．（2023·全国·高一专题练习）求下列函数的周期.
（1）
; （2）
;
（3）
; （4）
【答案】（1）
；（2）
；（3）
；（4）
【解析】（1）因为
，
由周期函数的定义得，
的周期为
，
所以函数
的周期为
.
（2）因为
，
由周期函数的定义得，
的周期为
，
所以函数
的周期为
.
（3）因为
，
由周期函数的定义得，
的周期为
，
所以函数
的周期为
.
（4）因为
，
由周期函数的定义得，
的周期为
，
所以函数
的周期为
.
18．（2023·全国·高一专题练习）已知函数
，
.
（1）求函数
的最小正周期和单调递减区间；
（2）求函数
在区间
上的最小值和最大值，并求出取得最值时x 的值.
【答案】（1）最小正周期为
，单调减区间是
，
；
（2）
，此时
，
，此时
.
【解析】（1）
的最小正周期
.
令
，解得
，
，此时时，
单调递减，
的单调递减区间是
，
；
（2）
，则
，
故
，
，
，此时
，即
，即
；
，此时
，即
，即
.
19．（2024·湖北·高一校联考期末）已知函数
（
）关于直线
对称．
（1）求函数
的最大值与最小值，并分别写出取最大值与最小值时相应x 的取值集合．
（2）求函数
，
的单调递减区间．
【答案】（1）答案见解析；（2）
与
【解析】（1）依题意有
，
，
∵
，∴
，即
．
当
即
（
）时
取最大值2；
当
即
（
）时
取最小值
．
（2）依题意
，
令
，
．∴
，
．
又
，令
，
得其减区间为
与
．
20．（2024·云南大理·高一统考期末）已知函数
.
（1）求函数
的最小正周期；
（2）求函数
的单调递减区间.
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】（1）由
，
则其最小正周期为
；
（2）由（1）得
，
当
，由
，
得
，结合定义域，故
单调递减，
当
时，由
，得
，
结合定义域，故
单调递减，
综上函数
的单调递减区间
21．（2024·四川广安·高一统考期末）已知函数
.
（1）将函数
的解析式化简，并求
的值，
（2）若
，求函数
的值域.
【答案】（1）
，
；（2）
【解析】（1）
，
故
；
（2）
，
时，
，
，
故函数值域为
.
22．（2024·广西玉林·高一统考期末）已知函数
的部分图象如图
所示．
（1）求
的解析式；
（2）将
的图象向右平移
个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的
倍，纵坐标不
变，得到函数
的图象，若关于
的方程
在
上有两个不等实根，求实数
的取值范围．
【答案】（1）
；（2）
【解析】（1）由图象可知，
，最小正周期
，
，
，
，
，则
，
所以
.
（2）
的图象向右平移
个单位长度，得到
的图象，
再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的
倍，纵坐标不变，
得到函数
的图象，
时，
，其中
时，
，
则
在
上单调递减，在
上单调递增，
，
，
在
上有两个不等实根，则实数
的取值范围为
