文档文本内容
6.1.3 基本初等函数的导数
6.1.4 求导法则及其应用
课程标准
学习目标
（1）理解导函数的概念，并能进行简单的应用；
（2）掌握基本初等函数的导数公式，并能进行简单
的应用
（3）能利用导数的四则运算法则，求含有和、差、
积、商综合运算的函数的导数；
（4）进一步理解导数的运算与几何意义的综合应
用；
（5）能求简单的复数运算。
（1）通过导函数的概念的理解及简单应
用，达成数学抽象、逻辑推理的核心素养；
（2）通过基本初等函数的导数公式的简单
应用，增强数学运算的核心素养；
（3）通过运用导数四则运算法则求解简单
的导数问题，培养数学运算的核心素养；
（4）在运用复合运算公式解题过程中提升
数学抽象与数学运算的核心素养。
知识点01 基本初等函数的导函数
1、导函数：一般地，如果函数
在某定义内的每一个点
都可导，则称
可导。此时，对
定义域内的每一个值
，都对应一个确定的导数
。于是，在
的定义域内，
是一个函
数，这个函数通常称为
的导函数，记作
（或
，
），即
2、几个常用函数的导数
原函数
导函数
其中
为常数
3、基本初等函数的导数公式
函数
导函数
函数
导函数
(c 是常数)
(
为实数)
特别地
特别地
【即学即练1】（23-24 高二上·浙江舟山·期末）下列求导结果正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
，A 正确；
，B 错误；
，C 错误；
，D 错误.故选：A
知识点02 导数的运算法则
1、导数的四则运算法则
（1）加减法：
（2）乘法：
（3）除法：
2、公式推广与结构特征
（1）公式推广：函数和、差的导数可以推广到
个函数
设
，
，
…
，
在
处
可
导
，
则
（2）结构特征：乘法公式中间用“加号”，前导后不导＋前不导后导；除法公式分母平方，分子用“减
号”。
【即学即练2】（23-24 高二下·河南·开学考试）（多选）下列求导数运算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【解析】对于A，
，故A 错误；
对于B，由指数函数求导公式可得
，故B 正确；
对于
，故C 正确；
对于
，故D 正确.故选：BCD.
知识点03 复合函数的导数
1、复合函数的概念
一般地，对于两个函数
和
，如果通过中间变量
，
可以表示成
的函数，那么称这个
函数为
和
的复合函数，记作
.
2、复合函数的求导法则
一般地，复合函数
的导数和函数
，
的导数间的关系为
，即y
对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积.
规律：从内到外层层求导，乘法连接。
【即学即练3】（22-23 高二下·河北沧州·阶段练习）（多选）下列求导不正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】CD
【解析】
，选项A 正确；
，选项B 正确；
选项C 错误；
选项D 错误；故选：CD.
【题型一：基本初等函数的导数】
例1．（23-24 高二上·重庆长寿·期末）下列导数公式不正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】根据基本初等函数的导数公式可知，ABD 正确；C 错误，应为
.故选：C.
变式1-1．（23-24 高二上·全国·课时练习）下列运算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】对于A，因为
，所以A 错误；
对于B，因为
，所以B 错误；
对于C，因为
，所以C 错误；
对于D，因为
，所以D 正确．故选：D.
变式1-2．（23-24 高三上·河北邯郸·阶段练习）下列求导运算中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】对于A，
，故A 错误；
对于B，
，故B 错误；
对于C，
，故C 错误；
对于D，
，故D 正确.故选：D
变式1-3．（23-24 高二上·海南海口·期末）下列式子错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】对于A：
，故正确；
对于B：
，故错误；
对于C：
，故正确；
对于D：
，故正确，故选：B．
【方法技巧与总结】
应用求导公式应注意的问题：
求函数的导数，一般不再用定义，而主要应用倒数公式，这就要求必须熟记常见的求导公式，应用公式时
一般遵循“先化简，再求导”的基本原则。在实施化简时，首先要注意化简的等价性，避免不必要的运算
失误。
【题型二：利用四则运算求导数】
例2．（23-24 高二上·浙江绍兴·期末）已知函数
的导函数为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由函数
，可得
，
因为
，可得
，
所以
，解得
.故选：C.
变式2-1．（23-24 高二上·陕西宝鸡·期末）（多选）下列求导运算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【解析】由题意
，
，
，
.故选：AD.
变式2-2．（23-24 高二下·重庆·阶段练习）求下列函数的导数：
（1）
；
（2）
；
（3）
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【解析】（1）
；
（2）
；
（3）
．
变式2-3．（23-24 高三上·河南周口·阶段练习）求下列函数的导数．
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）
；（2）
；（3）
；（4）
【解析】（1）由
可得
（2）由
可得
（3）由
得
（4）由
得
【方法技巧与总结】
利用运算法则求导数的方法：
对一个函数求导时，要紧扣导数运算法则，联系基本初等函数的导数公式。在不宜直接应用导数公式时，
应先对函数进行化简（恒等变形），然后求导。这样可以减少运算量，优化解题过程。
【题型三：求复合函数的导数】
例3．（23-24 高二上·河南周口·期末）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
，则
，
.故选：C．
变式3-1．（22-23 高二下·全国·课时练习）函数
的导数是（ ）
A．cos x B．－cos x C．－sin x D．sin x
【答案】C
【解析】
故选：C
变式3-2．（23-24 高二上·山西长治·期末）（多选）下列导数运算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【解析】选项A，
，故A 正确；
选项B，
，故B 错误；
选项C，
，故C 正确；
选项D，
，故D 错误.故选：AC.
变式3-3．（22-23 高二·全国·随堂练习）求下列函数的导数：
（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
．
【答案】（1）
；（2）
；（3）
；（4）
【解析】（1）
.
（2）
.
（3）
.
（4）
.
【方法技巧与总结】
1、求复合函数的导数的步骤
第一步分层：选择中间变量，写出构成它的内、外层函数；
第二步分别求导：分别求各层函数对相应变量的导数；
第三步相乘：把上述求导的结果相乘；
第四步变量回代：把中间变量代回。
2、求复合函数的导数注意以下几点：
（1）分解的函数通常为基本初等函数；
（2）求导时分清是对哪个变量求导；
（3）计算结果尽量简洁。
【题型四：求某点处的导数值】
例4．（23-24 高二上·广东深圳·期末）
在
处的导数
（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】B
【解析】由
，得
，所以
.故选：B.
变式4-1．（23-24 高三上·安徽合肥·阶段练习）已知函数
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设
，
即
，则
，
，故选：D.
变式4-2．（23-24 高二上·河南开封·期末）已知函数
的导函数为
，且
，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，所以
，
令
，则
，
．故选：C
变式4-3．（23-24 高二上·河北沧州·阶段练习）已知函数
，则
（ ）
A．1 B．2 C．
D．
【答案】C
【解析】对
求导可得
，
所以
，所以
，故选：C
【方法技巧与总结】
求函数在
的导数可以先求出导函数
，再将
代入
从而得到
。
注意，当函数中含有
时，需将其看作常数进行求导。
【题型五：“在”某点的切线问题】
例5．（23-24 高二上·云南曲靖·期末）曲线
在点
处的切线的方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
所以曲线
在点
处的切线的斜率为
，
所以曲线
在点
处的切线的方程是
，即
.故选：A.
变式5-1．（23-24 高二上·山西大同·期末）曲线
在
处的切线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题得
，切点坐标为
，
，
所以函数
在切点
处的切线斜率
，
切线方程为
，化简得
．故选：A．
变式5-2．（23-24 高二上·浙江宁波·期末）已知曲线
在点
处的切线方程为
，则
（ ）
A．1 B．0 C．
D．
【答案】D
【解析】
,则
，
又
，所以
，故
，故选：D
变式5-3．（23-24 高二下·上海·阶段练习）已知
、
为实数，函数
在
处的切线方程为
，则
的值 .
【答案】21
【解析】由
，得
，
则
，又
，则切线方程为
，
即
，得
，
【方法技巧与总结】
求曲线“在”与“过”某点的切线
（1）求曲线“在”某点处的切线方程步骤
第一步（求斜率）：求出曲线在点
0
0
,
x
f x
处切线的斜率
0
(
)
f
x
第二步（写方程）：用点斜式
0
0
0
(
)
(
)(
)
y
f x
f
x
x
x
第三步（变形式）：将点斜式变成一般式。
【题型六：“过”某点的切线问题】
例6．（22-23 高二下·北京大兴·期中）已知过点
的直线与曲线
的相切于点
，则切点
坐标为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设切点坐标为
，由
，得
，则过切点的切线方程为
，
把点
代入切线方程得，
，即
，
又
，所以
，则
，则切点坐标为
.故选：A
变式6-1．（22-23 高二下·重庆渝北·阶段练习）已知函数
，过点
作该函数曲线的切线，
则该切线方程为（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】函数
，求导得：
，设切点坐标为
，
于是
，解得
，则
，
所以所求切线方程为
，即
.故选：D
变式6-2．（2023 高三·江苏·二模）过点
作曲线
的切线，写出一条切线的方程 ．
【答案】
（答案不唯一）
【解析】
，
，
设切点坐标为
，则切线斜率为
，得方程
，
代入点
，得
，即
，解得
或
，
当
时，切线方程为
；当
时，切线方程为
.
变式6-3．（2024 高二·全国·专题练习）已知直线为曲线
在过点
的切线. 则直线的
方程为 .
【答案】
或
【解析】∵
，∴
.
设直线与曲线
相切于点
，则直线的斜率为
，
∴过点
的切线方程为
，
即
，又点
在切线上，
∴
，整理得
，
∴
，解得
或
；
∴所求的切线方程为
或
.
【方法技巧与总结】
求曲线“过”某点处的切线方程步骤
第一步：设切点为
0
0
,
Q x
f x
；
第二步：求出函数
( )
y
f x
在点
0x 处的导数
0
(
)
f
x
；
第三步：利用Q 在曲线上和
0
(
)
PQ
f
x
k
，解出
0x 及
0
(
)
f
x
；
第四步：根据直线的点斜式方程，得切线方程为
0
0
0
(
)
(
)(
)
y
f x
f
x
x
x
．
【题型七：切线的平行垂直问题】
例7．（2024·广东茂名·一模）曲线
在点
处的切线与直线
平行，则
（ ）
A．
B．
C．1 D．2
【答案】C
【解析】因为曲线
在点
处的切线与直线
平行，
故曲线
在点
处的切线的斜率为2，
因为
，所以
，所以
，故选：C.
变式7-1．（23-24 高三上·内蒙古赤峰·期中）已知
，曲线
在点
处的切线与直线
平行，则直线的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，其中
，则
，
直线
的斜率为
，由
，可得
，且
，即点
，
所以，直线的方程为
，即
.故选：B.
变式7-2．（23-24 高三上·安徽马鞍山·阶段练习）若曲线
在点
处的切线与直线
垂直，则
.
【答案】
【解析】对函数
求导得
，则
，
因为直线
的斜率为
，
且曲线
在点
处的切线与直线
垂直，
则
，可得
，解得
.
变式7-3．（23-24 高三上·重庆·阶段练习）已知曲线
在点
处的切线与直线
垂直，则实数
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意得，切线和
垂直，切线斜率显然存在，设为
，
根据直线垂直的斜率关系可得，
，那么切线斜率
，
由导数的几何意义：
，
而
，
，解得
.故选：D
【方法技巧与总结】
结合平行垂直的斜率关系解决与切线平行、垂直的问题。
【题型八：切线的条数问题】
例8．（22-23 高二下·四川资阳·期末）过坐标原点可以作曲线
两条切线，则
的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】∵
，∴
，
设切点为
，则
，切线斜率
,
切线方程为
，
∵切线过原点，∴
，
整理得：
,
∵切线有两条，∴
，解得
或
，
∴
的取值范围是
,故选：D
变式8-1．（2023·全国·模拟预测）若曲线
有3 条过坐标原点的切线，则实数a 的取值范
围为 .
【答案】
【解析】由题意得
，
设过坐标原点的直线与曲线
相切于点
，
则
，且切线的斜率为
，
所以切线方程为
，
又切线过坐标原点，因此
， 整理得
，
设
，
则“曲线
有3 条过坐标原点的切线”等价于“函数
有3 个不同的零点”，
，当x 变化时，
与
的变化情况如下表：
x
0
1
＋
0
－
0
＋
当
时，
，当
时，
，
所以
，解得
.
变式8-2．（2024 高二下·全国·专题练习）若过点
可以作曲线
的两条切线，则的取值范
围为 .
【答案】
【解析】令
，则有
，设过点
作曲线的切线，
切点为
，根据题意有
，即
，
又
，可得
，
因为
，所以上式可化为
，整理有：
，
因为过点
可以作曲线
的两条切线，所以方程有两解，
所以
，即
，解得
或
.
变式8-3．（23-24 高二上·广东深圳·期末）若曲线
有两条过点
的切线，则
的取值范围是
.
【答案】
【解析】由
得
，设切点坐标为
，
则切线斜率
，
切线方程为
，
又因为切线过
，所以
，整理得
，
又曲线有两条过坐标原点的切线，所以该方程有两个实数解，
所以
，解得
或
，
所以
的取值范围是
.
【方法技巧与总结】
已知f ( x)，过点
，可作曲线的
（
）条切线问题
第一步：设切点
第二步：计算切线斜率
；
第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：
.
第四步：将
代入切线方程，得：
，整理成关于
得分方程；
第五步：题意已知能作几条切线，关于
的方程就有几个实数解；
【题型九：两曲线的公切线问题】
例9．（22-23 高二下·福建厦门·期末）直线与两条曲线
和
均相切，则的斜率为（ ）
A．
B．1 C．2 D．
【答案】B
【解析】由
，可得
；由
，可得
，
设两个切点分别为
和
，直线l 的斜率
，
故
，由
，所以
，即直线l 的斜率为1.故选：B
变式9-1．（22-23 高二上·安徽·期中）抛物线
与
的两条公切线（同时与两条
曲线相切的直线叫做两曲线的公切线）的交点坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设直线与抛物线
相切的切点为
，
与抛物线
相切的切点为
，
由
求导得：
，由
求导得：
，
则抛物线
在点
处切线为
，
即
，
抛物线
在点
处切线为
，
即
，
依题意，
，解得
，
因此两条公切线方程分别为
，
，
由
，解得
，
所以两条公切线的交点坐标为
.故选：C
变式9-2．（2023·广东佛山·一模）已知曲线
与曲线
（
）相交，且在交点处有
相同的切线，则
.
【答案】
【解析】易知：必有
.
设两曲线的交点为
，
，
，
由题意：
，两式相除得：
，
∵
，∴
.
代入
得：
解得a= e
2.
变式9-3．（22-23 高二下·陕西咸阳·阶段练习）已知直线与曲线
相切，切点为
，与曲线
也相切，切点是
，则
的值为 ．
【答案】1
【解析】设直线与曲线
相切于
，又
，所以直线的斜率为
，
则
处的切线方程为
，即
；
直线与曲线
相切于
，
，
可得切线方程为
，即
，
因为直线与两条曲线都相切，所以两条切线相同，
则
且
，
则
，即
可得
，解得
.
【方法技巧与总结】
求公切线方程
已知其中一曲线上的切点，利用导数几何意义求切线斜率，进而求出另一曲线上的切点；若不知切点坐标，
则应假设两切点坐标，通过建立切点坐标间的关系式，解方程。
具体做法为：设公切线在
上的切点
，在
上的切点
，
则
【题型十：利用切线求距离最值】
例10．（23-24 高二上·北京·阶段练习）抛物线
上的一动点
到直线:
距离的最小值为
【答案】
【解析】因为
，所以
，
令
，得
，
所以与直线
平行且与抛物线
相切的切点
，
切线方程为
，即
，
由两平行线间的距离公式可得所求的最小距离
.
变式10-1．（23-24 高二上·江苏盐城·期末）曲线
上一点到直线
的最短距离为 ．
【答案】
【解析】直线
的斜率为，
令
，
当
时，
，
所以曲线
在点
处的切线方程为
，即
，
与
的距离为
.
所以曲线
上一点到直线
的最短距离为
.
变式10-2．（23-24 高二上·陕西西安·期末）已知
分别是曲线
和
上的点，其中是自然
对数的底数，则
的最小值为 ．
【答案】
【解析】由
得
，即
，
所以函数
的反函数是
，因此它们的图象关于直线
对称，
取得最小值时，
两点一定关于直线
对称，
由
得
，令
，则
，此时
，
因此曲线
上斜率为1 的切线的切点坐标为
，
它到直线
的距离为
，
由对称性知
的最小值是
．
变式10-3．（23-24 高三上·安徽合肥·期中）点
分别是函数
图象上的动点，
则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】当函数
在点
处的切线与
平行时，
最小.
，令
得
或
（舍），
所以切点为
，
所以
的最小值为切点
到直线
的距离
，
所以
的最小值为
.故选：D.
【方法技巧与总结】
利用平行线间距离最短的原理，找寻与已知直线平行的曲线的切线。
一、单选题
1．（23-24 高二上·浙江宁波·期中）函数
在
处的导数是（ ）
A．
B．
C．2 D．4
【答案】A
【解析】由
，得
，
所以函数
在
处的导数是
，故选：A
2．（23-24 高二上·浙江温州·期末）已知函数
满足
，则
的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由已知可得，
，
则
，所以，
.故选：A.
3．（22-23 高二下·陕西咸阳·阶段练习）已知
,
是
的导函数，即
，…，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
，则
，
，
，
，
故
是以4 为周期的函数，
故选：A
4．（2024·广东佛山·一模）已知
为奇函数，则
在
处的切线方程为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
，
所以
，
因为
为奇函数，所以
对
恒成立，
所以
，代入函数表达式得
，
所以
，则
，
所以
在
处的切线方程为
，即
.故选：A
5．（22-23 高二下·湖南岳阳·期末）已知函数
在
处的切线与直线
垂直，则
（ ）
A．
B．
C． D．
【答案】D
【解析】函数
，求导得：
，
因为
在
处的切线与直线
垂直，
所以
在
处的切线斜率为
，解得
.故选：D.
6．（23-24 高二上·江苏镇江·期末）已知直线
与曲线
相切，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设切点为
，由
得
，
因为直线
与曲线
相切，
所以
，解得
，
，所以
，
又
在直线
上，所以
，解得
.故选：B.
7．（23-24 高二上·山东滨州·期末）若点
是曲线
上任意一点，则点
到直线
的
距离的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由函数
，可得
，
令
，可得
，
因为
，可得
，则
，
即平行于直线
且与曲线
相切的切点坐标为
，
由点到直线的距离公式，可得点
到直线的距离为
.故选：B.
8．（23-24 高二上·宁夏·期末）已知过点
作曲线
的切线有且仅有两条，则实数
的取值范
围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设切点为
，
，
，
则切线方程为：
，
切线过点
代入得：
，即
，
即方程
有两个解，则有
，解得
或
．故选：A
二、多选题
9．（23-24 高二下·山东菏泽·开学考试）下列运算不正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【解析】A：因为
，所以本选项不正确；
B：因为
，所以本选项不正确；
C：因为
，所以本选项正确；
D：因为
，所以本选项不正确，故选：ABD
10．（22-23 高二下·辽宁沈阳·阶段练习）下列四条曲线中，直线
与其相切的有（ ）
A．曲线
B．曲线
C．曲线
D．曲线
【答案】ABD
【解析】直线
的斜率为
，
A 中，若
，则由
，得
，
，
因为点
在直线
上，所以直线
与曲线
相切．
B 中，若
，则由
，得
，
，
因为点
在直线
上，所以直线
与曲线
相切．
C 中，若
，则由
，得
，
，
，
因为
，
都不在直线
上，所以直线
与曲线
不相切．
D 中，若
，则由
，得
，
，
，其中
在直线
上，
所以直线
与曲线
相切．故选：ABD
11．（23-24 高二上·山西运城·期末）若直线
是曲线
与
曲线的公切线，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【解析】令
，则
，
令
，有
，则
，
即有
，即
，故
，
令
，则
，
令
，有
，则
，即有
，即
，
故有
，即
.故选：BD.
三、填空题
12．（23-24 高二上·江苏扬州·阶段练习）已知
，则
.
【答案】
【解析】因为
，所以
，
13．（23-24 高二上·陕西宝鸡·期末）曲线
在点
处的切线方程为 .
【答案】
【解析】
的导数为
，
可得曲线
在点
处的切线斜率为
，
则切线的方程为
，即
.
14．（23-24 高二上·湖北黄石·期末）已知函数
，
，请写出函数
和
的图
象的一条公共切线的方程为 .
【答案】
（或
）
【解析】因为
，
，则
，
，
设函数
上的切点坐标为
，切线斜率为
，
函数
上的切点坐标为
，切线斜率为
，
由切线斜率可得
，即
，
可得公切线方程为
，
代入点
可得
，
代入
可得
，
整理得
，解得
或
，
所以切线方程为
或
.
四、解答题
15．（23-24 高二·全国·课时练习）求下列函数的导数：
（1）
；
（2）
；
（3）
．
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【解析】（1）
（2）
（3）
16．（23-24 高二上·上海·课时练习）已知函数
与
满足条件
，
，
与
．对于下列函数
，求
和
：
（1）
；
（2）
；
（3）
．
【答案】（1）
；（2）
；（3）
.
【解析】（1）因为
，所以
.
因为
，所以
.
（2）因为
，
所以
.
因为
所以
.
（3）因为
，所以
.
因为
，
所以
.
17．（23-24 高二上·浙江绍兴·期末）已知函数
.
（1）分别求出
和
的导数；
（2）若曲线
在点
处的切线与曲线
在
处的切线平行，求的值.
【答案】（1）
，
；（2）
【解析】（1）由导数公式得
，
由复合函数求导法则得
；
（2）由
可得曲线
在点
处的切线的斜率
，
从而切线方程为
，即
.
由
，可得曲线
在
处的切线斜率为
，
由题意可得
，从而
，
此时切点坐标为
，曲线
在
处的切线方程为
，
即
，故符合题意.
18．（22-23 高二下·广东佛山·阶段练习）已知函数为
．
（1）函数
在点P 处的切线与直线
互相垂直，求点P 的坐标；
（2）过点
作曲线
的切线，求此切线的方程．
【答案】（1）
或
；（2）
或
【解析】（1）
，
，
设
，
函数
在点P 处的切线与直线
互相垂直
，解得
，
或
；
（2）过点
作曲线
的切线，设切点为
，则
，
切线方程为
，
代入点
得
，解得
或
，
即切线方程为
或
.
19．（23-24 高二上·安徽芜湖·期末）已知函数
与函数
．
（1）求曲线
在点
处的切线方程；
（2）求曲线
与曲线
在公共点处的公切线方程．
【答案】（1）
；（2）
【解析】（1）
，
，
.
在
点处的切线方程为：
；
（2）设曲线
与曲线
的公切点为
，
，
，
令
，即
，
或
（舍），
，
∴所求公切线方程：
，即
.
