文档文本内容
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2.2.1 不等式及其性质
课程标准
学习目标
1、掌握不等式5 个性质与5 个推论.
2、掌握用配方法、作差法、综合法、反证
法、分析法证明不等式.
3、熟练灵活运用不等式性质、推论、思想方
法证明不等式.
1、掌握配方法、作差法、综合法、反证法、分析法
等熟悉思想方法.
2、反证法是一种间接证明的方法，如推论5 中用到
的方法.
3、灵活选用不等式5 个性质与5 个推论。
知识点01 不等式的定义
我们用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些不
等号的式子，称为不等式．
【即学即练1】（2024·全国·高三专题练习）已知a 克糖水中含有b 克糖（a>b>0），再添加m 克糖
（m>0）（假设全部溶解），糖水变甜了.请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立.
知识点02 实数大小比较
符号表示
2
a－b>0⇔a>b，
a－b＝0⇔a＝b，
a－b<0⇔a<b.
【即学即练2】（2024·全国·高一专题练习）设
，则
的大小关
系为（ ）．
A．
B．
C．
D．
知识点03 不等式的性质
性质1(可加性) 如果a>b，那么a＋c>b＋c.
性质2(可乘性) 如果a>b，c>0，那么ac>bc.
性质3(可乘性) 如果a>b，c<0，那么ac<bc.
性质4(传递性) 如果a>b，b>c，那么a>c.
注：如果性质4 中的不等式带有等号，那么结论是否仍然成立？
(1)如果性质4 中的两个不等式只有一个带有等号，那么等号是传递不过去的．例如：如果a≥b 且
b>c，那么a>c；如果a>b 且b≥c，那么a>c.
(2)如果两个不等式都带有等号，那么有若a≥b 且b≥c，则a≥c，其中a＝c 时必有a＝b 且b＝c.
推论1(移项法则) 如果a＋b>c，那么a>c－b.
不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后，从不等式的一边移到另一边．
推论2(同向可加性) 如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.
我们把a>b 和c>d(或a<b 和c<d)这类不等号方向相同的不等式，称为同向不等式．
推论3(同向同正可乘性) 如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.
推论4(可乘方性) 如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n>1).
推论5(可开方性) 如果a>b>0，那么>.
注：(1)推论2 可以推广为更一般的结论：有限个同向不等式的两边分别相加，所得到的不等式与原不
等式同向．推论2 是同向不等式相加法则的依据．
(2)同向不等式可以相加但不能相减，即由a>b，c>d，可以得到a＋c>b＋d，但不能得到a－c>b－d.需
要特别注意的是，由a>b，c<d，不能得到a＋c>b＋d，但可以得到a－c>b－d.这是因为若c<d，则－c>－
d，又a>b，所以a－c>b－d.
【即学即练3】（2024·全国·高一专题练习）如果
那么下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【即学即练4】（2024·全国·高一专题练习）设
，
，求
，
，
的范围.
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知识点04 综合法、分析法与反证法
（1）综合法
从已知条件出发，综合利用各种结果，经过逐步推导最后得到结论的方法，在数学中通常称为综合
法．
（2）分析法
从待证结论出发，一步一步地寻求结论成立的充分条件，最后得到题设的已知条件或已被证明的事
实，这种证明问题的方法通常称为分析法．
（3）反证法
首先假设结论的否定成立，然后由此进行推理得到矛盾，最后得出假设不成立．这种得到数学结论的
方法通常称为反证法．
注：综合法与分析法都是直接证明的方法，反证法是一种间接证明的方法．
(1)综合法中，最重要的推理形式为p⇒q，其中p 是已知或者已经得出的结论，所以综合法的实质就是
不断寻找必然成立的结论．
(2)分析法中，最重要的推理形式是“要证p，只需证明q”，这可以表示为p⇐q，其中p 是需要证明的
结论，所以分析法的实质就是不断寻找结论成立的充分条件．
【即学即练5】（2024·全国·高一专题练习）已知
，求证：
．
难点：用反证法证明命题
示例：用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个直角”的过程可以归纳为以下三个步骤，
①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，所以∠A＝∠B＝90°不
成立．
②所以一个三角形中不能有两个直角．
③假设∠A，∠B，∠C 中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°.
其正确顺序为________．
4
【题型1：比较大小】
（一）作差法
例1．（2024·青海西宁·高二统考期末）已知
，
，则a，b 的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．无法确定
变式1．（2024·湖北武汉·高一华中师大一附中期中）已知a 为实数，
，
，则
M，N 的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式2.（2024·高一校考课时练习）已知
，试比较
与
的值的大小．
变式3．（2024·高一校考课时练习）比较
与
的大小，其中
.
变式4．（2024·全国·高一假期作业）比较大小：
(1)
和
；
(2)
和
，其中
．
变式5．（2024·全国·高三专题练习）已知a>0，b>0，M＝
，N＝
，则M 与N 的大小关系为
（ ）
A．M>N
B．M<N
C．M≤N
D．M，N 大小关系不确定
（二）作商法
例2．（2024·全国·高一假期作业）已知c＞1，且x＝
－
，y＝
－
，则x，y 之间的大小关
系是（ ）
A．x＞y
B．x＝y
5
C．x＜y
D．x，y 的关系随c 而定
变式1．（2024·全国·高三专题练习）设
，比较
与
的大小
变式2.（2024·全国·高三专题练习）已知
，
，试比较
与
的大小；
变式3．（2024·江苏·高一假期作业）已知
，试比较
和
的大小.
【方法技巧与总结】
1、比较两数大小
比较两实数a，b 的大小，只需确定它们的差a－b 与0 的大小关系，与差的具体数值无关．因此，比
较两实数a，b 的大小，其关键在于经过适当变形，能够确认差a－b 的符号，变形的常用方法有配方、分
解因式等．
2、用作差法比较两个实数大小的四步曲
注意：上述步骤可概括为“三步一结论”，这里的“判断符号”是目的，“变形”是关键．
【题型2：不等式的性质应用】
例3.（2024·高一校考课时练习）已知
，则下列不等关系中一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式1．【多选】（2024·贵州贵阳·高二统考期末）下列说法正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
6
C．若
，则
D．若
，则
变式2．（2024·辽宁·高二校联考期末）已知
，则下列不等式一定正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式3．（2024·高一校考课时练习）对于实数a，b，c，有下列说法①若
，则
；②若
，
则
；③若
，则
；④若
，
则
.其中正确的是 (填序号)
变式4．【多选】（2024·山东滨州·高二统考期末）已知实数
，则下列命题中正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
变式5．【多选】（2024·河北保定·高二校联考期末）下列命题为真命题的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
变式6．（2024·云南玉溪·高一统考期末）下列说法正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
变式7．【多选】（2024·广西玉林·高二统考期末）下列命题为真命题的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，
，则
D．若
，则
变式8．【多选】（2024·福建三明·高二统考期末）已知
，
，则下列四个不等式中，一定
成立的是（ ）
A．
B．
7
C．
D．
变式9．【多选】（2024·山东东营·高一利津县高级中学校考阶段练习）已知实数a，b，c，若
，则下
列不等式不成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式10．【多选】（2024·福建厦门·高一厦门市海沧中学校考期中）下列说法中正确的是（ ）
A．若
，
，则
B．若
，
，则
C．若
，
，则
D．若
，
，则
变式11．【多选】（2024·江西九江·高二统考期末）已知
，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式12.（2024·广西）已知
，则下列大小关系正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【方法技巧与总结】
不等式性质的应用
(1)首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不凭想当然随意捏造性质．
(2)解决有关不等式选择题时，也可采用特值法进行排除，注意取值一定要遵循以下原则：一是满足题设条
件；二是取值要简单，便于验证计算．
【题型3：利用不等式性质求范围】
例4．（2024·陕西咸阳·高二武功县普集高级中学校考阶段练习）已知
,则
的取值范
围是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式1．（2024·宁夏中卫·高二中宁一中校考阶段练习）已知实数x﹐y 满足
，
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
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变式2．（2024·上海黄浦·高一上海市光明中学校考期中）已知
，
，则
的取值范围
是 ．
变式3.【多选】（2024·湖南长沙）已知
，
，则下列正确的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
变式4．（2024·河北保定·高二校联考期末）已知
，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
变式5．（2024·全国·高三专题练习）已知
，
，分别求
，
，
，
的取值范
围．
变式6．【多选】（2024·四川成都·高一石室中学校考阶段练习）若实数a，b 满足
，
则下列说法正确的有（ ）
A．
的取值范围为
B．
的取值范围是
C．
的取值范围是
D．
的取值范围是
变式7.（2024·全国·高三专题练习）
，
，则
的最小值是___________.
【方法技巧与总结】
利用不等式性质求范围的一般思路
(1)借助性质，转化为同向不等式相加进行解答；
(2)借助所给条件整体使用，切不可随意拆分所给条件；
(3)结合不等式的传递性进行求解． 【题型4：证明不等式】
例5．（2024·全国·高一假期作业）用综合法证明:如果
，那么
（2024·全国·高一假期作业）已知
，证明：
.
变式1．（2024·湖南长沙·高一校考阶段练习）若
，
，
，求证：
.
变式2．（2024·江苏连云港·高一赣榆一中校考阶段练习）（1）已知
，
，
．求证：
；
9
（2）已知
，
，求证：
．
变式3．（2024·内蒙古呼和浩特·高一统考期中）证明不等式．
(1)
，bd＞0，求证：
；
(2)已知a＞b＞c＞0，求证：
．
变式4．（2024·全国·高一假期作业）（1）已知
，且
，证明：
．
（2）证明：
．
变式5．（2024·全国·高一假期作业）证明下列不等式：
(1)已知
，求证
(2)已知
，求证：
．
【方法技巧与总结】
1、证明不等式的解题策略
(1)简单不等式的证明可直接由已知条件并利用不等式的性质，通过对不等式变形得证．
(2)对于不等号两边都比较复杂的式子，直接利用不等式的性质不易得证，可考虑将不等式的两边作
差，然后进行变形，根据条件确定每一个因式(式子)的符号，利用符号法则判断最终的符号，完成证明．
2、不等式的证明方法
(1)作差法：通过比较两式之差的符号来判断两式的大小；
(2)综合法：从已知条件出发，综合利用各种结果，经过逐步推导最后得到结论的方法
(3)反证法：首先假设结论的否定成立，然后由此进行推理得到矛盾，最后得出假设不成立；
(4)分析法：从要证的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至所需的条件为已知条件或一个明
显成立的事实，从而得出要证的命题成立。
一、单选题
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1．（2024 高二下·福建龙岩·阶段练习）若
，且
，则下列各式中，恒成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024 高一上·北京·期末）已知
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
3．（2024·河南驻马店·二模）已知
，则下列说法一定正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（25-26 高一上·全国·课后作业）已知
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2024 高一上·山东·专题练习）已知
，则下列结论错误的是（ ）
A．
的取值范围为
B．
的取值范围为
C．
的取值范围为
D．
取值范围为
6．（2024 高二下·安徽·学业考试）若
，
，则下列不等式成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2024 高一下·安徽芜湖·开学考试）已知实数m，n，p 满足
，且
，则下
列说法正确的是（）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
8．（2024 高一上·江苏常州·期中）在下列四个命题中，正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．已知
，则
D．
为互不相等的正数，且
，则
9．（2024 高一下·广西南宁·期末）已知实数
满足
，则（ ）
11
A．
B．
C．
D．
10．（25-26 高一上·全国·单元测试）下列命题叙述正确的是（ ）
A．
，当
时，
B．
，当
时，
C．
，当
时，
D．
，当
时，
三、填空题
11．（24-25 高一上·上海·随堂练习）某种服装，平均每天可以销售20 件，每件获利44 元，在每件降价幅
度不超过10 元的情况下，若每件降价1 元，每天可多卖出5 件，如果每天获利1600 元，每件应降价
元．
12．（24-25 高一上·上海·随堂练习）若
，
，则下列不等式中成立的是 （填上正确的
序号）．
①
；②
；③
；④
．
13．（2024 高三·全国·专题练习）已知
，则
的取值范围为 ．
14．（2024 高二下·湖南张家界·期末）记
为
，
，中最小的数.已知
，且
，则
的最大值为 .
四、解答题
15．（2024 高一·上海·课堂例题）已知实数a、b、c 满足
，且
.求证：
且
.
16．（2024 高一·全国·课后作业）若
，求证：
．
17．（2024 高一·上海·课堂例题）已知
，求证：
.
18．（2024 高一上·云南曲靖·期末）已知
，
，且
，证明：
(1)
；
(2)
．
19．【多选】（2024·新疆乌鲁木齐·三模）
，运算“
”为
，则（ ）
12
A．
B．
C．
D．若
，则
20．（2024 高一上·全国·专题练习）
，
，，
，设
，
证明：
.
21．（24-25 高一上·辽宁·阶段练习）根据要求完成下列问题：
(1)若
、
、
.
①求证：
；
②求证：
；
③在（2）中的不等式中，能否找到一个代数式，满足
所求式
？若能，请直接写出该代
数式；若不能，请说明理由.
(2)设
，求证：
成立的充要条件是
.
