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第08 讲 函数的应用（二）
课程标准
学习目标
1. 理解函数模型是描述客观世界中变量关
系和规律的重要数学语言和工具.
2.在实际情境中，会选择合适的函数类型
刻画现实问题的变化规律．
1.理解指数函数模型.
2.理解对数函数模型.
3.理解幂函数模型.
4.理解几类函数模型的建立及应用．
知识点01 常见的几类函数模型及其应用
1．指数函数模型
能用指数型函数f(x)＝abx＋c(a，b，c 为常数，a≠0，b＞0，且b≠1)表达的函数模型叫做指数函数模
型，若a＞1，其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，常称之为“爆炸式增长”．
指数类型的函数在实际问题中的应用比较广泛，主要有以下两类．
(1)平均增长率问题：若原来产值或产量的基数为N，平均增长率为P，则对于时间x 的产值或产量y，
可以用公式y＝N(1＋P)x(N≠0)表示．
(2)储蓄中的复利计算问题：若本金为a 元，每期利率为r，本息和为y，存期为x，则y＝a(1＋
r)x(a≠0)．
2．对数函数模型
能用对数型函数f(x)＝mlogax＋n(m，n，a 为常数，m≠0，a＞0，且a≠1)表达的函数模型叫做对数函
数模型，若a＞1，则其增长的特点是开始阶段增长得较快，但随着自变量的逐渐增大，函数值增大的速度
越来越慢，常称之为“蜗牛式增长”．
有关对数函数的应用题一般都会给出函数关系式，要求根据实际情况求出函数关系式中的参数，对于
2
此类问题，我们要从中提炼出数据，代入函数关系式求出参数的值，然后解答实际问题．
3．幂函数模型
能用幂型函数f(x)＝axα＋b(a，b，α 为常数，a≠0)表达的函数模型叫做幂函数模型，其增长情况随xα
中α 的取值而定，常见的有二次函数模型和反比例函数模型.
【即学即练1】某种细菌在培养过程中，每15 min 分裂一次(由1 个分裂成2 个)，则这种细菌由1 个
繁殖成212个需经过( )
A．12 h
B．4 h
C．3 h
D．2 h
知识点02 用函数模型求解应用问题的步骤
(1)审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型．
(2)建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模
型．
(3)求模——求解数学模型，得出数学模型．
(4)还原——将数学结论还原为实际问题．
【即学即练2】某工厂第三年的产量比第一年的产量增长44%，若每年的平均增长率相同(设为x)，则
下列结论中正确的是( )
A．x＞22%
B．x＜22%
C．x＝22%
D．x 的大小由第一年产量确定
知识点03 拟合函数模型的建立
1.数学建模
研究实际问题时，要深入调查，了解对象信息，给出简化假设，用数学的符号和语言，把它表述为数
学式子（也就是数学模型），然后计算得到模型的结果，并进行检验，最后解释实际问题．这个建立数学
模型的全过程就成为数学建模．
2.函数拟合
根据收集的数据或给出的数据画出散点图，然后选择函数模型并求出函数解析式，再进行拟合、比
较，从而选出最恰当的函数模型的过程，称为函数拟合（或数据拟合）．
3.函数拟合与预测的一般步骤
(1)绘图：通过原始数据、表格，绘出散点图；
(2)连线：通过观察散点图，画出拟合直线或拟合曲线；
(3)列式：求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式；
(4)判定：根据拟合误差要求判断，选择最佳的拟合函数；
(5)预测：利用选取的拟合函数进行预测；
(6)结论：利用函数关系式，根据条件所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据．
【即学即练3】
1.某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2 万公顷、0.4 万公顷
3
和0.76 万公顷，则每年沙漠面积增加值y 关于年数x 的函数关系较为近似的是( )
A．y＝0.2x
B．y＝(x2＋2x)
C．y＝
D．y＝0.2＋log16x
2．“红豆生南国，春来发几枝？”如图给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图．那么红豆生
长时间与枝数的关系用下列哪个函数模型拟合最好( A )
A．指数函数：y＝2t
B．对数函数：y＝log2t
C．幂函数：y＝t3
D．二次函数：y＝2t2
题型01 指数函数模型的应用
【典例1】（23-24 高一上·江苏南通·期中）某灭活疫苗的有效保存时间
单位：小时
与储藏的温度
单
位：
满足的函数关系为
为常数，其中
，是一个和
类似的无理数，叫自然
对数的底数)，超过有效保存时间，疫苗将不能使用.若在
时的有效保存时间是1080h，在
时的有
效保存时间是120h，则该疫苗在
时的有效保存时间为（ ）
A．15h
B．30h
C．40h
D．60h
【变式1】（23-24 高一下·湖南常德·期中）荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无
以成江海．”在“进步率”和“退步率”都是
的前提下，我们可以把
看作是经过365 天的
“进步值”，
看作是经过365 天的“退步值”，则大约经过（ ）天时，“进步值”大约是“退
步值”的100 倍（参考数据：
，
）
A．100
B．230
C．130
D．365
【变式2】国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整
个系统的碳排放接近于零，做到了真正的智慧场馆、绿色场馆，并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还
配备了先进的污水、雨水过滤系统，已知过滤过程中废水的污染物数量
与时间（小时）的关系
为
（
为最初污染物数量，且
）.如果前4 个小时消除了
的污染物，那么污染物消除
4
至最初的
还需要（ ）
A．3.8 小时
B．4 小时
C．4.4 小时
D．5 小时
【变式3】著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为θ1 ℃，空气温
度为θ0 ℃，则t 分钟后物体的温度θ(单位： ℃)满足：θ＝θ0＋(θ1－θ0)e－kt，若当空气温度为30 ℃时，某
物体的温度从90 ℃下降到60 ℃用时14 分钟．则再经过28 分钟后，该物体的温度为________ ℃.
【变式4】假设甲和乙刚开始的“日能力值”相同，之后甲通过学习，“日能力值”都在前一天的基础上
进步
，而乙疏于学习，“日能力值”都在前一天的基础上退步
.那么，大约需要经过（ ）天，
甲的“日能力值”是乙的
倍（参考数据：
，
，
）
A．85
B．100
C．150
D．225
题型02 对数函数模型的应用
【典例2】（23-24 高一下·安徽芜湖·开学考试）青少年视力问题是社会普遍关注的问题，视力情况可借助
视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L 和小数记录法的数据V
满足关系式：
，已知小明和小李视力的五分记录法的数据分别为4.3 和a，记小明和小李视力的
小数记录法的数据分别为
，
，则
，则a 的值可以是（ ）（参考数据：
，
）
A．4.7
B．4.5
C．4.8
D．5.0
【变式1】（24-25 高一上·全国·课后作业）“喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其
他声音时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣”等物理声学作用，激起水波，形成涌泉．声音越
大，涌起的泉水越高．已知听到的声强
与标准声强
（
约为
，单位：
）之比的常用对数
称作声强的声强级，记作
（贝尔），即
，取贝尔的十倍作为响度的常用单位，简称为分贝．已
知某处“喊泉”的声音响度
（分贝）与喷出的泉水高度
（米）满足关系式
，现知
同学大喝一声
激起的涌泉最高高度为50米，若
同学大喝一声的声强大约相当于10个
同学同时大喝一声的声强，则
同学大喝一声激起的涌泉最高高度约为（ ）
5
A．5 米
B．10 米
C．45 米
D．50 米
【变式2】（23-24 高一下·湖北·阶段练习）中国的5G 技术领先世界，5G 技术中的数学原理之一是香农公
式：
，它表示在被高斯白噪音干扰的信道中，最大信息传送速率
取决于信道带宽
、
信道内所传信号的平均功率S、信道内部的高斯噪音功率
的大小，其中
叫做信噪比.已知当
比较大时，
，按照香农公式，由于技术提升，宽带
在原来的基础上增加
，信噪比
从1000 提升至8000，则
大约增加了（ ）（附：
）
A．
B．
C．
D．
【变式3】2023 年6 月22 日，由中国帮助印尼修建的雅万高铁测试成功，高铁实现时速
自动驾驶，
不仅速度比普通列车快，而且车内噪声更小．如果用声强
（单位：
）表示声音在传播途径中每平
方米上的声能流密度，声强级
（单位：
）与声强
的函数关系式为
，其中
为基准声强
级，
为常数，当声强
时，声强级
．下表为不同列车声源在距离
处的声强级：
声源
与声源的距离（单位：
）
声强级范围
内燃列车
20
电力列车
20
高速列车
20
设在离内燃列车电力列车高速列车
､
､
处测得的实际声强分别为
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4】在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2－m1
＝lg，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k＝1，2)．已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太
阳与天狼星的亮度的比值为( )
A．1010.1
B．10.1
6
C．lg 10.1
D．10－10.1
题型03 幂函数模型的应用
【典例3】．2020 年底，国务院扶贫办确定的贫困县全部脱贫摘帽，脱贫攻坚取得重大胜利！为进一步巩
固脱贫攻坚成果，持续实施乡村振兴战略，某企业响应政府号召，积极参与帮扶活动．该企业2021 年初有
资金150 万元，资金的年平均增长率固定，每三年政府将补贴10 万元．若要实现2024 年初的资金达到
270 万元的目标，资金的年平均增长率应为（参考值：
）（ ）
A．10%
B．20%
C．22%
D．32%
【变式1】某公司的收入由保险业务收入和理财业务收入两部分组成.该公司
年总收入为
亿元，其
中保险业务收入为
亿元，理财业务收入为
亿元.该公司经营状态良好、收入稳定，预计每年总收入比
前一年增加
亿元.因越来越多的人开始注重理财，公司理财业务发展迅速.要求从
年起每年通过理财
业务的收入是前一年的倍，若要使得该公司
年的保险业务收入不高于当年总收入的
，则的值
至少为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系通常以幂函数形式表示．
比如，某类动物的新陈代谢率
与其体重
满足
，其中
和
为正常数，该类动物某一个体在生长
发育过程中，其体重增长到初始状态的16 倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状态的8 倍，则
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x(万元)与药品利润y(万元)存在的关系为
(
为常数)，其中x 不超过5 万元.已知去年投入广告费用为3 万元时，药品利润为27 万元，若今年
投入广告费用5 万元，预计今年药品利润为 万元.
题型04 利用给定函数模型解决实际问题
【典例4】（24-25 高三上·安徽·阶段练习）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含
量
（单位：
与时间（单位：h）之间的关系式为
，其中
为初始污染物含量，
均为正的常数，已知过滤前后废气的体积相等，且在前4h 过滤掉了
的污染物．如果废气中污染
物的含量不超过
时达到排放标准，那么该工厂产生的废气要达到排放标准，至少需要过滤的时间为
（ ）
7
A．4h
B．6h
C．8h
D．12h
【变式1】（24-25 高三上·河南·阶段练习）已知某种污染物的浓度C（单位：摩尔/升）与时间t（单位：
天）的关系满足指数模型
，其中
是初始浓度（即
时该污染物的浓度），k 是常数.第2 天
（即
）测得该污染物的浓度为5 摩尔/升，第4 天测得该污染物的浓度为15 摩尔/升，若第n 天测得该
污染物的浓度变为
，则
.
【变式2】2018 年“平安夜”前后，某水果超市从12 月15 日至1 月5 日（共计22 天，12 月15 日为第1
天，12 月16 日为第2 天，…，1 月5 日为第22 天），某种苹果的销售量y 千克随时间第x 天变化的函数图
象如图所示，则该超市在12 月20 日卖出了这种苹果 千克.
题型05 拟合函数模型的建立与应用
【典例5】数据显示，某IT 公司2023 年2 月—6 月的月收入情况如下表所示：
月份
2
3
4
5
6
月收入（万
元）
1.4
2.56
5.31
11
21.3
根据上述数据，在建立该公司2023 年月收入
（万元）与月份
的函数模型时，给出两个函数模型
与
供选择.
(1)你认为哪个函数模型较好，并简单说明理由；
(2)试用你认为较好的函数模型，分析大约从第几月份开始，该公司的月收入会超过100 万元？（参考数据：
，
）
【变式1】（23-24 高一上·福建厦门·阶段练习）生物爱好者甲对某一水域的某种生物在自然生长环境下的
总量
进行监测. 第一次监测时的总量为
（单位：吨），此时开始计时，时间用（单位：月）表示. 甲
经过一段时间的监测得到一组如下表的数据：
8
月
吨
为了研究该生物总量
与时间的关系，甲通过研究发现可以用以下的两种函数模型来表达
与的变化关
系：
①
；②
且
.
(1)请根据表中提供的前
列数据确定第一个函数模型的解析式；
(2)根据第
列数据，选出其中一个与监测数据差距较小的函数模型；甲发现总量
由
翻一番时经过了
个月，根据你选择的函数模型，若总量
再翻一番时还需要经过多少个月？（参考数据：
，
）
【变式2】由于惯性作用，行驶中的汽车在刹车后要滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．下
表是对某种型号汽车刹车性能的测试数据．
刹车时车速
15
30
40
50
60
80
刹车距离
1.23
6.20
11.5
17.80
25.20
44.40
(1)试选择合适的函数模型拟合测试数据，并写出函数解析式；
(2)若车速为
，刹车距离为多少？若测得刹车距离为
，刹车时的车速是多少？（可以使用
计算器辅助计算）
一、单项选择题
1.某物体一天中的温度T(℃)是时间t(h)的函数：T＝t3－3t＋60.若t＝0 表示中午12∶00，下午t 取值为正，
则上午8：00 的温度是( D )
A．112 ℃
B．58 ℃
C．18 ℃
D．8 ℃
2．（23-24 高一上·吉林白山·阶段练习）在某个时期，某湖泊的蓝藻每天以5%的增长率呈指数增长，则经
过2 天后，该湖泊的蓝藻变为原来的（ ）
A．1.1 倍
B．1.25 倍
C．1.1025 倍
D．1.0025 倍
3.（24-25 高一上·全国·课后作业）某新款电视投放市场后第一个月销售了100 台，第二个月销售了200 台，
第三个月销售了400 台，第四个月销售了790 台，第五个月销售了1600 台，则下列函数模型中能较好地反
9
映销量
与投放市场的月数
（
，
）之间关系的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（23-24 高一上·江西景德镇·期末）地震的震级直接与震源所释放的能量大小有关，可以用关系式表达：
，其中
为震级，
为地震能量．2022 年11 月21 日云南红河发生了3.6 级地震，此前11
月19 日该地发生了5.0 级地震，则第一次地震能量大约是第二次地震能量的（ ）倍（参考数据：
）
A．110
B．115
C．120
D．125
5.（23-24 高一上·广东广州·期末）为加强环境保护，治理空气污染，某环保部门对辖区内一工厂产生的废
气进行了监测，发现该厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量
与时间
的关系为
．如果在前5 个小时消除了
的污染物，那么污染物减少
总共需要花的时间为
（ ）
A．8 小时
B．9 小时
C．10 小时
D．11 小时
6.（23-24 高一下·广东揭阳·期中）赣南脐橙，江西省赣州市特产，中国国家地理标志产品.赣南脐橙年产量
达百万吨，原产地江西省赣州市已经成为脐橙种植面积世界第一，年产量世界第三，全国最大的脐橙主产
区，假设某赣南脐橙种植区的脐橙产量平均每年比上一年增长20%，若要求该种植区的脐橙产量高于当前
脐橙产量的6 倍，则至少需要经过的年数为（ ）（参考数据：取
，
）
A．10
B．9
C．8
D．7
7.（2024·宁夏吴忠·模拟预测）从甲地到乙地的距离约为240km，经多次实验得到一辆汽车每小时耗油量
（单位：L）与速度（单位：km/h）（
）的下列数据：
0
40
60
80
120
0.000
6.667
8.125
10.000
20.000
为描述汽车每小时耗油量与速度的关系，则下列四个函数模型中，最符合实际情况的函数模型是（ ）
A．
B．
C．
D．
8.（23-24 高一上·四川雅安·期末）碳14 是一种放射性物质，当生物死亡后，机体内的碳14 含量会按确定
的比例衰减（称为衰减率），大约每经过5730 年衰减为原来的一半，这个时间称为半衰期.如果
是碳14
的初始质量，那么经过年后，碳14 所剩的质量为
.一名学者在今年的一次考古活动中，
对出土的文物标本进行研究，发现碳14 的含量是原来的
，可以推测该文物属于下列哪个时期（ ）
（参考数据：
）
10
参考时间线：
A．战国
B．汉
C．唐
D．宋
二、多项选择题
9．如图1 是某条公共汽车线路收支差额y 与乘客量x 的图像．由于目前本条线路亏损，公司有关人员
提出了两种扭亏为盈的建议，如图2,3 所示．你能根据图像判断下列说法错误的是( )
A．图2 的建议为减少运营成本
B．图2 的建议可能是提高票价
C．图3 的建议为减少运营成本
D．图3 的建议可能是提高票价
10.（23-24 高一上·广东·期末）复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，
再计算下一期的利息.本金为
（单位：元），每期利率为，本利和为
（单位：元），存期数为
，则
下列命题是真命题的是（ ）
A．本利和
关于存期数
的函数解析式为
B．本利和
关于存期数
的函数解析式为
C．若存入本金1000 元，每期利率为
，则1 期后的本利和为1022.5 元
D．若存入本金1000 元，每期利率为
，则4 期后的本利和为1090 元
11. （23-24 高一上·内蒙古呼和浩特·期末）某池塘里浮萍的面积
（单位：
）为时间
（单位：月）的
指数函数，即
，且有关数据如图所示.则下列说法错误的是（ ）
A．浮萍面积的月增长率为1
B．浮萍面积的月增加量都相等
C．第4 个月，浮泙面积为
D．
三、填空题
11
12．（24-25 高一上·全国·课前预习）某种动物繁殖的数量y（只）与时间x（年）的关系为
，
若这种动物第一年有100 只，则到第15 年会有 只．
13．（24-25 高一上·上海·期中）某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入．若该公司2019 年（年
底统计）全年投入研发资金130 万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12％，则该公司全
年投入的研发资金开始超过200 万元的年份是 ．（年底统计）
14．（24-25 高一上·上海·课堂例题）如图，某池塘里浮萍的面积
（单位：
）与时间（单位：月）的
关系为
．关于下列说法正确的命题序号是 ．
（1）这个指数函数的底数为3；
（2）浮萍每月增加的面积都相等；
（3）第4 个月时，浮萍面积不超过
；
（4）若浮萍曼延到
、
、
所经过的时间分别是
、
、
，则
．
四、解答题
15．（24-25 高一上·全国·课后作业）富兰克林（Benjamin Franklin，1706-1790）是美国著名的政治家和物
理学家，去世后留下的财产并不可观，大致只有
英镑．但令人惊奇的是，他竟然留下了一份分配几百
万英镑财产的遗嘱！这份遗嘱是这样写的：
“……
英镑赠给波士顿的居民，如果他们接受了这
英镑，那么这笔钱应托付给一些挑选出来的公
民，他们得把这钱按每年
的利率借给一些年轻的手工业者去生息，这笔钱过了
年增加到
英
镑．我希望那时候用
英镑来建立一座公共建筑物，剩下的
英镑拿去继续生息
年．在第二
个
年末了，这笔款增加到
英镑，其中
英镑还是由波士顿的居民来支配，而其余的
英镑让马萨诸塞州的公众来管理，从此之后，我可不敢多作主张了．”
你认为富兰克林的设想有道理吗？为什么？
16．（23-24 高一上·福建南平·期末）燕子每年都要进行秋去春来的南北大迁徙，已知某种燕子在飞行时的
耗氧量
与飞行速度（米/秒）之间满足关系：
．
(1)当该燕子的耗氧量为1280 时，它的飞行速度是多少？
(2)若该燕子飞行时的耗氧量增加到原来的3 倍，则它的飞行速度大约增加多少？（参考数据：
）
12
17．（24-25 高一上·福建泉州·阶段练习）近日，随着新冠肺炎疫情在多地零星散发，为最大程度减少人员
流动，减少疫情发生的可能性，高邮政府积极制定政策，决定政企联动，鼓励企业在国庆期间留住员工在
本市过节并加班追产，为此，高邮政府决定为波司登制衣有限公司在国庆期间加班追产提供
（万元）的专项补贴.波司登制衣有限公司在收到高邮政府
（万元）补贴后，产量将增加到
（万
件）.同时波司登制衣有限公司生产（万件）产品需要投入成本为
（万元），并以每件
元的价格将其生产的产品全部售出.注：收益=销售金额+政府专项补贴-成本.
(1)求波司登制衣有限公司国庆期间，加班追产所获收益
（万元）关于政府补贴
（万元）的表达式；
(2)高邮政府的专项补贴为多少万元时，波司登制衣有限公司国庆期间加班追产所获收益
（万元）最大？
18．（24-25 高一上·上海杨浦·阶段练习）某新建居民小区欲建一面积为
的矩形绿地，并在绿地四周
铺设人行道，设计要求绿地外南北两侧人行道宽3m，东西两侧人行道宽4m，如图所示（图中单位：m）.
设矩形绿地的南北侧边长为x 米.
(1)当人行道的占地面积不大于
时，求x 的取值范围；
(2)问x 取多少时，才能使人行道的占地面积最小.
19．（22-23 高一上·广东清远·期末）在无菌培养环境中，某类细菌的繁殖在初期会较快，随着单位体积内
细菌数量的增加，繁殖速度又会减慢，在一次实验中，检测到这类细菌在培养皿中的数量y（单位：百万
个）与培养时间x（单位：小时）的3 组数据如下表所示.
2
3
5
3.5
4.5
5.5
(1)当
时，根据表中数据分别用模型
和
建立
关于
的函数解析式.
(2)若用某函数模型根据培养时间来估计某类细菌在培养皿中的数量，则当实际的细菌数量与用函数模型得
出的估计值之间的差的绝对值不超过0.5 时，称该函数模型为“理想函数模型”，已知当培养时间为9 小
时时，检测到这类细菌在培养皿中的数量为6.2 百万个，你认为（1）中哪个函数模型为“理想函数模型”？
说明理由.（参考数据：
）
(3)请用（2）中的“理想函数模型”估计17 小时后，该类细菌在培养皿中的数量.
