文档文本内容
1
第06 讲 一元线性回归模型
课程标准
学习目标
1．理解散点图、线性相关、正相关、负相
关的概念．
2．理解并掌握回归直线方程的概念和性
质，会求线性相关的两个变量的回归直线
方程．
3．理解并掌握相关系数的概念及性质，并
能判断两个变量之间线性相关性的强弱．
4．了解非线性回归的相关概念．
1．通过对数据的分析、统计，培养数据分析等核心素
养．
2．借助变量间相关关系的研究，提升数学抽象、数学
运算等核心素养．
3．借助求回归直线方程和相关系数，培养学生数学建
模、数据分析及数学运算等核心素养．
知识点01 变量的相关关系
1．两个变量的关系
(1)一类是两变量之间的关系具有确定性，当一个变量确定后，另一个变量就确定了．
(2)另一类是变量之间具有一定的关系，但没有达到可以相互决定的程度．它们之间的关系带有一定的
随机性，这些两个变量之间的关系，在统计学上都称为相关关系．
【解读】相关关系与函数关系的异同：
关系
异同点
函数关系
相关关系
相同点
两者均是两个变量之间的关系
不同点
是一种确定性关系
是一种非确定性关系
2
是一种因果关系
不一定是因果关系，也可能
是伴随关系
是一种理想的关系
是更为一般的情况
3.散点图
(1)概念：一般地，如果收集到了变量x 和变量y 的n 对数据(简称为成对数据)，如下表所示：
序号i
1
2
3
…
n
变量x
x1
x2
x3
…
xn
变量y
y1
y2
y3
…
yn
则在平面直角坐标系xOy 中描出点(xi，yi)，i＝1，2，3，…，n，就可以得到这n 对数据的散点图．
(2)作用：散点图展示了样本点散布的位置．根据散点图中点的分布趋势分析两个变量之间的关系，可
直观地判断并得出结论．
【解读】
(1)散点图具有直观、简明的特点，我们可以根据散点图来判断两个变量有没有相关关系；
(2)通过散点图不但可以判断测量值的大小、变动范围与整体趋势，还可以通过观察剔除异常数值，提
高估计相关程度的准确性；
(3)当所画的散点图的横坐标与纵坐标所对应的数据差距很大时，可在实际作图时，将横坐标与纵坐标
取不同的单位长度，使画出的散点图形象、美观．
3．线性相关正相关、负相关
如果由变量的成对数据、散点图或直观经验可知，变量x 与变量y 之间的关系可以近似地用一次函数
来刻画，则称x 与y 线性相关．此时，如果一个变量增大，另一个变量大体上也增大，则称这两个变量正
相关；如果一个变量增大，另一个变量大体上减少，则称这两个变量负相关．
【即学即练1】)两个变量成正相关的是( )
A．汽车的重量和汽车每消耗1 升汽油所行驶的平均路程
B．平均日学习时间和平均学习成绩
C．某人每日吸烟量和其身体健康情况
D．汽车的重量和百公里耗油量
知识点02 回归直线方程
1．回归直线方程的概论
一般地，已知变量x 与y 的n 对成对数据(xi，yi)，i＝1，2，3，…，n.任意给定一个一次函数y＝bx＋
a，对每一个已知的xi，由直线方程可以得到一个估计值yi＝bxi＋a，如果一次函数y＝bx＋a能使(y1－y1)2＋
(y2－y2)2＋…＋(yn－yn)2＝
(yi－yi)2取得最小值，则y＝bx＋a称为y 关于x 的回归直线方程(对应的直线称
为回归直线).
3
2．最小二乘法
上述求回归直线方程的过程中需使得平方和最小，所以其中涉及的方法称为最小二乘法．
可以证明，给定两个y 与x 的一组数据之后，回归直线方程y＝bx＋a总是存在的，而且
b＝
＝
，
=
.
其中，b称为回归系数．它实际上也就是回归直线方程的斜率．回归直线方程确定之后，就可用于预
测．
需要注意的是，上述公式中，x指的是x1，x2，x3，…，xn的平均数，即x＝(x1＋x2＋…＋xn)＝
；
类似地，y是y1，y2，y3，…，yn的平均数，即y＝
.
【解读】(1)回归直线一定过点(x，y)；
(2)y 与x 正相关的充要条件是b>0；y 与x 负相关的充要条件是b<0；
(3)当x 增大一个单位时，y增大b个单位，这就是回归系数b的实际意义；
(4)回归直线方程
中x 的系数是b，表示直线的斜率，注意与《选择性必修第一册》中的一次
函数的关系式或直线方程y＝ax＋b 进行区分．
【即学即练2】已知某车间加工零件的个数x 与所花费时间y(h)之间的回归直线方程为y＝0.01x＋0.5，
则加工600 个零件大约需要( )
A．6.5 h
B．5.5 h
C．3.5 h
D．0.5 h
知识点03 相关系数
1．概念：注意到现实生活中的数据，由于度量对象和单位的不同等，数值会有大有小，为了去除这
些因素的影响，统计学里一般用
来衡量y 与x 的线性相关性强弱，这里的r 称为线性相关系数(简称为相关系数).
2．性质
(1)|r|≤1，且y 与x 正相关的充要条件是r>0，y 与x 负相关的充要条件是r<0.
(2)|r|越小，说明两个变量之间的线性相关性越弱，也就是得出的回归直线方程越没有价值，即方程越
不能反映真实的情况；|r|越大，说明两个变量之间的线性相关性越强，也就是得出的回归直线方程越有价
值．
(3)|r|＝1 的充要条件是成对数据构成的点都在回归直线上．
4
(1)样本的相关系数r 可以定量地反映出变量间的相关程度，明确给出有无必要建立两变量间的回归方
程；
(2)|r|很小只是说明两个变量之间的线性相关程度弱，但不一定不相关．
3．相关系数与向量夹角的余弦
一般地，a＝(x1－x，x2－x，…，xn－x)，b＝(y1－y，y2－y，…，yn－y)都称为n 维向量，如果按照类似
2 维与3 维的情况定义向量的内积和模，则相关系数r 总是等于两个向量夹角的余弦，即r＝cos <a，b>＝.
【即学即练3】若对甲、乙、丙3 组不同的数据作线性相关性检验，得到这3 组数据的线性相关系数
依次为0.83，0.72，－0.90，则线性相关性最强的一组是____________(填甲、乙、丙中的一个).
知识点04 非线性回归分析
1．非线性回归分析的思想
研究两个变量的关系时，依据样本点画出散点图，从整体上看，如果样本点没有分布在某个带状区域
内，就称这两个变量之间不具有线性相关关系，此时不能直接利用线性回归方程来建立两个变量之间的关
系．
2．非线性回归方程
当回归方程不是形如y＝bx＋a(a，b∈R)时，称回归方程为非线性回归方程．
当两个变量不是线性相关关系时，依据样本点的分布选择合适的曲线方程来拟合数据，可通过变量代
换，利用线性回归模型建立两个变量间的非线性回归方程．
【即学即练4】某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率
和温度
（单位：
）的关系，在20
个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据
得到下面的散点图：
由此散点图，在10℃至35℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型01 变量间的相关关系及判断
【典例1】（多选）以下两个变量成正相关的是( )
A．学生的学籍号与学生的数学成绩
B．坚持每天吃早餐的人数与患胃病的人数
5
C．气温与冷饮销售量
D．电瓶车的重量和行驶每千米的耗电量
【变式1】（24-25 高三上·上海·开学考试）已知气候温度和海水表层温度相关，且相关系数为负数，对此
描述正确的是（ ）
A．气候温度高，海水表层温度就高
B．气候温度高，海水表层温度就低
C．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈上升趋势
D．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈下降趋势
【变式2】（24-25 高三上·上海·课后作业）已知变量X 与Y 相对应的一组数据为
，
，
，
，
，变量U 与V 相对应的一组数据为
，
，
，
，
．
表示变量X 与Y 之间的线性相关系数，
表示变量U 与V 之间的线性相关系数，则下列结论中
正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（23-24 高二上·全国·课后作业）相关系数r 是衡量两变量之间的线性相关程度的，对此有下列
说法：①
越接近于1，相关程度越大；②
越接近于0，相关程度越小；③
越接近于1，相关程度越小；
④
越接近于0，相关程度越大．其中正确的是（ ）
A．①②
B．②④
C．②③
D．①④
题型02 求线性回归方程
【典例2】（22-23 高二下·福建三明·期中）《中共中央国务院关于全面推进乡村振兴加快农业农村现代化
的意见》，这是21 世纪以来第18 个指导“三农”工作的中央一号文件.文件指出，民族要复兴，乡村必振
兴.为助力乡村振兴，某电商平台为某地的农副特色产品开设直播带货专场.为了对该产品进行合理定价，
用不同的单价在平台试销，得到如下数据：
单价
（元/件）
8
8.2
8.4
8.6
8.8
9
销量
（万件）
90
84
83
80
75
68
(1)根据以上数据，求
关于
的线性回归方程；
(2)若该产品成本是7 元/件，假设该产品全部卖出，预测把单价定为多少时，工厂获得最大利润，最大利润
是多少.
附：参考公式：回归方程
，
其中
，
.
6
参考数据：
，
.
【变式1】某地区实行社会主义新农村建设后，农村的经济收入明显增加，根据统计得到从2015 年至2021
年农村居民家庭收入y（单位：万元）的数据，其数据如下表：
年份
2015
2016
2017
2018
2019
2020
2021
年份代号t
1
2
3
4
5
6
7
农村居民家庭收入y
3.9
4.3
4.6
5.4
5.8
6.2
6.9
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
，
．
参考数据：
，
．
(1)求y 关于t 的线性回归方程；
(2)根据（1）中的回归方程，分析2015 年至2021 年该地区农村居民家庭收入的变化情况，并预测该地区
2024 年农村居民家庭收入．
【变式2】（22-23 高二下·陕西西安·期中）基础学科招生改革试点，即强基计划，是教育部开展的招生改
革工作，主要是为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生.聚焦高
端芯片与软件、智能科技、新材料、先进制造和国家安全等关键领域以及国家人才紧缺的人文社会科学领
域.某校在一次强基计划模拟考试后，从全体考生中随机抽取52 名，获取他们本次考试的数学成绩（
）
和物理成绩（
），绘制成如图散点图：根据散点图可以看出
与
之间有线性相关关系，但图中有两个
异常点
，
.经调查得知，
考生由于重感冒导致物理考试发挥失常，
考生因故未能参加物理考试，为
了使分析结果更科学准确，剔除这两组数据后，对剩下的数据作处理，得到一些统计的值：
，
，
，
，
，其中
，
分别表示这50 名
考生的数学成绩、物理成绩，
，
与
的相关系数
.
(1)若不剔除
，
两名考生的数据，用52 组数据作回归分析，设此时
与
的相关系数为
.试判断
与
7
的大小关系（不必说明理由）；
(2)求
关于
的线性回归方程（系数精确到0.01），并估计如果
考生加了这次物理考试，物理成绩是多
少？（精确到0.1）
【变式3】（2024 上·江西新余·高二统考期末）某地政府为解除空巢老人日常护理和社会照料的困境，大
力培育发展养老护理服务市场．从
年开始新建社区养老机构，下表为该地区近年新建社区养老机构
的数量对照表．
年份
2017
2018
2019
2020
2021
2022
2023
年份代码
1
2
3
4
5
6
7
新建社区养老机构
(1)若该地区参与社区养老的老人的年龄
近似服从正态分布
，其中年龄
的有
人，
试估计该地参与社区养老的老人有多少？（结果按四舍五入取整数）
(2)已知变量
与
之间的样本相关系数
，请求出
关于
的线性回归方程
，并据此估计
年时，该地区新建社区养老机构的数量．（结果按四舍五入取整数）
参考公式与数据：①
，
.；
②若随机变量
，则
，
，
；
③
，
.
题型03 回归直线方程的性质及应用
【典例3】1．（23-24 高二下·福建宁德·阶段练习）已知变量
和
的统计数据如下表：
6
8
10
12
2
3
5
6
根据上表可得回归直线方程
，据此可以预测当
时，
（ ）
A．7.8
B．6.5
C．9.6
D．8.2
【变式1】（23-24 高二下·河南南阳·期中）某电脑公司有3 名产品推销员，其工作年限与年推销金额数据
如下表所示：
推销员编号
1
2
3
8
工作年限
年
3
5
10
推销金额
万元
2
3
4
由表中数据算出经验回归方程
中的
.若第4 名推销员的工作年限为7 年，则估计他的年推销
金额为（ ）
A．3.08 万元
B．3.14 万元
C．3.21 万元
D．3.27 万元
【变式2】（24-25 高二·江苏·假期作业）已知
，
的取值如下表所示，从散点图分析可知
与
线性相关，
如果线性回归方程为
，则实数
的值为（ ）
2
3
4
5
6
6.5
10
11.5
18.5
A．13
B．13.5
C．14
D．14.5
【变式3】（23-24 高二下·安徽安庆·期末）根据成对样本数据建立变量y 关于x 的经验回归方程为
.若y 的均值为6.2，则x 的均值为（ ）
A．1.5
B．2
C．2.5
D．3
题型04 相关系数的计算及应用
【典例4】（24-25 高三·上海·课堂例题）测得10 对父子身高[单位：英寸（1 英寸
）如下：
父亲身高（
）
60
62
64
65
66
67
68
70
72
74
儿子身高（
）
63.6
65.2
66
65.5
66.9
67.1
67.4
68.3
70.1
70
(1)对变量
与
进行相关性检验；
(2)如果
与
之间具有相关关系，求回归直线方程；
(3)如果父亲身高为73 英寸，试估计儿子的身高.
参考数据：
，
，
，
，
，
，
.
【变式1】（23-24 高二上·辽宁·期末）在一组样本数据
、
、
、
、
、
、
、
不全相等）的散点图中，若所有的样本点
都在直线
上，则这组样本
数据的相关系数为（ ）
A．
B．
C．
D．
9
【变式2】（24-25 高三上·湖北随州·阶段练习）若已知
是
的4 倍，
是
的1.5 倍，则样本相关系数r 的值为 .
【变式3】（24-25 高三·上海·随堂练习）随着智能手机的普及，使用手机上网成为人们日常生活的一部分，
很多消费者对手机流量的需求越来越大，某通信公司为了更好地满足消费者对流量的需求，准备推出一款
流量包．该通信公司选了5 个城市（总人数、经济发展情况、消费能力等方面比较接近）采用不同的定价
方案作为试点，经过一个月的统计，发现该流量包的定价x（单位：元/月）和购买人数y（单位：万人）
的关系如下表：
x
30
35
40
45
50
y
18
14
10
8
5
计算该流量包的定价x 与购买人数y 的相关系数
．（结果保留3 位小数）
【变式4】（25-26 高三上·上海·单元测试）当前，冷冻冷藏类技术发展迅速且应用广泛．某制冷技术重点
实验室研究了不同果蔬在不同冻结速率下的冰点温度，以及低温环境对果蔬热物性的影响．设冻结速率为
x（单位：分钟），冰点温度为y（单位：℃），如表为某种水果冰点温度随冻结速率变化的统计数据：
x
10
20
30
40
50
y
－5
－4.5
－2
1
2
根据以上数据，绘制了散点图：
(1)由散点图可以看出，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，请用相关系数r 加以说明；
(2)求y 关于x 的线性回归方程，并预测当冻结速率为60 分钟时，这种水果的冰点温度．
题型05 非线性回归模型及应用
【典例5】为帮助乡村脱贫，某勘探队计划了解当地矿脉某金属的分布情况，测得了平均金属含量
（单
位：
）与样本对原点的距离
（单位：m）的数据，并作了初步处理，得到了下面的一些统计理的
值．（表中
，
）
10
6
97.90
0.21
60
0.14
14.12
26.13
(1)利用样本相关系数的知识，判断
与
哪一个更适宜作为平均金属含量
关于样本对原点
的距离
的回归方程类型？
(2)根据（1）的结果回答下列问题：
①建立
关于
的回归方程；
②样本对原点的距离
时，金属含量的预报值是多少？
附：对于一组数据
，其线性相关系数
，其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
，
．
【变式1】（24-25·高三全国·专题）一座城市的夜间经济不仅有助于拉动本地居民内需，还能延长外地游
客、商务办公者等的留存时间，带动当地经济发展，是衡量一座城市生活质量、消费水平、投资环境及文
化发展活力的重要指标．数据显示，近年来中国各地政府对夜间经济的扶持力度加大，夜间经济的市场发
展规模保持稳定增长，下表为2017—2022 年中国夜间经济的市场发展规模（单位：万亿元），设2017—
2022 年对应的年份代码依次为1~6．
年份代码x
1
2
3
4
5
6
中国夜间经济的市场发展规模y/万亿元
20.5
22.9
26.4
30.9
36.4
42.4
(1)已知可用函数模型
拟合y 与x 的关系，请建立y 关于x 的回归方程（a，b 的值精确到0.01）；
(2)某传媒公司发布的2023 年中国夜间经济城市发展指数排行榜前10 名中，吸引力超过90 分的有4 个，从
这10 个城市中随机抽取5 个，记吸引力超过90 分的城市数量为X，求X 的分布列与数学期望．
参考数据：
3.366
73.282
17.25
1.16
其中
．
参考公式：对于一组数据
，
，…，
，其回归直线
的斜率和截距的最小二乘
11
法估计分别为
，
．
【变式2】（2024·全国·模拟预测）一座城市的夜间经济不仅有助于拉动本地居民内需，还能延长外地游
客、商务办公者等的留存时间，带动当地经济发展，是衡量一座城市生活质量、消费水平、投资环境及文
化发展活力的重要指标．数据显示，近年来中国各地政府对夜间经济的扶持力度加大，夜间经济的市场发
展规模保持稳定增长，下表为2017—2022 年中国夜间经济的市场发展规模（单位：万亿元），其中2017
—2022 年对应的年份代码依次为1~6．
年份代码
1
2
3
4
5
6
中国夜间经济的市场发展规模
万亿元
20.5
22.9
26.4
30.9
36.4
42.4
(1)已知可用函数模型
拟合
与
的关系，请建立
关于
的回归方程（
的值精确到0.01）；
(2)某传媒公司预测2023 年中国夜间经济的市场规模将达到48.1 万亿元，现用（1）中求得的回归方程预测
2023 年中国夜间经济的市场规模，若两个预测规模误差不超过1 万亿元，则认为（1）中求得的回归方程
是理想的，否则是不理想的，判断（1）中求得的回归方程是否理想．参考数据：
3.366
73.282
17.25
1.16
2.83
其中
．
参考公式：对于一组数据
，其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分
别为
．
一、单选题
1．（23-24 高二下·甘肃兰州·期末）下列各关系不属于相关关系的是（ ）
A．产品的样本与生产数量
B．球的表面积与体积
C．家庭的支出与收入
D．人的年龄与体重
2．（23-24 高二下·山西大同·期中）对两个变量
进行线性相关性检验，得线性相关系数
，对两
个变量
进行线性相关性检验，得线性相关系数
，则下列判断正确的是（ ）
A．变量
与变量
正相关，变量
与变量负相关，变量
与变量
的线性相关性更强
12
B．变量
与变量
负相关，变量
与变量正相关，变量
与变量
的线性相关性更强
C．变量
与变量
负相关，变量
与变量正相关，变量
与变量的线性相关性更强
D．变量
与变量
正相关，变量
与变量负相关，变量
与变量的线性相关性更强
3．（23-24 高二上·江苏常州·期末）用最小二乘法得到一组数据
的线性回归方程为
，若
，则
（ ）
A．11
B．13
C．63
D．78
4．（23-24 高二下·黑龙江大庆·期中）某校课外学习小组研究某作物种子的发芽率
和温度
（单位：
）的关系，由实验数据得到如图所示的散点图.由此散点图判断，最适宜作为发芽率
和温度
的回归方程
类型的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（24-25 高二·江苏·假期作业）为创建良好的生态环境，某地大力发展新能源产业，近4 年该地新能源
产业生产总值情况如下表所示：
第
年
1
2
3
4
生产总值
百万元
32
52
73
95
已知变量
与
之间具有线性相关关系，设用最小二乘法建立的回归直线方程为
，则利用该模型
预测该地第六年的生产总值为（ ）
A．136.5
B．137.5
C．138.5
D．139.5
6．（24-25 高二下·全国·课后作业）为考察两个变量
，
的相关性，搜集数据如表，则两个变量的线性相
关程度（ ）
5
10
15
20
25
103
105
110
111
114
（参考数据：
，
，
）
A．很强
B．很弱
C．无相关
D．不确定
7．（23-24 高二下·江苏南京·阶段练习）为了研究
关于
的线性相关关系，收集了组样本数据（见下
13
表）：
若已求得一元线性回归方程为
，则下列选项中正确的是（ ）
（其中相关系数
）
A．
B．当
时，
的预测值为
C．样本数据
的第40 百分位数为
D．去掉样本点
后，
与
的样本相关系数不会改变
8．（23-24 高二下·福建漳州·阶段练习）2024 海峡两岸各民族欢度“三月三”暨福籽同心爱中华·福建省第
十一届“三月三”畲族文化节活动在宁德隆重开幕．海峡两岸各民族同胞齐聚于此，与当地群众共同欢庆
“三月三”，畅叙两岸情．在活动现场，为了解不同时段的入口游客人流量，从上午10 点开始第一次向指
挥中心反馈入口人流量，以后每过一个小时反馈一次．指挥中心统计了前5 次的数据
，其中
，
为第次入口人流量数据（单位：百人），由此得到
关于的回归方程
，
，已知
，根据回归方程（参考数据：
，
），可预测下午4 点时入口游客
的人流量为（ ）
A．9.6
B．11.0
C．11.4
D．12.0
二、多选题
9．（24-25 高二下·全国·课后作业）/
年月
日，人社部官网发布全国各地区最低工资标准情况，从
月最低工资标准来看，上海、深圳、北京位列前三．某学生为了研究居民收入与幸福指数的相关关系，查
询到如下数据，后来发现其中一个数据
记录有误，去掉该数据，则（ ）
A．样本相关系数变大
B．居民收入与幸福指数呈现负相关
C．样本相关系数
D．居民收入与幸福指数的线性相关程度变强
10．（24-25 高三上·四川绵阳·阶段练习）某类汽车在今年1 至5 月的销量y（单位：千辆）如下表所示
14
（其中2 月份销量未知）：
月份x
1
2
3
4
5
月销量y
2.4
m
4
5
5.5
若变量y 与x 之间存在线性相关关系，用最小二乘法估计建立的经验回归方程为
，则下列说
法正确的是（ ）
A．
B．残差绝对值最大为0.2
C．样本相关系数
D．当解释变量
每增加1，响应变量
增加0.85
11．（2024 高二下·全国·专题练习）某骑行爱好者在专业人士指导下对近段时间骑行锻炼情况进行统计分
析，统计每次骑行期间的身体综合指标评分
与骑行用时
（单位：小时）如下表：
身体综合指标评分
1
2
3
4
5
用时
小时）
9.5
8.8
7.8
7
6.1
由上表数据得到的错误结论是（ ）
参考数据：
,
参考公式：相关系数
.
A．身体综合指标评分
与骑行用时
正相关
B．身体综合指标评分
与骑行用时
的相关程度较弱
C．身体综合指标评分
与骑行用时
的相关程度较强
D．身体综合指标评分
与骑行用时
的关系不适合用线性回归模型拟合
三、填空题
12．（24-25 高三上·广东江门·阶段练习）已知
，
之间的一组数据：若
与
满足经验回归方程
，则此曲线必过点 .
x
y
13．（23-24 高二下·天津·期末）为了了解家庭月收入
（单位：千元）与月储蓄
（单位：千元）的关系，
从某居民区随机抽取10 个家庭，根据测量数据的散点图可以看出
与
之间具有线性相关关系，其回归直
线方程为
，若该居民区某家庭月收入为7 千元，据此估计该家庭的月储蓄为 千元.
15
14．（18-19 高二下·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）在研究两个变量的相关关系时，观察散点图发现样本点集
中于某一条指数曲线
的周围．令
，求得线性回归方程为
，则该模型的非
线性回归方程为 ．
四、解答题
15．（2025 高三·全国·专题练习）2023 年是全面贯彻落实党二十大精神的开局之年，也是实施“十四五”
规划承上启下的关键之年，经济增长呈现稳中有进的可喜现象.2023 年8 月4 日，贵州省工业和信息化厅召
开推进贵州刺梨产业高质量发展专题会议，安排部署加快推进特色优势产业刺梨高质量发展工作，集中资
源、力量打造“贵州刺梨”公共品牌.贵州省为做好刺梨产业的高质量发展，项目组统计了全省近5 年刺梨
产业综合总产值的各项数据如下：
年份
，综合产值
（单位：亿元）
年份
2018
2019
2020
2021
2022
年份代码
1
2
3
4
5
综合产值
23.1
37.0
62.1
111.6
150.8
(1)根据表格中的数据，可用一元线性回归模型刻画变量
与变量
之间的线性相关关系，请用相关系数加
以说明（精确到0.01）；
(2)求出
关于
的经验回归方程，并预测2023 年底贵州省刺梨产业的综合总产值.
参考公式：
相关系数
.回归方程
中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为
，
；
参考数据：
，
，
，
，
，
.
16．（2025 高三·全国·专题练习）人们用大数据来描述和定义信息时代产生的海量数据，并利用这些数据
处理事务和做出决策，某公司通过大数据收集到该公司销售的某电子产品1 月至5 月的销售量如下表.
月份
1
2
3
4
5
销售量
（万件）
4.9
5.8
6.8
8.3
10.2
该公司为了预测未来几个月的销售量，建立了
关于
的回归模型：
.
(1)根据所给数据与回归模型，求
关于
的回归方程（
的值精确到0.1）；
16
(2)已知该公司的月利润
（单位：万元）与
，
的关系为
，根据（1）的结果，问该公
司哪一个月的月利润预报值最大？
17．（24-25 高三上·重庆·阶段练习）小李和小张关注到习近平总书记今年4 月在重庆考察时强调：“奋力
打造新时代西部大开发重要战略支点、内陆开放综合枢纽”，于是决定大学毕业后回家乡重庆创业．他们
投入5 万元（包括购买设备、房租、生活费等）建立了一个直播间，帮助山区人民售卖农产品．在直播间
里，他们利用所学知识谈天说地，跟粉丝互动，集聚了一定的人气，试播一段时间之后，正式带货．他们
统计了第一周的带货数据如下：
第x 天
1
2
3
4
5
6
7
销售额y（万元）
1.4
1.6
2.2
2.4
3
3.9
5.1
(1)求样本
的相关系数（精确到0.01）；
(2)用最小二乘法求出
关于
的回归方程
（系数精确到0.01，并用精确后的
的值计算
的值），
并预测第8 天的销售额（预测结果精确到0.01）．
附：①相关系数
；
②回归方程
中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
，
；
③
，
，
．
18．（24-25 高三上·四川眉山·阶段练习）台州是全国三大电动车生产基地之一，拥有完整的产业链和突出
的设计优势.某电动车公司为了抢占更多的市场份额，计划加大广告投入、该公司近5 年的年广告费
（单
位：百万元）和年销售量
（单位：百万辆）关系如图所示：令
，数据经过初步处理
得：
17
44
4.8
10
40.3
1.612
19.5
8.06
现有①
和②
两种方案作为年销售量y 关于年广告费x 的回归分析模型，其中a，b，
m，n 均为常数.
(1)请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好?
(2)根据（1）的分析选取拟合程度更好的回归分析模型及表中数据，求出
关于
的回归方程，并预测年广
告费为6（百万元）时，产品的年销售量是多少?
19．（24-25 高二上·四川眉山·期中）台州是全国三大电动车生产基地之一，拥有完整的产业链和突出的设
计优势.某电动车公司为了抢占更多的市场份额，计划加大广告投入、该公司近5 年的年广告费
（单位：
百万元）和年销售量
（单位：百万辆）关系如图所示：
令
，数据经过初步处理得：
，
，
，
，
，
，
，现有①
和②
两种方案作为年销售量y 关于年广告费x 的回归分析模型，其中a，b，m，n 均
为常数.
(1)请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好？
(2)根据（1）的分析选取拟合程度更好的回归分析模型及表中数据，求出y 关于x 的回归方程，并预测年广
告费为6（百万元）时，产品的年销售量是多少？
(3)该公司生产的电动车毛利润为每辆200 元（不含广告费、研发经费）.该公司在加大广告投入的同时也加
大研发经费的投入，年研发经费为年广告费的199 倍.电动车的年净利润受年广告费和年研发经费影响外还
受随机变量
影响，设随机变量
服从正态分布
，且满足
.在（2）的条件下，
求该公司年净利润的最大值大于1000（百万元）的概率.（年净利润=毛利润×年销售量-年广告费-年研发经
费-随机变量）.
附：
①相关系数
，回归直线
中公式分别为
18
，
；
②参考数据：
，
，
，
.
