文档文本内容
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重难点提升01 指数、对数型复合函数
课程标准
学习目标
1.指数型复合函数的性质及应用；
2.对数型复合函数的性质及应用．
掌握与指对数复合函数有关的定义域、单调性、值
域、奇偶性、零点、不等式等问题的基本解法，突破
函数学习中的这一难点.
知识点01 复合函数的概念
如果函数
的定义域为
，函数
的定义域为
，值域为
，则当
时，函数
为
与
在
上的复合函数，其中
叫做内层函数，
叫做外层函数．
知识点02 复合函数的单调性
1、复合函数单调性的规律：“同增异减”
若内外两层函数的单调性相同，则它们的复合函数为增函数；
若内外两层函数的单调性相反，则它们的复合函数为减函数．
2、具体判断步骤
2
（1）求出原函数的定义域；
（2）将复合函数分解为内层函数和外层函数；
（3）分析内层函数和外层函数的单调性；
（4）利用复合函数法“同增异减”可得出结论．
知识点03 复合函数的值域求解
1、指数型复合函数值域的求法
（1）形如
（
，且
）的函数求值域：令
，将求原函数的值域转化为求
的
值域，但要注意“新元”的范围．
（2）形如
（
，且
）的函数求值域：令
，先求出
的值域，再利用
的单调性求出
的值域．
2、对数型复合函数值域的求法
（1）形如
（
，且
）的函数求值域：令
，先求出
的值域
，
再利用
在
上的单调性，再求出
的值域．
（2）形如
（
，且
）的函数的值域：令
，先求出
的值域，
再利用
的单调性求出
的值域．
题型01 指数型复合函数的定义域
【典例1】（23-24 高三下·北京·阶段练习）函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（24-25 高一上·全国·课后作业）函数
的定义域是（ ）
A．R
B．
C．
D．
且
【变式2】（24-25 高一上·全国·随堂练习）函数
的定义域为 ．
【变式3】（23-24 高一上·安徽阜阳·期末）函数
的定义域为 .
3
【变式4】（24-25 高一上·上海·单元测试）函数
（
且
）的定义域为
，则
．
【变式5】（23-24 高一上·辽宁沈阳·阶段练习）函数
在区间
上有意义，求
的取
值范围.
题型02 指数型复合函数的单调性
【典例2】（23-24 高一上·河北石家庄·月考）已知函数
，则函数
的递增区间为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（23-24 高一上·广东佛山·月考）函数
的单调递减区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】函数
的单调递增区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（22-23 高一上·广东·期末）函数
的单调递增区间为 .
【典例3】（24-25 高三上·黑龙江佳木斯·开学考试）设函数
且
在区间(0,2)上单调
递减，则
的取值范围是( ).
A．(1,+∞)
B．
C．(0,1)
D．(1,4)
【变式1】（23-24 高二下·天津河东·期末）设函数
在区间
单调递减，则a 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（23-24 高一上·黑龙江哈尔滨·期中）函数
在
上单调递增，则实数a 的取值
范围是 ．
4
【变式3】（23-24 高一上·辽宁沈阳·月考）已知函数
在区间
上是增函数，则
的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4】（23-24 高一上·山东济宁·月考）已知
在
上是减函数，则实数a 的取值范围
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式5】已知函数
（
且
）在区间
上单调递增，则a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式6】已知函数
，若函数
在区间
上单调递增，则实数
的
取值范围是 .
【典例4】（24-25 高三上·甘肃兰州·阶段练习）已知x，
，且
，则下列不等式正确的
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（24-25 高三上·上海金山·阶段练习）已知
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例5】（24-25 高三上·江苏·开学考试）设函数
，则使得
成立的
的
解集是 ．
【变式1】（23-24 高一上·天津·期末）若不等式
对任意的
恒成立，则实数
的
5
取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（2024 高三·全国·专题练习）已知函数
.当
时，求不等式
的解
集.
题型03 指数型复合函数的值域
【典例6】（1）（23-24 高一上·重庆·期末）函数
的值域是 .
（2）（23-24 高一上·福建三明·期中）函数
在
时的值域是 ．
【变式1】求函数
，在
上的值域.
【变式2】（24-25 广东省六校10 月联考）函数
（
）的最大值为 .
【变式3】（对选）（23-24 高一上·浙江宁波·期中）已知函数
，则下列结论正确的是（ ）
A．函数
的定义域为
B．函数
的值域为
C．
D．函数
为减函数
【变式4】（23-24 高一上·广东深圳·期末）将函数
的值域为 .
【典例7】（23-24 高一上·甘肃威武·月考）已知函数
．
(1)若
，求
的单调区间
(2)若
有最大值3，求
的值
(3)若
的值域是
，求
的值
【变式1】（2024·四川成都·二模）已知函数
的值域为
．若
，则实数
的取值
范围是（ ）
6
A．
B．
C．
D．
【变式2】（22-23 高一下·青海西宁·开学考试）若函数
的值域为
，则a 的取
值范围是 .
【变式3】（23-24 高一上·上海·期末）已知
，设
.
(1)若
，求函数
的值域；
(2)已知
，若函数
的最大值为
，求
的值；
(3)已知
，若存在两个不同的正实数
、
，使得当函数
的定义域为
时，其值域为
，求
的取值范围.
【变式4】设函数
是定义域为R 的偶函数，
是定义域为R 的奇函数，且
.
(1)求
与
的解析式；
(2)若
在
上的最小值为
，求
的值.
【变式5】设
，且
，函数
在
上的最大值为，则实数
的值为
.
题型05 指数型复合函数的奇偶性
【典例8】（23-24 高一上·新疆伊犁·期中）已知
是奇函数，则
（ ）
A．
B．
C．
D．1
【变式1】（23-24 高一上·辽宁·月考）设
且
，若函数
是
上的奇函数，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（2024·江西新余·模拟预测）函数
为偶函数，则
的值为：
（ ）.
A．
B．
C．
D．
【变式3】（24-25 高二上·湖南·阶段练习）若函数
为偶函数，则
（ ）
7
A．
B．0
C．1
D．3
【变式4】（24-25 高三上·黑龙江牡丹江·阶段练习）已知函数
为偶函数，则
=（ ）
A．2
B．1
C．0
D．
题型05 对数型复合函数的定义域
【典例9】（23-24 高二下·天津红桥·期末）函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（2024 高一上·江苏·专题练习）设全集
，
，
，则
=（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】函数
的定义域是
【变式3】（24-25 高三上·湖南邵阳·阶段练习）已知函数
的定义域是
，则函数
的定义域为 ．
【变式4】（23-24 高一·上海·课堂例题）求下列函数的定义域：
(1)
；
(2)
（常数
且
）．
题型06 对数型复合函数的单调性
【典例10】（23-24 高一上·福建龙岩·阶段练习）函数
的单调递增区间是 ．
【变式1】（23-24 高一上·江苏镇江·阶段练习）下列函数中，是偶函数且在区间
上单调递增的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（24-25 高三上·宁夏石嘴山·阶段练习）函数
的单调递增区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
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【变式3】（24-25 高三上·四川成都·开学考试）函数
的单调递增区间为 .
【典例11】（23-24 高一上·山东临沂·阶段练习）若函数
在区间
内单调
递增，则
的取值范围 .
【变式1】（24-25 高三上·山东济南·开学考试）已知函数
在
上单调递增，
则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（23-24 高三上·江苏南通·阶段练习）已知函数
在
上单调递减，
则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（24-25 高三上·湖南长沙·阶段练习）若函数
在区间
上单调递增，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4】（23-24 高一上·湖北·期末）若函数
在区间
内单调递增，
则实数m 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式5】若
（
，且
）在区间
上单调递增，则实数a 的取值范围为
．
【典例12】（23-24 高一上·湖南长沙·期末）已知函数
（
且
）的
图象过点
．
(1)求a 的值及
的定义域；
(2)求
的单调区间；
(3)若
，比较
与
的大小．
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【变式1】（23-24 高二下·宁夏银川·期末）已知函数
，若
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（23-24 高一上·安徽滁州·阶段练习）已知函数
（
，且
）的图象关于
坐标原点对称
(1)求实数
的值
(2)比较
与
的大小，并请说明理由.
【典例13】（23-24 高一下·湖北·期中）已知函数
.
(1)若
在
上单调递减，求
的取值范围;
(2)若
，解不等式
.
【变式1】（23-24 高一·上海·课堂例题）设
，若
，求实数
的取值
范围．
【变式2】（24-25 高三上·贵州六盘水·阶段练习）已知函数
.
(1)求
的定义域；
(2)求关于
的不等式
的解集.
【变式3】（24-25 高三上·辽宁·开学考试）若
，则
的取值范围是 .
【变式4】（23-24 高一上·湖南·期末）已知函数
，若
，
则实数
的取值范围为 .
【变式5】已知函数f(x)＝loga（x+1），g(x)＝loga（1﹣x），a＞0 且a≠1
(1)求函数f(x)+g(x)的定义域且判断奇偶性；
(2)求不等式f(x)≥g(x)的解集．
题型07 对数型复合函数的值域
【典例14】（23-24 高一上·浙江杭州·月考）函数
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
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【变式1】（24-25 高一上·上海·随堂练习）函数
的最小值是 ．
【变式2】（23-24 高一上·浙江杭州·期中）函数
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（23-24 高一上·广东茂名·期中）函数
的值域是 .
【变式4】（24-25 高一上·上海·课后作业）已知
，
且
，若函数
在区间
上的最大值与最小值之差为1．
(1)求
的值；
(2)若
，求函数
的最小值．
【变式5】（24-25 高一上·上海·课堂例题）设
且
，函数
的图像过点
．
(1)求
的值及函数的定义域；
(2)求函数在区间
上的最大值．
【典例15】（23-24 高一上·江苏南京·期末）已知函数
在
上的值域为
，则实
数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（23-24 高一上·山西长治·期末）已知函数
的最大值为2，则
．
【变式2】（23-24 高一上·云南昆明·期末）设函数
且
．
(1)若
，解不等式
；
(2)若
在
上的最大值与最小值之差为1，求
的值．
【变式3】（23-24 高一上·江西景德镇·期末）已知函数
，（
，且
）．
(1)当
时，求函数
的单调区间；
(2)是否存在实数
，使得函数
在区间
上取得最大值2？若存在，请求出
的值；若不存在，请
说明理由．
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题型08 对数型复合函数的奇偶性
【典例16】（23-24 高一上·广东汕头·期末）函数
（a 为常数）的奇偶性为（ ）
A．奇函数
B．偶函数
C．非奇非偶函数
D．都不是
【变式1】函数
是定义在
上的奇函数，则
．
【变式2】（2023·山西·高一校联考期中）若
为偶函数，则
.
【变式3】（23-24 高三上·福建莆田·月考）若函数
为偶函数，则
（ ）
A．-1
B．0
C．
D．1
题型09 指、对复合函数中恒成立与有解问题
【典例17】（23-24 高一下·湖南·开学考试）已知函数
.
(1)求
的定义域；
(2)若
，求
的取值范围.
【变式1】（23-24 高一上·山东青岛·阶段练习）已知函数
，若对
，均有
成立，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（22-23 高一上·江苏南通·阶段练习）函数
，
（
），对
，
使
成立（为自然对数的底数），则实数
的取值范围是
.
【变式3】（24-25 高一上·全国·随堂练习）已知函数
．
(1)求函数的定义域；
(2)若不等式
有解，求实数
的取值范围．
【变式4】（22-23 高一上·河北邢台·期末）已知函数
.
(1)求函数
的定义域；
(2)判断函数
的奇偶性；
(3)若对任意
，
，
恒成立，求实数
的取值范围.
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题型11 指、对复合函数中零点问题
【典例18】（多选）（23-24 高一下·湖南长沙·开学考试）已知函数
，若函数
有三个零点
、
、
，且
，则（ ）
A．
B．
C．函数
的增区间为
D．
的最小值为
【变式1】（24-25 高三上·山东济南·阶段练习）已知
且
，函数
，若关于
的方程
恰有3 个不相等的实数解，则实数
的取值范围是 ．
【变式3】（24-25 高三上·湖南常德·开学考试）已知函数
.
(1)若
，求不等式
的解集；
(2)若方程
有两个不同的实数根，求实数
的取值范围.
【变式4】（2024·全国·模拟预测）若关于x 的指数函数方程
(1)有实数解，求实数a 的取值范围；
(2)在区间
上有且只有一个实数解，求实数a 的取值范围．
题型12 指、对复合函数中的新定义问题
【典例19】（23-24 高一下·贵州毕节·期末）定义：二阶行列式
；三阶行列式
的某一元素
的余子式
指的是在
中划去
所在的行和列后所余下的元素按原来
的顺序组成的二阶行列式.现有三阶行列式
，若元素1 的余子式
，则
；记元素2 的余子式
为函数
，则
的单调减区间为 .
【变式1】（24-25 高三上·全国·阶段练习）定义，不超过
的最大整数称为
的整数部分，记作
，
为
的小数部分，记作
，这一规定最早为数学家高斯所用，因此
称为高斯函数，
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称为小数函数，下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数
所有零点和为0
C．
的值域为
D．
是
的充要
条件
【变式2】（23-24 高一上·重庆·期末）定义：
表示
的解集中整数的个数.若
，
，则下列说法正确的是（ ）
A．当
时，
B．当
时，不等式
的解集是
C．当
时，
D．当
时，若
，则实数
的取值范围是
一、单选题
1．（23-24 高一下·湖北咸宁·期末）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．函数
，
的值域是( )
A．
B．
C．
D．
3．函数
的单调递增区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（23-24 高一上·天津·阶段练习）函数
的值域为R．则实数m 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（24-25 高三上·浙江·开学考试）函数
在区间
上单调递增，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（23-24 高二下·浙江·期中）已知
，则使
成立的实数
的取值范围是
14
（ ）
A．
B．
C．
D．
7．当
时，不等式
恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（23-24 高一上·北京顺义·期末）悬链线指的是一种曲线，如铁塔之间悬垂的电线，横跨深涧的观光索
道的电缆等等，这些现象中都有相似的曲线形态，这些曲线在数学上被称为悬链线，悬链线的方程为
，其中c 为参数，当
时，该方程就是双曲余弦函数
，类似的我们有双曲
正弦函数
，下列说法错误的是（ ）
A．
B．函数
的值域
C．
，
恒成立
D．方程
有且只有一个实根
二、多选题
9．（23-24 高一下·江西·期末）已知函数
，则下列说法正确的是（ ）
A．函数
的定义域为
B．函数
的值域为
C．函数
是定义域上的奇函数
D．函数
是定义域上的偶函数
10．（23-24 高一上·河北保定·期末）已知函数
为奇函数，则下列叙述正确的是
（ ）
A．
B．函数
在定义域上是单调减函数
C．
D．函数
所有零点之和大于零
11．（23-24 高一上·浙江嘉兴·期末）设定义在
上的函数
满足
为奇函数，
当
时，
，若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
为偶函数
15
三、填空题
12．（23-24 高一下·广东揭阳·期末）若函数
的值域为(1,+∞)，则实数
的取值范围为
.
13．（23-24 高一上·浙江丽水·期末）若函数
在区间
上单调递增，则实数
的取值范围是 ．
14．（23-24 高一上·湖南娄底·期末）设函数
的定义域为D，若满足：①
在D 内是单调增函数；
②存在
，使得
在
上的值域为
，那么就称
是定义域为D 的“成功
函数”.若函数
（
且
）是定义域为R 的“成功函数”，则t 的取值范围是
.
四、解答题
15．（23-24 高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知
（
且
）是偶函数.
(1)求
的值；
(2)若
在
上的最大值比最小值大
，求
的值.
16．（23-24 高一下·贵州黔西·期末）已知e 是自然对数的底数，若函数
，且
是偶函数．
(1)求实数a 的值；
(2)判断函数
的单调性（不用证明），并求不等式
的解集．
17．（22-23 高一上·山东淄博·期末）已知函数
为奇函数.
(1)求数k 的值；
(2)设
，证明：函数
在
上是减函数；
(3)设函数
，判断
在
上的单调性，无需证明；若
在
上只有一个零点，
求实数m 的取值范围.
18．（23-24 高一上·天津·期末）已知函数
，函数
．
(1)求不等式
的解集；
(2)求函数
的值域；
(3)若不等式
对任意实数
恒成立，试求实数
的取值范围．
16
19．（23-24 高一上·安徽·期末）对于定义域为D 的函数
，若同时满足下列条件：①
在D 内单调
递增或单调递减，②存在区间
，使
在
上的值域为
.则我们把
称为闭函数，
且区间
称为
的一个“好区间”，其中
.
(1)若
是函数
的好区间，求实数m，n 的值；
(2)若函数
为闭函数，求实数k 的取值范围.
