1
2.1 坐标法
课程标准
学习目标
1.理解实数与数轴上的点的!一一对应关系、
2.探索并掌握平面直角坐标系中两点间的距
离公式和中点坐标公式、
3.通过对两点间距离和中点坐标公式的探索,
进一步体会坐标法在解决几何问题中的优越
性
重点:两点间的距离公式和中点坐标公式
难点:坐标法在解决几何问题中的运用
知识点01 数轴上的基本公式
如果数轴上点A（x1），B（x2），线段AB 的中点为M（x），则
(1)向量⃗AB的坐标为x2-x1;
(2)|AB|=|⃗AB|=|x2-x1|;
(3)x= x1+ x2
2
.
【即学即练1】（20-21 高一·全国·课后作业）在数轴上，已知A (3)，B (−1)，则AB = ；AB的中点
的坐标为
.
【即学即练2】（20-21 高一上·西藏昌都·期中）在平面直角坐标系中，点M 在第四象限，到x 轴､y 轴的距
离分别为6､4，则点M 的坐标为（ ）
A．(4 ,−6)
B．(−4 ,−6)
C．(6,−4)
D．(−6,−4)
2
知识点02 平面直角坐标系中的基本公式
已知A（x1，y1），B（x2，y2）是平面直角坐标系中的两点，M（x，y）是线段AB 的中点，则
(1)⃗AB=(x2-x1,y2-y1);
(2)| AB|=|⃗AB=√（x2−x1）
2+（y2−y1）
2
(3)x= x1+ x2
2
，y= y1+ y2
2
【即学即练3】（22-23 高一下·北京·期中）已知点A (1,1)，B (−1,5)，则线段AB中点C的坐标为 .
【即学即练4】（20-21 高二上·上海·课后作业）已知△ABC的顶点A(1,2)和重心G(3,4)，则BC上的中
点坐标是 ．
难点：含参问题
示例1：（23-24 高二上·全国·单元测试）已知不同的两点P(a,−b),Q(b+1,a−1)关于点(3,4)对称，则
ab＝ .
【题型1：两点间的距离公式】
例1．（21-22 高二·全国·课后作业）已知数轴上A(−2),B(10)，求这两点之间的距离以及它们的中点坐
标．
变式1．（21-22 高二·全国·课后作业）已知数轴上的点P 到A(−9)的距离是它到B(−3)的距离的2 倍，
求点P 的坐标．
变式2．（20-21 高一·全国·课后作业）已知数轴上，A(−1),B( x)，且AB =3，求x 的值.
变式3．（18-19 高一·全国·课后作业）已知数轴上四点A，B，C，D 的坐标分别是-4，-2，c，d．
（1）若⃑AC =5，求c 的值；
（2）若|⃑BD|=6，求d 的值；
3
（3）若⃑AC =−3⃑AD，求证：3⃑CD =−4⃑AC．
变式4．（18-19 高一·全国·课后作业）已知数轴上两点A，B 的坐标分别为x1，x2，根据下列条件，分别
求点A 的坐标x1．
（1）x2=−5，⃑BA的坐标为-3；
（2）x2=−1，|⃑AB|=2．
变式5．（18-19 高一·全国·课后作业）已知数轴上两点A，B 的坐标分别是-4，-1，则| AB|=
（ ）
A．-3
B．3
C．6
D．-6
变式6．（18-19 高一·全国·课后作业）已知A，B，C 三点在数轴上，且点B 的坐标为3，|⃑AB|=5，
|⃑AC |=2，则点C 的坐标为 ．
【方法技巧与总结】
对两点间距离公式的几点说明
（1）公式中，点A，B 的位置没有先后之分，即距离公式还可以写为|AB|=
√（x2−x1）
2+（y2−y1）
2
（2）坐标平面内的两点间的距离公式是数轴上两点间的距离公式的推广.
（3）若B 点为原点，则AB=|OA|=√x
2+ y
2
（4）若A，B 两点在x 轴上，或在与x 轴平行的直线上，此时AB|=|x2-x1|
(5)若A，B 两点在y 轴上，或在与y 轴平行的直线上，此时AB|=|y2-y1|
【题型2：中点坐标公式的应用】
例2.（18-19 高一·全国·课后作业）已知A，B 都是数轴上的点，A(3)，B(−2)，则3⃑OA + 4⃑OB的坐标为
A．17
B．1
C．-1
D．-17
变式1．（23-24 高二上·安徽安庆·阶段练习）如图所示，在平面直角坐标系中，以O(0,0)，A (1,1)，
B (3,0)为顶点构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是（ ）
A．(−3,1)
B．(4,1)
C．(−2,1)
D．(2,−1)
变式2．（20-21 高二·全国·课后作业）已知A (−1,2)，B (3,−4)，则线段AB 的中点坐标为( )
A．(1,−1)
B．(−2,3)
C．(2,−3)
D．(
1
2 ,−1
2)
4
变式3．（21-22 高二上·河北邢台·阶段练习）已知线段AB的端点A (3,4)及中点O(0,3)，则点B的坐标
（ ）
A．(
3
2 , 7
2)
B．(−3,2)
C．(3,2)
D．(3,10)
变式4．（20-21 高一上·北京房山·期末）已知A =(3,−2)，B =(−1,2)，则线段AB中点的坐标为
（ ）
A．(1,2)
B．(2,0)
C．( 1
2 ,2)
D．(1,0)
变式5．（21-22 高二上·河北衡水·阶段练习）已知点（0，2）是点（－2，b）与点（2，4）的对称中心，
则b= .
变式6．（20-21 高二·全国·课后作业）已知△ABC三边AB，BC，CA 的中点分别为P(3,−2)，Q (1,6)，
R (−4,2)，则顶点A 的坐标为 ．
变式7．（20-21 高一·全国·课后作业）若A(−9
2 ,−7)，B(2,6)是平行四边形ABCD的两个顶点，AC与
BD交于点E(3, 3
2)，则C，D 的坐标分别为 .
变式8 ．（23-24 高二下· 全国· 课后作业）已知▱ABCD的三个顶点坐标分别为
A(−1,−2),B(3,0),C(5,6)，求D 点坐标．
【方法技巧与总结】
中点公式的两个应用
（1）知二求一．从公式上看，只要知道公式等号两边的任意两个量，可求第三个量.
（2）从图象上看，只要知道图象上任意的两点，可求第三个点.
一、单选题
1．（22-23 高二上·江苏连云港·期中）已知点A(8,10),B(−4,4)，则线段AB 的中点坐标为（ ）
A．(2,7)
B．(4,14)
C．(2,14)
D．(4,7)
2．（2020 高三·全国·专题练习）点P(3，2)关于点Q(1，4)的对称点M为（ ）
5
A．(1，6)
B．(6，1)
C．(1，−6)
D．(−1，6)
3．（19-20 高二·全国·课后作业）已知线段AB的中点为坐标原点，且A( x ,2),B(3, y)，则x + y等于
（ ）
A．5
B．−1
C．1
D．−5
4．（18-19 高一·全国·课后作业）已知A，B 都是数轴上的点，A(3)，B(−a)，且⃑AB的坐标为4，则a=
（ ）
A．-1
B．-7
C．4
D．-4
5．（18-19 高一·全国·课后作业）已知A，B 都是数轴上的点，A(3)，B(−1)，则向量⃑AB的坐标为
A．4
B．-4
C．± 4
D．2
二、多选题
6．（20-21 高二·全国·课后作业）数轴上点P，M，N 的坐标分别为－2，8，－6，则有（ ）
A．⃑MN的坐标=⃑NM的坐标
B．|MP|=10
C．⃑PN的坐标=−4
D．⃑MP的坐标=10
7．（17-18 高二·全国·课后作业）（多选题）对于√x
2+2 x +5
，下列说法正确的是（ ）
A．可看作点(x ,0)与点(1,2)的距离
B．可看作点(x ,0)与点(−1,−2)的距离
C．可看作点(x ,0)与点(−1,2)的距离
D．可看作点(x ,−1)与点(−1,1)的距离
三、填空题
8．（23-24 高二下·全国·课后作业）直线l 经过点P(−4,6)，与x 轴、y 轴分别交于A，B 两点，当P 为AB
中点时，| AB|= .
9．（19-20 高二·全国·课后作业）已知点A(1,3)，B(3,1)，C(0,0)，则△ABC中AB边上的中线长
|CM |= ，△ABC的面积为 ．
四、解答题
10．（21-22 高二·全国·课后作业）已知A(3,1),B(−2,2)，在y 轴上的点P 满足PA ⊥PB，求P 的坐标．
6
11．（21-22 高二·全国·课后作业）在数轴上，对坐标分别为x1和x2的两点A 和B，用绝对值定义两点间的
距离，表示为d( A ,B)=|x1−x2|．
(1)在数轴上任意取三点A，B，C，证明d( A ,B)≤d( A ,C )+d(B ,C )．
(2)设A 和B 两点的坐标分别为−3和2，分别找出（1）中不等式等号成立和等号不成立时点C 的范围．
