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5.5 数学归纳法
课程标准
学习目标
（1）了解数学归纳法的原理和步骤，能用数学归
纳法证明关于正整数的数学命题；
（2）借助具体实例，进行大胆猜测和证明，理解
数学归纳法的原理和步骤；
（3）感受类比、从具体到抽象、从特殊到一般的
数学思想方法。
（1）了解数学归纳法的原理；
（2）掌握数学归纳法证明一些问题的一般方法
与步骤；
（3）能用数学归纳法证明一些数学命题。
知识点01 数学归纳法
1、数学归纳法的定义：一般地，当要证明一个命题对于不小于某个正整数
的所有正整数
都成立时，
可以用以下两个步骤：
（1）（归纳奠基）证明当
时命题成立；
（2）（归纳递推）假设当
(
，
≥
)时命题成立，证明当
命题也成立.
在完成这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于
的所有正整数
都成立，这种证明方法称为数学归纳
法。
2、数学归纳法的三个关键点
（1）验证是基础：数学归纳法的原理表明：第一个步骤是要找一个数n0，这个n0，就是我们要证明的命
题对象对应的最小自然数，这个自然数并不一定都是“1”，因此“找准起点，奠基要稳”是第一个关键点．
（2）递推是关键：数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k＋1”的过程中，要正确分析式子项数的
变化．关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由n＝k 到n＝k＋1 时，等式的两边会增加多少项，增加怎样
的项．
（3）利用假设是核心：在第二步证明n＝k＋1 成立时，一定要利用归纳假设，即必须把归纳假设“n＝k
时命题成立”作为条件来导出“n＝k＋1”，在书写f(k＋1)时，一定要把包含f(k)的式子写出来，尤其是f(k)
中的最后一项，这是数学归纳法的核心．不用归纳假设的证明就不是数学归纳法．
【即学即练1】（2023·新疆伊犁·高二校考期末）利用数学归纳法证明
时，
第一步应证明（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意
，
，
即从起连续
项正整数之和.
则
为从起连续3 个正整数之和，
故第一步应证明
.故选：B.
知识点02 “归纳——猜想——证明”的一般环节
（1）计算：根据条件，准确计算出前若干项，这是归纳、猜想的前题；
（2）归纳、猜想：通过观察、分析、比较、综合、联想，猜想出一般的结论；
（3）证明：对一般结论利用数学归纳法进行证明.
【即学即练2】（2023·江苏盐城·高二江苏省响水中学校考期中）若正项数列
中，
，
，则
的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
,
在正项数列
中, 当
时,
, 解得
,
当
时,
, 解得
,
猜想
,
证明: 当
时, 显然成立;
假设
时,
，则当
时,
.
故
时, 结论也成立.
故
,
故选: C.
【题型一：对数学归纳法的理解】
例1．（2023·高二课时练习）用数学归纳法证明
，第一步应验证 （ ）
A．当
时，不等式成立 B．当
时，不等式成立
C．当
时，不等式成立 D．当
时，不等式成立
【答案】C
【解析】由题意知
的最小值为，所以第一步应验证当
时，不等式成立，故选：C.
变式1-1．（2023·新疆塔城·高二塔城市第三中学校考阶段练习）（多选）已知
为正偶数，用数学归纳法
证明
时，若已假设
（
，且
为偶数）时等式成
立，则还需利用假设再证（ ）
A．
时不等式成立 B．
时不等式成立
C．
时不等式成立 D．
时不等式成立
【答案】B
【解析】若已假设
（
，k 为偶数）时命题为真，
因为n 只能取偶数，所以还需要证明
成立．故选：B．
变式1-2．（2023·高二校考课时练习）如果命题
对
成立，那么它对
也成立.设
对
成立，则下列结论正确的是（ ）
A．
对所有的正整数
成立； B．
对所有的正奇数
成立；
C．
对所有的正偶数
成立； D．
对所有大于1 的正整数
成立.
【答案】C
【解析】由于若命题
对
成立，则它对
也成立． 又已知命题
成立，
可推出
均成立，
即
对所有正偶数
都成立，故选：C．
变式1-3．（2023·高二课时练习）（多选）设
是定义在正整数集上的函数，且
满足：“当
成立时，总可推出
成立”，那么下列命题不成立的是（ ）
A．若
成立，则当
时，均有
成立
B．若
成立，则当
时，均有
成立
C．若
成立，则当
时，均有
成立
D．若
成立，则当
时，均有
成立
【答案】ABC
【解析】对于A，若
成立，由题意只可得出当
时，均有
成立，故A 错误；
对于B，若
成立，则当
时均有
成立，故B 错误；
对于C：因为
不满足题设条件，故不能得出相应结论，故C 错误；
对于D：若
成立，则当
时，均有
成立，故D 正确；故选：ABC.
【方法技巧与总结】
1、验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定为1；
2、递推是关键：正确分析由
到
时式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障。
【题型二：数学归纳法处理增项问题】
例2．（2024·浙江杭州·高二浙江省杭州第二中学校考期末）用数学归纳法证明：
（
）的过程中，从
到
时，
比
共增加了（
）
A．1 项 B．
项 C．
项 D．
项
【答案】D
【解析】因为
，
所以
，共
项，
则
共
项，
所以
比
共增加了
项，故选：D
变式2-1．（2022·河南南阳·高二校联考专题练习）用数学归纳法证明：
时，从
到
，等式的左边
需要增乘的代数式是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】从
到
，等式的左边需要增乘的代数式是
.故选：D.
变式2-2．（2023·上海·高二期末）用数学归纳法证“
（
）”的过程中，当
到
时，左边所增加的项为 ．
【答案】
【解析】当
时，等式为
，
当
时，等式为
，
因此，从“
”变到“
”时，
左边应增加的项是
.
变式2-3．（2023·陕西渭南·高二校考期中）设
，那么
等
于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意可得
,
所以
，故选：D
【方法技巧与总结】
用数学归纳法研究添项问题关键在于弄清表达式的构成规律，从而确定
到
增加多少项，增
加怎样的项。
【题型三：用数学归纳法证明恒等式】
例3．（2024·上海·高二上海中学校考期末）用数学归纳法证明：对于任意正整数
都有：
.
【答案】证明见解析
【解析】当
时，
，结论成立；
假设①当
时，
，
②则当
时，
，结论成立；
综合由①②知，对于任意正整数
都有：
.
变式3-1．（2023·高二校考课时练习）用数学归纳法证明：
．
【答案】见解析
【解析】当
时，左边
，右边
；
假设当
时等式成立，即有
，
当
时，
，
则当
时等式也成立，根据数学归纳法，可知等式对于任意
都成立.
变式3-2．（2023·全国·高二随堂练习）用数学归纳法证明：
．
【答案】证明见解析
【解析】当
时，等式左边
，等式中间
，
等式右边
，即等式左边=等式中间=等式右边，等式成立；
假设
时等式成立，
即有
成立，
我们分两步来证明当
时，等式成立，
即分别证明此时等式左边=等式中间，等式中间=等式右边即可，
第一步：由假设
可知，当
时，
有
成立，
即当
时，等式左边=等式中间成立；
第二步：由假设
，所以此时有
成立，
从而可知，当
时，有
成立，
即当
时，等式中间=等式右边成立；
结合以上两步有：若当
时等式成立，则当
时等式成立；
综上所述：由数学归纳法可得
.
变式3-3．（2023·高二课时练习）用数学归纳法证明：
（1）
；
（2）
．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】（1）当
时，
成立；
假设当
时
成立，
则
，
即
成立，
故当
时也成立.
综上有
（2）当
时，
成立；
假设当
时
成立，
则
，
故当
时也成立.
故
【方法技巧与总结】
用数学归纳法证明恒等式时，应关注以下三点：
（1）弄清
取第一个值
时等式两段项的情况；
（2）弄清从
到
等式两端增加了哪些项，减少了哪些项；
（3）证明
时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并朝
证明目标的表达
形式变形。
【题型四：用数学归纳法证明不等式】
例4．（2023·全国·高二随堂练习）设
，
，且
，用数学归纳法证明：
．
【答案】证明见解析
【解析】当
时，左边
，右边
，
因为
，所以
，故左边
右边，原不等式成立；
假设当
时，不等式成立，即
，
则当
时，
，
，
在不等式
两边同乘以
得
，
所以
．即当
时，不等式也成立．
综上，对一切正整数
，不等式都成立．
变式4-1．（2023·全国·高二随堂练习）用数学归纳法证明：
．
【答案】证明见解析.
【解析】当
，则
成立，
若
且
时，
成立，
令
，则
，
所以
时不等式也成立，
综上，
恒成立.
变式4-2．（2023·全国·高三专题练习）证明∶不等式
成立.
【答案】证明见解析
【解析】①当
时，左边
右边，∴不等式成立.
②假设当
时不等式成立，即
.
③当
时，
左边
，
∴当
时，不等式也成立.
综上可得，原不等式恒成立.
变式4-3．（2023·全国·高三专题练习）数列
满足：
，
，求证：
．
【答案】证明见解析
【解析】先用数学归纳法证明加强命题：对一切正整数n，有
，
1°当
时，
显然成立．
2°假设
时，有
，则当
时，
一方面，由基本不等式，有
．
等号当且仅当
时取得，因为
，所以
．
另一方面，
，
当
时，
也成立，
因此，
．
【方法技巧与总结】
数学归纳法证明不等式的四个关键：
（1）验证第一个
的值时，要注意
不一定为1，若
（
为正整数），则
；
（2）证明不等式的第二步中，从
到
的推到过程中，一定要用到归纳假设，不应用归纳假设
的证明不是数学归纳法；
（3）用数学归纳法证明与
有关的不等式一般有两种具体形式：一时直接给出不等式，按要求进行证明；
二是给出两个式子，按要求比较它们的大小，对第二类形式往往要先对
取前
个值的情况分别验证比较，
以免出现判断失误，最后猜出从某个
值开始都成立的结论，常用数学归纳法证明；
（4）用数学归纳法证明不等式的关键是由
时成立得
时成立，主要方法有比较法、分析法、
综合法、放缩法等。
【题型五：用数学归纳法解决整除问题】
例5．（2023·辽宁·高二辽宁实验中学校考期中）用数学归纳法证明“当
为正奇数时，
能被
整除”的第二步是：设
，则假设
＝ 时正确，再推
＝ 时正确．
【答案】
【解析】因为用数学归纳法证明：当
为正奇数时，
能被
整除，
第一步，当
时，
能被
整除；
第二步，假设
，
时，命题正确，再证明
，
时，命题正确．
故答案为：
，
变式5-1．（2023·全国·高二随堂练习）用数学归纳法证明：
能被
整除（
）
【答案】答案见解析
【解析】当
时，
，故
能被
整除，
假设当
时，结论成立，即
能被
整除，
则当
时，
，
由于
和
均能被
整除，
故
能被
整除，
综上：
能被
整除（
）.
变式5-2．（2023·全国·高三专题练习）求证：对任何正整数n，数
都能被8 整除
【答案】证明见解析
【解析】证明:1°当n=1 时，
，命题成立．
2°假设n=k 时，
能被8 整除，
则当n=k+1 时，
,
因为
是8 的倍数，而
也是8 的倍数，所以Ak+1也是8 的倍数，
即n=k+1 时，命题也成立
由以上1°、2°可知，对一切正整数n，
能被8 整除．
变式5-3．（2022·高二课时练习）用数学归纳法证明：
可以被7 整除.
【答案】证明见解析．
【解析】证明：（1）
时，
，能被7 整除，
（2）假设
时，命题成立，即
能被7 整除，
设
（
是正整数），
则
时，
，
是正整数，所以
能被7 整除，
所以
时，命题成立，
综上，原命题成立，
（
是正整数）可以被7 整除．
【方法技巧与总结】
利用数学归纳法证明整除时，关键是整理出除数因式与商数因式积的形式，这就往往要涉及到“添项”
“减项”与“因式分解”等变形技巧，凑出
时的情形，从而利用归纳法假设使问题得证。
【题型六：与数列有关的归纳-猜想-证明问题】
例6．（2022·宁夏银川·高二校考阶段练习）已知数列
满足
（1）求出
项，并由此猜想
的通项公式
（2）用数学归纳法证明
的通项公式
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】（1）依题意
，
所以
，
由此猜想
.
（2）当
时，
，成立.
假设当
时成立，即
成立.
则当
时，
，成立.
综上所述，
对任意正整数
都成立.
变式6-1．（2023·高二课时练习）已知函数
，设
，且任意的
，有
.
（1）求
的值；
（2）试猜想
的解析式，并用数学归纳法给出证明.
【答案】（1）
；（2）
，证明见解析
【解析】（1）由
，任意的
，有
，
得
，
，
，
所以
.
（2）由（1）猜想：
.
用数学归纳法证明如下：
①当
时，
，猜想正确；
②假设当
时，猜想正确，即
，
则当
时，
，因此当
时，猜想正确，
由①②知，对任意的
，都有
.
变式6-2．（2023·上海·高二七宝中学校考阶段练习）已知数列
满足
，
，
是其前n
项和.
（1）计算
，
，并猜想
的通项公式，用数学归纳法证明；
（2）记
，求
.
【答案】（1）
，
，猜想
，证明见解析；（2）
【解析】（1）
，
，猜想
当
时，
，满足猜想，
假设当
时，猜想成立，即
，则当
时，
，所以当
时猜想也成立，
综上，猜想成立，即
.
（2）
，
，
，
.
变式6-3．（2023·北京房山·高二统考期末）已知数列
的通项公式为
，记该数列的前n
项和为
．
（1）计算
，
，
，
的值；
（2）根据计算结果，猜想
的表达式，并进行证明．
【答案】（1）
，
，
，
；（2）
，证明见解析.
【解析】（1）因为
，
所以
，
，
，
.
（2）猜想
，
下面用数学归纳法进行证明：
当
时，
，猜想正确，
假设当
时，猜想也正确，则有
，
当
时，
，
所以
时，猜想也正确，
综上所述，
.
【方法技巧与总结】
归纳-猜想-证明的一般环节：
计算：根据条件爱你，准确计算出前若干项，这是归纳、猜想的基础；
归纳-猜想：通过观察、分析、比较、综合、联想，猜想出一般的结论；
证明：对一般结论用数学归纳法进行证明。
一、单选题
1．（2023·陕西西安·高二期中）用数学归纳法证明“
”时，第二步应假设（ ）
A．当
时，
成立 B．当
时，
成立
C．当
时，
成立 D．当
时，
成立
【答案】C
【解析】根据题意，证明的结论为“
”，
所以第二步的假设应写出：假设
时命题成立，即
成立.故选：C.
2．（2023·高二课时练习）用数学归纳法证明
（
），在验证
成
立时，左边计算所得的项是（ ）
A．1 B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，
当
时，左边
，故C 正确.故选：C.
3．（2023·高二课时练习）用数学归纳法证明，“当
为正奇数时，
能被
整除”时，第二步归
纳假设应写成（ ）
A．假设
时正确，再推证
正确
B．假设
时正确，再推证
正确
C．假设
时正确，再推证
正确
D．假设
时正确，再推证
正确
【答案】B
【解析】因为命题为“当
为正奇数时，
能被
整除”，
所以第二步归纳假设应写成：假设
时正确，再推证
正确.故选：B.
4．（2023·北京房山·高二统考期末）用数学归纳法证明
，
从
到
，左边需要增加的因式是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】当
时，左边
，
当
时，左边
，
所以左边应添加因式为
，故选：B.
5．（2023·全国·高三对口高考）已知
，证明不等式
时，
比
多的项数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，
，
所以
，
所以
比
多的项数是
.故选：B.
6．（2023·黑龙江哈尔滨·高二哈九中校考期中）用数学归纳法证明不等式
的过程中，由
递推到
时不等式左边（ ）
A．增加了
B．增加了
C．增加了
，但减少了
D．增加了
，但减少了
【答案】C
【解析】当
时，
，
当
时，
，
故增加了
，但减少了
.故选：
.
7．（2023·北京·高二北京八中校考期中）在用数学归纳法证明
的过程中，从“
到
”左边需增乘的代数式为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】当
时，左边
，
当
时，左边
，
则
.故选：D.
8．（2023·广东佛山·高二石门中学校考阶段练习）用数学归纳法证明“
，
”，则当
时，左端应在
的基础上加上（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】当
时，等式左端为
，
当
时，等式左端为
，
两式比较可知，增加的项为
．故选：B．
二、多选题
9．（2022·辽宁大连·高二大连八中校考阶段练习）用数学归纳法证明不等式
的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．使不等式成立的第一个自然数
B．使不等式成立的第一个自然数
C．
推导
时，不等式的左边增加的式子是
D．
推导
时，不等式的左边增加的式子是
【答案】BC
【解析】当
时，可得
；当
时，可得
；
即使不等式成立的第一个自然数
，故A 错误，B 正确；
当
时，可得
；
当
时，可得
；
两式相减得：
，
所以
推导
时，不等式的左边增加的式子是
，故C 正确，D 错误；
故选：BC.
10．（2024·广东佛山·高二统考期末）已知
为数列
的前
项和，且
，则（
）
A．存在
，使得
B．
可能是常数列
C．
可能是递增数列 D．
可能是递减数列
【答案】ABD
【解析】因为
为数列
的前
项和，且
，
对于A 选项，取
，则
，则
，A 对；
对于B 选项，取
，则
，
，
，
以此类推可知，对任意的
，
，所以，
可能是常数列，B 对；
对于C 选项，假设数列
为递增数列，则对任意的
，
，
即
，所以，
对任意的
恒成立，
但当
时，
，矛盾，故数列
不可能是递增数列，C 错；
对于D 选项，取
，则
，
，
，
猜想，
，
当
时，猜想成立，
假设当
时，猜想成立，即
，
则当
时，
，
这说明当
时，猜想也成立，故对任意的
，
，
此时，数列
为单调递减数列，D 对.故选：ABD.
三、填空题
11．（2024·上海宝山·高二校考期末）用数学归纳法推断
时，正整数n 的第一个取值应为
．
【答案】
【解析】
根据数学归纳法的步骤，首先要验证当
取第一个值时命题成立；
结合本题现将
看成函数
上的点，将
看成
上的点，
两函数图像有两个交点，即
，解得
或
，根据两函数图像分析，
时，
恒成立，所以正整数n 的第一个取值应为.
12．（2023·上海浦东新·高一华师大二附中校考期末）用数学归纳法证明
时，第一步应验证不等式为 ．
【答案】
【解析】由不等式
，
当
时，可得
，
所以用数学归纳法证明
时，
第一步应验证不等式为
.
13．（2023·安徽淮北·高二淮北师范大学附属实验中学校考阶段练习）用数学归纳法证明“已知n 为正奇
数，求证：
能被
整除”时，第二步假设当
时命题为真后，需证
时命
题也为真．
【答案】
【解析】
为正奇数，第二步假设第
项成立，
第三步证明相邻正奇数第
项成立.
14．（2023·上海宝山·高二校考期中）用数学归纳法证明
时，从 “
到
”左边需要增加的代数式是
【答案】
【解析】把
和
代入等式左边分别可得：
①
②
两式作差得
.
四、解答题
15．（2023·全国·高二随堂练习）证明：凸n 边形的对角线的条数
．
【答案】证明见解析
【解析】证明：①当
时，
，四边形有两条对角线，命题成立；
②假设当
，
时，命题成立，即凸
边形的对角线的条数
，
当
时，凸
边形是在
边形的基础上增加了一边，增加了一个顶点
，
增加的对角线条数是顶点
与不相邻顶点连线再加上原
边形的一边
，
增加的对角线条数为
，
.
故
时，命题也成立. 由①、②可知，对任意
，
命题成立.
16．（2022·高二课时练习）当
时，求证：
.
【答案】证明见解析
【解析】（1）当
时，左边
，右边
，左边
右边.
（2）假设当
时不等式成立，即
，
则当
时，左边
，
即当
时，不等式也成立.
综上可知，对一切
，且
，不等式都成立.
17．（2023·高二课时练习）用数学归纳法证明：
（1）
；
（2）
．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】（1）证明：记
，
当
时，则有
，等式成立，
假设当
，等式成立，即
，
则
，
这说明当
时，等式成立，
故对任意的
，
.
（2）证明：设
，
当
时，
，等式成立，
假设当
时，等式成立，
即
，
所以，
，
这说明当
时，等式成立，
所以，对任意的
，
.
18．（2023·全国·高二随堂练习）设
，用数学归纳法证明：
是64 的倍数．
【答案】证明见解析
【解析】（1）当
时，
能被64 整除，命题成立．
（2）假设当
时，
能够被64 整除．
当
时，
能够被64 整除，
能够被64 整除．
即当
时，命题也成立．
由（1）（2）可知，
能被64 整除，即
是64 的倍
数．
19．（2023·全国·高三专题练习）求证对任何正整数n，方程
都有整数解．
【答案】证明见解析
【解析】依题意，
1°：当n= 1 时，任取正整数x，y，方程
均有正整数解．
当n= 2 时，x=3，y=4，z=5 是方程
的一个正整数解．
2°：设当n=k 方程
的一个正整数解为
．
则
，
则有
，
即n=k+ 2 时，
也有正整数解．
20．（2021 下·浙江嘉兴·高二校联考期中）设数列
满足
，
，
（1）求
，
的值，并猜想数列
的通项公式；
（2）利用数学归纳法证明上述猜想．
【答案】（1），；
；（2）证明见解析
【解析】（1）因为数列
满足
，
，
，
所以当
时，
，
当
时，
．
由此猜想数列
的通项公式为
．
（2）证明：用数学归纳法证明如下：
①当
时，
，成立；
②假设当
时，成立，即
，
则当
时，
，成立，
由①②，得：
．
