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2.2.1 直线的倾斜角与斜率
课程标准
学习目标
1.了解直线方程的概念
2.正确理解直线倾斜角和斜率概念:理解每条直线的倾斜角是唯一的，但
不是每条直线都存在斜率
3.理解公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式
4.通过直线倾斜角概念的引入和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生
观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力
5.通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合
思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和
求简的数学精神
1.重点:直线的倾斜角和
斜率概念
2.难点: 斜率概念的理
解，直线倾斜角与斜率
变化关系探究。
知识点01 直线的倾斜角
1.定义：平面直角坐标系中，对于一条与
轴相交的直线，如果把
轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直
线重合时所转的最小正角记为α，则α叫做直线的倾斜角.
2.规定：当直线和
轴平行或重合时，直线倾斜角为
，
2
3.范围：[0,π)
4.图形：
【即学即练1】（23-24 高一下·北京顺义·阶段练习）若直线l 过两点(0,0)和(1,−√3)，则直线l 的倾斜角为
（ ）
A．π
3
B．2
3 π
C．5
6 π
D．π
6
【答案】B
【分析】不与x轴垂直的直线斜率k与倾斜角θ的关系k = tanθ,根据正切值求θ即可.
【详解】该直线不与x轴垂直，设倾斜角为θ，
斜率k = tanθ =−√3,θ = 2
3 π.
故选：B
【即学即练2】（23-24 高二上·湖北武汉·期末）若直线l的斜率为k，且k
2=3，则直线l的倾斜角为
（ ）
A．30°或150°
B．60°或120°
C．45°或135°
D．90°或180°
【答案】B
【分析】根据直线的倾斜角与斜率之间的关系求解即可.
【详解】设直线l的倾斜角为α，则0°≤α <180°
因为k
2=3，所以k =±√3，
当k =√3时，即tan α =√3，则α =60°；
3
当k =−√3时，即tan α =−√3，则α =120°，
所以直线l的倾斜角为60°或120°.
故选：B.
知识点02 直线的斜率
1.定义：一般的，如果直线l 的倾斜角为α，则当α ≠90°时，称k=tanα为直线l 的斜率；当α =90°时，称
直线l 的斜率不存在.
2.公式：已知点A( x1, y1)、B( x2, y2)，是直线l 上两个不同的点，则当x1≠x2时，直线l 的斜率为
k = y2−y1
x2−x1
，当x1= x2时，直线l 的斜率不存在.
【即学即练3】（23-24 高二下·湖南邵阳·期末）已知直线l的倾斜角为π
4 ，则直线l的斜率为（ ）
A．√3
3
B．−1
C．1
D．√3
【答案】C
【分析】利用直线的斜率和直线倾斜角的关系进行求解即可.
【详解】由直线l的倾斜角为π
4 ，
则直线l的斜率k = tanπ
4 =1，
故选：C.
【即学即练4】（23-24 高二上·河北石家庄·期中）过两点(1,2)和(−2,1)的直线的斜率为（ ）
A．3
B．−3
C．1
3
D．−1
3
【答案】C
【分析】根据斜率公式计算得解.
4
【详解】由斜率公式可知k =
2−1
1−(−2) = 1
3，
故选：C
知识点03 直线的方向向量
1.定义：一般地，如果表示非零向量a 的有向线段所在的直线与直线l 平行或重合 ，则称向量a 为直线l 的
一个方向向量，记作a//l
2.性质：①如果a 为直线l 的一个方向向量，那么对于任意的实数λ≠0，向量λa 都是l 的一个方向向量，而
且直线l 的任意两个方向向量一定共线.
②如果A（x1，y1），B（x2，y2）是直线l 上两个不同的点，则⃗AB=(x2-x1,y2-y1)是直线l 的一个方向向量.
③若α为直线l 的倾斜角，则（cosα，sinα）一定是直线l 的一个方向向量.
④如果已知a=（u,v）为直线l 的一个方向向量，则当u=0 时，直线l 的斜率不存在，倾斜角为90°；当u
≠0 时，直线l 的斜率是存在的，直线l 的斜率k=v
u ,即tanα=v
u.
【即学即练5】（23-24 高二上·湖北黄石·期末）已知(−3,√3)是直线l的一个方向向量，则直线l的倾斜角
为（ ）
A．π
6
B．π
3
C．2π
3
D．5 π
6
【答案】D
【分析】由直线l的方向向量可知直线l的斜率，进而可得倾斜角.
【详解】设直线l的倾斜角为α ∈[0,π )，
由直线l的方向向量可知直线l的斜率k = tan α =−√3
3 ，所以α = 5 π
6 .
故选：D.
【即学即练6】（23-24 高二下·全国·课堂例题）已知直线l 通过点A(0,1)与B(1,1−√3)，则直线l 的一个
方向向量为 .
【答案】(1,−√3)（答案不唯一）
【分析】求出⃗AB =(1,−√3)，得到答案.
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【详解】由已知可得⃗AB =(1,1−√3)−(0,1)=(1,−√3)，是直线l 的一个方向向量．
故答案为：(1,−√3)（答案不唯一）
知识点04 直线的法向量
一般的，如果表示非零向量的v 的有向线段所在的直线与直线l 垂直，则称向量v 为直线l 的一个法向量，
记作v⊥l，一条直线的方向向量与法向量互相垂直.
【即学即练7】（23-24 高二上·上海奉贤·期末）直线3 x−y +1=0的法向量可以为（ ）
A．⃗n=(3,1)
B．⃗n=(1,3)
C．⃗n=(−1,3)
D．⃗n=(3,−1)
【答案】D
【分析】根据直线法向量与方向向量的关系，结合直线的点斜率式方程进行求解即可.
【详解】由3 x−y +1=0，可得y =3 x +1，所以直线的斜率k =3,
所以直线3 x−y +1=0的方向向量为⃗m=(1,3)，
当⃗n=(3,1)时，有⃗n·⃗m=1×3+3×1=6≠0，所以，⃗n=(3,1)不是直线的法向量，故A 不正确；
当⃗n=(1,3)时，有⃗n·⃗m=1×3+1×3≠0，所以，⃗n=(1,3)不是直线的法向量，故B 不正确；
当⃗n=(−1,3)时，有⃗n·⃗m=1×(−1)+3×3≠0，所以，⃗n=(3,−1)不是直线的法向量，故C 不正确；
当⃗n=(3,−1)时，有⃗n·⃗m=1×3+3×(−1)=0，所以，⃗n=(3,−1)是直线的法向量，故D 正确.
故选：D.
【即学即练8】（23-24 高二下·全国·课堂例题）若(1,√3)是直线l的一个法向量，则直线l的斜率为
，倾斜角的大小为 ．
【答案】 −√3
3 5 π
6
【分析】由直线的法向量得到直线斜率，进而得到倾斜角.
【详解】由题意知，向量(1,√3)是直线l的一个法向量，可得斜率为k =−√3
3 ，
设直线l的倾斜角为α(0≤α <π )，可得tan α =−√3
3 ，可得α = 5 π
6
6
则直线l的倾斜角的大小为5 π
6 .
故答案为：−√3
3 ；5 π
6 .
难点：动点问题
示例1：（23-24 高二下·全国·课后作业）已知实数x，y 满足y = 1
5 x−3
5，且−2≤x ≤3，则y −2
x +1 的取值范
围（ ）
A．(−∞,−1
2]∪[3,+ ∞)
B．[−1
2 ,3]
C．(−∞,−1]∪[3,+∞)D．[−1,3]
【答案】A
【分析】作出对应图象，利用斜率与倾斜角的关系，找出其边界情况即可求解.
【详解】由于点(x , y)满足关系式y = 1
5 x−3
5，且−2≤x ≤3，
可知M (x, y)在线段AB上移动，且A(−2,−1),B(3,0)
设Q (−1,2)，则kQA = 2−(−1)
−1−(−2) =3，kQB= 2−0
−1−3 =−1
2
因为点M (x, y)在线段AB上，所以y −2
x +1 的取值范围是(−∞,−1
2]∪[3,+ ∞)，
故选：A.
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【题型1：直线的倾斜角】
例1．（21-22 高二下·安徽芜湖·阶段练习）直线x = tan π
6 的倾斜角是（ ）
A．0
B．π
6
C．π
3
D．π
2
【答案】D
【分析】根据倾斜角的定义判断.
【详解】直线x = tanπ
6 与x轴垂直，所以倾斜角为π
2 .
故选：D.
变式1．（23-24 高二下·宁夏吴忠·开学考试）若直线经过A (1,0)、B(2,√3)两点，则直线AB的倾斜角为
（ ）
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°
【答案】B
【分析】求出直线的斜率，根据斜率的定义，即可求得直线的倾斜角.
【详解】直线经过A (1,0)、B(2,√3)两点，则其斜率为√3−0
2−1 =√3，
设直线倾斜角为θ，则tanθ =√3，
由于直线AB的倾斜角范围为大于等于0°小于180°，
故该直线的倾斜角为θ =60°，
故选：B
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变式2．（23-24 高二上·陕西西安·阶段练习）图中α能表示直线l的倾斜角的是（ ）
A．①④
B．①②
C．①③
D．②④
【答案】C
【分析】根据直线的倾斜角的定义判断即可.
【详解】根据倾斜角的定义可知图①中的α为直线l的倾斜角，
图③中的α的对顶角为直线l的倾斜角，
图②中的α的补角为直线l的倾斜角，
图④中的α +90°为直线l的倾斜角.
故符合题意的只有①③.
故选：C
变式3．（2023 高二上·江苏·专题练习）已知直线l 的倾斜角为α，则与l 关于x 轴对称的直线的倾斜角为
（ ）
A．α
B．90°−α
C．180°−α
D．90°+α
【答案】C
【分析】根据倾斜角的定义结合图形可得答案.
【详解】根据倾斜角的定义，并结合图形知，所求直线的倾斜角为180°−α.
故选：C.
变式4．（多选）（24-25 高二上·全国·课堂例题）设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原
点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角可能为（ ）
A．α + 45°
B．α −135°
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C．135°−α
D．α −45°
【答案】AB
【分析】分类讨论，结合倾斜角概念可解.
【详解】根据题意，画出图形，如图所示．
通过图象可知，
当0°≤α <135°时，l1的倾斜角为α + 45°；
当135°≤α <180°时，l1的倾斜角为45°+α −180° =α −135°．
故选：AB
变式5．（多选）（23-24 高二下·黑龙江大庆·开学考试）在平面直角坐标系中，下列说法不正确的是（
）
A．任意一条直线都有倾斜角和斜率
B．直线的倾斜角越大，则该直线的斜率越大
C．若一条直线的倾斜角为α，则该直线的斜率为tan α
D．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是0°或90°
【答案】ABC
【分析】由题意利用直线的倾斜角和斜率的定义，逐一判断即可.
【详解】对于A，当直线的倾斜角为90°时，直线没有斜率，故A 错误；
对于B，当直线的倾斜角为45°时，斜率为1，
当直线的倾斜角为135°时，斜率为−1，故B 错误；
对于C，若一条直线的倾斜角为α =90°，则该直线的斜率不存在，故C 错误；
对于D，当直线与x轴垂直时，直线的倾斜角是90°，
当直线与y轴垂直时，直线的倾斜角是0°，
即与坐标轴垂直的直线的倾斜角是0°或90°，故D 正确.
故选：ABC.
变式6．（多选）（23-24 高二上·河南信阳·阶段练习）下列说法中正确的是（ ）
A．若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大
B．若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tan α
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C．若A (1,−3)，B (1,3)，则直线AB的倾斜角为90°
D．若直线过点(1,2)，且它的倾斜角为45°，则这条直线必过点(3,4)
【答案】CD
【分析】根据倾斜角与斜率关系，点斜式及斜截式判断各项正误即可.
【详解】A：倾斜角为锐角，斜率为正；倾斜角为钝角时，斜率为负，错；
B：直线的倾斜角α为π
2 时，直线的斜率不存在，错；
C：由题设A (1,−3)，B (1,3)知两点横坐标相同，直线方程为x =1，直线AB的倾斜角为90°，对；
D：过(1,2)，(3,4)两点的斜率为：k = 4−2
3−1 =1= tan 45
°，对.
故选：CD.
变式7．（24-25 高二上·上海·课后作业）若θ∈(−π
2 ,π
2 ]，则经过两点P(0,0)，Q (sinθ ,cosθ)的直线
的倾斜角为 ．
【答案】π
2 −θ
【分析】根据两点求出斜率，再结合斜率和倾斜角的关系可解.
【详解】因为P(0,0),Q (sinθ ,cosθ)，
所以k PQ=cosθ
sinθ =
1
tanθ ,
又因为tan(
π
2 −θ)=
sin(
π
2 −θ)
cos(
π
2 −θ)
=cosθ
sinθ ，
且π
2 −θ∈[0,π )，
所以直线的倾斜角为π
2 −θ.
故答案为：π
2 −θ.
【方法技巧与总结】
求直线倾斜角的方法及关注点
（1）定义法：根据题意画出图形，结合倾斜角的定义找倾斜角.
（2）关注点：结合图形求角时，应注意平面几何知识的应用，如三角形内角和定理及其有关推论.
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【题型2：直线的斜率】
例2．（23-24 高二上·江西·期末）已知直线l 的倾斜角为1rad，则l 的斜率为（ ）
A．1
B．45
C．tan1
D．tan1°
【答案】C
【分析】根据斜率的定义，即可求得答案.
【详解】由题意知直线l 的倾斜角为1rad，
则l 的斜率为tan1，
故选：C
变式1．（23-24 高二上·湖北十堰·期中）直线y +3=0的斜率为（ ）
A．不存在
B．−3
C．1
3
D．0
【答案】D
【分析】根据题意，得到直线y +3=0表示与x轴平行的直线，即可求解.
【详解】由直线y +3=0，表示与x轴平行的直线，所以直线y +3=0的斜率为0.
故选：D.
变式2．（23-24 高二上·河南郑州·期中）已知直线l经过(1,0)，(1,√3)两点，直线l的倾斜角是直线m的倾
斜角的两倍，则直线m的斜率是（ ）
A．0
B．1
C．-2
D．不存在
【答案】B
【分析】由l 经过(1,0),(1,√3)两点可得直线l 的倾斜角，则直线m 的倾斜角可求，再根据倾斜角与斜率的
关系可得斜率的值.
【详解】由l 经过(1,0),(1,√3)可得直线l 的倾斜角为90
°，所以直线m 的倾斜角为45
°，
又因为tan 45
°=1，所以直线m 的斜率为1，
故选：B.
变式3．（23-24 高二上·四川遂宁·阶段练习）过点A (1,2)和点B(1,−2)的直线的倾斜角和斜率分别是 （
）
A．45
∘，1
B．90
∘，不存在
C．135
❑
∘，−1
D．0
°，0
【答案】B
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【分析】结合点的位置，由直线的倾斜角和斜率的概念可得.
【详解】已知A (1,2)和点B(1,−2)，由两点横坐标相等，
可知直线的倾斜角为90
∘，斜率不存在.
故选：B.
变式4．（23-24 高二上·广东茂名·期中）若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，写出该正方形的一条
边所在直线的斜率为 ．
【答案】−3、1
3（写一个即可）
【分析】设正方形的一条边所在直线的倾斜角为α，设正方形一条对角线所在直线斜率为2的直线的倾斜角
为β，可得出|α −β|=π
4 ，分α = β +π
4 、α = β −π
4 两种情况讨论，利用两角和或差的正切公式可求出该
正方形的一条边所在直线的斜率.
【详解】设正方形的一条边所在直线的倾斜角为α，
设正方形一条对角线所在直线斜率为2的直线的倾斜角为β，
则tan β =2>1= tanπ
4 ，所以，π
4 < β <π
2 ，
由题意可知，正方形的一条边所在直线与这条对角线所在直线的夹角为π
4 ，则|α −β|=π
4 ，
当α −β =π
4 时，α = β +π
4 ，则tan α = tan(β +π
4 )=
tan β + tanπ
4
1−tan β tanπ
4
= 2+1
1−2 =−3，
当α −β =−π
4 时，α = β −π
4 ，则tan α = tan(β −π
4 )=
tan β −tanπ
4
1+ tan β tanπ
4
= 2−1
1+2 = 1
3，
所以，该正方形的一条边所在直线的斜率为−3或1
3.
故答案为：−3、1
3（写一个即可）.
变式5．（23-24 高二上·福建泉州·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l 上的一点向右平移1 个
单位长度，再向下平移3 个单位长度后，仍在该直线l 上，则直线l 的斜率为 ．
【答案】−3
【分析】根据直线l的移动方式求得直线l的斜率.
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【详解】依题意，直线l 上的一点向右平移1 个单位长度，再向下平移3 个单位长度后，
仍在该直线l 上，如下图所示，
所以直线l的斜率为−3
1 =−3.
故答案为：−3
变式6．（23-24 高二上·上海虹口·阶段练习）直线l 的倾斜角α满足sin α = 12
13，则直线l 斜率为 .
【答案】± 12
5
【分析】根据斜率的定义结合同角三角关系运算求解.
【详解】因为α ∈[0,π )，且sin α = 12
13，则cosα =±√1−sin
2α =± 5
13，
所以直线l 斜率为tan α = sin α
cosα =± 12
5 .
故答案为：± 12
5 .
变式7．（2024·上海青浦·二模）已知直线l1的倾斜角比直线l2: y = x tan 80°的倾斜角小20°，则l1的斜率
为 ．
【答案】√3
【分析】根据直线l2方程求出直线l2斜率为tan 80°，由此确定直线l2倾斜角80°，结合已知条件求得直线倾
斜角为60°，由此即可求得直线l1的斜率.
【详解】由直线l2方程：y = x tan 80°得l2的倾斜角为80°，
所以l1的倾斜角为60°，即l1的斜率为tan 60° =√3.
故答案为：√3.
【方法技巧与总结】
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斜率公式是最基本的求解直线斜率的方法。如有直线的两个点坐标分别为A( x1, y1)、B( x2, y2)，x1≠x2，
则该直线的斜率为:k = y2−y1
x2−x1
【题型3：倾斜角与斜率的变化】
例3．（2023 高二上·江苏·专题练习）如图，若直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则（ ）
A．k1<k3<k2
B．k3<k1<k2
C．k1<k2<k3
D．k3<k2<k1
【答案】A
【分析】根据直线的倾斜角的大小，即可判断斜率大小.
【详解】倾斜角为锐角时，斜率为正，倾斜角越大，倾斜程度越大，斜率越大；倾斜角为钝角时，斜率为
负，
所以k1<k3<k2.
故选：A
变式1．（23-24 高二上·福建福州·期末）已知两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，倾斜角分别为α ，β.若
α <π
2 < β，则下列关系正确的是（ ）
A．0<k1<k2
B．k1<k2<0
C．k1<0<k2
D．k2<0<k1
【答案】D
【分析】根据直线斜率与倾斜角的关系，结合正切函数y = tan x的单调性即可得解.
【详解】依题意得，k1= tan α，k2= tan β，α ∈[0, π
2)，β ∈(
π
2 ,π)，
而y = tan x在[0,π
2 )和(
π
2
,π)上单调递增，且在[0,π
2 )上，y = tan x>0，
在(
π
2
,π)上y = tan x<0，所以tan β <0<tan α，即k2<0<k1.
故选：D
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变式2．（24-25 高二上·全国·课后作业）已知函数f (x)= log2(x +1)，若a>b>c>0，则f (a)
a
，f (b)
b
，
f (c)
c
的大小关系为（ ）
A．f (c)
c
< f (b)
b
< f (a)
a
B．f (a)
a
< f (b)
b
< f (c)
c
C．f (c)
c
< f (a)
a
< f (b)
b
D．f (a)
a
< f (c)
c
< f (b)
b
【答案】B
【分析】作出函数f (x)= log3(x +1)的图象，将f (x)
x
视为函数f (x)= log3(x +1)图象上的点(x ,f (x))与原点
连线的斜率，数形结合可得出f (a)
a
、f (b)
b
、f (c)
c
的大小关系.
【详解】作出函数f (x)= log2(x +1)的大致图象，如图所示：
由图象可知，y 轴右侧曲线上各点与原点连线的斜率随x 的增大而减小，
由a>b>c>0，得f (a)
a
< f (b)
b
< f (c)
c
．
故选：B
变式3．（23-24 高二上·河南南阳·阶段练习）已知直线l1，l2，l3的倾斜角分别为30°，53°，125°，斜率
分别为 k1，k2，k3，则（ ）
A．k1<k2<k3
B．k2<k1<k3
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C．k3<k1<k2
D．k3<k2<k1
【答案】C
【分析】由直线倾斜角与斜率的关系即可求解.
【详解】k3= tan125
∘<0,0<k1= tan30
∘<k2= tan53
∘，所以k3<k1<k2，
故选：C
变式4．（多选）（23-24 高二上·河南南阳·期中）（多选）已知三条直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、
k3，倾斜角分别为α、β、γ，且k1<k2<k3，则其倾斜角的关系可能为（ ）
A．α < β <γ
B．β <γ <α
C．α <γ < β
D．γ <α < β
【答案】ABD
【分析】分0<k1<k2<k3、k1<0<k2<k3、k1<k2<0<k3、k1<k2<k3<0四种情况讨论，结合正切函数的
单调性可得结果.
【详解】因为正切函数y = tan x在(0,π
2 )上为增函数，在(
π
2 ,π)上也为增函数，
分以下四种情况讨论：
当0<k1<k2<k3时，则α、β、γ均为锐角，且α < β <γ；
当k1<0<k2<k3时，则α为钝角，β、γ均为锐角，且β <γ <α；
当k1<k2<0<k3时，则α、β均为钝角，γ为锐角，且γ <α < β；
当k1<k2<k3<0时，则α、β、γ均为钝角，且α < β <γ.
故选：ABD.
变式5．（2024 高二·全国·专题练习）已知直线l的倾斜角为α，并且0°≤α <120°，直线l的斜率k的范围
是（ ）
A．−√3<k ≤0
B．k >−√3
C．k ≥0或k <−√3
D．k ≥0或k <−√3
3
【答案】C
【分析】根据倾斜角与斜率的关系可求得斜率的取值范围.
【详解】因为斜率k = tan α，且0°≤α <120°，其中α =90°时直线l无斜率，
当0°≤α <90°时，得k ≥0；
当90°<α <120°时，得k <−√3；
17
故选：C.
变式6．（23-24 高二上·江苏·单元测试）若直线l的斜率k的变化范围是[−1,√3]，则它的倾斜角α的变化
范围是( )
A．0
°≤α ≤60
°
B．135
°≤α <180
°
C．60
°≤α <135
°
D．0
°≤α ≤60
°或135
°≤α <180
°
【答案】D
【分析】作出正切函数在[0,π )的图象，根据斜率的范围结合图象确定出α的范围.
【详解】作出正切函数在[0,π )的图象如下图，
如图所示，当−1≤k ≤√3，即−1≤tan α ≤√3，
解得0≤α ≤π
3 或3π
4 ≤α <π，
即0
°≤α ≤60
°或135
°≤α <180
°，
故选：D.
变式7．（多选）（23-24 高二上·江苏连云港·期中）已知直线l1，l2的斜率分别为2，1
2，直线l 与直线l1，
l2围成一个等腰三角形，且顶角为钝角，则直线l 的斜率可能是（ ）
A．−11
2
B．−1
C．−2
11
D．1
【答案】ACD
【分析】借助直线斜率的定义，三角形性质求解，即可得出选项.
【详解】分别设直线l1，l2，l的倾斜角为α，β，γ，则tan α =2，tan β = 1
2，直线l的斜率为k = tan γ，
将直线l1，l2平移至原点位置，设直线l 与直线l1，l2分别交于点A，B，
当0<∠AOB<π
2 时，如图所示：
18
由题意知tan ∠AOB = tan (α −β)=
2−1
2
1+2× 1
2
= 3
4 ，
因为△AOB为等腰三角形，且顶角为钝角，
所以∠ABO为钝角或∠OAB为钝角，
若∠ABO为钝角，则∠AOB =∠OAB，
所以
tan γ = tan (∠OAB+α )=
3
4 +2
1−3
4 ×2
=−11
2 ，
所以直线的斜率为−11
2 ，故A 选项正确；
若∠OAB为钝角，则∠AOB =∠ABO，
所以tan ∠OAB = tan (π-∠AOB−∠ABO)，
= tan (π-2∠AOB) =−tan2∠AOB，
=−
2× 3
4
1−(
3
4)
2 =−24
7 ，
19
所以tan γ = tan (∠OAB+α )=
−24
7 +2
1−(−24
7 )×2
=−2
11，
所以直线的斜率为−2
11，故C 选项正确；
当π
2 <∠AOB<π时，如图所示：
tan∠AOB = tan(π-(α −β))=−tan (α −β)=−3
4
因为△AOB为等腰三角形，则∠OAB =∠OBA，
所以tan ∠AOB = tan (π-∠OAB−∠OBA)= tan (π-2∠OAB)=−tan 2∠OAB
=−2tan ∠OAB
1−tan
2∠OAB ，
所以由−2tan ∠OAB
1−tan
2∠OAB
=−3
4 ，解得tan∠OAB = 1
3或tan ∠OAB =−3（舍），
所以tan γ = tan (β +∠OBA)= tan (β +∠OAB)=
1
2 + 1
3
1−1
2 × 1
3
=1，
所以直线的斜率为1，故D 选项正确；
故选：ACD.
变式8．（23-24 高二上·湖南张家界·阶段练习）已知某直线的倾斜角α ∈[π
4 ,3π
4 ]，则该直线的斜率k
的范围为 ．
【答案】(−∞,−1]∪[1,+∞)
【分析】根据倾斜角和斜率关系确定斜率范围即可.
【详解】当α ∈[π
4 ,π
2 )，斜率k ∈[1,+∞)，
20
当α =π
2 ，斜率k不存在，
当α ∈(π
2 ,3π
4 ]，斜率k ∈(−∞,−1]，
综上，α ∈[π
4 ,3π
4 ]，则k ∈(−∞,−1]∪[1,+∞).
故答案为：(−∞,−1]∪[1,+∞)
【方法技巧与总结】
直线都有倾斜角，但不一定都有斜率，二者的关系具体如下：
斜率k
k=tanα>0
k=0
k=tanα<0
不存在
倾斜角α
锐角
0°
钝角
90°
图示
【题型4：已知斜率求参数问题】
例4．（23-24 高二上·广东潮州·期末）已知斜率为√2的直线经过点M (2,m), N (1,2)，则m=（ ）
A．√2−2
B．√2+2
C．1
D．0
【答案】B
【分析】利用斜率公式即可求解.
【详解】因为斜率为√2的直线经过点M (2,m), N (1,2)，
所以k MN = m−2
2−1 =√2，解得m=√2+2.
故选：B.
变式1．（23-24 高二上·广东梅州·期末）若过点M (−1,m), N (1,0)的直线的倾斜角为3 π
4 ，则m的值为
（ ）
A．−2
B．−√2
C．√2
D．2
【答案】D
【分析】根据倾斜角与斜率的关系求解.
【详解】由题意得m−0
−1−1 = tan 3 π
4 ，解得m=2，
故选：D
变式2．（多选）（23-24 高二上·江苏连云港·阶段练习）已知点A的坐标为(3,4)，在坐标轴上有一点B，
21
若k AB= 4，则点B的坐标可以为（ ）
A．(0,−4)
B．(0,−8)
C．(2,0)
D．(−2,0)
【答案】BC
【分析】由题意设点B 的坐标为(0, y)或(x ,0)，根据斜率公式计算即可．
【详解】当点B 在y轴上时，设B (0, y)，由k AB= 4，可得4−y
3−0 = 4，解得y =−8，∴B (0,−8)，
当点B 在x轴上时，设B (x ,0)，由k AB= 4，可得4−0
3−x = 4，解得x =2，
∴B (2,0)，
所以点B 坐标为(2,0)或(0,−8).
故选：BC.
变式3．（多选）（23-24 高二上·四川·期中）若直线l的斜率为m
2−2m，则直线l的倾斜角可能为
（ ）
A．4 π
9
B．5 π
9
C．2π
3
D．7 π
9
【答案】AD
【分析】根据二次函数性质求斜率范围，然后由正切函数图象观察可得.
【详解】记直线l的倾斜角为α，斜率为k，
则k =(m−1)
2−1≥−1，即tan α ≥−1，
由正切函数图象可得α ∈[0,π
2 )∪[
3 π
4 ,π).
故选：AD
变式4．（23-24 高二上·贵州黔南·期中）已知两点P(m,2)，Q (2,4)所在直线的斜率为1，则m= .
【答案】0
【分析】根据两点的斜率公式计算可得.
【详解】因为两点P(m,2)，Q (2,4)所在直线的斜率为1，
22
所以k PQ= 4−2
2−m =1，解得m=0.
故答案为：0
变式5．（23-24 高二上·安徽亳州·期中）过A (a,0)，B (1,2)的直线的斜率大于2，则满足条件的一个a 值
可以为 .
【答案】1
2（满足0<a<1的一个值即可）
【分析】根据两点的斜率公式计算可得.
【详解】因为过A (a,0)，B (1,2)的直线的斜率大于2，所以a≠1，
则k =
2
1−a >2，解得0<a<1．
故答案为：1
2（满足0<a<1的一个值即可）
变式6．（23-24 高二上·全国·课后作业）已知A (−1,2),B (3,2)，若直线AP与直线BP的斜率分别为2和
−2，则P点的坐标为 ．
【答案】(1,6)
【分析】根据直线的斜率列方程，由此求得P点的坐标.
【详解】设P(x , y)，显然x≠−1, x≠3，则y −2
x +1 =2, y −2
x−3 =−2，
解得x =1, y =6，所以P(1,6).
故答案为：(1,6)
变式7．（22-23 高二下·安徽·开学考试）已知点A，B在曲线y = x
2+2 x图像上，且A，B两点连线的斜率
为2，请写出满足条件的一组点A ，B ．
【答案】 (−1,−1) (1,3)
【分析】根据A，B在曲线上，设出点A，B的坐标，由A，B两点连线的斜率得出A，B的坐标关系，即
可得到满足条件的一组点.
【详解】由题意，
在y = x
2+2 x中，点A，B在曲线上，
设A(x1, x1
2+2 x1)，B(x2, x2
2+2 x2)，
A，B两点连线的斜率为2，
23
∴k AB= x2
2+2 x2−(x1
2+2 x1)
x2−x1
= x2+ x1+2=2，
解得：x2+ x1=0，
∴当x1=−1时，A (−1,−1)，B (1,3)．
故答案为：A (−1,−1)，B (1,3).
【题型5：过两点求斜率取值范围】
例5．（24-25 高二上·江苏徐州·开学考试）已知点A(2,−1)，B(3,m)，若m∈[−√3−1, √3
3 −1]，则
直线AB的倾斜角的取值范围为（ ）
A．[
π
3 , 5 π
6 ]
B．[0,π
3 ]∪[
5 π
6 ,π) C．[0,π
6 ]∪[
2π
3 ,π) D．[
π
3 ,π
2 )∪(
5 π
6 ,π]
【答案】C
【分析】根据题意，设直线AB的倾斜角为α，由A ,B的坐标求出直线AB的斜率，结合m的范围可得k即
tan α的取值范围，
再利用正切函数的性质分析可得α的范围，即可得答案.
【详解】解：根据题意，设直线AB的倾斜角为α，
点A(2,−1)，B(3,m)，则直线AB的斜率k = m+1
3−2 =m+1，
又由m∈[−√3−1,
❑√3
3 −1]，则k的取值范围为[−√3，√3
3 ]，
即tan α的范围为[−√3，√3
3 ]，
又由0≤α <π，则α ∈ [0,π
6 ]∪[
2π
3 ,π)
故选：C.
变式1．（21-22 高二上·辽宁大连·阶段练习）直线l 经过A (2,1)，B(1,m
2) (m∈R)两点，那么直线l 的
倾斜角α的取值范围是（ ）
A．[
π
4 ,π
2 )
B．[0,π
4 ]∪(
π
2 ,π) C．[0,π
4 ]
D．[
π
4 ,π
2 )∪(
π
2 ,π)
【答案】B
24
【分析】利用斜率的定义得到tan α ∈(−∞,1]，根据倾斜角α ∈[0,π )，求出答案.
【详解】因为A ,B两点横坐标不同，故倾斜角不为π
2 ，
由题意得tan α = m
2−1
1−2 =1−m
2∈(−∞,1]，
因为α ∈[0,π )，所以α ∈[0,π
4 ]∪(
π
2 ,π).
故选：B
变式2．（23-24 高二上·全国·课后作业）已知直线l过点M (m+1,m−1), N (2m,1)，直线l的倾斜角为锐
角时m的取值范围为 ．
【答案】(1,2)
【分析】根据倾斜角为锐角得到k = m−2
1−m >0，解得答案.
【详解】由于直线l的倾斜角为锐角，故k = m−1−1
m+1−2m = m−2
1−m >0，解得1<m<2.
故答案为：(1,2).
变式3．（21-22 高二上·安徽芜湖·期中）已知曲线y =−2 x
2+7 x +3(1≤x ≤3)，则
y
x−2的取值范围是
．
【答案】(−∞,−8]∪[6,+∞)
【分析】首先画出函数y =−2 x
2+7 x +3(1≤x ≤3)的图象，
y
x−2表示曲线上的点(x , y) (x≠2)与P(2,0)
连线的斜率，求出临界点处的斜率，即可求出
y
x−2的取值范围.
【详解】函数y =−2 x
2+7 x +3=−2(x−7
4)
2
+ 73
8 (1≤x ≤3)，
则函数在[1, 7
4]上单调递增，在[
7
4 ,3]上单调递减，函数图象如下所示：
当x =1时y =8，即A (1,8)，当x =3时y =6，则B (3,6)，
y
x−2表示曲线上的点(x , y) (x≠2)与P(2,0)连线的斜率，令k =
y
x−2，
又k PA = 8−0
1−2 =−8，k PB= 6−0
3−2 =6，
由图可得k ≥k PB=6或k ≤k PA =−8，
25
即
y
x−2的取值范围为(−∞,−8]∪[6,+ ∞).
故答案为：(−∞,−8]∪[6,+∞)
变式4．（23-24 高二上·全国·课后作业）求经过两点A (2m,1)，B (m,2)(m∈R)的直线l 的斜率．
【答案】答案见解析
【分析】由斜率的概念以及过两点的斜率公式可直接求解，注意讨论斜率不存在的情况.
【详解】当2m=m，即m=0时，直线l 垂直于x 轴，其斜率不存在；
当2m≠m，即m≠0时，直线l 的斜率k = 2−1
m−2m =−1
m．
变式5．（23-24 高二上·全国·课后作业）已知直线l过点M (m+1,m−1), N (3m,2m).
(1)当m为何值时，直线l的斜率是1?
(2)当m为何值时，直线l的倾斜角为90°？求此时直线l的一个方向向量．
【答案】(1)m=2
(2)m= 1
2，此时直线l的一个方向向量为(0,1).
【分析】
（1）根据直线的斜率列方程，从而求得m.
（2）根据直线的倾斜角列方程，由此求得m，并求得此时直线l的一个方向向量.
【详解】（1）依题意m−1−2m
m+1−3m =1，且m+1≠3m，解得m=2.
（2）若直线l的倾斜角为90°，则m+1=3m,m= 1
2，
此时直线l的方程为x = 3
2，与y轴平行，
所以此时直线l的一个方向向量为(0,1).
变式6．（23-24 高二上·四川·阶段练习）已知坐标平面内两点M (m+3,3m+5), N (2m−1,1).
26
(1)当直线MN的倾斜角为锐角和钝角时，分别求出m的取值范围；
(2)若直线MN的方向向量为⃗a=(1,−2023)，求m的值.
【答案】(1)答案见解析．
(2)m= 2024
505
【分析】（1）由斜率为正或为负求解；
（2）由坐标得方向向量，然后利用向量共线得结论．
【详解】（1）直线MN的倾斜角为锐角时，k =
3m+5−1
m+3−(2m−1) >0，解得−4
3 <m<4，
直线MN的倾斜角为钝角时，k =
3m+5−1
m+3−(2m−1) <0，解得m<−4
3 或m>4，
所以直线MN的倾斜角为锐角时，−4
3 <m<4，为钝角时，m<−4
3 或m>4；
（2）由已知⃗MN =(m−4 ,−3m−4)，又直线MN的方向向量为⃗a=(1,−2023)，
所以−2023(m−4)=−3m−4，解得m= 2024
505 ．
【题型6：动直线与线段相交问题】
例6．（24-25 高二上·陕西西安·开学考试）已知点A (2,−3)，B (−3,−2)，若过点(1,1)的直线与线段AB
相交，则该直线斜率的取值范围是（ ）
A．(−∞,−3
4]∪[4 ,+ ∞)
B．(−∞,−4]∪[
3
4 ,+∞)
C．[−3
4 ,4]
D．[−4 , 3
4]
【答案】B
【分析】首先求出直线PA、PB的斜率，然后结合图象即可写出答案．
【详解】解：记(1,1)为点P，直线PA的斜率k PA = −3−1
2−1 =−4，直线PB的斜率k PB= −2−1
−3−1 = 3
4 ，
因为直线l 过点P(1,1)，且与线段AB相交，
结合图象，可得直线l的斜率k的取值范围是(−∞,−4]∪[
3
4 ,+ ∞)．
27
故选：B．
变式1．（21-22 高二上·北京·阶段练习）已知A (2,3),B (−1,2)，若点P(x , y)在线段AB上，则
y
x−3的最
小值为（ ）
A．1
B．3
5
C．−3
D．−1
2
【答案】C
【分析】利用两点连线的斜率公式知
y
x−3表示点P(x , y)和点E(3,0)连线的斜率，再数形结合，即可求出
结果.
【详解】如图，因为
y
x−3表示点P(x , y)和点E(3,0)连线的斜率，
又A (2,3),B (−1,2)，所以k AE= 3−0
2−3 =−3，k BE= 2−0
−1−3 =−1
2，
由图知，
y
x−3的最小值为−3，
故选：C.
变式2．（23-24 高二上·福建厦门·期中）已知两点A (−3,2)，B (2,1)，过点P(0,−1)的直线l与线段AB
（含端点）有交点，则直线l的斜率的取值范围为（ ）
A．(−∞,−1]∪[1,+ ∞)
B．[−1,1]
C．(−∞,−1
5]∪[1,+∞)
D．[−1
5 ,1]
【答案】A
28
【分析】画出图像，数形结合，根据倾斜角变化得到斜率的取值范围.
【详解】如图所示，
直线PB逆时针旋转到PA的位置才能保证过点P(0,−1)的直线与线段AB有交点，
从PB转到PF过程中，倾斜角变大到π
2 ，斜率变大到正无穷，
此时斜率k PB= 1−(−1)
2−0
=1，所以此时k ∈[1,+∞)；
从PF旋转到PA过程中，倾斜角从π
2 开始变大，斜率从负无穷开始变大，
此时斜率k PA = 2−(−1)
−3−0 =−1，所以此时k ∈(−∞,−1]，
综上可得直线l的斜率的取值范围为(−∞,−1]∪[1,+ ∞).
故选：A
变式3．（2022 高三·全国·专题练习）已知点A (−1,1)、B (1,2)、C (0,−1)， 过点C 的直线l 与线段AB
有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是（ ）
A．(−2,3)
B．(−2,0)∪(0,3)
C．¿
D．以上都不对
【答案】C
【分析】过点C 的直线l 与线段AB 有公共点，利用数形结合，得到直线l 的斜率k ≤k AC或k ≥k BC，进而求
解即可
【详解】如图，过点C 的直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k ≤k AC或k ≥k BC，
而k AC =−2,k BC =3，于是直线l 的斜率k ≤−2或k ≥3，
所以直线l 斜率k 的取值范围是(−∞,−2]∪[3,+ ∞)，
故选：C
29
变式4．（多选）（23-24 高二上·陕西安康·期末）已知直线l过点P(−1,2)且与线段AB的延长线有公共点，
若A (−2,−3)，B (3,0)，则直线l的斜率的取值可以是（ ）
A．−1
4
B．0
C．1
4
D．4
5
【答案】ABC
【分析】先作出直线l与线段AB的延长线，再结合图像观察即可得解.
【详解】由图像可知：要使直线l与线段AB的延长线有公共点，
则k BP<k1<k AB，
又k BP= 2−0
−1−3 =−1
2 ,k AB= 0+3
3+2 = 3
5，
则直线l的斜率的取值范围是(−1
2 , 3
5).
故选：ABC.
变式5．（23-24 高二上·全国·期中）已知点A(2,1)，B(−2,2)，若直线l过点P(−4
5 ,−1
5 )，且与线段AB
有交点，则直线l的斜率k的取值范围是 ．
【答案】(−∞,−11
6 ]∪[ 3
7 ,+∞)
【分析】根据题意，利用斜率公式，分别求得线PA和直线PB的斜率，结合图象，即可求解.
【详解】由题意，点A(2,1),B(−2,2)，直线l过点P(−4
5 ,−1
5 )，
30
可得直线PA的斜率为k PA =
1+ 1
5
2+ 4
5
= 3
7 ，直线PB的斜率为k PB=
2+ 1
5
−2+ 4
5
=−11
6 ，
如图所示，要使得直线l与线段AB有交点，
则直线l的斜率k的取值范围为(−∞,−11
6 ]∪[ 3
7 ,+∞).
故答案为：(−∞,−11
6 ]∪[ 3
7 ,+∞).
变式6．（22-23 高二上·江苏镇江·阶段练习）已知直线kx−y −k −2=0和以M (−3,1), N (3,2)为端点的线
段无公共点，则实数k的取值范围为
【答案】(−3
4 ,2)
【分析】求出直线恒过的定点，再求出恰好过点M (−3,1), N (3,2)时的直线斜率，从而数形结合即可求得
实数k的取值范围.
【详解】直线kx−y −k −2=0恒过定点P(1,−2)，
则k MP= 1−(−2)
−3−1 =−3
4 ，k NP= 2−(−2)
3−1
=2，
若直线kx−y −k −2=0和以M (−3,1), N (3,2)为端点的线段有公共点，
则k ≤−3
4 或k ≥2，
所以直线kx −y −k −2=0和以M (−3,1), N (3,2)为端点的线段无公共点时，−3
4 <k <2.
31
故答案为：(−3
4 ,2).
【方法技巧与总结】
利用直线上两点确定直线的倾斜角，应从斜率存在、不存在两方面入手分类讨论．斜率不存在的情况在解
题中容易忽视，应引起注意.
【题型7：三点共线问题】
例7．（2020 高三·全国·专题练习）若平面内三点A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，则a＝（
）
A．1±√2或0
B．2−√5
2
或0
C．2±√5
2
D．2+√5
2
或0
【答案】A
【分析】根据三点共线的条件之斜率相等，可求得选项．
【详解】由题意知kAB＝kAC，即a
2+a
2−1 = a
3+a
3−1 ，即a(a2－2a－1)＝0，解得a＝0 或a＝1±√2.
故选：A．
【点睛】本题考查两点的斜率公式的应用，属于基础题．
变式1．（23-24 高二下·甘肃武威·开学考试）若三点A (2,3)，B (3,−2)，C(
1
2 ,m)共线，则m= .
【答案】21
2
【分析】由三点共线可得其中任意两点的直线斜率相等，列出方程解之即得.
【详解】由题意，直线AB的斜率为k1= 3+2
2−3 =−5，直线BC的斜率为：k2= m+2
1
2 −3
=−2
5 (m+2)
，
因A ,B ,C三点共线，故k1=k2，即−2
5 (m+2)=−5，解得：m= 21
2 .
故答案为：21
2 .
变式2．（2023 高二上·江苏·专题练习）若三点A (3,3)，B (a,0)，C (0,b) (其中a⋅b≠0)共线，则
1
a + 1
b = .
32
【答案】1
3
【分析】依题意可得k AB=k AC，利用斜率公式得到方程，解得即可.
【详解】由于A (3,3)，B (a,0)，C (0,b)三点共线且a≠0、b≠0，
显然AB、AC的斜率存在，则k AB=k AC，
所以0−3
a−3 = b−3
0−3 ，所以ab=3a+3b，所以1
a + 1
b = 1
3.
故答案为：1
3
变式3．（22-23 高二·全国·课堂例题）已知A(−3,−1),B(1,3),C(5,8)，判断A，B，C 是否共线．
【答案】A，B，C 不共线．
【分析】首先求出⃗AB与⃗AC的坐标，再根据平面向量共线定理判断即可.
【详解】因为⃗AB =(1−(−3),3−(−1))=(4,4)，⃗AC =(5−(−3),8−(−1))=(8,9)，
又因为4×9≠4×8，所以⃗AB与⃗AC不共线，从而A，B，C 不共线．
变式4．（20-21 高二上·宁夏吴忠·阶段练习）已知A (1,2)，B (2,1)，C (0,m)三点．
（1）若过A，C 两点的直线的倾斜角为45°，求m 的值．
（2）A，B，C 三点可能共线吗？若能的，求出m 值；若不能，请说明理由．
【答案】（1）m=1；（2）能共线，m=3.
【分析】（1）利用直线的倾斜角和斜率的关系，以及斜率公式得tan45°=1=2−m
1−0 ， 即可求得m 的值；
（2）三点共线，则任过两点的直线的斜率相等，根据斜率公式，可求m 的值.
【详解】（1）过A，C 两点的直线的斜率为 k AC = 2−m
1−0 =2−m，
又直线AC 的倾斜角为45°，所以k AC =tan45°=1=2-m，得m=1.
（2）k AC = 2−m
1−0 =2−m，k AB= 2−1
1−2 =−1，
若A，B，C三点共线，则有k AB=k AC，即−1=2−m，解得m=3，
所以A，B，C 三点能共线，且m=3.
【点睛】本题考查了斜率公式，考查了斜率与倾斜角的关系；判断A、B、C 三点共线的方法.
【方法技巧与总结】
三点共线问题
1.已知三点A，B，C，若直线AB，AC'的斜率相同，则三点共线.
2.三点共线问题也可利用线段相等来求，若|AB|＋|BC|=|AC|，也可断定A，B，C 三点共线.
3.利用向量⃗AB和向量⃗AC共线也能断定A，B，C 三点共线.
33
一、单选题
1．（23-24 高二上·陕西咸阳·期中）已知点A (3,4)，点B (5,2)，则直线AB的倾斜角是（ ）
A．π
4
B．3π
4
C．π
2
D．π
3
【答案】B
【分析】求出直线AB的斜率，结合斜率与倾斜角的关系可求得直线AB的倾斜角.
【详解】设直线AB的倾斜角为α，则0≤α <π，
由斜率公式可得tan α = 4−2
3−5 =−1，因此，α = 3 π
4 .
故选：B.
2 ．（23-24 高二上· 全国· 课后作业）若过点A (a,−1)和B (2,a)的直线的斜率为1
2，则a 的值为
（ ）
A．4
B．0
C．−4
D．1
【答案】B
【分析】根据题意结合斜率计算公式运算求解.
【详解】由题意可得：k AB= a+1
2−a = 1
2，解得a=0.
故选：B.
3．（23-24 高二上·河南南阳·阶段练习）已知直线l1 上有两点A (−1,3),B (−2,1),直线l2的倾斜角是直线l1
倾斜角的2 倍，则直线l2的斜率为 （ ）
A．4
3
B．3
4
C．−3
4
D．−4
3
【答案】D
【分析】根据两点求解斜率，即可根据二倍角公式求解.
34
【详解】由A (−1,3),B (−2,1)得k BA = 3−1
−1+2 =2,设l1的倾斜角为θ，
所以tanθ =2，
故tan 2θ = 2tanθ
1−tan
2θ
=−4
3 ，
故直线l2的斜率为−4
3 ，
故选：D
4．（23-24 高二上·新疆·期中）经过M (−1,1)的直线l 在x 轴上的截距的取值范围为(−2,−1)∪(−1,2)，
则直线l 的斜率k 的取值范围为（ ）
A．(−1
3 ,1)
B．(−1, 1
3)
C．(−∞,−1
3)∪(1,+∞)
D．(−∞,−1)∪(
1
3 ,+ ∞)
【答案】C
【分析】求出端点处的直线l 的斜率，从而求出斜率k 的取值范围.
【详解】由直线l 在x 轴上的截距的取值范围为(−2,−1)∪(−1,2)，
l 过点(−2,0)的斜率k1=
1−0
−1−(−2) =1，
l 过点(2,0)的斜率k2= 1−0
−1−2 =−1
3，
故直线l 的斜率k 的取值范围为(−∞,−1
3 )∪(1,+∞).
故选：C
5 ．（23-24 高二上· 江苏常州· 期中）若过A (4 , y)，B (2,−3)两点的直线的倾斜角为π
4 ，则y =
（ ）
A．−1
B．−5
C．1
D．5
【答案】A
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【分析】根据两点间斜率公式，结合斜率与倾斜角的关系可得解.
【详解】过A (4 , y)，B (2,−3)两点的直线的斜率k = −3−y
2−4 = 3+ y
2
，
又直线的倾斜角为π
4 ，即k = tanπ
4 =1，
所以3+ y
2
=1，解得y =−1，
故选：A.
6．（23-24 高二上·山西吕梁·阶段练习）斜率为1
3的直线的倾斜角α所在的范围是（ ）
A．0
∘<α <45
∘
B．45
∘<α <90
∘
C．90
∘<α <135
∘
D．135
∘<α <180
∘
【答案】A
【分析】根据斜率与倾斜角的关系判断．
【详解】由题意tan α = 1
3，而0°≤α <180°，所以0
∘<α <45
∘，
故选：A．
7．（23-24 高二上·安徽合肥·期中）直线y =−cos 45
∘的倾斜角为（ ）
A．0
∘
B．90
∘
C．135
∘
D．不存在
【答案】A
【分析】由直线在坐标平面内位置判断倾斜角.
【详解】因为直线y =−cos 45
∘=−√2
2 平行于x轴，所以倾斜角为0
∘.
故选：A.
8．（23-24 高二上·江苏镇江·期中）已知直线l经过点A(−1,2)，且不经过第三象限，则直线l的斜率k的取
值范围是（ ）
A．(−2,0]
B．(−∞,−2]∪[0,+∞)
C．[1,2]
D．[−2,0]
【答案】D
【分析】直接根据图像观察可得直线斜率的取值范围.
【详解】因为直线l经过点A(−1,2)，且不经过第三象限
所以kOA≤k ≤0，
又kOA = 2
−1 =−2，
36
所以−2≤k ≤0.
故选：D.
二、多选题
9．（23-24 高二上·福建泉州·阶段练习）过点P(0,−1)作直线l，使得直线l和连接点A(2,1),B(1,−2)的
线段总有公共点，则直线的倾斜角α可能是（ ）
A．π
6
B．π
3
C．2
3 π
D．5
6 π
【答案】AD
【分析】由题意画出图形，数形结合即能求出使直线与线段有公共点的直线的斜率的范围与倾斜角的范围.
【详解】
由题意，k PA = 1+1
2−0 =1，k PB= −2+1
1−0 =−1，
且直线与连接点A(2,1),B(1,−2)的线段总有公共点，如下图所示，
所以k PB≤kl≤k PA，即−1≤tan α ≤1
又因为α ∈[0,π )．故α ∈[0,π
4 ]∪[
3 π
4 ,π).
故选：AD．
10．（21-22 高二上·江苏南通·期中）若经过A (1−a,1+a)和B (3,a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的
37
值不可能为（ ）
A．−2
B．0
C．1
D．2
【答案】BCD
【分析】利用k AB= 1+a−a
1−a−3 <0求出a的范围即可.
【详解】据题意可知k AB= 1+a−a
1−a−3 =
1
−2−a <0，
即2+a>0，所以a>−2．
故选：BCD．
11．（20-21 高二·全国·课后作业）以下四个命题正确的是（ ）
A．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应
B．若直线的倾斜角存在，则必有斜率与之对应
C．坐标平面上所有的直线都有倾斜角
D．坐标平面上并不是所有直线都有斜率
【答案】ACD
【分析】由直线的斜率与倾斜角的关系可得答案.
【详解】k = tan α有意义，则倾斜角α必存在，所以A 正确，
若α =90
∘，则k = tan α不存在，所以B 错误，C，D 正确．
故选：ACD.
三、填空题
12．（23-24 高二上·上海·期末）直线l的斜率的取值范围为[−1,1]，则其倾斜角的取值范围是 .
【答案】[0,π
4 ]∪[
3π
4 ,π)
【分析】由斜率的定义及正切函数的性质，即可求得结果.
【详解】设直线l的倾斜角为α，斜率为k，因为k = tan α ∈[−1,1]，
又因为α ∈[0,π )，所以α ∈[0,π
4 ]∪[
3π
4 ,π)，
故答案为：[0,π
4 ]∪[
3π
4 ,π).
13．（23-24 高二上·江苏扬州·阶段练习）经过两点A(1,m), B(m+1,3)的直线的倾斜角为45
∘，则m=
【答案】3
2/1.5
38
【分析】根据斜率列方程，由此求得m.
【详解】倾斜角为45°，斜率为1，
所以3−m
m+1−1 = 3−m
m
=1，
解得m= 3
2.
故答案为：3
2
14．（23-24 高二上·广西河池·阶段练习）若直线的斜率k满足k ∈(0,√3)，则直线的倾斜角α的取值范围
是 ．
【答案】(0,π
3 )
【分析】根据题意斜率的定义结合正切函数分析求解.
【详解】由直线斜率和倾斜角关系知：k = tan α，即tanα ∈(0,√3)，解得α ∈(0,π
3 )，
所以直线倾斜角α的取值范围为(0,π
3 )．
故答案为：(0,π
3 ).
四、解答题
15．（24-25 高二上·全国·课后作业）已知直线l 经过两点A (−1,m)，B (m,1)，问：当m 取何值时：
(1)直线l 与x 轴平行？
(2)直线l 与y 轴平行？
(3)直线的倾斜角为45°？
(4)直线的倾斜角为锐角？
【答案】(1)m=1
(2)m=−1
(3)m=0
(4)−1<m<1
【分析】（1）直线l 与x 轴平行，则直线的斜率k =0，据此可以求m 的值；
（2）直线l 与y 轴平行，则直线l 的斜率不存在，据此可以得出m 的值；
（3）直线的倾斜角为45°，则直线的斜率k = tan 45° =1，据此可以求m 的值；
39
（4）直线的倾斜角为锐角，则直线的斜率k ∈(0,+ ∞)，据此可以求出m 的范围.
【详解】（1）若直线l 与x 轴平行，则直线l 的斜率k = 1−m
m+1 =0，
所以m=1.
（2）若直线l 与y 轴平行，则直线l 的斜率不存在，
所以m=−1.
（3）由题意可知，直线l 的斜率k = tan 45° =1，即1−m
m+1 =1，
解得m=0.
（4）由题意可知，直线l 的斜率k >0，即1−m
m+1 >0，解得−1<m<1.
16．（23-24 高二上·河南南阳·阶段练习）已知直线l过点A (2m,3)，B (2,−1).
(1)若直线l的倾斜角为45
∘，求实数m的值；
(2)若直线l的倾斜角为钝角，求实数m的取值范围.
【答案】(1)3
(2)(−∞,1)
【分析】（1）根据斜率公式和斜率为倾斜角的正切值可得.
（2）倾斜角为钝角时，斜率小于0，再利用斜率公式可得.
【详解】（1）由题意得2m−2
3−(−1) = tan 45
∘=1，得m=3.
（2）由题意得2m−2
3−(−1) <0，得m<1，
故实数m的取值范围为(−∞,1)
17．（23-24 高二上·四川巴中·阶段练习）已知坐标平面内三点A (−1,1)，B (1,1)，C (2,√3+1).
(1)求直线AC 的倾斜角；
(2)若D 为△ABC的AB 边上一动点，求直线CD 的倾斜角的取值范围.
【答案】(1)π
6
(2)[
π
6 ,π
3 ]
【分析】（1）由两点式斜率公式求出斜率，然后根据斜率与倾斜角的关系求解即可
40
（2）数形结合，利用两点式斜率公式，根据斜率与倾斜角变化的规律分析求解即可.
【详解】（1）由A (−1,1)，C (2,√3+1)得k AC = √3+1−1
2−(−1) = √3
3 ，
因为斜率等于倾斜角的正切值，且倾斜角的范围是[0,π )，所以直线AC 的倾斜角为π
6 .
（2）如图，当直线CD 绕点C 由CA 逆时针转到CB 时，直线CD 与线段AB 恒有交点，即D 在线段AB 上，
此时kCD由k AC增大到k BC，又k AC = √3
3 ，k BC = √3+1−1
2−1
=√3，所以kCD的取值范围为[
√3
3 ,√3]，
即直线CD 的倾斜角的取值范围为[
π
6 ,π
3 ].
18．（23-24 高二上·湖北·阶段练习）已知坐标平面内两点M (m+3,3m+5), N (2m−1,1)．
(1)当直线MN的倾斜角为锐角时，求m的取值范围；
(2)若直线MN的方向向量为⃗a=(1,−2023)，求m的值．
【答案】(1)−4
3 <m<4
(2)m= 2024
505
【分析】（1）结合两点式求斜率，解不等式即可得出答案；
（2）根据方向向量得k = 3m+ 4
−m+ 4 =−2023，解方程即可得出答案.
【详解】（1）因为倾斜角θ为锐角，则k = tanθ>0，又k =
3m+5−1
(m+3)−(2m−1) = 3m+ 4
−m+ 4 >0
即(3m+ 4)(m−4)<0，解得−4
3 <m<4．
（2）直线MN的方向向量为⃗a=(1,−2023)
41
k = 3m+ 4
−m+ 4 =−2023,m= 2024
505
19．（22-23 高二上·全国·课后作业）已知点A(1，0)，B(0，2)，点P(a,b)在线段AB上.
(1)求直线AB的斜率；
(2)求ab的最大值.
【答案】(1)−2
(2)1
2
【分析】（1）利用两点斜率公式可直接解答；
（2）先确定a,b满足的关系式，然后利用基本不等式可直接解答.
【详解】（1）由题意知，直线AB的斜率k AB= 2−0
0−1 =−2.
（2）当点P(a,b)在A ,B两点之间时，
由点P(a,b)在线段AB上，
易知k AP=k AB，即b−0
a−1 =−2，
即b=−2a+2(0<a<1)，
当P 与A ,B重合时也满足b=−2a+2，
因此b=−2a+2(0≤a≤1)，
亦即2a+b=2，且0≤a≤1,0≤b≤2，
所以2=2a+b≥2√2ab，
∴ab≤1
2，
当且仅当2a=b，即a= 1
2 ,b=1时，等号成立.
故ab的最大值为1
2.
