文档文本内容
1
2.2.2 不等式的解集
课程标准
学习目标
1、掌握不等式组的解集.
2、掌握用绝对值不等式的解法.
1、绝对值不等式的本质与去绝对值符号的原则.
2、借助数轴理解绝对值不等式，是数形结合.
3、掌握不等式组和绝对值不等式的运算法则，选择
相对应的运算方法。
知识点01 不等式(组)的解集
一般地，能够使不等式成立的未知数的值称为不等式的解，不等式的所有解组成的集合称为不等式的
解集．对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说，这些不等式的解集的交集称为不等式组的解集．
注：(1)不难看出，求不等式的解集的过程，要不断地使用不等式的性质．
(2)注意：不等式组的解集，是取每个不等式的解集的交集．
(3)不等式的解与解集的区别与联系
①不等式的解是指满足这个不等式的未知数的一个值，不等式的解集指满足这个不等式的未知数的所
有值，不等式的解是不等式解集中的一个；
②不等式的解集必须满足两个条件：一是解集内的数都是不等式得解，而是解集外的数都不是不等式
的解。
(4)不等式组中若有一个不等式的解集为
，则不等式组的解集是
；每一个不等式的解集均不是
，
2
不等式组的解集也可能是
.
【即学即练1】（2024·福建厦门·高一厦门一中校考开学考试）解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答.
（1）解不等式（1），得 .
（2）解不等式（2），得 .
（3）把不等式（1）和（2）的解集在数轴上表示出来：
（4）原不等式组的解为 .
【答案】
（3）图见解析
【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数
轴上即可.
【详解】
（1）解不等式（1），得
；
（2）解不等式（2），得
；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来为：
（4）原不等式组的解为
.
故答案为：（1）
；（2）
；（4）
【点睛】本题考查数轴表示不等式组的解集问题，属于基础题.
知识点02 绝对值不等式
（1）绝对值不等式的概念
一般地，含有绝对值的不等式称为绝对值不等式．例如，|x|>3，|x－1|≤2 都是绝对值不等式．
注：①数轴上表示数a 的点与原点的距离称为数a 的绝对值，记作|a|.
②绝对值不等式|x|>m(m>0)的几何意义为数轴上与原点的距离大于m 的点．
（2）绝对值不等式的解集
①当m>0 时，关于x 的不等式|x|>m 的解为x>m 或x<－m，因此解集为
(－∞，－m)∪(m，＋∞)；
②关于x 的不等式|x|≤m 的解为－m≤x≤m，因此解集为[－m，m].
【即学即练2】（2024·甘肃天水·高一天水市第一中学校考开学考试）求下列绝对值不等式的解集：
3
（1）
（2）
．
【答案】（1）
；（2）
【解析】（1）根据绝对值的几何意义解答；
（2）根据绝对值的几何意义解答；
【详解】解：（1）
，
或
解得
或
，
所以原不等式的解集为
．
（2）由原不等式可得
，即
，解得
，
所以原不等式的解集为
．
【即学即练3】（2024·全国·高一专题练习）解下列不等式：
（1）
；
（2）
.
【答案】（1）
或
；（2）
.
【分析】（1）针对
和
进行分类讨论求解；
（2）采用零点分段法分类讨论，去绝对值然后求解；
【详解】（1）原不等式可化为
或
，
解得
或
.
综上，原不等式的解集是
或
.
（2）当
时，原不等式可以化为
，解得
.
4
当
时，原不等式可以化为
，即
，不成立，无解．
当
时，原不等式可以化为
，解得
.
综上，原不等式的解集为
.
【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查学生利用零点分段法解含两个绝对值的不等式的能力，较容
易，分类讨论思想的运用是关键.
知识点03 数轴上两点之间的距离公式和中点坐标公式
一般地，如果实数a，b 在数轴上对应的点分别为A，B，即A(a)，B(b)，则线段AB 的长为AB＝|a－
b|，这就是数轴上两点之间的距离公式．
如果线段AB 的中点M 对应的数为x，则由AM＝MB 可知|a－x|＝|x－b|，因此：当a<b 时，有a<x<b，
从而x－a＝b－x，所以x＝.
当a≥b 时，类似可得上式仍成立．这就是数轴上的中点坐标公式．
【即学即练4】（2024·全国·高一专题练习）已知数轴上
，
两点的坐标分别为
，
，则
为
（ ）.
A．0
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据数轴上两点
、
的距离公式
即可得．
【详解】
.
【点睛】本题考查数轴上两点间的距离，属于基础题．
知识点04 绝对值不等式解集的几何意义
不等式
解集的几何意义
数轴上与原点的距离小于
的所有数的集合
数轴上与原点的距离大于
的所有数的集合
数轴上与表示
的点的距离小于
的所有数的集合
数轴上与表示
的点的距离大于
的所有数的集合
5
【即学即练5】（2024·全国·高一专题练习）已知数轴上，
．
（1）若A 与C 关于点B 对称，求x 的值；
（2）若线段
的中点到C 的距离小于5，求x 的取值范围．
【答案】（1）
；（2）
【解析】（1）依题意，B 为
的中点，根据中点公式解答.
（2）首先表示出
的中点，再根据数轴上两点的距离公式得到不等式，解得.
【详解】解：（1）∵A 与C 关于点B 对称，∴B 为
的中点，∴
．
（2）∵
的中点对应的数为
，
∴由题意得
，即
，
解得
，
∴
的取值范围是
．
【点睛】本题考查绝对值的几何意义，属于基础题.
难点：求含参一元一次不等式（组）的解集
示例：已知关于x 不等式≥1－(a 为常数)，当a＝4 时，已知的不等式的解集与不等式bx≤4 的解集相同，
求b 的值．
【解析】当a＝4 时，不等式为≥1－，去分母，得3(2x＋4)≥6－2(1－x)，去括号，得6x＋12≥6－2＋2x，
移项合并，得4x≥－8，系数化为1，得解集为{x|x≥－2}，
∵已知的不等式的解集与不等式bx≤4 的解集相同，
∴b<0，＝－2，∴b＝－2.
方法小结：(1)解一元一次不等式与一元一次方程的步骤类似：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类
项；⑤将未知数的系数化为1.应特别注意在步骤①⑤中，应用性质3 时不等号的方向是否改变．
(2)解一元一次不等式组，先分别求出不等式组中每个不等式的解集，并在同一数轴上表示出来，确定它们
的交集，最后写出不等式组的解集．
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【题型1：一元一次不等式(组)的解法】
（一）求一元一次不等式(组）的解集
例1．（2024·上海·高一专题练习）不等式组
的解集在数轴上表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】分别解2 个一元一次不等式，再求交集即可.
【详解】解不等式2x－1≥5，得x≥3，解不等式8－4x＜0，得x＞2，
,
故不等式组的解集为[3，＋∞).
在数轴上表示为
故选：C.
【点睛】本题主要考查一元一次不等式组的解法，最后应该求各个不等式的交集才是最后的答案.
变式1.（2024·全国·高一随堂练习）求下列不等式的解集：
（1）3x>2x-6； （2）
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】（1）由
，可得
，所以解集为
；
（2）由
可得
，解得
，所以解集为
变式2．（2024·高一课时练习）解不等式组
.
【答案】
【分析】先分别求出每个不等式的解集，再求出公共解集即可求解.
【详解】由（1）可得
，解得：
；
7
由（2）可得
，也即
，解得：
，
所以原不等式组
的解集为
.
变式3．（2024·高一课时练习）解不等式组
【答案】
【分析】分别解两个不等式再求交集即可
【详解】
解不等式①得
，解不等式②得
，
不等式组的解集为
.
【点睛】本题考查不等式的解法，考查计算能力，是基础题
变式4．（2024·上海·高一专题练习）不等式组
的解集为 .
【答案】
【分析】分别求得两个不等式的解，然后取它们的交集，由此求得不等式组的解集.
【详解】记原不等式组为
解不等式①，得x≤1.
解不等式②，得x≥－4.
故原不等式组的解集为
.
故答案为：
【点睛】本小题主要考查一元一次不等式组的解法，属于基础题.
变式5.（2024·高一课时练习）设不等式组
的解集为，则下列集合中包含于的是（ ）
A．
B．
C．
D．
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【答案】D
【解析】因为不等式
，解
得
，解
得
，
综上可得
，所以原不等式组的解得
，
所以
，真包含于
，真包含于
故选：D
变式6.（2024·甘肃天水·高一天水市第一中学校考开学考试）在一元一次不等式组
的解集中，整
数解的个数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【解析】解不等式2x＋1＞0，得x＞－
.
解不等式x－5≤0，得x≤5，
所以不等式组的解集为
，
整数解为0，1，2，3，4，5，共6 个．故选：C．
（二）求含参一元一次不等式（组）的解集
例2.（2024·高一课时练习）关于x 的不等式ax<1的解集，下列说法不正确的是（ ）
A．可能为∅
B．可能为R
C．可能为(
1
a ,+∞)
D．可能为(−∞, 1
a)
【答案】A
【分析】对a 的取值进行分类讨论，然后解不等式.
【详解】若a=0，不等式ax<1的左边=0，∴x∈R，B 正确；
若a>0，则x< 1
a，D 正确；
若a<0，则x> 1
a，C 正确；
故选：A.
变式1．（2024·上海奉贤·高一校考阶段练习）设
，解关于
的不等式
，下列说法正确的是
（ ）
A．该不等式的解集为
；
B．该不等式的解集为
；
C．该不等式的解集可能为
；
D．该不等式的解集不可能为
.
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【答案】C
【分析】对
分四种情况讨论得解.
【详解】解：当
时，
，该不等式的解集为
；
当
时，
，该不等式的解集为
；
当
，
时，该不等式的解集为
；
当
，
时，该不等式的解集为
.
故选：C
变式2.（2024·全国·高一专题练习）不等式组¿有解，则实数a 的取值范围是（ ）
A．−1<a<3
B．a<−1或a>3
C．−3<a<1
D．a<−3或a>1
【答案】A
【分析】根据给定条件化简不等式组，再列式即可求解作答.
【详解】依题意，¿，而不等式组¿有解，则不等式a
2+1< x<4+2a成立，因此，a
2+1<4+2a，即
a
2−2a−3<0，解得−1<a<3，
所以实数a 的取值范围是：−1<a<3.
故选：A
变式3.（2024·全国·高一专题练习）设m 为实数，解关于x 的不等式m( x +2)< x +m.
【答案】答案见解析
【分析】根据含参数的一元一次不等式的解法，分类讨论，即可求解.
【详解】由题意，不等式m( x +2)< x +m，可化为(m−1)x<−m，
当m−1=0时，即m=1时，不等式为0<−1不成立，所以解集为空集；
当m−1>0时，即m>1时，可得x<−
m
m−1，即解集为(−∞,−
m
m−1 )；
当m−1<0时，即m<1时，可得x>−
m
m−1，即解集为(−
m
m−1 ,+ ∞)，
综上可得，当m=1时，不等式的解集为空集；
当m>1时，不等式的解集为(−∞,−
m
m−1 )；
当m<1时，不等式的解集为(−
m
m−1 ,+∞).
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变式4.（2024·浙江绍兴·高一校考开学考试）若
，则关于
的不等式组
，整数解的
个数是
【答案】
【解析】因为
，由不等式组
可得，
，
而
，则整数解有
，
所以不等式组的整数解有个.故答案为:
【方法技巧与总结】
1.解一元一次不等式（组）的基本步骤
(1)解一元一次不等式与一元一次方程的步骤类似：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤
将未知数的系数化为1.应特别注意在步骤①⑤中，应用性质3 时不等号的方向是否改变．
(2)解一元一次不等式组，先分别求出不等式组中每个不等式的解集，并在同一数轴上表示出来，确定
它们的交集，最后写出不等式组的解集．
2.求解含参不等式的问题，一定要讨论x 的系数的取值范围
【题型2：含有一个绝对值号不等式的解法】
例3．（2023 春·陕西渭南·高二校考阶段练习）不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
【答案】A
【分析】由绝对值不等式的解法解原不等式即可得解.
【详解】由
可得
，解得
，
故原不等式的解集为
.
故选：A.
【点睛】本题考查绝对值不等式的解，属于基础题.
变式1．（2024·高一课时练习）求下列绝对值不等式的解集：
（1）
（2）
．
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【答案】（1）
；（2）
【解析】（1）根据绝对值的几何意义解答；
（2）根据绝对值的几何意义解答；
【详解】解：（1）
又根据绝对值的几何意义知
故原不等式无解，解集为
（2）
又根据绝对值的几何意义知
故原不等式的解集为：
【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，属于基础题.
变式2．（2023 春·江西鹰潭·高二贵溪市实验中学校考期末）已知命题
，命题
，则
A 是B 的什么条件（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．非充分非必要条件
【答案】B
【分析】解不等式，求出集合
，由充分条件、必要条件的定义即可得出答案.
【详解】由
得
，则
，所以集合
，
集合
，
显然
是
的子集，所以A 是B 必要不充分条件.
故选：B.
变式3．（2024·全国·高一专题练习）不等式
的解集为（ ）
A．
或
B．
或
C．
且
D．
或
【答案】D
【分析】根据绝对值不等式的解法，对
分类讨论求解即可.
【详解】解：当
时，即
时，有
，解得
；
12
当
时，即
时，有
，解得
；
综上不等式的解集为
或
.
故选：D.
【点睛】本题主要考查含有绝对值不等式的解法，通常采用分段讨论法，去掉绝对值求解.
变式4.（2024·广西钦州·高一校考开学考试）不等式
的解为 .
【答案】
或
【解析】由
，得到
或
，即
或
，
所以
解集为
或
，
故答案为：
或
.
变式5．（2024·高一课时练习）对于任意实数x，不等式|x＋7|≥m＋2 恒成立，则实数m 的取值范围是
．
【答案】
【分析】求出
的最小值
，然后解不等式
可得参数范围．
【详解】令y＝|x＋7|，要使任意x∈R，|x＋7|≥m＋2 恒成立，只需m＋2≤ymin，
因为ymin＝0，所以m＋2≤0，
所以m≤－2，所以m 的取值范围是
．
故答案为：
．
【点睛】本题考查含绝对值不等式恒成立问题，解题关键是问题转化，转化为求函数最小值，然后易得参
数范围．
变式6．（2024·湖南常德·高一常德市鼎城区第一中学校考阶段练习）若不等式
成立的充分非必要
条件是
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】求得不等式
的解集，根据充分非必要条件列不等式组，由此求得
的取值范围.
【详解】不等式
，
由于不等式
成立的充分非必要条件是
，
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所以
，
所以
的取值范围是
.
故选：A
变式7．（2024·湖南常德·高一汉寿县第一中学校考期末）不等式
的解集为
．
【答案】
【分析】原不等式等价于
，分类讨论解
即可.
【详解】原不等式等价于
，对于
，
当
时，
，则此时不等式无解.
当
时，
.
则原不等式解集为：
.
故答案为：
【方法技巧与总结】
绝对值不等式的常见类型及其解法
(1)如果c>0，那么|x|<c⇔－c<x<c，|x|>c
x<
⇔
－c 或x>c.
注：含绝对值不等式|x|<a 与|x|>a 的解法
①|x|<a⇔
(2)|x|>a⇔
(2)如果c>0，那么|ax＋b|<c⇔－c<ax＋b<c，|ax＋b|>c
ax
⇔
＋b<－c 或ax＋b>c.
(3)形如n<|ax＋b|<m(m>n>0)的不等式等价于⇔n<ax＋b<m 或－m<ax＋b<－n.
(4)求解|f(x)|>|g(x)|或|f(x)|<|g(x)|型不等式的方法为平方法
(5)求形如|f(x)|<a(a>0)和|f(x)|>a(a>0)型不等式可运用等价转化法化成等价的不等式(组)求解．
(6)求形如|f(x)|<g(x)和|f(x)|>g(x)型不等式的解法
①等价转化法：
|f(x)|<g(x)⇔－g(x)<f(x)<g(x)，
|f(x)|>g(x)⇔f(x)<－g(x)或f(x)>g(x)．
(这里g(x)可正也可负)
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②分类讨论法：
|f(x)|<g(x)⇔或
|f(x)|>g(x)⇔或
【题型3：含有两个绝对值号的不等式的解法】
例4．（2024·高一课时练习）请写出一个满足不等式
的
值： .
【答案】1（答案不唯一）
【分析】取
即可得出答案.
【详解】当
时，
满足题意
故答案为：1（答案不唯一）
变式1．（2024·高一课时练习）求下列不等式的解集：
（1）
（2）
（3）
（4）
．
【答案】（1）
；（2）
；（3）
；（4）
【解析】（1）采用零点分区间法，分类讨论解答.
（2）采用零点分区间法，分类讨论解答.
（3）采用零点分区间法，分类讨论解答.
（4）采用零点分区间法，分类讨论解答.
【详解】解：（1）
当
时，原不等式可化为
，解得
；
当
时，原不等式化为
，解得
；
当
时，原不等式化为
，解得
．
综上，原不等式的解集为
．
（2）
当
时，原不等式可化为
，解得
；
当
时，原不等式化为
，即
解得
；
当
时，原不等式化为
，解得
．
综上，可得原不等式的解集为
．
（3）
15
当
时，原不等式可化为
，解得
；
当
时，原不等式化为
，解得
；
当
时，原不等式化为
，解得
．
综上，可得原不等式的解集为
．
（4）
当
时，原不等式可化为
，解得
；
当
时，原不等式化为
，解得
；
当
时，原不等式化为
，解得
．
综上，原不等式的解集为
．
【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，采用零点分区间法或绝对值的几何意义是两种有效的方法，属于
基础题.
变式2．（2024·全国·高三专题练习）解下列不等式：
（1）
；
（2）
；
（3）
.
【答案】（1）
（2）
（3）
【分析】（1）由零点分段解绝对值不等式即可
（2）由平方法解不等式即可
（3）由绝对值的几何意义解绝对值不等式即可
【详解】（1）
，
或
解得
或
，
不等式的解集为
.
（2）原不等式可化为
，
，即
，
解得
或
，
原不等式的解集为
.
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（3）由绝对值的几何意义知
表示数轴上数
对应的点与数、
对应的点的距离之和大
于，
数
与数对应的点的距离为，
原不等式的解集为
.
【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，熟练掌握零点分段，绝对值几何意义及平方转二次求解是常见方
法，是基础题
变式3．（2024·辽宁沈阳·高一沈阳二十中校考开学考试）不等式|x－1|＋|x－2|≤3 的最小整数解是（ ）
A．0
B．－1
C．1
D．2
【答案】A
【分析】首先对
的范围进行讨论，去掉绝对值符号，转化三个不等式组，求得结果.
【详解】原不等式可化为
或
或
，
解得0≤x≤3，
所以最小整数解是0，
故选：A.
【点睛】该题考查的是有关绝对值不等式的问题，涉及到的知识点有分类讨论去绝对值符号解绝对值不等
式，属于简单题目.
变式4．（2024·上海松江·校考模拟预测）已知
，则“
”是“
”的（ ）．
A．充分不必要条件；
B．必要不充分条件；
C．充要条件；
D．既不充分也不必要条件．
【答案】B
【分析】解出不等式的解集，判断“
”和“
”之间的逻辑推理关系，即得答案.
【详解】解
，当
时，即
，则
，此时解集为
，
当
时，即
，则
，此时解集为
，
当
时，即
，则
，此时解集为
，
故“
”成立时，等价于
；
当“
”成立时，等价于
，
故
成立时，不一定推出
成立，反之成立，
故“
”是“
”的必要不充分条件，
故选：B
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变式5．（2023 春·河南郑州·高二郑州一中校考期中）已知函数
．
(1)当
时，求不等式
的解集．
(2)若不等式
在
上恒成立，求实数a 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分
，
和
解不等式即可；
（2）根据
去部分绝对值得
，转化为
在
恒成立，分别求出左边最大值
和右边最小值即可得到答案.
【详解】（1）当
时,
,
当
时,
，即为
，解得
；
当
时，
，即为
，解得
；
当
时，
，即为
，无解.
综上可得，
的解集为
.
（2）若
在
上恒成立,
可得
在
上恒成立,
化为
,即
，
可得
，即
在
恒成立,
则
，
，则
，
，
，则
，
则
的范围是
.
【方法技巧与总结】
(4)对于形如|x－a|＋|x－b|>c 和|x－a|＋|x－b|<c 的不等式，一般以x＝a，x＝b 为分界点，将数轴分为几
个部分，利用零点分段讨论法或者绝对值的几何意义求解．零点分段讨论法适用于解含有多个绝对值的不
等式．
【题型4：根据不等式的解集求参数】
例5.（2024·全国·高一专题练习）若1 是关于
的不等式
的解，则实数
的取值范围是 .
【答案】
【解析】因为1 是关于
的不等式
的解，
18
所以
，解得
，
所以实数
的取值范围是
，
故答案为：
变式1．（2024·高一单元测试）不等式组
的解集是
，则m 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】化简不等式组得到
，结合不等式的解集，得出不等式
，求解即可得到m 的取值
范围.
【详解】
,可化为
因为不等式组
的解集是
所以
，解得：
故选：D
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的解法，属于基础题.
变式2．（2024·上海徐汇·高一上海市南洋模范中学校考阶段练习）已知不等式组
解为
，
则
的值为 .
【答案】1
【分析】根据已知求出
的值即得解.
【详解】解：
，解不等式①得
，解不等式②得
，
∴原不等式组的解为
，∵该不等式组的解为-2<x<3，
所以
且
，
∴a=3，b=4，∴
.
故答案为：1
变式3．（2024·高一课时练习）如果不等式组
的解集是
，那么
的值为 .
【答案】1
19
【分析】先用含有a、b 的代数式把每个不等式的解集表示出来，然后根据已知的解集，进行比对，得到两
个方程，解方程求出a、b，即可求解
【详解】解:不等式组
的解集为
，
它的解集是
，
，
解得
，
，
.
故答案为1
【点睛】本题既考查不等式的解法，又考查学生如何逆用不等式组的解集构造关于a、b 的方程，从而求得
a、b．
变式4．（2024·全国·高一专题练习）已知关于x 的不等式组
的解集是(5，22)，则a＝
，b＝ .
【答案】 3 5
【分析】根据一元一次不等式的解集列方程组，解方程组求得
的值.
【详解】记原不等式组为
，
解不等式①，得
.
解不等式②，得
.
因为原不等式组的解集为(5，22)，
所以
，
解这个关于a，b 的二元一次方程组，得
.
故答案为：3；5
【点睛】本小题主要考查一元一次不等式组的解法，属于基础题.
变式5.（2024·高一课时练习）已知关于x 的不等式
的解集为
，则
．
【答案】
20
【解析】当
时，
的解为
，与题设矛盾；
当
时，
的解为
，与题设矛盾；
当
时，
若
时，
即为
，此时不等式的解为一切实数，与题设矛盾；
若
时，
即为
，此时不等式的解集为空集，符合题设；
故答案为：
变式6.（2024·上海·高一专题练习）设a 为实数，若关于x 的一元一次不等式组
的解集中有且
仅有4 个整数，则a 的取值范围是 .
【答案】
【解析】关于x 的一元一次不等式组
的解集为
，则
，
故0 一定为不等式组的一个整数解，
若不等式的4 个整数解为0，1，2，3 时，
则
，解得
；
当不等式的4 个整数解为
时，
则
，不等式组无解，
综上所述，a 的取值范围是
.
【题型5：数轴上两点间的距离及中点坐标公式】
例6．（2024·全国·高二专题练习）已知数轴上，
，求线段
的长以及线段
的中点M 的坐
标．
【答案】
，
【解析】根据数轴上任意两点的距离公式，及中点公式解答.
【详解】解：
，
，
的中点
的坐标为
，即
．
【点睛】本题考查数轴上任意两点的距离和中点公式，属于基础题.
21
变式1．（2024·全国·高一专题练习）已知数轴上不同的两点
，
，则在数轴上满足条件
的点
的坐标为（ ）.
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由题意
，则设点
的坐标为
，再根据
列出等式化简即可解决．
【详解】设点
的坐标为
.
，
，即
，因为不同的两点
，
，故
，解得
故选：C.
变式2．（2024·辽宁朝阳·高一建平县实验中学校考阶段练习）在数轴上，已知
，
，原点
为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由
与
互为相反数，即可得到答案；
【详解】
与
互为相反数，
，
故选：D
变式3．（2024·全国·高一专题练习）设数轴上点A 与数3 对应，点B 与数x 对应，已知线段
的中点到
原点的距离不大于5，求x 的取值范围．
【答案】
【解析】依题意得到
的中点对应的数为
，即
，根据绝对值的几何意义解答.
【详解】解：因为
的中点对应的数为
，
所以由题意可知
，
即
，
因此
，所以
，因此
的取值范围是
【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，属于基础题.
变式4．（2024·全国·高一专题练习）已知数轴上三点
，
，
.
（1）若其中一点到另外两点的距离相等，求实数
的值；
（2）若
中点到线段
中点的距离大于1，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
22
【分析】（1）讨论P,Q,R 分别为中点；利用中点坐标公式求解即可
（2）利用距离公式求解即可
【详解】（1）若
是线段
的中点，则
，
；
若
是线段
的中点，则
；
若
是线段
的中点，则
，
.
（2）由题意，知
，即
，
或
，解得
或
，
实数
的取值范围是
.
【点睛】本题考查数轴的点坐标，考查中点坐标及距离公式，考查绝对值不等式解法，是基础题
【方法技巧与总结】
数轴上基本公式的应用
(1)已知数轴上两点的坐标可用两点间的距离公式求距离，若已知两点间的距离，也可用距离公式求相
应点的坐标；
(2)中点坐标公式可以解决三点共线问题．其中已知两点坐标，可用公式求第三点的坐标．
一、单选题
1．（2024 高一上·辽宁抚顺·期中）不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】解一元一次不等式求得不等式的解集.
【详解】由
得
，
所以不等式的解集为
.
故选：C
23
2．（2024 高一·全国·专题练习）足球赛期间，某球迷俱乐部一行 56 人从旅馆乘出租车到球场为中国队加
油，现有A、B 两个出租车队，A 队比B 队少 3 辆车.若全部安排乘A 队的车，每辆车坐 5 人，车不够，
每辆车坐 6 人，有的车未坐满；若全部安排乘B 队的车，每辆车坐 4 人，车不够，每辆车坐 5 人，有
的车未坐满.则A 队有出租车（ ）
A．11 辆
B．10 辆
C．9 辆
D．8 辆
【答案】B
【分析】设A 队有x 辆车，由题设有
求
的解集，即可确定A 队有出租车数量.
【详解】设A 队有出租车x 辆，则B 队有出租车(x＋3)辆，
由题意得：
，解得
，
∴
，而x 为正整数，故x＝10.
故选：B.
3．（2024 高一上·重庆·期中）不等式组
的解集为
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先化简不等式组，然后根据不等式组的解集可求得结果.
【详解】由
，得
，
因为不等式组的解集为
，
所以
，即
的取值范围是
，
故选：C
4．（2024 高一·全国·课后作业）已知关于x 的不等式组
的整数解共有4 个，则a 的最小值为
24
（ ）
A．1
B．2
C．2.1
D．3
【答案】B
【解析】先求得不等式组
解集
，然后根据整数解共有4 个求解.
【详解】由
有解，得
解得
，即不等式组的解集是
.
因为不等式有4 个整数解，则整数解是
.
则a 的范围是2≤a<3.
所以a 的最小值是2.
故答案是：B
【点睛】本题主要考查不等式组的解，属于基础题.
5．（2024 高一上·上海普陀·期中）不等式
＜
的解集是（ ）
A．(－7，+∞)
B．(－∞，7)
C．(－7，3) (3
∪
，+∞)
D．(－∞，3) (3
∪
，7)
【答案】C
【分析】由题可得
，解之即得.
【详解】原不等式可化为
，
解得
且
.
故选：C.
6．（2024 高一·全国·专题练习）已知命题
，命题
，则A 是B 的什么条件
（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．非充分非必要条件
【答案】B
【分析】解不等式，求出集合
，由充分条件、必要条件的定义即可得出答案.
【详解】由
得
，则
，所以集合
，
集合
，
显然
是
的子集，所以A 是B 必要不充分条件.
25
故选：B.
7．（2024 高一上·湖南长沙·期中）设
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．
既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】解不等式，根据解的范围大小得到答案.
【详解】
，则
；
，则
，
故“
”是“
”的必要不充分条件.
故选：B
8．（24-25 高一上·辽宁·阶段练习）不等式
的最小整数解为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】分段去绝对值符号求出
的取值范围即可得解.
【详解】原不等式可化为
或
或
，
解得
，所以所求最小整数解是
.
故选：C
9．（2024 高一·全国·课后作业）已知
时，
恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．[5,+ ∞)
【答案】C
【分析】解出不等式
可得集合A，由
，计算可得范围.
【详解】设
的解集为A，
因为
时，
恒成立，所以
，
由
得
，即
，
当
，解得
，即
，可得
；
当
，解得
，即
，不合题意；
当
，解集为
，不合题意；
综上所述：实数a 的取值范围是
.
故选：C.
26
10．（2024 高三上·河南信阳·阶段练习）已知不等式
成立的一个必要不充分条件是
，
则实数m 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先求得不等式
解集，结合题意，得到关于
的不等式，从而得解．
【详解】因为
等价于
，即
，
当
，不等式为
，显然不成立；
当
时，不等式解得
，
当
时，不等式解得
，
所以
等价于
或
；
因为不等式
成立的一个必要不充分条件是
，
所以
或
是
的真子集，
则
或
，解得
或
，
即实数m 的取值范围是
.
故选：C．
二、填空题
11．（2024 高一·安徽宣城·强基计划）直线
经过
，
两点，则不等式
的解集为
【答案】
【分析】将
，
两点坐标代入直线解析式求出
和
，从而得到直线解析式，将
拆分为
两个不等式，解不等式组，将结果综合起来即可.
【详解】将
，
两点坐标代入
可得
，
27
解得
，所以直线解析式为
，
所以不等式
即
，
可化为
，解得
.
故答案为：
12．（2024 高一上·全国·课前预习）数轴上的中点坐标公式：一般地，如果实数a，b 在数轴上对应的点分
别为A，B，即A（a），B（b），如果线段AB 的中点M 对应的数为x，则x= .
【答案】
【分析】根据中点，可得线段相等即可求解.
【详解】由于
,所以
,进而可得
或
，解得
或
（舍去）
故
，
故答案为：
13．（2024 高一上·上海·期中）若关于
的不等式组
的解集非空，则满足条件的最大整数
.
【答案】0
【分析】先化简不等式组，依题意表示得出
的范围，再取最大整数值即可.
【详解】由
可得：
要使不等式组
的解集非空，
须使
即：
故满足条件的最大整数
0.
故答案为：0.
14．（2024 高一上·上海宝山·期中）若关于
的不等式
解集为
，则关于
的不
等式
的解集为 .
28
【答案】
【分析】根据给定的解集，求出a，b 的关系，再代入求解不等式作答.
【详解】因关于
的不等式
解集为
，则1 是方程
的根，且
，
因此
，且
，不等式
化为：
，而
，解得
，
所以关于
的不等式
的解集为
.
故答案为：
15．（2024 高一上·浙江绍兴·开学考试）若
，则关于
的不等式组
，整数解的个数
是
【答案】
【分析】根据题意，将不等式组化简，即可得到结果.
【详解】因为
，由不等式组
可得，
，而
，
则整数解有
，所以不等式组的整数解有
个.
故答案为:
16．（2024 高一上·上海·期中）已知关于
的不等式
恰有3 个整数解，则实数
的取值范围
是 .
【答案】
【分析】先求解含绝对值的不等式，再结合恰有3 个整数解可得不等式组，解不等式组可得答案.
【详解】因为
，所以
，即
，
由于不等式恰有3 个整数解，则这三个整数解分别是2，3，4，
所以
，解得
，
故答案为：
.
17．（2024 高一上·上海黄浦·期中）若“
”是“
”的充分非必要条件，则实数
的取
29
值范围是 ．
【答案】
【分析】解不等式得到
，
，则
或
，得到
，解得答案.
【详解】
，
当
时，
，解得
，故
；
当
时，
，不成立；
当
时，
，解得
，故
；
综上所述：
，
，则
或
，
由题意可得：
，解得
，即
.
故答案为：
.
三、解答题
18．（24-25 高一上·上海·随堂练习）解关于
的不等式
，其中
．
【答案】答案见解析
【分析】对一次项系数
进行分类讨论，分
三类求对应解集.
【详解】原不等式整理为
．
当
时，解得
，解集为
，
当
时，解得
，解集为
，
当
时，则
，
为任意实数，解集为R．
19．（2024 高二下·河南郑州·期中）已知函数
．
(1)当
时，求不等式
的解集．
(2)若不等式
在
上恒成立，求实数a 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分
，
和
解不等式即可；
（2）根据
去部分绝对值得
，转化为
在
恒成立，分别求出左边最大
30
值和右边最小值即可得到答案.
【详解】（1）当
时,
,
当
时,
，即为
，解得
；
当
时，
，即为
，解得
；
当
时，
，即为
，无解.
综上可得，
的解集为
.
（2）若
在
上恒成立,
可得
在
上恒成立,
化为
,即
，
可得
，即
在
恒成立,
则
，
，则
，
，
，则
，
则
的范围是
.
20．（2024·陕西榆林·模拟预测）已加
．
(1)解不等式
；
(2)令
，若
的图象与
轴所围成的图形的面积为
，求实数
的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）去绝对值，结合一元一次不等式即可求解；（2）结合图像平移即可求解.
【详解】（1）
，
当
时，
，解得
，无解；
当
时，
，解得
，所以
；
当
时，
，解得
，所以
．
31
综上所述，不等式
的解集为[0,2]．
（2）画出
的图象，由（1）知，阴影部分的面积为
，
所以
的图象向下平移至阴影部分的上沿与
轴重合时，图形与
轴所围成图形的面积恰为阴影部分的
面积，即为
，
此时函数
的图象向下平移的距离为3，故
．
21．（2024 高一·全国·课后作业）如果关于
的不等式组
的解集
，且关于
的分式
方程
有非负数解，则所有符合条件的整数
的值之和是
A．
B．0
C．3
D．5
【答案】A
【分析】不等式组变形后，根据解集确定出m 的范围，再表示出分式方程的解，由分式方程有非负数解，
确定出满足条件m 的值，进而求出之和．
【详解】解不等式
，得
，
解不等式
，得
，
不等式组的解集为
，
，解得
.
解分式方程
得
，
分式方程有非负数解，
且
，解得
且
，
.且
，
32
则所有符合条件的整数
的值之和是
.
故选A.
【点睛】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式组，熟练掌握解分式方程和一元一次不等式组的方法
是解题的关键．
22．（2024 高一·全国·课后作业）为了抓住某艺术节的商机，某商店决定购进A，B 两种艺术节纪念品．若
购进A 种纪念品8 件，B 种纪念品3 件，需要950 元，购进A 种纪念品5 件，B 种纪念品6 件，需要800 元．
（1）求购进A，B 两种纪念品每件分别需要多少钱；
（2）若该商店决定购进A，B 两种纪念品共100 件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100 件纪念品
的资金不少于7500 元，但不超过7650 元，则该商店共有几种进货方案？
（3）若销售每件A 种纪念品可获利润20 元，每件B 种纪念品可获利润30 元，在第（2）问的各种进货方
案中，哪一种方案可获利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）100 元、50 元；（2）答案见解析；（3）方案一可获利润最大，最大利润为2500 元.
【分析】（1）设购进A 种纪念品每件x 元，B 种纪念品每件y 元，列方程组求解；
（2）设购进A 种纪念品x 件，则购进B 种纪念品(100－x)件，根据资金列一元一次不等式组求解；
（3）根据（2）求出各方案的利润，比较可得．
【详解】（1）设购进A 种纪念品每件x 元，B 种纪念品每件y 元．
根据题意，得
解得
所以购进A，B 两种纪念品每件分别需要100 元、50 元．
（2）设购进A 种纪念品x 件，则购进B 种纪念品(100－x)件．根据题意，得
7 500≤100x＋50(100－x)≤7 650，
解得50≤x≤53.
因为x 是正整数，
所以x 可以取50，51，52，53.
所以共有四种进货方案，
方案一：购进A 种纪念品50 件，B 种纪念品50 件；
方案二：购进A 种纪念品51 件，B 种纪念品49 件；
方案三：购进A 种纪念品52 件，B 种纪念品48 件；
方案四：购进A 种纪念品53 件，B 种纪念品47 件．
（3）方案一获利：50×20＋50×30＝2 500(元)；
方案二获利：51×20＋49×30＝2 490(元)；
方案三获利：52×20＋48×30＝2 480(元)；
方案四获利：53×20＋47×30＝2 470(元)；
所以方案一可获利润最大，最大利润为2 500 元．
【点睛】本题考查用方程组和不等式解应用题，解题关键是设出未知数，根据已知条件列出方程组或不等
式求解．
33
23．（2024 高一·全国·课后作业）对x，y 定义一种新运算T，规定：T(x，y)＝
(其中a，b 均为非零
常数)，这里等式右边是普通的四则运算，例如：T(0，1)＝
＝b.已知T(1，－1)＝－2，T(4，2)＝
1.
（1）求a，b 的值；
（2）若关于m 的不等式组
恰好有3 个整数解，求实数p 的取值范围．
【答案】（1）
；（2）－2≤p＜－
.
【分析】（1）根据新定义运算列方程组可解得
；
（2）利用新定义运算把新不等式组转化为一元一次不等式组，然后解之，再利用不等式组的解恰好有3 个
整数可得
的不等关系，从而得出结论．
【详解】（1）由T(1，－1)＝－2，T(4，2)＝1，得
即
解得
（2）由（1），得T(x，y)＝
，则不等式组
可化为
解得－
≤m＜
.
因为不等式组
恰好有3 个整数解，所以2＜
≤3，解得－2≤p＜－
.
【点睛】本题考查新定义运算，解题关键是正确理解新定义，利用新定义把问题转化为我们熟知的一元一
次不等式组求解．
