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7.3.2 正弦型函数的性质与图象
课程标准
学习目标
（1）通过“五点法”作图，借助图象研究正弦型
函数的性质；
（2）借助图象理解参数
，
，
的意义，了
解参数的变换对函数图象的影响。
（1）会用“五点法”画函数
的
图象，重点提升直观想象核心素养；
（2）掌握
与
图象间
的变换关系，并能正确地指出其变换步骤；
（3）掌握正弦型函数的性质，并能利用正弦型函
数的性质解决简单问题。
知识点01 正弦型函数的概念及图象
1、正弦型函数的定义：一般地，形如
的函数，在物理，工程等学科的研究中经常遇到，
这类型的函数称为正弦型函数，其中
都是常数，且
.
2、
对函数正弦型函数图象的影响
（1）A 决定了函数的值域以及函数的最大值和最小值，通常称A 为振幅.
（2）φ 决定了x=0 时的函数值，通常称φ 为初相，ωx＋φ 为相位.
（3）ω 决定了函数的周期
3、
的实际意义
（1）
的表示小球能偏离平衡位置的最大距离，称为振幅；
（2）
在决定
时小球的位置中起关键性作用，称为初相；
（3）周期
表示小球完成一次运动所需要的时间，
表示1s 内能完成的运动次数，称为频率.
4、“五点法”画正弦型函数的图象
用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示.
x
－
－＋
－
ωx＋φ
0
π
2π
y＝Asin(ωx＋φ)
0
A
0
－A
0
【即学即练1】（2022·黑龙江齐齐哈尔·高一统考期末）用五点法作函数f(x)＝sin
的图象时，所取
的“五点”是（ ）
A．
，
，
，
，
B．
，
，
，
，
C．
，
，
，
，
D．
，
，
，
，
【答案】A
【解析】令2x－
＝0 可得x＝
，又函数的最小正周期为
，则
，
所以五点的坐标依次是
，
，
，
，
.故选：A.
知识点02 正弦型函数的性质
1、定义域与值域：定义域为R，值域为
2、周期：
3、奇偶性：“定义域关于原点对称”，是函数具有奇偶性的前提，在满足这一前提的条件下，
对于
当
时，函数
是奇函数；
当
时，函数
是偶函数；
当
时，函数
是非奇非偶函数；
4、单调性：确定函数
的单调区间的思想是把
看作一个整体。
由
解出
的范围，可得单调递增区间；
由
解出
的范围，可得单调递减区间；
【即学即练2】（2023·江苏无锡·高一辅仁高级中学月考）（多选）已知函数
，则（
）
A．
的最小正周期为
B．
的图象关于直线
对称
C．
是偶函数
D．
的单调递减区间为
【答案】AD
【解析】对于A，由三角函数的性质，可得
的最小正周期为
，所以A 正确；
对于B，当
时，可得
，
所以
的图象不关于直线
对称，所以B 错误；
对于C，由
，
此时函数
为非奇非偶函数，所以C 错误；
对于D，令
，
，解得
，
，
即函数的递减区间为
，
，所以D 正确．故选：AD
知识点03 三角函数图象变换
1、振幅变换：要得到函数
的图象，只要将函数
的图象上所有点的纵坐
标伸长（当A＞1 时）或缩短（当0＜A＜1 时）到原来的A 倍（横坐标不变）即可得到．
2、平移变换：要得到函数
的图象，只要将函数
的图象上所有点向左（当φ＞0
时）或向右（当φ＜0 时）平行移动|φ|个单位长度即可得到．
3、周期变换：要得到函数
（其中
且
）的图象，可以把函数
上所
有点的横坐标缩短（当ω＞1 时）或伸长（当0＜ω＜1 时）到原来的
倍（纵坐标不变）即可得到．
4、从
到
的两种变换途径
【即学即练3】（2024·全国·高一期末）已知函数
的图象为
，为得到函数
的图
象，只需把
上的所有点（ ）
A．纵坐标不变，横坐标向左平移
个单位
B．纵坐标不变，横坐标向右平移
个单位
C．纵坐标不变，横坐标向左平移
个单位
D．纵坐标不变，横坐标向右平移
个单位
【答案】A
【解析】因为
，为得到函数
的图象，
只需把
上的所有点纵坐标不变，横坐标向左平移
个单位，故选：A.
【题型一：正弦型函数的周期性】
例1．（2024·天津宁河·高一统考期末）函数
，
的最小正周期是 .
【答案】
【解析】
，
变式1-1．（2023·四川资阳·高二乐至中学校考开学考试）函数
的最小正周期为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由二倍角公式和辅助角公式化简
可得
，其中
，
由三角函数的周期公式可得最小正周期
.故选：C
变式1-2．（2023·高一课时练习）下列函数，最小正周期为
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】函数
的最小正周期为
，故A 不符合；
函数
，其最小正周期为
，故B 不符合；
因为函数
的最小正周期为
，所以函数
的最小正周期为
，故C 符合；
因为函数
的最小正周期为
，
所以函数
的最小正周期为
，故D 不符合.故选：C.
变式1-3．（2022·广东深圳·高一校考期末）函数
的最小正周期是
，则
．
【答案】
【解析】因为函数
的最小正周期是
，
所以可得
，解得
.
变式1-4．（2023·甘肃·高一校联考阶段练习）已知函数
，则
．
【答案】2022
【解析】易知函数
的最小正周期
，
而
，
由周期性知，这样连续六项的和均为，
而
共有
项，
，
所以
．
【方法技巧与总结】
求三角函数周期的方法：
1、定义法，即利用周期函数的定义求解；
2、公式法，对形如
（
，
，
是常数，
,
）的函数，
；
3、图象法，即通过画出函数图象，通过图象观察即可。
三种方法各有所长，要根据函数式的结构特征，选择适当的方法求解。
【题型二：正弦型函数的奇偶性】
例2．（2023·河南·高一校考阶段练习）函数
的（ ）
A．图象关于x 轴对称 B．图象关于y 轴对称 C．图象关于原点对称 D．以上都不对
【答案】C
【解析】由题意：
，
，
设
，
，
所以
为奇函数，由奇函数性质得其图象关于原点对称，故C 项正确.故选：C.
变式2-1．（2023·高一课时练习）判断下列函数的奇偶性．
（1）
； （2）
； （3）
.
【答案】（1）偶函数；（2）奇函数；（3）非奇非偶函数．
【解析】（1）
的定义域为
，
，
因为
，所以
为偶函数，
（2）
的定义域为
，
，
因为
，所以
为奇函数，
（3）由
，得
，解得
，
所以函数的定义域为
，
因为定义域不关于原点对称，所以该函数是非奇非偶函数．
变式2-2．（2024·全国·高一专题练习）已知函数
，
为奇函数，则
.
【答案】
或
【解析】由题意知
，即
.
∵
，∴当
时，
；
当
时，
.
变式2-3．（2023·福建宁德·高一校考期末）（多选）设函数
，若
，
函数
是偶函数，则
的值可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【解析】依题意
，又其为偶函数，
则图像关于
轴对称，则
，得
，
又
，则
或
.故选：BC
变式2-4．（2024·黑龙江哈尔滨·高一统考期末）函数
（
，
）
的最小正周期为4，且
，则
.
【答案】0
【解析】
，
因为最小正周期为4，所以
，
，所以
，
又因为
，所以
，故
，
因为
，所以
，所以
，
所以
，
，
，
，
所以
，且
，
由于
的周期为4，
所以
.
【方法技巧与总结】
1、定义法判断正弦型函数的奇偶性；
2、在满足定义域关于原点对称的前提下，函数
在
时为奇函数，在
时为偶函数
【题型三：正弦型函数的对称性】
例3．（2023·广西南宁·高一校考阶段练习）函数
的一条对称轴为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】函数
的对称轴满足
，解得
，
令
，则
，故选：A.
变式3-1．（2023·北京·高一北京市第一六一中学校考期中）函数
的图象（ ）
A．关于直线
对称 B．关于直线
对称
C．关于点
对称 D．关于点
对称
【答案】B
【解析】A.
，所以函数不关于直线
对称，故A 错误；
B.
，所以函数关于直线
对称，故B 正确；
C.
，所以函数不关于点
对称，故C 错误；
D.
，所以函数不关于点
对称，故D 错误；故选：B
变式3-2．（2023·福建莆田·高三莆田一中校考期中）已知
的图象关于
对称，则函
数
的图象的一条对称轴是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
，
又图象关于
对称，
，可以求得
，
故
，
对称轴为
，
时即A 项．故选：A．
变式3-3．（2022·高一课时练习）已知函数
的一个对称中心为
，则函
数
的对称轴为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
，其中
，
因为函数的对称中心为
，令
，
，代入
得
，
所以
，
，
所以
，则
，
令
，
，解得
，
即函数
的对称轴方程为
.故选：A
变式3-4．（2023·山东菏泽·高一菏泽一中校考阶段练习）已知函数
图象关于直
线
对称，且关于点
对称，则
的值可能是（ ）
A．5 B．9 C．13 D．15
【答案】B
【解析】函数
图象关于直线
对称，且关于点
对称，
则有
且
，解得
且
，
选项中只有
符合条件.故选：B
【方法技巧与总结】
1、对于函数
的图象：
（1）对称中心：由
，得对称中心为
，即函数值为0 的点；
（2）对称轴：由
，得对称轴
，即函数取得最大值对应的
与
轴垂直的直线。
注意：相邻两条对称轴之间的距离为
，相邻的对称轴与对称中心的距离为
，可以此求周期
。
【题型四：正弦型函数的单调性】
例4．（2023·贵州毕节·高一校考期中）函数
的一个单调增区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由
，（
），解得
，（
），
所以
的单调增区间为
，（
），
当
时，
的单调增区间为
，
当
时，
的单调增区间为
，
当
时，
的单调增区间为
，
经检验，只有
符合题意，
即函数
的一个单调增区间为
.故选：D
变式4-1．（2023·全国·高一专题练习）函数
，
的单调递增区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】令
，解得
，
∵
，当
时，
，即函数的单调递增区间是
．故选：B.
变式4-2．（2024·全国·高一专题练习）函数
的单调递增区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】函数
，
由
，有
，
所以函数
的单调递增区间是
.故选：A.
变式4-3．（2023·重庆沙坪坝·高一重庆市第七中学校校考期末）函数
的单调减
区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
令
，解得
所以
的单调减区间为
.故选：A
变式4-4．（2024·全国·高一假期作业）函数
在下列某个区间上单调递增，
这个区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】∵
，
令
，则
，
即
的单调递增区间为
，
当
时，
，∴函数
在区间
上单调递增.故选：A
变式4-5．（2023·河北邢台·高一邢台市第二中学校联考阶段练习）函数
的单调递增区
间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】令
，可得
．
当
时，函数
单调递增．
所以当
时，
单调递增．
故
在
上单调递增．故选：A.
【方法技巧与总结】
用“基本函数法”求函数
的单调区间的步骤
第一步：写出基本函数
的相应单调区间；
第二步：将“
”视为整体替换基本函数的单调区间（用不等式表示）中的“
”；
第三步：解关于
的不等式
注意：对于形如
的三角函数的单调区间问题，当
时，可先用诱导公式转化为
，则
的单调递增区间即为原函数的单调递减区间，单调递减区间
即为原函数的单调递增区间。另外值得注意的是
这一条件不能省略。
【题型五：由正弦型函数单调性求参】
例5．（2024·山东聊城·高一统考期末）若
是三角形的一个内角，且函数
在区间
上单调，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】当
时，
，
由于
是三角形的一个内角，所以
，
则
，
由于函数
在区间
上单调，
所以
，解得
，
即
的取值范围为
.故选：B
变式5-1．（2024·江苏宿迁·高一统考期末）函数
（
）的图象过点
，且在
区间
上单调递增，则
的值为 .
【答案】
【解析】由题意知函数
（
）的图象过点
，
故
，则
，故
，
又
在区间
上单调递增，
则
，解得
，
结合
，
，可得
时，
.
变式5-2．（2024·广东肇庆·高一统考期末）（多选）已知函数
在区间
上
单调递增，则
的值可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AB
【解析】由
，得
，
所以
所以
.
令
得
.又
，所以
.故选:AB.
变式5-3．（2023·江苏·高三校联考阶段练习）已知函数
在
上单调递减，
则ω 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】令
，得
.
由
可得，
.
因为
，所以
，所以
；
又
，所以
，所以
.
所以，
，此时有
.故选：B.
变式5-4．（2024·福建福州·高一校考阶段练习）函数
在
上是减函数，则
的取值范围是 ．
【答案】
【解析】根据
在
上单调递减，
则
成立，解得
，
所以
，则
，
又
，所以
，所以
的取值范围为
.
【方法技巧与总结】
已知单调性求参数的范围
（1）子集法：求出原函数的单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解；
（2）反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，
列不等式(组)求解；
（3）周期性法：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过周期列不等式(组)求解
【题型六：正弦型函数的最值或值域】
例6．（2023·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）函数
的最大值与最小值之
差为（ ）
A．
B．0 C．2 D．
【答案】D
【解析】因为
，所以
，所以
，
由
的图像与性质知，
当
时，有最小值为
，
当
时，有最大值为
，所以最大值与最小值之差为
，故选：D．
变式6-1．（2024·四川绵阳·高一统考期末）已知函数
的最小正周期为
，则函
数
在区间
上的最大值与最小值的和等于（ ）
A．0 B．
C．1 D．2
【答案】C
【解析】由题设
，则
，
在
上
，故
，
所以最大值与最小值的和等于1.故选：C
变式6-2．（2023·广东广州·高三广东广雅中学校考阶段练习）已知
，且
，则
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
，
因为
，所以
，所以
，
所以
.故选：D.
变式6-3．（2023·北京·高三汇文中学校考期中）函数
在区间
上的最大值为
（ ）
A．
B．
C．1 D．
【答案】C
【解析】
，
，故
，故函数
的最大值为
.故选：C
变式6-4．（2024·福建莆田·高一莆田第四中学校考期末）已知函数
在
上
的值域为
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由
及
可得
，
根据其值域为
，且
，
由正弦函数图象性质可得
，
即可得
，解得
.故选：B
变式6-5．（2023·全国·高一专题练习）已知函数
，若
在区间
上的值
域是
，则a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由
可得
，
当
时，
，
要使
在区间
上的值域是
，
则
，解得
，故选：A
【方法技巧与总结】
形如
，可先由定义域求得
的范围，然后求得
的范围，最后求得
最值
【题型七：根据图象求函数解析式】
例7．（2024·北京朝阳·高一统考期末）已知函数
的部分图象如图所
示，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由图可知：
，由
.
由
.故选：B
变式7-1．（2023·天津南开·高一南开中学校考阶段练习）已知函数
的部分图象如图所示，则函数
的解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
，故
，则
，又
，故
，
，故
，
，解得
，
，
又
，故
，
则
，故
，即
.故选：D.
变式7-2．（2024·内蒙古赤峰·高一统考期末）函数
（
，
，
）的部分
图象如图所示，若
，则
可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由图可得
，
，
则
，解得
，由
，
得
，解得
，因为
，
所以
，
或
，
，
解得
，
或
，
，
所以，
符合题意．故选：D.
变式7-3．（2024·福建·高一福建师大附中校考期末）函数
的部分
图象如图，则
（ ）
A．
B．1 C．
D．
【答案】A
【解析】由图及题设知
，把点
代入，得
，
由五点描图法可得
，所以
，故
，
所以
.故选：A
变式7-4．（2024·江苏泰州·高一校考期末）函数
的部分图像如图所
示，则
，
的值分别是（ ）
A．2，
B．2，
C．2，
D．4，
【答案】B
【解析】设
的周期为
，
则由图像知
，
所以
，则
，
因为
在
处取得最大值，
所以
，得
，
因为
，所以
，故选：B
【方法技巧与总结】
给出
的图象的一部分，确定
，
，
的方法：
（1）第一零点法：如果从图象可直接确定
和
，则选取“第一零点”（即“五点法”作图中的第一个
点）的数据代入“
”（要注意正确判断哪一点是“第一零点”求得
）；
（2）特殊点法：通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数
，
，
。这里需要注意的是，
要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式；
（3）图象变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式
，在根据图象平移规律确
定相关的参数。
【题型八：同名函数图象的变换过程】
例8．（2024·重庆长寿·高一统考期末）要得到函数
的图象，只需将
的图象（
）
A．向左平移
个单位长度 B．向右平移
个单位长度
C．向左平移
个单位长度 D．向右平移
个单位长度
【答案】D
【解析】要得到函数
的图象，
只需将
的图象向右平移
个单位长度.故选：D.
变式8-1．（2024·北京大兴·高一统考期末）要得到函数
的图象，只需将函数
图象
上的所有点（ ）
A．先向右平移
个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2 倍
B．先向右平移
个单位长度，再将横坐标缩短到原来的
C．先向右平移
个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2 倍
D．先向右平移
个单位长度，再将横坐标缩短到原来的
【答案】A
【解析】函数
图象上的所有点先向右平移
个单位长度，得到函数
，
再将横坐标伸长到原来的2 倍，得到函数
.故选：A
变式8-2．（2024·江苏常州·高一统考期末）已知函数
，为了得到
的图象，只
需将
的图象（ ）
A．向右平移
个长度单位 B．向左平移
个长度单位
C．向右平移
个长度单位 D．向左平移
个长度单位
【答案】D
【解析】因为
，所以为了得到
的图象，
只需将
的图象向左平移
个长度单位，故C 错误，D 正确.
若把
的图象向右平移
个单位，则所得图象的解析式为
,
若把
的图象向左平移
个单位，则所得图象的解析式为
,
AB 错误.故选：D.
变式8-3．（2024·浙江宁波·高一镇海中学校考期末）为了得到
的图象，只要将函数
的图象（ ）
A．向右平移
个单位长度 B．向左平移
个单位长度
C．向右平移
个单位长度 D．向左平移
个单位长度
【答案】A
【解析】因
，将函数
的图象向右平移
个单位长度即得
函数
的图像.故选：A.
变式8-4．（2024·全国·高一期末）为了得到函数
的图象，可将函数
的图象（
）
A．向左平移
个单位长度 B．向右平移
个单位长度
C．向左平移
个单位长度 D．向右平移
个单位长度
【答案】C
【解析】易知
，
故将函数
的图象向左平移
个单位长度，得到函数
的图象.故选：C
【方法技巧与总结】
在进行图像变换时，提倡先变相位再变周期，但先变周期再变相位在考试中经常出现。无论哪种变换，需
记住每一个变换都是对自变量而言的。
【题型九：异名函数图象的变换过程】
例9．（2024·黑龙江·高一校联考期末）要得到函数
的图象，可以将函数
的图象（ ）
A．向右平移
个单位长度 B．向左平移
个单位长度
C．向右平移
个单位长度 D．向左平移
个单位长度
【答案】A
【解析】因为
，
且
，
所以，将
的图象向右平移
个单位长度得到函数
的图象.故选：A.
变式9-1．（2023·云南曲靖·高一宣威市第六中学校考阶段练习）将函数
的图象平移后所得
的图象对应的函数为
，则进行的平移是（ ）
A．向左平移
个单位 B．向右平移
个单位 C．向右平移
个单位 D．向左平移
个单位
【答案】A
【解析】对于A：
向左平移
个单位
可得到
，符合；
对于B：
向右平移
个单位
可得到
，不符合；
对于C：
向右平移
个单位
可得到
，不符合；
对于D：
向左平移
个单位
可得到
，不符合；故选：A.
变式9-2．（2024·湖北武汉·高一武汉二中校考期末）要得到函数
的图象，可以将函数
的图象（ ）
A．向右平移
个单位长度 B．向左平移
个单位长度
C．向右平移
个单位长度 D．向左平移
个单位长度
【答案】A
【解析】
，
，
，
所以
的图象向右平移
得到
的图象.故选：A.
变式9-3．（2024·全国·高一期末）为了得到函数
的图象，可将函数
的图象（ ）
A．向右平移
个单位长度 B．向左平移
个单位长度
C．向右平移
个单位长度 D．向左平移
个单位长度
【答案】D
【解析】
，
所以将函数
的图象向左平移
个单位长度后得到
的图象.故选：D．
变式9-4．（2023·江苏盐城·高一校联考期末）要得到函数
的图象，只需将
的图象
上所有的点（ ）
A．横坐标变为原来的
（纵坐标不变）再向左平移
个单位长度
B．横坐标变为原来的
（纵坐标不变）再向左平移
个单位长度
C．横坐标变为原来的2 倍（纵坐标不变）再向左平移
个单位长度
D．横坐标变为原来的2 倍（纵坐标不变）再向左平移
个单位长度
【答案】C
【解析】因为
，
将
的图象上所有的点横坐标变为原来的2 倍（纵坐标不变）得到
，
再向左平移
个单位长度得
，即得到函数
的图象.故选：C
【方法技巧与总结】
变换前后，函数的名称要一致，若不一致，应先利用诱导公式将异名函数化为同名函数，再分析变换过程。
常用公式：
或
。
【题型十：求图象变换前后的解析式】
例10．（2024·贵州黔东南·高一统考期末）将函数
的图象向左平移1 个单位长度，得到
函数
的图象，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】根据题意可得
.故选：A
变式10-1．（2024·湖南·高一校联考期末）将函数
的图象向右平移
个单位长度后，所得
图象对应的函数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】将函数
的图象向右平移
个单位长度后，
所得图象对应的函数为
.故选：D.
变式10-2．（2024·广东广州·高一广州市第二中学校考期末）把函数
图象上所有点的横坐标变为
原来的
，纵坐标不变，再把所得图象向右平移
个单位长度，得到函数y 得到函数
的图象，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】把函数
图象上所有点的横坐标变为原来的
，纵坐标不变，可得到函数
的图象，
再把所得图象向右平移
个单位长度，可得到
.故选：C.
变式10-3．（2024·广东深圳·高一统考期末）将函数
的图象向右平移
个单位，再将所得
图象向上平移1 个单位所得图象的函数解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意得函数
的图象向右平移
个单位得
，
再将图象向上平移1 个单位得
，故B 正确.故选：B.
变式10-4．（2024·河南商丘·高一统考期末）若把函数
的图象向左平移
个单位长度，再向下平
移4 个单位长度，最后把图象上各个点的横坐标伸长为原来的2 倍，得到函数
的图象，则
的解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】函数
的图象上各个点的横坐标缩短为原来的
得到
，
然后向上平移4 个单位长度得到
，
向右平移
个单位长度得到
，
所以
，故A 正确.故选：A.
【方法技巧与总结】
按照三角函数的图象变换步骤依次对函数解析式进行处理。
【题型十一：与正弦函数相关的图象识别】
例11．（2023·广东广州·高一岭南画派纪念中学校考期末）函数
在区间
上的简图
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，∴
，所以排除BD；
由
，
，得
，
，
由
，
，得
，
，
所以可知函数
在
上单调递增．在
上单调递减，所以排除A.故选：C．
变式11-1．（2023·湖北黄冈·高一校考阶段练习）已知
是实数，则函数
的图象不可能是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题知，
．若
，选项C 满足；
若
，
，
，
其中
，
，函数周期
，选项A 满足；
若
，
，
，
其中
，
，函数周期
，选项B 满足；
若
，则
，且周期为
．
而选项D 不满足以上四种情况，故图象不可能是D．故选：D．
变式11-2．（2024·四川雅安·高一校考期末）函数
的大致图象为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由于
的定义域为
,
又
，所以
为奇函数，故可排除AB,
由于当
时，
，故排除C，故选：D
变式11-3．（2024·广东佛山·高一统考期末）已知某函数的部分图象如图所示，则该函数的解析式可能为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由图象可知该函数为偶函数，选项中定义域均为
，
A 选项中
，所以
为偶函数，
B 选项中
，所以
为偶函数，
C 选项中
，所以
为奇函数，所以排除C 选
项，
D 选项中
，所以
为偶函数；
由图象知
，A 选项中
，
B 选项中
，所以排除B 选项，
D 选项中
；
由图象知，当
时，
，
A 选项中当
时，
，
D 选项中当
时，
，所以排除D 选项.故选：A
变式11-4．（2024·天津·高一校联考期末）已知函数
的部分图象如图所示，则
的解析式可能为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
的图象关于原点对称，所以
为奇函数，
而
为偶函数，
为奇函数，
为奇函数，
为偶函数，
应该为一个奇函数与一个偶函数的积，排除B 与D.
又因为
，
不满足
，排除A，
满足
，C 正确.故选：C
【方法技巧与总结】
函数图象与解析式的对应问题一般是根据图象所反映出的函数性质来解决的，如函数的奇偶性、周期性、
单调性、有界性等，此外零点也可以作为判断的依据。
【题型十二：正弦型函数的图象性质综合】
例12．（2023·全国·高一专题练习）（多选）已知函数
，把
的图象向左平移
个
单位长度得到函数
的图象，则（ ）
A．
是奇函数
B．
的图象关于直线
对称
C．
在
上单调递增
D．不等式
的解集为
【答案】AB
【解析】A 选项，
，
由于
的定义域为R，且
，故
为奇函数，A 正确；
B 选项，
，故
的图象关于直线
对称，B 正确；
C 选项，
时，
，其中
在
上不单调，
故
在
上不单调，故C 错误；
D 选项，
，则
，则
，
故
，D 错误.故选：AB
变式12-1．（2024·云南昭通·高一昭通市第一中学校联考期末）函数
的一段图象如图所示.
（1）求函数
的解析式；
（2）要得到函数
的图象，可由正弦曲线经过怎样的变换得到?
（3）若不等式
在
上恒成立，求实数t 的取值范围.
【答案】（1）
；（2）答案见解析；（3）
【解析】（1）由图象知，
，
，
，
将图象上的点
代入
中，得
，
结合图象可知
，则
，
，
又
，所以
，故
.
（2）法一：将
的图象向左平移
个单位，得到
的图象；
再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍（纵坐标不变），
得到
的图象；
再将所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3 倍（横坐标不变），
得到
的图象.
法二：将
的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍（纵坐标不变），
得到
的图象；
再将所得图象向左平移
个单位，得到
的图象；
再将所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3 倍（横坐标不变），
得到
的图象.
（3）∵
，∴
，
∴当
，即
时，
取最大值3.
又不等式
在
上恒成立，
∴
在
上恒成立，
故
，即
，即
或
.
∴t 的取值范围为
.
变式12-2．（2024·福建·高一福建师大附中校考期末）已知函数
的图象上所
有点向右平移
个单位长度，所得函数图象关于原点对称.
（1）求
的值；
（2）设
，若
在区间
上有且只有一个零点，求
的取值范围.
【答案】（1）
；（2）
【解析】（1）将函数
的图象上所有点向右平移
个单位长度，
可得到函数
，
由题意可知，函数
为奇函数，则
，
可得
，又因为
，则
.
（2）由（1）可知，
，
则
，
因为
，则
，
由
，可得
，
因为
在区间
上有且只有一个零点，则
，解得
.
因此，实数
的取值范围是
.
变式12-3．（2023·山东·高一统考期中）某同学用“五点法”画函数
在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
（1）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并求出函数
的解析式；
（2）先将
图象上的所有点，向左平移
个单位，再把图象上所有点，纵坐标不变，横坐
标变为原来的
，得到
的图象，若
的图象关于直线
对称，求当
取得最小值时，
函数
的单调递增区间．
【答案】（1）填表见解析；
；（2）
，
【解析】（1）根据表中已知数据，得
，
，可得
，
当
时，
，解得
，所以
．
数据补全如下表：
x
（2）将
图象上所有的点向左平移
个单位长度，
得到
的图象，
再把所有点纵坐标不变，横坐标变为原来的
，得到
的图象，
所以
因为
的图象关于直线
对称，
所以
，
，解得
，
，
因为
，所以
，此时
，
由
，
，
可得
，
，
所以函数
的单调递增区间为
，
．
变式12-4．（2024·湖南湘西·高一统考期末）已知函数
，将
的图象上所
有点的横坐标伸长为原来的2 倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平移
个单位长度，得到
的图象．
（1）求
的单调递增区间；
（2）若对任意的
，总存在唯一的
，使得
，求
的取值范围．
【答案】（1）
；（2）
【解析】（1）
，
令
，解得：
，
所以
的单调递增区间为：
（2）将
的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2 倍，纵坐标不变，
再将所得图象向左平移
个单位长度，得到
的图象，所以
由
得
，
因为
，所以
，所以
，
又
，
，所以
，
对任意的
，总存在唯一的
，使得
，
只需
.
所以
，解得：
.
所以
的取值范围为
.
【方法技巧与总结】
解决函数
的图象与性质的综合问题的方法与步骤：先根据已知条件，求出函数的解析式，
再利用整体思想，借助函数
的图象与性质来解决相关问题。
一、单选题
1．（2023·高一课时练习）函数
的最小正周期是（ ）
A．π B．
C．2π D．
【答案】A
【解析】由
，
故函数的最小正周期为
.故选：A
2．（2023·高一课时练习）函数
的单调递增区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
，由
有：
，故B，C，D 错误.故选：A.
3．（2023·内蒙古包头·高一统考期末）若函数
的图象与直线
的两个相邻公共点之
间的距离等于2，则
对称中心到对称轴距离的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】函数
的图象与直线
的两个相邻公共点之间的距离等于2，
可得函数
的最小正周期为
，
则
对称中心到对称轴距离的最小值为
.故选：B.
4．（2023·四川宜宾·高一统考阶段练习）已知
，若存在实数
，使得对
任意实数
总有
成立，则
的最小值为（ ）
A．
B．1 C．2 D．4
【答案】B
【解析】
,
所以函数
的最小正周期为
，
因为对任意实数
总有
成立，
为函数
的最小值，
为函数
的最大值，
所以
，故选：B.
5．（2023·浙江·高二校联考开学考试）将函数
的图象向左平移
个单位长度，得到
函数
的图象，则函数
在
时的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】函数
的图象向左平移
个单位长度，
得到函数
,
因为
,所以
,
所以
,故选:D.
6．（2024·湖北武汉·高一校联考期末）将函数
的图象平移后所得的图象对应的函数为
，则进行的平移是（ ）
A．向右平移
个单位 B．向左平移
个单位
C．向右平移
个单位 D．向左平移
个单位
【答案】B
【解析】因为
，
所以将
的图象向左平移
个单位可得到
的图象，
而把
的图象向左平移
后的图象对应的函数为
，不合题意；
把
的图象向右平移
后的图象对应的函数为
，不合题意；
故选：B.
7．（2023·全国·高一专题练习）将函数
的图象向左平移
个单位长度，得到函数
的
图象，则下列选项正确的为（ ）
A．
的图象关于点
中心对称 B．
C．
的图象关于直线
对称 D．
为偶函数
【答案】C
【解析】
，
将函数
的图象向左平移
个单位长度，
得到函数
的图象，故B 错误；
所以
，故A 错误；
，故C 正确；
时，
，所以
为奇函数，故D 错误.故选：C.
8．（2024·内蒙古兴安盟·高一乌兰浩特一中校考期末）已知函数
在区间
上
单调递增，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意得
，则
，
则
，
，
当
时，由
，解得
，又
，故
；
当
时，由
，得
无解，同理当
时，
无解.故选：C
二、多选题
9．（2024·湖南长沙·高一周南中学校考期末）已知函数
，则（ ）.
A．
的最小正周期是
B．
是
图象的对称中心
C．将
的图象向左平移
个单位后其图象关于y 轴对称
D．
在区间
上单调递减
【答案】AB
【解析】函数
，最小正周期
，A 选项正确；
，
是
图象的对称中心，B 选项正确；
将
的图象向左平移
个单位得函数
，
函数不是偶函数，图象不关于y 轴对称，C 选项错误；
时，
，
不是正弦函数的单调递减区间，D 选项错误.故选：AB
10．（2023·四川宜宾·高一校考阶段练习）已知函数
（
，
，
）
的部分图象如图所示，则（ ）
A．
的最小正周期为
B．当
时，
的值域为
C．为
是偶函数
D．将
的图象所有点的横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点
对称
【答案】ACD
【解析】由图可知，
，最小正周期
，故选项A 正确；
由
，知
，
因为
，所以
，所以
，
，即
，
，
又
，所以
，所以
，
对于选项B，当
时，
，所以
，故选项B 错误；
对于选项C，令
，定义域为
，
，所以
为偶函数，即
为偶函数，故选项C 正确；
对于选项D，将函数
的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2 倍，纵坐标不变，
得到
的图象，
因为当
时，
，故选项D 正确.故选：ACD.
11．（2024·广东深圳·高一校考期末）记函数
的图象为
，为了得到了函数
，可能用到的变换方式有（ ）
A．将所有点的横坐标伸长到原来的
倍，纵坐标不变
B．将所有点的横坐标缩短到原来的
倍，纵坐标不变
C．将所有点向右平移
个单位长度
D．将所有点向右平移
个单位长度
【答案】BCD
【解析】对图象
：将所有点向右平移
个单位长度，得到
，
再将所有点的横坐标缩短到原来的
倍，纵坐标不变，得到
；
对图象
：将所有点的横坐标缩短到原来的
倍，纵坐标不变，得到
，
再将所有点向右平移
个单位长度，得到
；
所以可能用到的变换方式有ACD，没有B.故选：BCD.
12．（2024·贵州毕节·高一统考期末）将函数
的图象沿
轴
向右平移
个单位长度（纵坐标不变），得到的函数
满足
，则下列正确的选项
为（ ）
A．
的周期为
B．
C．
在
上单调递增 D．
为
的一个对称轴
【答案】ACD
【解析】
，
的周期是
，A 正确；
函数
满足
，则
的图象关于点
对称，
所以
，
，又
，∴
，B 错；
，
时，
，C 正确；
时，
，D 正确．故选：ACD．
三、填空题
13．（2023·四川眉山·高一校考期中）当函数
取得最大值时的
的集合为 ．
【答案】
【解析】依题意令
，
，解得
，
，
所以函数
取得最大值时的
的集合为
.
14．（2023·新疆乌鲁木齐·高一新疆实验校考期末）函数
的最小正周期是 .
【答案】
【解析】
中的
则函数
的最小正周期
.
15．（2024·湖南衡阳·高一统考期末）将函数
的图象向右平移m 个单位
，得到
函数图象关于y 轴对称，则m 的最小值为 ．
【答案】
【解析】由函数
的图象向右平移m 个单位得到函数：
的图象，
因
的图象关于y 轴对称，故有
，
则有
，解得：
，
因
，故当且仅当
时，m 的最小值为
.
16．（2024·重庆·高一重庆南开中学校考期末）已知
，若函数
在区间
单调递减，则实数
的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由题意知，函数
的定义域为
，
得
，得
.
又函数
的单调增区间为
，
由
，
，解得
，
即函数
的单调减区间为
，
又函数
在
上单调递减，所以
，
得
，解得
，
又
，所以令
，解得
.
四、解答题
17．（2024·海南·高一统考期末）已知函数
.
（1）求
的最小正周期及单调递减区间；
（2）若
在区间
上的取值范围是
，求实数
的值.
【答案】（1）
，
；（2）
【解析】（1）
的最小正周期
，
令
，解得
，
所以
的单调递减区间为
.
（2）由
，可得
，
当
时，
，
因为
在
上的值域为
，所以
，解得
.
18．（2024·安徽阜阳·高一统考期末）已知函数
（
，
）在区间
上单调，且
．
（1）求函数
的图象的一个对称中心；
（2）若
，求
的解析式．
【答案】（1）
；（2）
【解析】（1）由题意可知
，
因为
在区间
上单调，所以当
时，
，
则函数
的图象的一个对称中心为
．
（2）由题意可知，
的最小正周期
，所以
，
因为
，所以
或
，
由（1）可知，
，
，
因为
，所以
，
所以
，
或
，
，
若
，
，则
，
，
即
，
，
，
易知
，不存在
，
，使得
或
；
若
，
，则
，
，
即
，
，
，
易知
，当
时，
，
此时
，
，
由
，得
，此时
满足条件，所以
．
综上可知，
．
19．（2024·重庆·高一统考期末）已知函数
在
上单调递增．
（1）求
的取值范围：
（2）当
取最大值时，将
的图象向左平移
个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的3 倍，
得到
的图象，求
在
内的值域．
【答案】（1）
；（2）
【解析】（1）由
，得
，
又函数
在
上单调递增，
所以
，解得
因为
，所以
．
（2）由（1）知
的最大值为
，此时
，
根据题意，
，
当
时，
．
所以
，故值域为
．
20．（2024·湖北武汉·高一武汉二中校考期末）已知函数
，如图A、
是直
线
与曲线
的两个交点，且
，又
．
（1）求函数
的解析式；
（2）求函数
的增区间．
【答案】（1）
；（2）
，
．
【解析】（1）由题意设
，
，则
，
，
由图可知点A，
，
在同一个周期内，
则
，
，
又因为
，则
，可得
，解得
，
则
，解得
，
所以
，
，即
；
（2）函数
，
令
，则
，
所以
，
令
，解得
，
所以函数的单调递增区间为
，
．
21．（2023·河南·高一校联考阶段练习）已知函数
的部分图象如图
所示.
（1）求函数
在
上的单调递增区间；
（2）若函数
在区间
上恰有5 个零点，求实数
的取值范围.
【答案】（1）
，
；（2）
【解析】（1）由函数
的图象，可得
，
，
则
，所以
．
将点
代入函数解析式可得
，解得
，
因为
，所以
，所以
，
令
，解得
，
所以函数
在
上的单调递增区间为
，
．
（2）因为
，所以
，
当
无零点；
当
时，有第一个零点，正弦函数周期为
，每一个周期内有两个零点，
要满足有5 个零点，则
，解得
，
所以实数
的取值范围是
．
22．（2024·江苏盐城·高一统考期末）某同学用“五点法”作函数
（
，
，
）在某一个周期|的图象时，列表并填入了部分数据，见下表：
0
0
0
（1）根据上表数据，直接写出函数
的解析式，并求出函数
的单调递减区间；
（2）若
在区间
恒成立，求实数
的取值范围.
【答案】（1）
；
，
；（2）
【解析】（1）根据五点法的表格中
，
，
，
可知
，
，
，所以
，
，
，得
，所以
，
令
，
解之得
，
即
的单调递减区间为
，
.
（2）由于
，则
，
所以
，则
，
因为
在区间
恒成立，所以
，
所以
的取值范围为
.
