1
2.1 坐标法
课程标准
学习目标
1.理解实数与数轴上的点的!一一对应关系、
2.探索并掌握平面直角坐标系中两点间的距
离公式和中点坐标公式、
3.通过对两点间距离和中点坐标公式的探索,
进一步体会坐标法在解决几何问题中的优越
性
重点:两点间的距离公式和中点坐标公式
难点:坐标法在解决几何问题中的运用
知识点01 数轴上的基本公式
如果数轴上点A（x1），B（x2），线段AB 的中点为M（x），则
(1)向量⃗AB的坐标为x2-x1;
(2)|AB|=|⃗AB|=|x2-x1|;
(3)x= x1+ x2
2
.
【即学即练1】（20-21 高一·全国·课后作业）在数轴上，已知A (3)，B (−1)，则AB = ；AB的中点
的坐标为
.
【答案】 4 1
【分析】利用数轴上的距离公式和中点公式，即得解
2
【详解】由题意，AB =|−1−3|= 4，AB的中点的坐标为3−1
2
=1
故答案为：4，1
【即学即练2】（20-21 高一上·西藏昌都·期中）在平面直角坐标系中，点M 在第四象限，到x 轴､y 轴的距
离分别为6､4，则点M 的坐标为（ ）
A．(4 ,−6)
B．(−4 ,−6)
C．(6,−4)
D．(−6,−4)
【答案】A
【解析】已知点M 在第四象限内，那么横坐标大于0，纵坐标小于0，进而根据到坐标轴的距离判断坐标.
【详解】因为点M 在第四象限，
所以其横、纵坐标分别为正数、负数，
又因为点M 到x 轴的距离为6，到y 轴的距离为4，
所以点M 的坐标为(4，-6) .
故选：A
知识点02 平面直角坐标系中的基本公式
已知A（x1，y1），B（x2，y2）是平面直角坐标系中的两点，M（x，y）是线段AB 的中点，则
(1)⃗AB=(x2-x1,y2-y1);
(2)| AB|=|⃗AB=√（x2−x1）
2+（y2−y1）
2
(3)x= x1+ x2
2
，y= y1+ y2
2
【即学即练3】（22-23 高一下·北京·期中）已知点A (1,1)，B (−1,5)，则线段AB中点C的坐标为 .
【答案】(0,3)
【分析】利用中点坐标公式直接求解作答.
【详解】点A (1,1)，B (−1,5)，所以线段AB中点C的坐标为(0,3).
故答案为：(0,3)
【即学即练4】（20-21 高二上·上海·课后作业）已知△ABC的顶点A(1,2)和重心G(3,4)，则BC上的中
点坐标是 ．
【答案】(4,5)
【分析】根据中点坐标公式以及重心坐标公式求得结果.
【详解】设B( x1, y1),C( x2, y2)，则由重心坐标公式得¿
再由中点坐标公式得BC上的中点坐标是( x1+ x2
2
, y1+ y2
2
)=(4,5)
3
故答案为：(4,5)
【点睛】本题考查中点坐标公式以及重心坐标公式，考查基本分析求解能力，属基础题.
难点：含参问题
示例1：（23-24 高二上·全国·单元测试）已知不同的两点P(a,−b),Q(b+1,a−1)关于点(3,4)对称，则
ab＝ .
【答案】−14
【分析】由点对称，应用中点公式列方程组求出参数，即可得结果.
【详解】由题意知¿，即¿，解得¿，故ab=−14.
故答案为：−14
【题型1：两点间的距离公式】
例1．（21-22 高二·全国·课后作业）已知数轴上A(−2),B(10)，求这两点之间的距离以及它们的中点坐
标．
【答案】12;(4)
【分析】根据数轴上表示的点的几何意义直接求得答案.
【详解】数轴上A(−2),B(10)两点之间的距离为| AB|=|10−(−2)|=12 ,
它们的中点坐标为10+(−2)
2
= 4 ，故中点坐标为（4）.
变式1．（21-22 高二·全国·课后作业）已知数轴上的点P 到A(−9)的距离是它到B(−3)的距离的2 倍，
求点P 的坐标．
【答案】−5或3
【分析】设点P( x)，可得| x−(−9)|=2| x−(−3)|，求解即可
【详解】由题意，设点P( x)
4
故| x−(−9)|=2| x−(−3)|
即( x +9)
2= 4( x +3)
2⇒x
2+2 x−15=( x +5)( x−3)=0
解得：x =−5或3
故点P 的坐标为−5或3
变式2．（20-21 高一·全国·课后作业）已知数轴上，A(−1),B( x)，且AB =3，求x 的值.
【答案】2
【分析】根据数轴上两点数量的坐标表示，即可求解.
【详解】因为数轴上A(−1),B( x),且AB =3,
所以AB = x−(−1)=3，
解得：x =2.
变式3．（18-19 高一·全国·课后作业）已知数轴上四点A，B，C，D 的坐标分别是-4，-2，c，d．
（1）若⃑AC =5，求c 的值；
（2）若|⃑BD|=6，求d 的值；
（3）若⃑AC =−3⃑AD，求证：3⃑CD =−4⃑AC．
【答案】（1）c =1；（2）d = 4或d =−8；（3）见解析
【分析】（1）由⃑AC =5，根据向量的坐标运算，得到c−(−4)=5，即可求解；
（2）由|⃑BD|=6，得到|d −(−2)|=6，即可求解；
（3）由⃑AC =c + 4，⃑AD =d + 4，⃑AC =−3⃑AD，得到c =−3d −16，分别求得3⃑CD和−4⃑AC的坐标，即
可求解.
【详解】由题意，数轴上四点A，B，C，D 的坐标分别是-4，-2，c，d，
（1）因为⃑AC =5，所以c−(−4)=5，解得c =1．
（2）因为|⃑BD|=6，所以|d −(−2)|=6，即d +2=6或d +2=−6，解得d = 4或d =−8．
（3）因为⃑AC =c + 4，⃑AD =d + 4，⃑AC =−3⃑AD，
所以c + 4 =−3(d + 4)，即c =−3d −16，
所以3⃑CD =3(d −c)=3d −3c =3d −3(−3d −16)=12d + 48，
所以−4⃑AC =−4[c−(−4)]=−4 c−16=−4(−3d −16)−16=12d + 48，
所以3⃑CD =−4⃑AC．
【点睛】本题主要考查了数轴上向量的坐标表示与运算，以及向量模的计算，其中解答中熟记数轴上向量
的坐标表示与运算法则是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.
变式4．（18-19 高一·全国·课后作业）已知数轴上两点A，B 的坐标分别为x1，x2，根据下列条件，分别
5
求点A 的坐标x1．
（1）x2=−5，⃑BA的坐标为-3；
（2）x2=−1，|⃑AB|=2．
【答案】（1）x1=−8；（2）x1=1或x1=−3
【分析】（1）由向量⃑BA的坐标为x1−(−5)=−3，即可求解；
（2）由|⃑AB|=|−1−x1|=2，即可求解.
【详解】由题意，数轴上两点A，B 的坐标分别为x1，x2，
（1）由向量⃑BA的坐标为x1−(−5)=−3，所以x1=−8．
（2）由|⃑AB|=|−1−x1|=2，解得x1=1或x1=−3．
【点睛】本题主要考查了数轴上向量的坐标表示与运算，以及向量模的计算，其中解答中熟记数轴上向量
的坐标表示与运算法则是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.
变式5．（18-19 高一·全国·课后作业）已知数轴上两点A，B 的坐标分别是-4，-1，则| AB|=
（ ）
A．-3
B．3
C．6
D．-6
【答案】B
【分析】根据数轴上向量的坐标表示，求得向量的坐标，即可求解.
【详解】由题意，−1−(−4)=3．
故选:B．
【点睛】本题主要考查了数轴上向量的坐标表示与运算，其中解答中熟记数轴上向量的坐标表示与运算法
则是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.
变式6．（18-19 高一·全国·课后作业）已知A，B，C 三点在数轴上，且点B 的坐标为3，|⃑AB|=5，
|⃑AC |=2，则点C 的坐标为 ．
【答案】-4 或0或6 或10
【分析】设A，C 的坐标分别为x A，xC，根据数轴上向量的坐标运算，列出方程，即可求解.
【详解】由题意，设A，C 的坐标分别为x A，xC，
则|⃑AB|=3−x A =5或|⃑AB|= x A−3=5，∴x A =−2或x A =8，
∴|⃑AC |= xC−x A = xC−(−2)=2，或|⃑AC |= xC−x A = xC−8=2，
或|⃑AC |= x A−xC =−2−xC =2，或⃑| AC |= x A−xC =8−xC =2，
解得xC =0或xC =10或xC =−4或xC =6．
6
故答案为：-4 或0或6 或10
【点睛】本题主要考查了数轴上向量的坐标表示与运算，其中解答中熟记数轴上向量的坐标表示与运算法
则是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.
【方法技巧与总结】
对两点间距离公式的几点说明
（1）公式中，点A，B 的位置没有先后之分，即距离公式还可以写为|AB|=
√（x2−x1）
2+（y2−y1）
2
（2）坐标平面内的两点间的距离公式是数轴上两点间的距离公式的推广.
（3）若B 点为原点，则AB=|OA|=√x
2+ y
2
（4）若A，B 两点在x 轴上，或在与x 轴平行的直线上，此时AB|=|x2-x1|
(5)若A，B 两点在y 轴上，或在与y 轴平行的直线上，此时AB|=|y2-y1|
【题型2：中点坐标公式的应用】
例2.（18-19 高一·全国·课后作业）已知A，B 都是数轴上的点，A(3)，B(−2)，则3⃑OA + 4⃑OB的坐标为
A．17
B．1
C．-1
D．-17
【答案】B
【分析】先求得⃑OA的坐标为3，向量⃑OB的坐标为−2，进而可求解3⃑OA + 4⃑OB的坐标，得到答案.
【详解】由题意，可得⃑OA的坐标为3，向量⃑OB的坐标为−2，
所以向量3⃑OA + 4⃑OB的坐标为3×3+ 4×(−2)=1．
故选:B．
【点睛】本题主要考查了数轴上向量的坐标表示与运算，其中解答中熟记数轴上向量的坐标表示与运算法
则是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.
变式1．（23-24 高二上·安徽安庆·阶段练习）如图所示，在平面直角坐标系中，以O(0,0)，A (1,1)，
B (3,0)为顶点构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是（ ）
A．(−3,1)
B．(4,1)
C．(−2,1)
D．(2,−1)
【答案】A
【分析】根据平行四边形的对称性，利用中点坐标公式进行求解即可.
7
【详解】设第四个顶点为C (x , y)，
当OA是对角线时，则有¿，
当OB是对角线时，则有¿，
当OC是对角线时，则有¿，
故选：A
变式2．（20-21 高二·全国·课后作业）已知A (−1,2)，B (3,−4)，则线段AB 的中点坐标为( )
A．(1,−1)
B．(−2,3)
C．(2,−3)
D．(
1
2 ,−1
2)
【答案】A
【分析】利用中点坐标公式即可求解.
【详解】由A (−1,2)，B (3,−4)，
利用中点坐标可知，线段AB 的中点坐标( −1+3
2
, 2+(−4)
2
)，即(1,−1).
故选：A.
变式3．（21-22 高二上·河北邢台·阶段练习）已知线段AB的端点A (3,4)及中点O(0,3)，则点B的坐标
（ ）
A．(
3
2 , 7
2)
B．(−3,2)
C．(3,2)
D．(3,10)
【答案】B
【分析】利用中点坐标公式计算即可.
【详解】设B( x , y) ，AB的端点A (3,4)及中点O(0,3)，则¿ ，解得：¿，故点B的坐标为(−3,2).
故选：B.
变式4．（20-21 高一上·北京房山·期末）已知A =(3,−2)，B =(−1,2)，则线段AB中点的坐标为
（ ）
A．(1,2)
B．(2,0)
C．( 1
2 ,2)
D．(1,0)
【答案】D
【解析】利用中点坐标公式即可求解.
【详解】由A =(3,−2)，B =(−1,2)，
则线段AB中点的坐标为(1,0).
故选：D
变式5．（21-22 高二上·河北衡水·阶段练习）已知点（0，2）是点（－2，b）与点（2，4）的对称中心，
8
则b= .
【答案】0
【分析】由中心对称的含义即得.
【详解】∵点（0，2）是点（－2，b）与点（2，4）的对称中心，
∴b+4=2×2，即b=0.
故答案为：0.
变式6．（20-21 高二·全国·课后作业）已知△ABC三边AB，BC，CA 的中点分别为P(3,−2)，Q (1,6)，
R (−4,2)，则顶点A 的坐标为 ．
【答案】(−2,−6)
【分析】利用中点坐标公式即可求解.
【详解】设A( x1, y1)，B( x2, y2)，C( x3, y3)，
因为△ABC三边AB，BC，CA 的中点分别为P(3,−2)，Q (1,6)，R (−4,2)，
由中点坐标公式可得，¿，¿，解得，x1=−2，y1=−6，
故顶点A 的坐标为(−2,−6).
故答案为：(−2,−6).
变式7．（20-21 高一·全国·课后作业）若A(−9
2 ,−7)，B(2,6)是平行四边形ABCD的两个顶点，AC与
BD交于点E(3, 3
2)，则C，D 的坐标分别为 .
【答案】(
21
2 ,10)/(10.5,10)，(4 ,−3)
【分析】利用E为AC ,BD的中点，以及中点坐标公式，即得解
【详解】由题意，E为AC ,BD的中点，不妨设C( x , y), D(a,b)
由中点坐标公式：
¿，即C(
21
2 ,10)
¿，即D (4 ,−3)
故答案为：(
21
2 ,10)，(4 ,−3)
变式8 ．（23-24 高二下· 全国· 课后作业）已知▱ABCD的三个顶点坐标分别为
A(−1,−2),B(3,0),C(5,6)，求D 点坐标．
【答案】(1,4)
9
【分析】根据平行四边形的图像性质，平行四边形对角线互相平分及中点坐标公式进行求解即可.
【详解】设D( x , y)，在▱ABCD的三个顶点坐标分别为A(−1,−2),B(3,0),C(5,6)，
根据平行四边形的对角线互相评分，可得¿，解得x =1, y = 4，
所以D 点的坐标是(1,4)．
【方法技巧与总结】
中点公式的两个应用
（1）知二求一．从公式上看，只要知道公式等号两边的任意两个量，可求第三个量.
（2）从图象上看，只要知道图象上任意的两点，可求第三个点.
一、单选题
1．（22-23 高二上·江苏连云港·期中）已知点A(8,10),B(−4,4)，则线段AB 的中点坐标为（ ）
A．(2,7)
B．(4,14)
C．(2,14)
D．(4,7)
【答案】A
【分析】利用两点的中点坐标公式求出答案.
【详解】由题意得：线段AB 的中点坐标为(
8−4
2
, 10+ 4
2 )，即(2,7).
故选：A.
2．（2020 高三·全国·专题练习）点P(3，2)关于点Q(1，4)的对称点M为（ ）
A．(1，6)
B．(6，1)
C．(1，−6)
D．(−1，6)
【答案】D
【解析】设M ( x , y)，则由中点坐标公式可得3+ x
2
=1，2+ y
2
= 4，解出x , y，从而可得点M的坐标
【详解】设M ( x , y)，则3+ x
2
=1，2+ y
2
= 4，∴x =−1，y =6，
∴点M (−1，6)，
故选：D.
3．（19-20 高二·全国·课后作业）已知线段AB的中点为坐标原点，且A( x ,2),B(3, y)，则x + y等于
10
（ ）
A．5
B．−1
C．1
D．−5
【答案】D
【分析】直接根据中点坐标公式可得x =−3, y =−2，即可得答案；
【详解】∵ ¿ x =−3, y =−2，故x + y =−5.
故选：D.
【点睛】本题考查中点坐标公式，属于基础题.
4．（18-19 高一·全国·课后作业）已知A，B 都是数轴上的点，A(3)，B(−a)，且⃑AB的坐标为4，则a=
（ ）
A．-1
B．-7
C．4
D．-4
【答案】B
【分析】根据数轴上的向量的坐标表示，列出方程，即可求解.
【详解】由题意，向量⃑AB的坐标为终点B 的坐标减去起点A 的坐标，
即−a−3= 4，解得a=−7．
故选:B．
【点睛】本题主要考查了数轴上向量的坐标表示，其中解答中熟记数轴上的向量的表示方法是解答的关键，
着重考查了计算能力，属于基础题.
5．（18-19 高一·全国·课后作业）已知A，B 都是数轴上的点，A(3)，B(−1)，则向量⃑AB的坐标为
A．4
B．-4
C．± 4
D．2
【答案】B
【分析】根据向量的运算⃑AB =⃑OB−⃑OA，结合数轴行向量的坐标表示，即可求解.
【详解】由题意，根据向量的运算⃑AB =⃑OB−⃑OA，
所以向量⃑AB的坐标等于终点B 的坐标减去起点A 的坐标，即−1−3=−4．
故选:B．
【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，以及数轴上向量的坐标表示，着重考查了推理与运算能力，属
于基础题.
二、多选题
6．（20-21 高二·全国·课后作业）数轴上点P，M，N 的坐标分别为－2，8，－6，则有（ ）
A．⃑MN的坐标=⃑NM的坐标
B．|MP|=10
C．⃑PN的坐标=−4
D．⃑MP的坐标=10
11
【答案】BC
【分析】已知点坐标，结合向量坐标的表示及模的坐标计算，判断各选项的正误.
【详解】数轴上的两点对应向量的坐标等于终点坐标减去起点坐标，故⃗MN坐标≠⃗NM坐标，A 不正确；
数轴上两点间的距离一定是非负的，| MP|=|⃗MP|=|−2−8|=10，B 正确；⃗
PN的坐标=−6−(−2)=−4，C 正确；⃗
MP的坐标=−2−8=−10，D 不正确.
故选：BC.
7．（17-18 高二·全国·课后作业）（多选题）对于√x
2+2 x +5
，下列说法正确的是（ ）
A．可看作点(x ,0)与点(1,2)的距离
B．可看作点(x ,0)与点(−1,−2)的距离
C．可看作点(x ,0)与点(−1,2)的距离
D．可看作点(x ,−1)与点(−1,1)的距离
【答案】BCD
【分析】化简√x
2+2 x +5= √( x +1)
2+(0±2)
2=√( x +1)
2+(−1−1)
2，结合两点间的距离公式，即可求
解.
【详解】由题意，可得√x
2+2 x +5=√( x +1)
2+ 4 = √( x +1)
2+(0±2)
2=√( x +1)
2+(−1−1)
2，
可看作点( x ,0)与点(−1,−2)的距离，可看作点( x ,0)与点(−1,2)的距离，可看作点( x ,−1)与点(−1,1)
的距离，故选项A 不正确，
故答案为：BCD.
【点睛】本题主要考查平面上两点间的距离公式及其应用，其中解答中熟记平面上两点间的距离公式是解
答的关键，属于基础题.
三、填空题
8．（23-24 高二下·全国·课后作业）直线l 经过点P(−4,6)，与x 轴、y 轴分别交于A，B 两点，当P 为AB
中点时，| AB|= .
【答案】4√13
【分析】设A (a,0)，B (0,b)，利用中点坐标公式即可得出a，b，
【详解】设A (a,0)，B (0,b)，
∵P 为AB 中点，∴¿，
12
解得a=−8，b=12，
即A (−8,0)，B (0,12)，
所以| AB|=√O A
2+O B
2= 4√13
故答案为：4√13.
9．（19-20 高二·全国·课后作业）已知点A(1,3)，B(3,1)，C(0,0)，则△ABC中AB边上的中线长
|CM |= ，△ABC的面积为 ．
【答案】 2√2 4
【解析】由中点坐标公式，可求出点M的坐标，进而利用两点间距离公式可求出|CM |，计算可知
| AC |=|BC |，即△ABC为等腰三角形，由S△ABC = 1
2 | AB|⋅|CM |，求解即可.
【详解】设AB的中点M的坐标为( x , y)，则{
x = 1+3
2
=2
y = 3+1
2
=2
，
即M的坐标为(2,2)，则|CM |=√2
2+2
2=2√2
.
又| AB|=√(3−1)
2+(1−3)
2=2√2，
| AC |=√1
2+3
2=√10
，|BC |=√3
2+1
2=√10
，
所以| AC |=|BC |，即△ABC为等腰三角形，
所以CM为底边上的高，且S△ABC = 1
2 | AB|⋅|CM |= 1
2 ×2√2×2√2= 4.
故答案为：2√2；4.
【点睛】本题考查三角形的中线及三角形的面积，考查坐标运算，考查学生的计算求解能力，属于基础题.
四、解答题
10．（21-22 高二·全国·课后作业）已知A(3,1),B(−2,2)，在y 轴上的点P 满足PA ⊥PB，求P 的坐标．
【答案】(0,4) 或(0,−1)
【分析】设出点P 坐标，根据PA ⊥PB列出方程，解方程可得答案.
13
【详解】由题意可设点P 坐标为(0, y0) ，
由PA ⊥PB得：| PA |
2+| PB|
2=| AB|
2 ,
即9+( y −1)
2+ 4 +( y −2)
2=(3+2)
2+(1−2)
2 ，
解得y = 4 或y =−1 ，
故P 的坐标 为(0,4) 或(0,−1).
11．（21-22 高二·全国·课后作业）在数轴上，对坐标分别为x1和x2的两点A 和B，用绝对值定义两点间的
距离，表示为d( A ,B)=|x1−x2|．
(1)在数轴上任意取三点A，B，C，证明d( A ,B)≤d( A ,C )+d(B ,C )．
(2)设A 和B 两点的坐标分别为−3和2，分别找出（1）中不等式等号成立和等号不成立时点C 的范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)等号成立，点C 的范围是[−3,2]；等号不成立，点C 的范围是(−∞,−3)∪(2,+∞)
【分析】（1）讨论点C 与A 和B 两点的位置关系，根据绝对值定义的两点间的距离，可以证明结论；
（2）由（1）的证明过程可得等号成立或不成立时的点C 的位置情况，由此可得答案.
【详解】（1）证明：设A( x1),B( x2),C( x3) ，
不妨设x1< x2 ，则d( A ,B)= x2−x1，
当x3 在x1, x2 之间时，d( A ,C )= x3−x1,d(B ,C )= x2−x3,
此时d( A ,B)=d( A ,C )+d(B ,C );
当x3 不在x1, x2 之间时，不妨假设x3≤x1，
此时d( A ,C )= x1−x3,d(B ,C )= x2−x3，
故d( A ,B)−[d( A ,C )+d(B ,C )]= x2−x1−( x1−x3+ x2−x3)=2( x3−x1)≤0，
即d( A ,B)≤d( A ,C )+d(B ,C )，
同理可证当x3≥x2时，也有d( A ,B)≤d( A ,C )+d(B ,C )成立，
同理可证当x1> x2时，也有上述结论成立，
综合上述; d( A ,B)≤d( A ,C )+d(B ,C );
（2）当A 和B 两点的坐标分别为−3和2 时，
由（1）的证明可知，当点C 位于A 和B 两点之间或者与A 和B 两点重合时，等号成立，
此时点C 的范围是[−3,2] ,
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当点C 位于A 和B 两点之外时，等号不成立，此时点C 的范围是(−∞,−3)∪(2,+∞).
