1
2.2.2 直线的方程
课程标准
学习目标
1. 理解直线的倾斜角和斜率的概念，
2.掌握两点的直线斜率的计算公式，以及直
线方程的五种形式。
1.重点:直线的倾斜角与斜率，直线方程的五种形式
2.难点:根据直线的斜率计算倾斜角，恰当地选择直
线方程的某一种形式采用待定系数法确定直线方
程。
知识点01 直线的方程
一般地，如果直线l 上点的坐标都是方程F（x，y）=0 的解，而且以方程 F（x，y）=0 的解为坐标的点都
在直线l 上，则称F(x,y)=0 为直线l 的方程，而直线l 称为方程 F（x，y）=0 的直线.此时，"直线l"也可说
成"直线F（x，y）=0"，并且记作l：F（x，y）=0.
【即学即练1】（21-22 高二·全国·课后作业）直线的方程是指（ ）
2
A．直线上点的坐标都是方程的解
B．以方程的解为坐标的点都在直线上
C．直线上点的坐标都是方程的解且以方程的解为坐标的点都在直线上
D．以上都不对
【即学即练2】（21-22 高二·全国·课后作业）方程①lg x−lg y =1；②lg(x−y)=1；③√(x−y)
2=1，④
3
x−2 y =2中，能表示一条直线的方程是 ．（填序号）
知识点02 直线的点斜式
1.经过点P（xo，yo）且斜率为k 的直线方程为y-yo=k（x-x0）称为直线的点斜式方程.
2.经过点P（xo，yo）且斜率为0 的直线方程为y=y0,经过点P（xo，yo）且斜率不存在的直线方程为 x=xo .
【即学即练3】（24-25 高二上·全国·课后作业）经过点P(0,2)且斜率为2 的直线的方程为（ ）
A．y =−2 x−2
B．y =2 x−2
C．y =2 x +2
D．y =−2 x +2
【即学即练4】（23-24 高二上·江苏苏州·阶段练习）过点P(5,2)且斜率为−1的直线的点斜式方程为
（ ）
A．y −5=−(x−2)
B．y −2=−(x−5)
C．y +2=−(x +5)
D．y +2=−(x−5)
知识点03 直线的斜截式
1.一般地，当直线l 既不是x 轴也不是y 轴时：若l 与x 轴的交点为（a，0），则称l 在x 轴上的截距为a；
若l 与y 轴的交点为（0，b），则称l 在y 轴上的截距为b.一条直线在y 轴上的截距简称为截距．斜率为
k，截距为b 的直线方程为y=kx+b，称为直线的斜截式方程.
2.直线y=kx＋b 中k 的几何意义是直线的斜率,b 的几何意义是直线的截距（即直线在y 轴上的截距）.
【即学即练5 】（22-23 高二上·湖南·期中）倾斜角为135°，在y轴上的截距为1 的直线方程是
（ ）
A．x−y −1=0
B．x + y −1=0
C．x + y +1=0
D．x−y +1=0
【即学即练6】（22-23 高二上·江苏连云港·开学考试）若直线l 的倾斜角α 满足4sinα=3cosα，且它在x 轴
上的截距为3，则直线l 的方程是 .
知识点04 直线的两点式
3
经过两点P1（x1，y1）,P2（x2，y2）(x2-x1≠0 且y2-y1≠0)的直线方程为y −y1
y2−y1
= x−x1
x2−x1
，这种
形式的直线方程称为直线的两点式方程.
【即学即练7】（24-25 高二上·全国·随堂练习）过点(1,2)，(5,3)的直线方程是（ ）
A．y −2
5−1 = x−1
3−1
B．y −2
3−2 = x−1
5−1
C．y −1
5−1 = x−3
2−3
D．x−2
5−2 = y −3
1−3
【即学即练8】（2024 高二上·全国·专题练习）经过两点(5,0),(2,−5)的直线方程为
.
知识点05 之间的截距式
直线在x,y 轴上的截距分别为a,b，且a≠0，b≠0，则直线方程可写为x
a + y
b =1,这种形式的方程称为直线的
截距式方程，注意这里要求直线在x 轴y 轴上的截距都存在且不为0.
【即学即练9 】（22-23 高二上· 海南· 期中）在x轴、y轴上的截距分别是−2、3 的直线方程为
（ ）
A．x
2 + y
3 =1
B．x
2 −y
3 =1
C．y
3 −x
2 =1
D．x
2 + y
3 =−1
【即学即练10】（23-24 高二上·陕西·阶段练习）直线x−2 y −2=0在x轴上的截距为a，在y轴上的截距
为b，则（ ）
A．a=2，b=1
B．a=2，b=−1
C．a=−2，b=1
D．a=−2，b=−1
知识点06 直线的一般式
1.所有的直线方程都是关于x，y 的二元一次方程,关于x，y 的二元一次方程都表示一条直线.
2.把方程Ax+By+C=0,(A2+B2≠0)称为直线的一般式方程.
3.在方程Ax+By+C=0，如果B≠0，则方程可以化为y=- A
B x-C
B ,它表示的是斜率为- A
B 且截距为-C
B 的直线；
如果B=0，则由A,B 不同时为0 可知A≠0,从而方程可以化为x=-C
A ,它表示的是斜率不存在且过点（-C
A ，
0）的直线.
【即学即练11】（23-24 高二上·江苏·课后作业）直线的一般方程中的几何要素
若直线的一般方程为Ax + By +C =0，
4
（1）当AB≠0时，直线的斜率为 ，横截距为 ，纵截距为 ；
（2）当A =0时，直线的斜率为 ，横截距 ，纵截距为 ；
（3）当B =0时，直线的斜率 ，横截距 ，纵截距 ；
【即学即练12】（23-24 高二上·陕西西安·阶段练习）△ABC的顶点A (−3,4),B (1,4),C (−3,6)，则BC边
上的中线所在的直线方程是 ．
难点：最值问题
示例1：（23-24 高二上·广东佛山·阶段练习）已知直线l:kx −y +2+k =0(x∈R)．
(1)求证：无论k为何值，直线l:kx −y +2+k =0恒过定点；
(2)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B ,△AOB的面积为S（O为坐标原点），求S的最小值和此
时直线l的方程．
【题型1：直线的点斜式方程】
例1．（24-25 高二上·江苏徐州·开学考试）过点A(3,2)且斜率为1 的直线方程是（ ）
A．x + y +1=0
B．x + y −1=0
C．x−y +1=0
D．x−y −1=0
变式1．（23-24 高二上·贵州遵义·期末）已知直线l过点A (1,0)，且倾斜角为直线y =√3 x倾斜角的一半，
则直线l的方程为（ ）
A．x−√3 y −1=0
B．√3 x−2 y −√3=0
5
C．x−√3 y −√3=0
D．√3 x +2 y +√3=0
变式2．（23-24 高二上·广东广州·期末）已知直线l经过点P(0,1)，且它的一个方向向量为(1,2)，则直线l
的方程为（ ）
A．2 x−y −1=0
B．x +2 y −2=0
C．2 x−y +1=0
D．2 x + y +1=0
变式3．（23-24 高二上·四川达州·期末）经过点P(2，2)且倾斜角为π
4 的直线方程是（ ）
A．y = x
B．y = x−2
C．y =−x + 4
D．y = x +2
变式4．（23-24 高二上·重庆黔江·阶段练习）已知直线l的斜率为√3,在x轴上的截距为2√3
3
,则直线l的方程
为（ ）
A．y =√3 x +2
B．y =√3 x−2
C．y =√3 x + 1
2
D．y =−√3 x +2
变式5．（23-24 高二上·全国·课后作业）过点P(−2,1)且倾斜角为0
∘的直线方程为（ ）
A．y =1
B．x =−2
C．y =−2
D．x =1
变式6．（23-24 高二上·黑龙江牡丹江·期末）已知直线的斜率是2，且在y 轴上的截距是−3，则此直线的
方程是（ ）
A．y =2 x−3
B．y =2 x +3
C．y =−2 x−3
D．y =−2 x +3
变式7.（24-25 高二上·全国·课堂例题）根据条件写出下列直线的点斜式方程：
(1)经过点A (−4,3)，斜率k =3；
(2)经过点B (−1,4)，倾斜角为135
∘．
【方法技巧与总结】
关于点斜式方程的几点说明
（1）直线的点斜式方程的前提条件：
①己知一点P（xo，yo）和斜率k；
②斜率必须存在．只有这两个条件都具备，才可以写出点斜式方程．
（2）方程y-yo=k（x-xo）与方程k= y −y0
x−x 0❑
不是等价的，前者表示整条直线，后者表示去掉点P（xo，yo）
的一条直线.
（3）当k 取任意实数时，方程y-yo=k（x-xo）表示恒过定点（xo，yo）且不垂直于x 轴的无数条直线.
【题型2：直线的斜截式方程】
例2．（23-24 高二上·全国·课后作业）直线l 的斜率为方程x
2−2 x +1=0的根，且在y 轴上的截距为5，则
6
直线l 的方程为 .
变式1.（2023 高二上·江苏·专题练习）已知直线的倾斜角为150°，在y轴上的截距是−2，求直线的斜截式
方程；
变式2.（2023 高二上·江苏·专题练习）写出下列直线的斜截式方程：
(1)直线斜率是3，在y 轴上的截距是−3；
(2)直线倾斜角是60°，在y 轴上的截距是5；
(3)直线在x轴上的截距为4，在y 轴上的截距为−2.
变式3．（23-24 高二上·全国·课后作业）已知直线l 的方程为2x－5y＋10＝0，且在y 轴上的截距为b，则
b 等于（ ）
A．－2
B．2
C．－5
D．5
变式4 ．（23-24 高二上· 广东汕头· 期中）已知直线l1：y +3=2(x +2)，则l1在y轴上的截距为
（ ）
A．(0,1)
B．(0,−1)
C．1
D．−1
变式5．（23-24 高二上·山东聊城·期末）直线4 x−y +2=0在x 轴上的截距为（ ）．
A．−2
B．−1
2
C．1
2
D．2
变式6．（23-24 高二上·河南信阳·期末）直线x +2 y +2024 =0在y 轴上的截距为（ ）
A．−2024
B．−1012
C．1012
D．2024
变式7．（23-24 高二上·辽宁沈阳·阶段练习）直线(4 a
2−2) x +2 y +3=0（a为常数）的倾斜角的取值范
围是（ ）
A．[0,π
4 ]
B．[
π
4 ,π
2 )
C．[0,π
4 ]∪(
π
2 ,π) D．[0,π
2 )∪[
3 π
4 ,π)
变式8．（23-24 高二上·江西赣州·期中）已知直线l：x +my =0的倾斜角的取值范围为(
π
4 , π
3)，则直线
l1：x−my −2=0的倾斜角的取值范围为（ ）
A．(
3 π
4 ,π)
B．[0, π
2)∪(
2π
3 , 5 π
6 )
C．(
3 π
4 , 5 π
6 )
D．(
2π
3 , 3 π
4 )
【方法技巧与总结】
对直线斜截式方程的理解
7
直线的斜截式方程与一次函数的解析式相同，都是y=kx+b 的形式，但有区别，当k=0 时，y=kx＋b 即为一
次函数；当k≠0 时，y=kx＋b，不是一次函数，一次函数y=kx+b（k≠0）必是一条直线的斜截式方程.
截距不是距离，可正、可负也可为零.
【题型3：直线的两点式方程】
例3．（24-25 高二上·全国·课后作业）经过两点¿的直线方程可以表示为（ ）
A．x−x1
x2−x1
= y −y1
y2−y1
B．x−x2
x1−x2
= y −y2
y1−y2
C．( y −y1)(x2−x1)=(x−x1)( y2−y1)
D．y −y1= y2−y1
x2−x1
(x−x1)
变式1．（23-24 高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）已知直线l过点A (2,1)点B (−1,−1)，则直线l方程为（
）
A．2 x−3 y −1=0
B．2 x−3 y +1=0
C．2 x +3 y +1=0
D．2 x +3 y −1=0
变式2．（23-24 高二上·江苏盐城·期中）已知点A(−2,4)，B(4 ,−1)，则直线AB在y轴上的截距为
（ ）
A．8
3
B．7
3
C．14
5
D．13
5
变式3.（23-24 高二上·甘肃金昌·阶段练习）已知直线l 经过点(−3,−2)，(1,2)，则下列不在直线l 上的点
是（ ）
A．(−2,−1)
B．(−1,0)
C．(0,1)
D．(2,1)
变式4．（23-24 高二上·全国·课后作业）经过点A (−3,2),B (4,4)的直线的两点式方程为（ ）
A．y −2
2
= x +3
7
B．y −2
−2 = x−3
7
C．y +2
2
= x−3
7
D．y −2
x +3 = 2
7
变式5．（22-23 高二上·全国·课后作业）已知△ABC的三个顶点分别为A (1,1),B (3,1),C (4,5)，M 为AB
的中点，则中线CM 所在直线的方程为( )
A．2 x + y −3=0
B．2 x−y +3=0
C．2 x + y +3=0
D．2 x−y −3=0
变式6．（22-23 高二上·福建泉州·阶段练习）在△ABC中,A (2,1),B (−2,3),C (0,1),则BC边上的中线所在
的直线的一般方程为 .
8
变式7．（23-24 高二上·江苏·期中）已知两条直线a1 x +b1 y +1=0和a2 x +b2 y +1=0都过点A (3,2)，则过
两点P1(a1,b1)、P2(a2,b2)的直线的方程为 ．
【方法技巧与总结】
直线的两点式方程应注意的问题
要注意方程y −y1
y2−y1
= x−x1
x2−x1
和方程（y −y1
）（x2−x1
）=（x−x1
）（y2−y1
）形式
不同，适用范围也不同．前者为分式形式方程，形式对称，但不能表示垂直于坐标轴的直线．后者为整式
形式方程，适用于过任意两点的直线.
【题型4：直线的截距式方程】
例4．（23-24 高二上·安徽滁州·期末）在平面直角坐标系xOy中，直线x
4 −y
8 =1在y轴上的截距为
（ ）
A．−8
B．8
C．−1
8
D．1
8
变式1．（23-24 高二上·山东青岛·期末）直线l在x轴､y轴上的截距分别是3
2
和−3，则直线l的一般式直线
方程为 .
变式2．（23-24 高二上·江西萍乡·期末）已知过点P(3,1)的直线l在x轴上的截距是其在y轴上截距的3 倍，
则满足条件的一条直线l的方程为 ．
变式3．（2024 高二上·全国·专题练习）如图，已知直线l过点P(2,1)，且与x轴，y轴的正半轴分别交于
A，B两点，O为坐标原点，则三角形OAB面积的最小值为 ．
变式4．（2024 高二上·全国·专题练习）若直线l: x
a + y
b =1(a>0,b>0)经过点(1,2)，则直线l 在x 轴和y
9
轴上的截距之和取最小值时，a
b = .
变式5．（2024 高二上·全国·专题练习）已知两点A(3,0),B(0,4)，动点P( x , y)在线段AB上运动，则xy
的取值范围为 ．
变式6.（多选）（23-24 高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知直线l：2 x−3 y +1=0，则（ ）
A．l不过原点
B．l的横截距为1
2
C．l的斜率为2
3
D．l与坐标轴围成的三角形的面积为3
变式7．（多选）（23-24 高二上·全国·课后作业）已知直线l：y =√3 x−1，则（ ）
A．直线l 过点(√3,−2)
B．直线l 的斜率为√3
C．直线l 的倾斜角为60
∘
D．直线l 在y轴上的截距为1
【方法技巧与总结】
直线的截距式方程
我们把直线与x 轴的交点（a，0）的横坐标a 称为直线在x 轴上的截距，此时直线在y 轴上的截距是b.
方程x
a + y
b =1由直线l 在两个坐标轴上的截距a 与b 确定，所以称为直线的截距式方程.
（1）截距式方程的条件是a≠0，b≠0，即直线有两个非零截距，截距式方程不能表示过原点的直线，也不
能表示与坐标轴平行的直线.
（2）直线的截距式方程的特征是x 项分母对应的是横截距，y 项分母对应的是纵截距，中间以“＋”号连
接，等式右边为1，如x
2 −y
3 =−1就不是直线的截距式方程.
（3）由直线的截距式方程可直接读出直线在x 轴和y 轴上的截距，同时，截距式在解决与面积有关的问题
和作图时使用起来非常方便.
（4）直线在y 轴上的截距是直线与y 轴交点的纵坐标，直线在x 轴上的截距是直线与x 轴交点的横坐标，
而不是交点到原点的距离，因此截距a，b 可能为正或零，也可能为负.
【题型5：直线的一般式方程】
例5．(多选)（23-24 高二上·贵州贵阳·期中）已知直线l: Ax + By +C =0，其中A ,B不全为0，则下列说法
正确的是（ ）
10
A．当C =0时，l过坐标原点
B．当AB>0时，l的倾斜角为锐角
C．当B =0,C ≠0时，l和x轴平行
D．若直线l过点P( x0, y0)，直线l的方程可化为A(x−x0)+ B( y −y0)=0
变式1．（多选）（23-24 高二上·贵州·开学考试）已知直线l: Ax + By +C =0（A ,B不同时为0），则
（ ）
A．当A =0,B≠0时，l与x轴垂直
B．当A ≠0,B =0,C =0时，l与y轴重合
C．当C =0时，l过原点
D．当A >0,B>0时，l的倾斜角为锐角
变式2．（22-23 高二·全国·随堂练习）已知直线l: Ax + By +C =0（其中A，B 不全为0）．
(1)写出直线l 的一个法向量的坐标．
(2)若直线l 经过原点，则A，B，C 满足的条件是什么？
(3)若直线l 与x 轴平行或重合，则A，B，C 满足的条件是什么？
(4)若直线l 与x 轴和y 轴都相交且不经过原点，则A，B，C 满足的条件是什么？
变
式
3
．
（
21-22
高
二
上
·
辽
宁
大
连
·
阶
段
练
习
）
已
知
方
程
(m
2−2m−3) x +(2m
2+m−1) y +6−2m=0(m∈R)．
(1)求该方程表示一条直线的条件；
(2)当m 为何实数时，方程表示的直线斜率不存在？求出这时的直线方程；
(3)已知方程表示的直线l 在x 轴上的截距为−3，求实数m 的值；
(4)若方程表示的直线l 的倾斜角是45°，求实数m 的值．
变式4．（23-24 高二上·甘肃武威·期中）直线x cosα −√3 y −2=0的斜率的取值范围是 ．
变式5．（23-24 高二上·山西·阶段练习）已知直线l：3 x + y −1=0的倾斜角为α，则cosα = .
变式6．（23-24 高二上·广东肇庆·期末）直线l：2 x−y +1=0与y 轴的交点为A，把直线l 绕着点A 逆时
针旋转45
∘得到直线l
'，则直线l
'的方程为（ ）
A．2 x + y −1=0
B．3 x−y +1=0
C．3 x + y −1=0
D．x +3 y −3=0
【方法技巧与总结】
二元一次方程的系数和常数项对直线的位置的影响
11
（1）当A=0，B≠0，C≠0 时，方程表示的直线与x 轴平行.
（2）当A≠0，B=0，C 为任意实数时，方程表示的直线与x 轴垂直.
（3）当A=0，B≠0，C=0 时，方程表示的直线与x 轴重合.
（4）当A≠0，B=0，C=0 时，方程表示的直线与y 轴重合.
（5）当C=0，A，B 不同时为0 时，方程表示的直线过原点.
【题型6：直线与坐标轴围成三角形问题】
例6．（2024 高二上·全国·专题练习）已知直线3 x + 4 y =b与两坐标轴围成的三角形的面积为3
2
，则b=
（ ）
A．6
B．6或−6
C．−6
D．2或12
变式1．（多选）（21-22 高二上·浙江嘉兴·期中）直线l的方程为：x =my +1，则（ ）
A．直线l恒过定点(1,0)
B．直线l斜率必定存在
C．m=√3时直线l的倾斜角为60
∘
D．m=2时直线l与两坐标轴围成的三角形面积为1
4
变式2．（24-25 高二上·全国·课后作业）已知直线l 的方程为3 x + 4 y −12=0，直线l 与坐标轴交于A，B
两点，则△AOB的面积为 ．
变式3．（23-24 高二上·内蒙古赤峰·期末）纵截距为4，与两坐标轴围成的三角形面积为10 的直线的一般
式方程为 ．
变式4．（2024 高二·全国·专题练习）已知直线l 的斜率为1
6
，且和两坐标轴围成面积为3 的三角形，求l
的斜截式方程．
变式5．（2023 高二上·江苏·专题练习）已知直线l 的斜率为−2，且与两坐标轴围成的三角形的面积为4，
求直线l 的斜截式方程．
变式6．（22-23 高二下·湖南长沙·期中）已知△ABC的三个顶点分别为A (0,4)，B (−2,6)，C (−8,0).
12
(1)求边AC和AB所在直线的方程；
(2)求AC边上的中线BD所在直线与坐标轴围成的三角形的面积.
变式7．（23-24 高二上·广东佛山·期中）过点P(−1,−2)的直线l可表示为m(x +1)+n( y +2)=0，若直线l
与两坐标轴围成三角形的面积为6，则这样的直线有（ ）
A．1 条
B．2 条
C．3 条
D．4 条
变式8 ．（23-24 高二上· 上海· 课后作业）在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，设函数
f ( x)=k( x−2)+3的图象为直线l，且l与x轴、y轴分别交于A、B两点，给出下列四个命题：
①存在正实数m，使△AOB的面积为m的直线l仅有一条；
②存在正实数m，使△AOB的面积为m的直线l仅有二条；
③存在正实数m，使△AOB的面积为m的直线l仅有三条；
④存在正实数m，使△AOB的面积为m的直线l仅有四条．
其中，所有真命题的序号是（ ）．
A．①②③
B．③④
C．②④
D．②③④
【题型7：直线过定点问题】
例7．（24-25 高二上·全国·随堂练习）已知直线的方程是y +2=−x−1，则（ ）
A．直线经过定点(2,−1)，斜率为−1
B．直线经过定点(1,−2)，斜率为−1
C．直线经过定点(−2,−1)，斜率为1
D．直线经过定点(−1,−2)，斜率为−1
变式1．（22-23 高二下·吉林长春·开学考试）不论k 为任何实数，直线(2k −1)x−(k +3) y −(k −11)=0
恒过定点，则这个定点的坐标为（ ）
A．(−2,3)
B．(2,3)
C．(2,−3)
D．(−2,−3)
变式2．（23-24 高二下·上海宝山·期末）若无论实数m取何值，直线l: x +(m+1) y +1=0都经过一个定点，
则该定点坐标为 .
变式3．（23-24 高二上·上海虹口·阶段练习）无论实数λ 取何值，直线(2 λ−1) x +(λ+3) y −(λ−11)=0恒
过定点 .
变式4．（23-24 高二上·北京·期中）无论a取何值，直线ax + y −a−2=0恒经过一个定点P，P的坐标为
，经过点P且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为 ．
13
变式5．（23-24 高二上·广东惠州·期中）直线l:(m+2)x +(1−2m) y +6m−3=0过定点 .
变式6．（23-24 高二上·全国·课后作业）不论a为何实数，直线(a+3)x +(2a−1) y +7=0恒过第 象
限.
变式7．（23-24 高二下·全国·课后作业）已知直线l:(a−1) y =(2a−3) x +1.
(1)求证：直线l过定点；
(2)若直线l不经过第二象限，求实数a的取值范围.
变式8．（23-24 高二上·广东中山·阶段练习）已知直线l的方程为：(2m+1) x +(m+1) y −7m−4 =0.
(1)求证：不论m为何值，直线必过定点M；
(2)过点M引直线l1交坐标轴正半轴于A 、B两点，当△AOB面积最小时，求△AOB的周长.
变式9．（22-23 高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知直线l1:kx −y −3−4 k =0(k ∈R)过定点P．
(1)求过点P且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线l2方程；
(2)若直线l1交x轴正半轴于点A，交y轴负半轴于点B，△ABC的面积为S（O为坐标原点），求S的最小值
并求此时直线l1的方程．
【题型8：一般式方程与象限问题】
例8．（23-24 高二下·上海·阶段练习）已知直线l方程为y = x +1，l绕点(0,1)顺时针旋转5
18 π，得到直线
l2，则l2不过第（ ）象限.
A．一
B．二
C．三
D．四
变式1．（多选）（24-25 高二上·全国·课后作业）关于一次函数y =kx +b(k >0)，下列结论正确的有
（ ）
A．当b>0时，函数图象经过第一、二、三象限
B．当b<0时，函数图象经过第一、三、四象限
C．∀b∈R，函数图象必经过第一、三象限
D．∀b∈R，函数在R 上恒为减函数
变式2．（多选）（23-24 高二上·河北石家庄·阶段练习）下列命题中错误的是（ ）
A．若直线的倾斜角为钝角，则其斜率一定为负数B．任何直线都存在斜率和倾斜角
C．直线的一般式方程为Ax + By +C =0
D．任何一条直线至少要经过两个象限
变式3．（多选）（23-24 高二上·湖南岳阳·阶段练习）已知直线l 的方程是Ax + By +C =0（A，B 不同时
为0），则下列结论正确的是（ ）
A．A
2+C
2≠0
B．若C =−A，则直线l 过定点(1,0)
14
C．若A ⋅B<0且B⋅C >0，则直线l 不过第二象限
D．若AC >0，则直线l 必过第二、三象限
变式4．（多选）（23-24 高二上·新疆·期中）已知abc≠0，直线l:ax +by +c =0经过第一、二、四象限，
则（ ）
A．ab>0
B．bc<0
C．ac<0
D．a<0
变式5．（多选）（23-24 高二上·辽宁沈阳·阶段练习）如果AB<0，BC >0，那么直线Ax + By +C =0经
过的所有象限是 ．
变式6．（多选）（23-24 高二上·安徽·期中）已知直线l: y =−x，其中l1，l2，l的图象如图所示，直线l1，
l2的斜率分别为k1，k2，纵截距分别为b1，b2，则下列说法正确的是（ ）
A．−1<k2<0
B．k1<k2<−1
C．b1>b2
D．b1
b2
>0
【题型9：图象选择问题】
例9．（23-24 高二下·全国·课后作业）已知直线ax +by +c =0的图象如图，则（ ）
A．若c>0，则a>0，b<0
B．若c>0，则a<0，b>0
C．若c<0，则a>0，b>0
D．若c<0，则a>0，b<0
变式1．（23-24 高二上·浙江金华·期中）已知直线l1: y =ax−b,l2: y =bx +a，当a,b满足一定条件时，它
们的图形可能是图中的（ ）
15
A．
B．
C．
D．
变式2．（20-21 高二上·天津武清·阶段练习）直线l1：ax−y +b=0与l2：bx−y +a=0（其中a≠0，b≠0，
a≠b），在同一坐标系中的图象是图中的（ ）
A．
B．
C ．
D．
变式3．（22-23 高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知直线l：x
A + y
B =C，则以下四个情况中，可以使l的
图象如下图所示的为（ ）
A．A >0，B<0，C >0
B．A <0，B<0，C >0
C．A <0，B<0，C <0
D．A >0，B<0，C <0
变式4．（2021 高二·全国·专题练习）方程y =ax + 1
a
表示的直线可能是图中的（ ）
16
A．
B．
C．
D．
变式5．（24-25 高二上·全国·课后作业）直线x
m −y
n =1与x
n −y
m =1(m≠n)在同一平面直角坐标系中的图
象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式6．（23-24 高一上·四川绵阳·开学考试）一次函数l2: y =kx +b与l1: y =kbx(k ,b为常数，且kb≠0)，
它们在同一坐标系内的图象可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
变
式
7
．
（
多
选
）
（
21-22
高
二
上
·
江
苏
南
通
·
阶
段
练
习
）
直
线
l1:ax−y −b=0,l2:bx−y +a=0(ab≠0,a≠b)，下列图象中正确的是（ ）
17
A．
B．
C．
D．
【题型10：最值问题】
例题10．（21-22 高一下·四川德阳·阶段练习）已知过定点直线kx−y + 4−k =0在两坐标轴上的截距都是
正值，且截距之和最小，则直线的方程为（ ）
A．x−2 y −7 =0
B．x−2 y +7 =0
C．2 x + y −6=0
D．x +2 y −6=0
变式1．（20-21 高二上·重庆黔江·阶段练习）在平面直角坐标系中有两个定点A(1,5)、B(4,1)，若在y轴
有一动点P，使得|PA|+|PB|值最小，此时P点坐标为（ ）
A．(
21
5 ,0)
B．(
7
2 ,0)
C．(0, 7
2)
D．(0, 21
5 )
变式2 ．（23-24 高二上· 江苏南通· 阶段练习）过定点A 的直线ax + y −2=0与过定点B 的直线
x−ay + 4 a−2=0交于点P( P与A、B 不重合)，则△PAB面积的最大值为（ ）
A．√2
B．2√2
C．2
D．4
变式3．（23-24 高二上·河北石家庄·阶段练习）直线(2−m) x +(2m+1) y +3m+ 4 =0，若直线分别与x 轴，
y 轴的负半轴交于A、B 两点，求三角形AOB 面积的最小时的直线的方程 .
变式4．（23-24 高二上·江苏宿迁·期中）设m为实数，直线(2m+1) x +(m+1) y −5m−3=0．
(1)求证：不论m为何值，直线必过定点M，并求出定点M的坐标；
(2)过点M引直线l1，使它与两坐标轴的正半轴的截距之和最小，求l1的方程．
变式5．（2022 高二上·全国·专题练习）已知直线l的方程为：(2+m) x +(1−2m) y +(4−3m)=0．
(1)求证：不论m为何值，直线必过定点M；
(2)过点M引直线l1，使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积最小，求l1的方程．
变式6．（21-22 高二·全国·课后作业）求经过点P(1,4)，且分别满足下列条件的直线方程：
(1)在两坐标轴上的截距相等；
(2)在两坐标轴上的截距都是正的，且截距之和最小．
变式7．（21-22 高二·全国·课后作业）过点P(1,2)作直线l 分别与x，y 轴正半轴交于点A，B.
(1)若△AOB是等腰直角三角形，求直线l 的方程；
18
(2)对于①|OA|+|OB|最小，②△AOB面积最小，若选择___________作为条件，求直线l 的方程.
一、单选题
1．（23-24 高二上·湖南长沙·期末）已知直线的方程为x−y + 1
2 =0，则该直线的倾斜角为（ ）
A．π
6
B．π
4
C．3 π
4
D．5 π
6
2．（23-24 高二上·浙江绍兴·期末）下列方程所表示的直线中，倾斜角为π
4
的是（ ）
A．2 x−y −1=0
B．x +2 y −1=0
C．x−y −1=0
D．x + y −1=0
3．（23-24 高二上·湖北荆州·期末）直线x−2 y +2024 =0在x轴上的截距为（ ）
A．−2024
B．−1012
C．1012
D．2024
4．（24-25 高二上·湖北黄冈·阶段练习）已知直线(a−2) y =(3a−1) x−1，为使这条直线不经过第二象限，
则实数a的范围是（ ）
A．(−∞,2)
B．(−∞,2]
C．(2,+ ∞)
D．[2,+∞)
5
．
（
22-23
高
二
上
·
湖
北
武
汉
·
阶
段
练
习
）
当
点
P(−2,−1)到
直
线
l:(1+3 λ)x +(1+ λ) y −2−4 λ =0( λ∈R)距离的最大时，直线l 的一般式方程是（ ）
A．3 x +2 y −5=0
B．2 x−3 y +1=0
C．3 x +2 y +5=0
D．2 x−3 y +2=0
6．（24-25 高二上·全国·课后作业）下列直线中过第一、二、四象限的是（ ）
A．y =2 x +1
B．y = 1
2 x + 4
C．y =−2 x + 4
D．y = 3
2 x−3
7．（23-24 高二下·上海·阶段练习）“a=1”是“直线x +ay −1=0与直线ax−y +1=0相互垂直”的
（ ）条件
A．充分非必要
B．必要非充分
C．充要
D．既非充分也非必要
8．（21-22 高二上·北京·期中）已知直线l 的方程为x−my +2=0，则直线l（ ）
A．恒过点(−2,0)且不垂直x 轴
19
B．恒过点(−2,0)且不垂直y 轴
C．恒过点(2,0)且不垂直x 轴
D．恒过点(2,0)且不垂直y 轴
二、多选题
9．（23-24 高二上·浙江湖州·期末）对于直线l：mx +ny −3m=0（m
2+n
2≠0，m,n∈R），下列说法正
确的是（ ）
A．直线l 的一个方向向量为(n,−m)
B．直线l 恒过定点(3,0)
C．当m=√3n时，直线l 的倾斜角为60°
D．当m=−2且n>0时，l 不经过第二象限
10．（23-24 高二上·福建福州·期末）已知点M (−1,1)，N (1,3)，直线l：mx + y −m+1=0与线段MN有
交点，则m可以为（ ）
A．6
B．2
C．1
D．-1
11．（23-24 高二上·浙江舟山·期末）下列说法正确的是（ ）
A．直线x−y −2=0的倾斜角为π
4
B．直线x−y −2=0与两坐标轴围成的三角形的面积是2
C．过点(1,4)的直线在两坐标轴上的截距之和为0，则该直线方程为x−y +3=0
D．过(1,4)、(x0, y0)两点的直线方程为y −4
y0−4 = x−1
x0−1
三、填空题
12．（23-24 高二上·湖北荆州·期末）直线l经过点A(0,1)，且倾斜角为直线y =√3 x−2的倾斜角的一半，
则l 的方程为 .
13．（2024 高二上·全国·专题练习）直线l 过点(−4 ,−1)，且横截距是纵截距的两倍，则直线l 的方程为
.
14．（23-24 高二上·全国·课后作业）已知A (3,4)，B (−1,0)，则过AB的中点且倾斜角为120
∘，直线的点
斜式方程是 ．
四、解答题
15．（23-24 高二下·全国·课堂例题）设l1,l2是平面直角坐标系中的直线，分别判断满足下列条件的l1,l2是
否唯一.如果唯一，作出相应的直线，并思考直线上任意一点的坐标( x , y)应该满足什么条件.
（1）已知l1的斜率不存在；
（2）已知l1的斜率不存在且l1过点A(−2,1)；
20
（3）已知l2的斜率为√3；
（4）已知l2的斜率为√3且l2过点B(1,2).
16．（23-24 高二上·江苏南京·开学考试）已知直线l过点P(
4
3 ,2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A ,B
两点，O为坐标原点.
(1)当OA =OB时，求直线l的方程；
(2)当△AOB的面积为6时，求直线l的方程.
17．（24-25 高二下·上海·单元测试）在平面直角坐标系中，已知射线OA : x−y =0(x ≥0)，过点P(3,1)作
直线分别交射线OA、x 轴正半轴于点A、B．
(1)当AB 的中点为P 时，求直线AB 的一般式方程；
(2)求△OAB面积的最小值．
18．（24-25 高二上·上海·课后作业）设直线l 的方程为(a+1)x + y +2−a=0(a∈R)．
(1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程；
(2)是否存在实数a，使直线l 不经过第二象限？若存在，求实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由．
19．（22-23 高二上·四川南充·阶段练习）过点P(
4
3 ，2)的直线l与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于
A 、B两点，O为坐标原点.
(1)求△OAB面积的最小值以及面积最小时直线l的方程;
(2)是否存在直线l，使△OAB的周长为12，若存在，求出直线l的方程;若不存在，说明理由.
