文档文本内容
8.1.1 向量数量积的概念
8.1.2 向量数量积的运算律
课程标准
学习目标
（1）理解平面向量数量积的概念及物理意义，
会计算平面向量的数量积；
（2）通过几何直观了解平面向量投影的概念以
及投影向量的意义，会求投影向量；
（3）进一步掌握数量积的运算，掌握平面向量
数量积的运算律及常用公式；
（4）能用数量积的运算性质和运算律解决模、
垂直、夹角、证明问题。
（1）通过物理学中力对物体做功引出向量的数
量积概念，培养学生数学抽象的素养；
（2）利用向量的投影领会向量的数量积的几何
意义，提高几何直观的数学素养；
（3）通过向量的加法与数乘运算律得到数量积
的运算律，培养数学抽象的素养；
（4）利用平面向量的运算律进行数量积运算，
提升学生数学运算的核心素养。
知识点01 两个向量的夹角
1、定义：给定两个非零向量
，
，在平面内任选一点
，作
，
，则称
内的
为向量
与向量
的夹角，记作
．
2、性质：当
时，
与
同向；当
时，
与
反向．
【即学即练1】（2023·甘肃兰州·高一期末）等边三角形
中，
与
的夹角为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】延长
到
，则
为
与
的夹角，所以，
与
的夹角为
．故选：C．
知识点02 向量数量积的定义
1、向量数量积的定义
（1）定义：一般地，当
与
都是非零向量时，称
为向量
与
的数量积(也称内积)；
（2）记法：向量
与
的数量积记作
，即
；零向量与任一向量的数量积为0；
（3）由定义可知，两个非零向量
与
的数量积是一个实数，这与向量的加法、减法及数乘向量的结果仍
是一个向量不同。
2、向量数量积的性质：设
，
都是非零向量，
是单位向量，θ 为
与
(或
)的夹角．则
（1）
；
（2）
；
（3）当
与
同向时，
；当
与
反向时，
；
特别地，
或
；
（4）
；
（5）
【即学即练2】（2024·全国·高一专题练习）设
和
是互相垂直的单位向量，且
，
，则
等于（ ）
A．－2 B．－1 C．1 D．2
【答案】B
【解析】因为
,
，
所以
.故选：B
知识点03 向量的投影
1、投影与投影向量：设
，
是两个非零向量，
，
，
考虑如下变换：过
的起点A 和终点B，分别作
所在直线的垂线，垂足分别为
，
，得到
，
我们称上述变换为向量
向向量
投影，
叫做向量
在向量
上的投影向量．
在平面内任取一点O，作
，
，过点M 作直线
的垂线，垂足为
，则
就是向量
在
向量
上的投影向量，且
．
2、数量积的几何意义：数量积
等于
的长度|
|与
在
的方向上的投影
的乘积。
投影的数量与投影的长度有关，但是投影的数量既可能是非负数，也可能是负数。
【即学即练3】（2023·湖北恩施·高一期末）已知向量
满足
，则
在
上的投影向量为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】向量
在
上的投影向量为
，故选：C
知识点04 向量数量积的运算律
1、运算律
（1）
；
（2）
(λ 为实数)；
（3）
；
（4）两个向量
，
的夹角为锐角⇔
且
，
不共线；
两个向量
，
的夹角为钝角⇔
且
，
不共线．
2、常用公式
【即学即练4】（2023·河北廊坊·高三期中）已知单位向量
满足
，则
（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，所以
．故选：C
【题型一：向量数量积的相关概念】
例1．（2023·全国·高一课时练习）已知平面向量
，
，且
，则
（ ）
A．1 B．14 C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，
，
，所以
，
所以
.故选：B
变式1-1．（2023·陕西咸阳·高一阶段练习）在等式①
；②
；③
；④若
，且
，则
；其中正确的命题的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】零向量与任何向量的数量积都为0，故①错误；
0 乘以任何向量都为零向量，故②正确；
向量的加减、数乘满足结合律，而向量数量积不满足结合律，故③错误；
不一定有
，如
满足条件，结论不成立，故④错误；故选：A
变式1-2．（2023·浙江绍兴·高一期末）（多选）下面给出的关系式中，不正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【解析】对A：由
可得
，而
，故A 说法正确；
对B：取
，则
成立，但
不一定成立，故B 说法错误；
对C：
表示与共线的向量，而
表示与
共线的向量，
所以
不一定成立，故C 说法错误；
对D：
，故
，故D 说法错误.故选：BCD
变式1-3．（2023·河南焦作·高一阶段练习）下列四个命题中，正确的个数是（ ）
①
；②“
”等价于“存在实数
，使得
”；③
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个
【答案】A
【解析】对于①，等式左边
，等式右边
，
而
与
不能确保恒等，故①不正确；
对于②，若
满足
，但不存在实数
，使得
成立，故②不正确；
对于③，
，但
不恒等于1，故③不正确.故选：A.
【方法技巧与总结】
两向量的数量积是两向量之间的一种乘法运算，它与两数之间的乘法有本质的区别。解决这一类题需要把
握好数量积的定义、性质及运算律，注意零向量与数字0 的差异，实数乘积运算与向量数量积运算的差异，
向量数量积不满足向量结合律。
【题型二：向量数量积的简单计算】
例2．（2023·湖南益阳·高一期末）已知平面向量
，
满足：
，
在
上的投影向量为
，则
.
【答案】
【解析】因为
，
在
上的投影向量为
，
所以
，解得
.
变式2-1．（2024·全国·高一专题练习）已知
，
，
与
的夹角是
，则
等于（
）
A． B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由平面向量数量积的定义可得
.故选：B.
变式2-2．（2024·全国·高三模拟预测）已知单位向量
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．0 D．
【答案】D
【解析】依题意
，两边同时平方得
，
所以
，可得
．故选：D
变式2-3．（2023·云南曲靖·高三阶段练习）已知向量
、
满足
，
，且
与
夹角的余弦值为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．12
【答案】A
【解析】依题意，
，
所以
.故选：A
【方法技巧与总结】
求向量的数量积时，需明确两个关键点：模和夹角。若相关向量是两个或两个以上向量的线性运算，则需
先利用向量数量积的运算及多项式乘法的相关公式进行化简。
【题型三：几何图形中的数量积计算】
例3．（2023·广东深圳·高一期中）等边
的边长为
，点
为
的重心，则
.
【答案】2
【解析】由于等边
的重心
为中线（也是角平分线）的三等分点，
则
，且向量
与
的夹角为
，
所以
.
变式3-1．（2023·北京密云·高一期末）已知菱形
的对角线
长为4，则
．
【答案】
【解析】设菱形
的对角线
、
相交于
点，
则
，且
．
由平面向量的数量积定义可知：
.
变式3-2．（2023·四川成都·高一期末）在
中，
，
，
，则
的值为（
）
A．2 B．
C．
D．
【答案】B
【解析】∵
，∴
，又
，
∴
，故选：B.
变式3-3．（2023·内蒙古呼和浩特·高三期末）我国古代数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，后人称为
“赵爽弦图”.他用数形结合的方法给出了勾股定理的证明，极富创新意识.“赵爽弦图”是由四个全等的直
角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.如图，若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则
（ ）
A．9 B．12 C．15 D．16
【答案】B
【解析】因为大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，所以
,
设
，则
，
在
中，
，即
，解得
或
（舍去），
所以
，
易知在正方形
中，
，
，
，
所以
.故选：B.
【方法技巧与总结】
求两个向量的数量积的关键是准确求出两个向量的夹角，要注意夹角的范围为
【题型四：求向量的投影】
例4．（2023·福建龙岩·高一期中）已知
，
，且
与
的夹角为
，则
在
上的投影向量为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
，
，且
与
的夹角为
，
所以
，
所以
在
上的投影向量为
.故选：A
变式4-1．（2024·全国·高一专题练习）已知
，与
同向的单位向量为，
，
的夹角为
，
则向量
在向量
方向上的投影向量为（ ）
A．4 B．－4 C．2 D．－2
【答案】D
【解析】向量
在向量
方向上的投影向量为
.故选：D.
变式4-2．（2023·河北石家庄·高三期末）在等边
中，
，则向量
在向量
上的
投影向量为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题可知
，
，所以向量
在向量
上的投影向量为
．故选：B
变式4-3．（2023·山西运城·高一期末）已知
中，
，
，
，则
在
上的投影向量为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】在
中，由
，得
，即
，
由
，得线段
是
斜边
上的中线，
又
，即有
，
则
是正三角形，
，
，
于是
，
所以
在
上的投影向量为
.故选：C
【方法技巧与总结】
求向量的投影（或其数量）的关注点和计算方法：
1、关注点：注意
在
上的投影与
在
上的投影不投，审题时要看清；
2、向量
在
所在直线上的投影是一个向量，向量
在
所在直线上的投影的数量是一个实数；
【题型五：求向量的夹角】
例5．（2023·全国·高一随堂练习）若
，
是单位向量，且
，则
与
的夹角是 .
【答案】
【解析】由已知可得，
.
又
，所以
.
变式5-1．（2023·北京海淀·高三阶段练习）已知向量
，
，满足
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设
，
因为
，
，
可知
三点不共线，且
既是
的重心也是
的外心，
所以
为等边三角形，
则
，
所以
.故选：C.
变式5-2．（2023·山东泰安·高一开学考试）已知
，
是夹角为
的两个单位向量．若
，
，其中
，若
，
的夹角为锐角，求的取值范围．
【答案】
．
【解析】因为
，
的夹角为锐角，所以
，且
，
不共线，
当
时，
，得
，
当
，
共线时，存在唯一的实数
，使
，
即
，所以
，解得
，
所以当
时，
，
不共线，
综上，的取值范围为
且
，即
．
变式5-3．（2023·山东泰安·高一阶段练习）设两个向量
满足
．
（1）若
，求
的夹角
；
（2）若
的夹角为
，向量
与
的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．
【答案】（1）
；（2）
且
【解析】（1）
，
又
，
即
，
又
（2）
的夹角为
且
向量
与
的夹角为钝角
且
与
不共线
即
解得：
且
实数t 的取值范围
且
【方法技巧与总结】
1、两向量的夹角其实就是从同一起点出发的表示两个非零向量的有向线段构成的不大于平角的角；
2、求两个向量夹角的方法：求两向量的夹角，关键是利用平移的方法使表示两个向量的有向线段的起点
重合，根据向量夹角的概念确定夹角，再依据平面图形的知识求解向量的夹角。过程简记为“一作、二证、
三算”。
【题型六：求向量的模长】
例6．（2024·全国·高一专题练习）已知
方向相同，且
，则
等于（ ）
A．16 B．256 C．8 D．64
【答案】A
【解析】因
，
则
.故选：A.
变式6-1．（2023·山东烟台·高一开学考试）已知非零向量
，
.若
与
的夹角为
，则
.
【答案】2
【解析】由于
，得：
，
两边平方得：
，
由于
，且
与
的夹角为
，其中
，
得
，得
或（舍去，非零向量
）.
变式6-2．（2023·新疆喀什·高一期中）已知向量
，其中
，
，则
.
【答案】
【解析】由
，
可得：
，
则
.
变式6-3．（2023·江西景德镇·高一期末）已知向量
，
满足
，
，则
．
【答案】2
【解析】由
，两边同时平方，有
，
化简得
，
由
，两边同时平方，有
，即
，所以
.
【方法技巧与总结】
根据数量积的定义
，得
，把向量的模的运算转化为数量积运算，这
就是求模的方法。即要求一个向量的模，先求这个向量与自身的数量积（一定非负），再求它的算术平方
根，即为模。对于复杂的向量也是如此，例如求
，可先求
，再求其算数
平方根，即为
。
【题型七：向量的垂直问题】
例7．（2022·全国·高一单元测试）下列向量一定与向量
垂直的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
分别是
方向上的单位向量，设
，
，
一定与向量
垂直的是
，故选：A.
变式7-1．（2023·云南昆明·高二期末）已知两个单位向量
与
的夹角为
，若
，
，
且
，则实数
（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】C
【解析】因为两个单位向量
与
的夹角为
，且
，
所以
，即
，故选：C.
变式7-2．（2023·黑龙江大庆·高三阶段练习）已知向量
，
的夹角为
，
，且向量
与
垂直，则实数
（ ）
A．2
B．
C．
D．2
【答案】D
【解析】由
，则
，
即
，解得
.故选：D.
变式7-3．（2023·安徽宣城·高一期末）已知平面向量
满足
，
，且
．
（1）求
在
方向上的投影向量；
（2）若
，求实数
的值．
【答案】（1）
；（2）
【解析】（1）由
，
，且
，
平方得
，解得
，
所以
在
方向上的投影向量为
.
（2）因为
，所以
，
化简得
，所以
，解得
【方法技巧与总结】
已知两向量垂直，可利用其数量积为0 列出方程，通过解方程求出其中的参数值。在计算数量积时可根据
数量积的运算法则进行整体计算，把这个数量积的计算转化为基本的向量数量积的计算。
一、单选题
1．（2022·全国·高一课时练习）已知向量
满足
，
，且
与
夹角为30°，那么
等于（
）
A．1 B．
C．3 D．
【答案】C
【解析】
，故选：C
2．（2022·北京·高一期中）已知向量
和
的夹角为
，
，
，则
等于（ ）
A．15 B．12 C．6 D．3
【答案】B
【解析】∵向量
和
的夹角为
，
，
，
∴
.故选：B.
3．（2023·江苏南通·高三阶段练习）已知非零向量
满足
，且
，则
与
的夹角
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，所以
，
设
与
的夹角为
，所以
，所以
.故选：D
4．（2023·陕西·高三阶段练习）已知向量
，
满足
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，
，
，
所以
，
，
即
，
，解得
，
，
所以
，
，
则
．故选：D．
5．（2023·青海西宁·高三期中）已知平面向量
，
，且
，则
（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】由平面向量
，可得
，
由
，可得
，即
，则
，
所以
.故选：C．
6．（2023·河北石家庄·高一下期中）对于非零向量，下列命题中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】A 选项，由
可得
，A 选项正确.
B 选项，若
，则当
方向相反时，
，所以B 选项错误.
C 选项，若
，则
，无法推出两向量共线，所以C 选项错误.
D 选项，若
，可能
，不一定有
，所以D 选项错误. 故选：A
7．（2023·陕西西安·高二阶段练习）已知向量
不共线，满足
，则
在
方向上的投
影向量为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，
所以
，即
，得
，
则
在
方向上的投影向量为
.故选：D
8．（2023·四川凉山·高一期中）已知
是
的外心，外接圆半径为2，且满足
，若
在
上的投影向量为
，则
（ ）
A．4 B．
C．
D．2
【答案】A
【解析】∵
，∴
为
中点，则
为直径，∴
，
又∵
在
上的投影向量为
，如图：
过
作
，垂足为点
，∴
，
∴
为
中点，则
，
∴
.故选：A
二、多选题
9．（2024·全国·高一专题练习）（多选）已知两个单位向量
的夹角为θ，则下列结论正确的是（
）
A．
在
方向上的投影向量为
B．
C．
D．
【答案】ABC
【解析】因为两个单位向量
的夹角为θ，
则
，则
在
方向上的投影向量为
，故A 正确；
，故B 正确；
，故
，故C 正确；
，故D 错误.故选：ABC.
10．（2023·河南洛阳·高一阶段练习）已知单位向量
，
满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【解析】由题意，
，
，对
两边同时平方可得
，
所以
，
即
，解得
，
故
，所以
.故选：AC.
11．（2023·湖南长沙·高三阶段练习）已知向量
，
满足
，
且
，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【解析】因为
，所以
，即
，整理可得
，
再由
，且
，可得
，所以
，
，A 选项正确，D 选项错误；
，即向量
，
的夹角
，
故向量
，
共线且方向相反，所以
，B 选项正确；
，C 选项正确.故选：ABC
12．（2023·河南郑州·高一期中）已知两个单位向量
和
的夹角为
，
则（ ）
A．向量
在向量
上的投影向量为
B．向量
与向量
的夹角为
C．向量
在向量
上的投影向量为
D．
的最小值为
【答案】ACD
【解析】选项A：向量
在向量
上的投影向量为
，选项正确；
选项B；
解得向量
与向量
的夹角为
，选项错误；
选项C；向量
在向量
上的投影向量为：
选项正确；
选项D；
当
选项正确；故选：ACD．
三、填空题
13．（2024·全国·专高一题练习）已知向量
满足
，则向量
与
的夹角为
．
【答案】
【解析】因为
，所以
，
设向量
与
的夹角为
，则
，
又
，所以
.
14．（2023·山东菏泽·高一阶段练习）已知向量
，
满足
，
，
则
．
【答案】
【解析】由
，得
，
又
，
两式相加得
则
，则
.
15．（2023·全国·高一课时练习）若
,
,
,
的夹角为
，若
，则
的值为
．
【答案】
【解析】由题意知,
，
即
，解得
.
16．（2023·广东云浮·高一阶段练习）在
中，
，
，
，则
．
【答案】
【解析】由
的三边分别为
，
，
，
则
，所以
，得
，
则
，
，
所以
．
四、解答题
17．（2023·吉林辽源·高一阶段练习）已知向量
，
，
与
的夹角为
.求
（1）
（2）求
；
（3）求
.
【答案】（1）3；（2）
；（3）
【解析】（1）由题意可得：
.
（2）由题意可得：
.
（3）由题意可得：
.
18．（2023·陕西咸阳·高一阶段练习）已知
，其中
是夹角为
的单位向量．
（1）求
；
（2）求
与
夹角的余弦值．
【答案】（1）
；（2）
【解析】（1）
是夹角为
的单位向量，
．
（2）
是夹角为
的单位向量，
，
，
．
19．（2023·全国·高一课时练习）在
中，已知
，求：
（1）
；
（2）
在
方向上的投影向量；
（3）
在
方向上的投影的数量．
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【解析】（1）因为
，
，
，
所以
，即
，所以
，
所以
.
（2）由（1）知，
，所以
，
所以
在
方向上的投影为
.
（3）由（1）知，
，
所以
在
方向上的投影的数量为
.
20．（2023·浙江·高一阶段练习）已知在
中，N 是边AB 的中点，且
，设AM 与CN 交于点
P．记
．
（1）用
表示向量
；
（2）若
，且
，求
的余弦值．
【答案】（1）
，
；（2）
．
【解析】（1）
，
，
．
（2）
N，P，C 三点共线，∴由
得
，
，即
，
,即
的余弦值为
．
21．（2023·黑龙江齐齐哈尔·高一期末）已知向量
，
满足
，
，且
，
的夹角为
．
（1）求
；
（2）若
，求实数
的值．
【答案】（1）
；（2）
【解析】（1）由
，则
.
（2）由题意
，所以
.
22．（2023·辽宁锦州·高一阶段练习）已知平面向量
与
满足
，向量
是与向量
同向的单位向
量，向量
在向量
上的投影向量为
.
（1）若
与
垂直，求
的大小；
（2）若
与
的夹角为
，求向量
与
夹角的余弦值.
【答案】（1）
；（2）
【解析】（1）设
的夹角为
，由题意得
，则
.
因为
与
垂直，所以
，
化简为
，即
，所以
.
（2）由题意得
，所以
，且
.
所以
，
，
设向量
与
的夹角为
，所以
.
