文档文本内容
6.1.1 函数的平均变化率
6.1.2 导数及其几何意义
课程标准
学习目标
（1）理解函数平均变化率的函数，会求函数在区
间上的平均变化率；
（2）领会以直代曲的思想方法；
（3）会求位移函数在某段时间内的平均速度，理
解平均变化率的物理意义；
（4）了解理解瞬时变化率、导数的概念，会用导
数的定义求函数的导数；
（1）通过对平均变化率的理解与运用，达成数
学抽象、直观抽象与数学运算的核心素养；
（2）掌握曲线上某点附近的平均变化率求法；
（3）理解导数的几何意义，能应用导数的几何
意义解决相关问题；
（4）正确理解曲线“过某点”和“在某点”处
的切线，并会求其方程。
知识点01 函数的平均变化率
1、平均的变化率的定义：一般地，若函数
的定义域为
，且
，
，
，
，则称
为自变量的改变量；称
（或者
）为相应的
因变量的改变量；称
（或
）为函数
在以
，
为端点的闭区
间上的平均变化率，其中“以
，
为端点的闭区间”，在
时指的是
，而
是指的是
。
2、平均变化率的实际意义：在以
，
为端点的闭区间上，自变量每增加1 个单位，因变量平均将增加
个单位。因此，如果自变量增加
个单位，那么因变量将增加
个单位。
3、平均变化率的几何意义：设
，
是曲线
上任意不同的两点，函数
在
上的平均变化率
为割线
的斜率，如图所
示。
【即学即练1】（22-23 高二下·辽宁阜新·期末）若函数
，则函数
从
到
的平均
变化率为（ ）
A．6 B．3 C．2 D．1
知识点02 平均速度与平均变化率
1、平均速度的定义：如果函数运动的位移
与时间
的关系为
，则物理在
（
时）或
（
时）这段时间内的平均速度为
2、平均变化率的实质与作用：
（1）实质：物理在某段时间内的平均速度等于
在该段时间内的平均变化率；
（2）作用：物理学中，平均速度可以刻画物体在一段时间内运动的快慢。
【即学即练2】（2024 高二下·全国·专题练习）物体甲、乙在时间到
范围内，路程的变化情况如图所示，
下列说法正确的是（ ）
A．在到
范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
B．在到
范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度
C．在
到
范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
D．在
到
范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度
知识点03 瞬时速度与导数
1、物理运动的瞬时速度
设物体运动路程与事件的关系是
，当
趋近于0 时，函数
在
到
之间的平均变化率
趋近于常数，我们把这个常数称为
时刻的瞬时速度。
2、函数的瞬时变化率
设函数
在
附近有定义，当自变量在
处的改变量为
时，函数值相应地改变
，如果当
趋近于0 时，平均变化率
趋近于一个常数
，那么常数
称为函数
在点
的瞬时变化率。
记作：当
时，
还可以说：当
时，函数平均变化率的极限等于函数在
的瞬时变化率
,记作
3、函数
在
处的导数：函数
在点
的瞬时变化率，通常称为
在点
处的导数，
并记作
，即
【即学即练3】（22-23 高二下·浙江嘉兴·期中）函数
在
处的瞬时变化率为（ ）
A．
B．
C．
D．
知识点04 导数的几何意义
1、割线斜率与切线斜率
一般地，如图所示，设
是平面上的一条曲线，
是曲线
上的一个顶点，
是曲线
上
附近的点，
则称直线
为曲线
的割线，如果
无限接近于
时，割线
无限接近于通过
的一条直线，则称
直线为曲线
在点
处的切线。
依据切线的定义可知，如果将函数
的图象看成曲线（称为曲线
，下同），而且曲线在
点
处的切线为，则
很小时，
是
附近的一点，割线
的斜率
是
，则当
无限接近于0 时，割线的斜率将无线趋近于切线的斜率。
2、导数的几何意义
函数
在
处的导数的几何意义是曲线
在点
处（也称在
处）的切
线的斜率。也就是说，曲线
在
处的切线的斜率是
。相应的，切线方程为
【即学即练4】（23-24 高二下·全国·课时练习）函数
的图象如图所示，则
与
的大小关
系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【题型一：求函数的平均变化率】
例1．（22-23 高二下·全国·课时练习）已知函数
的图象上一点
及附近一点
，则
（ ）
A．4 B．
C．
D．
变式1-1．（23-24 高二上·江苏连云港·阶段练习）函数
在区间
上的平均变化率为（
）
A．1 B．2 C．
D．0
变式1-2．（23-24 高二下·河南·开学考试）已知函数
，则
从1 到
的平均变化率
为（ ）
A．2 B．
C．
D．
变式1-3．（22-23 高二下·陕西咸阳·阶段练习）函数
在区间
上的平均变化率为
．
【方法技巧与总结】
1、求函数平均变化率的三个步骤：
第一步：求自变量的增量
；
第二步：求函数值的增量
；
第三步：求平均变化率
2、求平均变化率的一个关注点
求点
附近的平均变化率，可用
的形式。
【题型二：求平均速度与瞬时速度】
例2．（23-24 高二上·湖南·期末）某物体运动
后，其位移（单位：
）为
．在
这段
时间里，该物体的平均速度为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式2-1．（2023 高二上·江苏·专题练习）已知某物体运动的位移s 是时间t 的函数，且
.
（1）求这个物体t 从3 秒到3.1 秒的平均速度；
（2）求这个物体t 从3 秒到3.01 秒的平均速度.
变式2-2．（22-23 高二下·全国·课时练习）质点M 按规律s＝2t2＋3t 做直线运动（位移单位：m，时间单位：
s），则质点M 在t＝2 s 时的瞬时速度是（ ）
A．2 m/s B．6 m/s C．4 m/s D．11 m/s
变式2-3．（22-23 高二下·全国·课时练习）某一运动物体，在
时离开出发点的距离（单位：m）是
.
（1）求在第s 内的平均速度；
（2）求在第s 末的瞬时速度；
（3）经过多少时间该物体的运动速度达到
m/s?
【方法技巧与总结】
求运动物体平均速度的两个步骤：
1、求时间改变量
和位移改变量
；
2、求平均速度
【题型三：导数定义中极限的应用】
例3．（23-24 高二上·云南昭通·期末）设函数
在
处存在导数为2，则
（
）
A．2 B．1 C．
D．6
变式3-1．（22-23 高二上·陕西咸阳·阶段练习）已知函数
在
处的导数为，则
（ ）
A．
B． C．
D．
变式3-2．（22-23 高二下·河北廊坊·开学考试）函数
在
上可导，若
，则
（ ）
A．12 B．9 C．6 D．3
变式3-3．（2024 高二下·全国·专题练习）已知
，则
的值为（ ）
A．－2a B．2a C．a D．
【方法技巧与总结】
导数的形式化计算主要考查对导数概念
的理解。需
要说明的是导数是一个局部概念，它只与函数
在
及其附近的函数值有关，与
无关。
【题型四：求导数在某点处的导数】
例4．（2024 高二下·全国·专题练习）已知函数
，则
在
处的导数
＝（ ）
A．
B． C．
D．
变式4-1．（22-23 高二下·全国·课时练习）函数
在
处的导数为 ．
变式4-2．（23-24 高二上·江苏·课前预习）已知
，
，则
的值为 ．
变式4-3．（22-23 高二·全国·课时练习）函数
在
处的导数值为 ．
【方法技巧与总结】
先求出导函数
，再把
代入
得
【题型五：求曲线“过”与“在”某点的切线】
例5．（2024 高二下·全国·专题练习）曲线
在点
处的切线的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式5-1．（2024 高二下·全国·专题练习）已知函数
，则曲线
在
处切线的方程为
．
变式5-2．（2024 高二下·全国·专题练习）过点
作曲线
的切线方程为 ．
变式5-3．（2024 高二下·全国·专题练习）已知曲线
，则曲线过点
的切线方程为
.
【方法技巧与总结】
1、求曲线“在”某点处的切线方程步骤
第一步（求斜率）：求出曲线在点
处切线的斜率
第二步（写方程）：用点斜式
第三步（变形式）：将点斜式变成一般式。
2、求曲线“过”某点处的切线方程步骤
第一步：设切点为
；
第二步：求出函数
在点
处的导数
；
第三步：利用Q 在曲线上和
，解出
及
；
第四步：根据直线的点斜式方程，得切线方程为
．
【题型六：导数的几何意义的应用】
例6．（23-24 高二下·湖北黄冈·阶段练习）函数
的图象如图所示，下列数值排序正确的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
变式6-1．（23-24 高二下·湖北·阶段练习）函数
的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
变式6-2．（22-23 高二下·广东梅州·期中）已知函数
的导函数为
，
的图象如图所示，则（
）
A．
B．
C．
D．
变式6-3．（22-23 高二下·上海浦东新·期末）在区间
上，若
，则下列四个图中，能表示函数
的图像的是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式6-4．（2022 高二·全国·专题练习）已知函数
满足
，
，则在
和
附近符合
条件的
的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
【方法技巧与总结】
1、曲线
在
附近的变化情况可通过
处切线刻画
说明曲线在
处的切线的
斜率为正值，从而得出在
附近曲线是上升的；
说明在
附近曲线是下降的。
2、曲线在某点出的切线斜率的大小反映了曲线在相应点处的变化情况，由曲线的倾斜程度可以判断出曲
线升降的快慢情况。
一、单选题
1．（2023 高二下·全国·专题练习）函数
，则自变量从
变到
时函数值的增量
为（ ）
A． B．
C．
D．
2．（22-23 高二下·全国·课时练习）过曲线
上两点
和
作曲线的割线，当
时割线的斜率为（ ）
A．
B．3 C．1 D．
3．（23-24 高二上·河北石家庄·期末）设
是可导函数，且
，则
（ ）
A．2 B．
C．
D．
4．（20-21 高二下·浙江嘉兴·期中）某物体做直线运动，若它所经过的位移s 与时间t 的函数关系为
，则这个物体在时间段
内的平均速度为（ ）
A．2 B．
C．3 D．
5．（22-23 高二下·宁夏银川·阶段练习）在高台跳水运动中，
时运动员相对于水面的高度单位：
）是
，则运动员在
时的瞬时速度为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（23-24 高二上·北京·期中）已知函数
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（23-24 高二上·福建福州·期末）已知函数
在
上可导，且满足
，则函数
在点
处的切线的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2024 高二下·全国·专题练习）设P 为曲线C：
上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的
取值范围是
，则点P 横坐标的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．（22-23 高二下·山东日照·阶段练习）设函数
，当自变量
由
变化到
时，下列说法正
确的是（ ）
A．
可以是正数也可以是负数，但不能为0
B．函数值的改变量
为
C．函数
在
上的平均变化率为
D．函数
在
上的平均变化率
10．（23-24 高二上·浙江杭州·期末）已知
，
在R 上连续且可导，且
，下列关于导数
与极限的说法中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（22-23 高二下·山东德州·阶段练习）如果曲线
在点
处的切线过点
，则下列结论不
正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
12．（22-23 高二下·黑龙江绥化·开学考试）函数
在区间
上的平均变化率为 ．
13．（23-24 高二上·湖北武汉·期末）若
上的可导函数
在
处满足
，则
．
14．（2024 高二下·全国·专题练习）曲线
过点
的切线方程为 .
四、解答题
15．（22-23 高二·全国·课时练习）已知函数
.
（1）求当
，且
时，函数增量
和平均变化率
；
（2）求当
，且
时，函数增量
和平均变化率
；
（3）若设
，分析（1）（2）问中的平均变化率的几何意义.
16．（22-23 高二·全国·随堂练习）利用导数定义求下列各函数的导数：
（1）
； （2）
； （3）
；
（4）
； （5）
（6）
．
17．（22-23 高二·全国·随堂练习）（1）已知
，用割线逼近切线的方法求
；
（2）已知
，用割线逼近切线的方法求
．
18．（22-23 高二下·甘肃天水·期中）一做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是
（位移：
m，时间：s）.
（1）求此物体的初速度；
（2）求此物体在
时的瞬时速度；
（3）求
到
时的平均速度.
19．（23-24 高二下·重庆·阶段练习）若函数
，
（1）用定义求
；
（2）求其图象在与
轴交点处的切线方程．
