文档文本内容
6.1.1 函数的平均变化率
6.1.2 导数及其几何意义
课程标准
学习目标
（1）理解函数平均变化率的函数，会求函数在区
间上的平均变化率；
（2）领会以直代曲的思想方法；
（3）会求位移函数在某段时间内的平均速度，理
解平均变化率的物理意义；
（4）了解理解瞬时变化率、导数的概念，会用导
数的定义求函数的导数；
（1）通过对平均变化率的理解与运用，达成数
学抽象、直观抽象与数学运算的核心素养；
（2）掌握曲线上某点附近的平均变化率求法；
（3）理解导数的几何意义，能应用导数的几何
意义解决相关问题；
（4）正确理解曲线“过某点”和“在某点”处
的切线，并会求其方程。
知识点01 函数的平均变化率
1、平均的变化率的定义：一般地，若函数
的定义域为
，且
，
，
，
，则称
为自变量的改变量；称
（或者
）为相应的
因变量的改变量；称
（或
）为函数
在以
，
为端点的闭区
间上的平均变化率，其中“以
，
为端点的闭区间”，在
时指的是
，而
是指的是
。
2、平均变化率的实际意义：在以
，
为端点的闭区间上，自变量每增加1 个单位，因变量平均将增加
个单位。因此，如果自变量增加
个单位，那么因变量将增加
个单位。
3、平均变化率的几何意义：设
，
是曲线
上任意不同的两点，函数
在
上的平均变化率
为割线
的斜率，如图所
示。
【即学即练1】（22-23 高二下·辽宁阜新·期末）若函数
，则函数
从
到
的平均
变化率为（ ）
A．6 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【解析】因为
，所以
，
，
故函数
从
到
的平均变化率为
，故选：B.
知识点02 平均速度与平均变化率
1、平均速度的定义：如果函数运动的位移
与时间
的关系为
，则物理在
（
时）或
（
时）这段时间内的平均速度为
2、平均变化率的实质与作用：
（1）实质：物理在某段时间内的平均速度等于
在该段时间内的平均变化率；
（2）作用：物理学中，平均速度可以刻画物体在一段时间内运动的快慢。
【即学即练2】（2024 高二下·全国·专题练习）物体甲、乙在时间到
范围内，路程的变化情况如图所示，
下列说法正确的是（ ）
A．在到
范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
B．在到
范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度
C．在
到
范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
D．在
到
范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度
【答案】C
【解析】在到
范围内，甲、乙的平均速度都为
，故AB 错误；
在
到
范围内，甲的平均速度为
，乙的平均速度为
，
因为
，
，所以
，
则在
到
范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度，故C 正确，D 错误．故选：C.
知识点03 瞬时速度与导数
1、物理运动的瞬时速度
设物体运动路程与事件的关系是
，当
趋近于0 时，函数
在
到
之间的平均变化率
趋近于常数，我们把这个常数称为
时刻的瞬时速度。
2、函数的瞬时变化率
设函数
在
附近有定义，当自变量在
处的改变量为
时，函数值相应地改变
，如果当
趋近于0 时，平均变化率
趋近于一个常数
，那么常数
称为函数
在点
的瞬时变化率。
记作：当
时，
还可以说：当
时，函数平均变化率的极限等于函数在
的瞬时变化率
,记作
3、函数
在
处的导数：函数
在点
的瞬时变化率，通常称为
在点
处的导数，
并记作
，即
【即学即练3】（22-23 高二下·浙江嘉兴·期中）函数
在
处的瞬时变化率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，
所以，函数
在
处的瞬时变化率为
.故选：C.
知识点04 导数的几何意义
1、割线斜率与切线斜率
一般地，如图所示，设
是平面上的一条曲线，
是曲线
上的一个顶点，
是曲线
上
附近的点，
则称直线
为曲线
的割线，如果
无限接近于
时，割线
无限接近于通过
的一条直线，则称
直线为曲线
在点
处的切线。
依据切线的定义可知，如果将函数
的图象看成曲线（称为曲线
，下同），而且曲线在
点
处的切线为，则
很小时，
是
附近的一点，割线
的斜率
是
，则当
无限接近于0 时，割线的斜率将无线趋近于切线的斜率。
2、导数的几何意义
函数
在
处的导数的几何意义是曲线
在点
处（也称在
处）的切
线的斜率。也就是说，曲线
在
处的切线的斜率是
。相应的，切线方程为
【即学即练4】（23-24 高二下·全国·课时练习）函数
的图象如图所示，则
与
的大小关
系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
与
分别表示
在
和
处切线的斜率，
由图象得
，
且
在
处切线的斜率比
处切线斜率小，
所以
，故选：A
【题型一：求函数的平均变化率】
例1．（22-23 高二下·全国·课时练习）已知函数
的图象上一点
及附近一点
，则
（ ）
A．4 B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，所以
，
所以
，
所以
.故选：C.
变式1-1．（23-24 高二上·江苏连云港·阶段练习）函数
在区间
上的平均变化率为（
）
A．1 B．2 C．
D．0
【答案】A
【解析】
在区间
上的平均变化率为
，故选：A
变式1-2．（23-24 高二下·河南·开学考试）已知函数
，则
从1 到
的平均变化率
为（ ）
A．2 B．
C．
D．
【答案】B
【解析】函数
从1 到
的平均变化率为
.故选：B
变式1-3．（22-23 高二下·陕西咸阳·阶段练习）函数
在区间
上的平均变化率为
．
【答案】
【解析】
在区间
上的平均变化率为
.
【方法技巧与总结】
1、求函数平均变化率的三个步骤：
第一步：求自变量的增量
；
第二步：求函数值的增量
；
第三步：求平均变化率
2、求平均变化率的一个关注点
求点
附近的平均变化率，可用
的形式。
【题型二：求平均速度与瞬时速度】
例2．（23-24 高二上·湖南·期末）某物体运动
后，其位移（单位：
）为
．在
这段
时间里，该物体的平均速度为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】当
时，位移为
，
当
时，位移为
，
在
这段时间里，该物体的平均速度为：
．故选：A.
变式2-1．（2023 高二上·江苏·专题练习）已知某物体运动的位移s 是时间t 的函数，且
.
（1）求这个物体t 从3 秒到3.1 秒的平均速度；
（2）求这个物体t 从3 秒到3.01 秒的平均速度.
【答案】（1）30.5(m/s)；（2）30.05(m/s)
【解析】（1）当
时，
，
∵
，
∴
.
（2）当
时，
，
∵
，
∴
.
变式2-2．（22-23 高二下·全国·课时练习）质点M 按规律s＝2t2＋3t 做直线运动（位移单位：m，时间单位：
s），则质点M 在t＝2 s 时的瞬时速度是（ ）
A．2 m/s B．6 m/s C．4 m/s D．11 m/s
【答案】D
【解析】质点M 在t＝2 s 时位移的平均变化率为
＝
＝11＋2Δt，
当Δt 无限趋近于0 时，
无限趋近于11 m/s.故选：D.
变式2-3．（22-23 高二下·全国·课时练习）某一运动物体，在
时离开出发点的距离（单位：m）是
.
（1）求在第s 内的平均速度；
（2）求在第s 末的瞬时速度；
（3）经过多少时间该物体的运动速度达到
m/s?
【答案】（1）
m/s；（2）m/s；（3）
m/s
【解析】（1）物体在第s 内的平均变化率（即平均速度）为
m/s；
（2）
当
时，
，
所以物体在第s 末的瞬时速度为m/s；
（3）
当
时，
，
令
，解得
，
即经过
s 该物体的运动速度达到
m/s.
【方法技巧与总结】
求运动物体平均速度的两个步骤：
1、求时间改变量
和位移改变量
；
2、求平均速度
【题型三：导数定义中极限的应用】
例3．（23-24 高二上·云南昭通·期末）设函数
在
处存在导数为2，则
（
）
A．2 B．1 C．
D．6
【答案】B
【解析】由已知有
，
则
.故选：B
变式3-1．（22-23 高二上·陕西咸阳·阶段练习）已知函数
在
处的导数为，则
（ ）
A．
B． C．
D．
【答案】A
【解析】由题意得函数
在
处的导数
，
故A 项正确.故选：A.
变式3-2．（22-23 高二下·河北廊坊·开学考试）函数
在
上可导，若
，则
（ ）
A．12 B．9 C．6 D．3
【答案】A
【解析】
．故选：A
变式3-3．（2024 高二下·全国·专题练习）已知
，则
的值为（ ）
A．－2a B．2a C．a D．
【答案】B
【解析】
.故选：B．
【方法技巧与总结】
导数的形式化计算主要考查对导数概念
的理解。需
要说明的是导数是一个局部概念，它只与函数
在
及其附近的函数值有关，与
无关。
【题型四：求导数在某点处的导数】
例4．（2024 高二下·全国·专题练习）已知函数
，则
在
处的导数
＝（ ）
A．
B． C．
D．
【答案】C
【解析】当自变量在
处的改变量为
时，
平均变化率
.
可以看出，当
无限接近于0 时，
无限接近于
，
因此
.故选：C.
变式4-1．（22-23 高二下·全国·课时练习）函数
在
处的导数为 ．
【答案】2
【解析】导数的定义可知函数
在
处的导数为：
=
.
变式4-2．（23-24 高二上·江苏·课前预习）已知
，
，则
的值为 ．
【答案】1
【解析】∵
，∴
．
变式4-3．（22-23 高二·全国·课时练习）函数
在
处的导数值为 ．
【答案】
【解析】
，
所以
，
当
时，
．
故函数
在
处的导数值为
．
【方法技巧与总结】
先求出导函数
，再把
代入
得
【题型五：求曲线“过”与“在”某点的切线】
例5．（2024 高二下·全国·专题练习）曲线
在点
处的切线的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设
，
所以
.
因为
，所以曲线
在点
处的切线的方程为
，
即
.故选：C.
变式5-1．（2024 高二下·全国·专题练习）已知函数
，则曲线
在
处切线的方程为
．
【答案】
【解析】因为
，
又因为
，所以所求切线方程为
，即
．
变式5-2．（2024 高二下·全国·专题练习）过点
作曲线
的切线方程为 ．
【答案】
或
【解析】
，
∵点
不在曲线
上，
∴点P 不是切点．设切点为
，则
.
∴切线的斜率为
.
又∵切线过
和
两点，
所以
.解得
或
.
∴过
的切线的斜率为
或
，
切线方程为
或
，
即
或
.
故答案为：
或
.
变式5-3．（2024 高二下·全国·专题练习）已知曲线
，则曲线过点
的切线方程为
.
【答案】
或
【解析】点
不在曲线
上．
设所求切线的切点为
，
则切线的斜率
，
故所求的切线方程为
，
将
及
代入上式，得
，解得
或
，
所以切点为
或
．
从而所求切线方程为
或
.
【方法技巧与总结】
1、求曲线“在”某点处的切线方程步骤
第一步（求斜率）：求出曲线在点
处切线的斜率
第二步（写方程）：用点斜式
第三步（变形式）：将点斜式变成一般式。
2、求曲线“过”某点处的切线方程步骤
第一步：设切点为
；
第二步：求出函数
在点
处的导数
；
第三步：利用Q 在曲线上和
，解出
及
；
第四步：根据直线的点斜式方程，得切线方程为
．
【题型六：导数的几何意义的应用】
例6．（23-24 高二下·湖北黄冈·阶段练习）函数
的图象如图所示，下列数值排序正确的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由函数
的图象可知：
当
时，
单调递增，且增速变缓慢，
，表示
直线的斜率，
根据导数的几何意义可知，
，故选：B
变式6-1．（23-24 高二下·湖北·阶段练习）函数
的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设
，由图可得
，
而
，
故
，故选：C.
变式6-2．（22-23 高二下·广东梅州·期中）已知函数
的导函数为
，
的图象如图所示，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】依次作出函数
在
处的切线，如图所示：
根据导数的几何意义及图形中切线的斜率可知，
．故选：B.
变式6-3．（22-23 高二下·上海浦东新·期末）在区间
上，若
，则下列四个图中，能表示函数
的图像的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】根据导数值与切线斜率的关系可知，在区间
上时，
函数图象在任意一点处的切线斜率恒大于1，则显然BCD 不合题意，
对A 选项，函数在
处的切线斜率等于1，且在
上，
切线斜率不断增大，则
恒成立，故A 正确.故选：A.
变式6-4．（2022 高二·全国·专题练习）已知函数
满足
，
，则在
和
附近符合
条件的
的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由
，
，可知
的图象在
处切线的斜率为正，在
处切线的斜率为负，
选项A：
的图象在
和
处切线的斜率都为负；
选项B：
的图象在
处切线的斜率为负，在
处切线的斜率为正；
选项C：
的图象在
处切线的斜率为零，在
处切线的斜率为正；
选项D：
的图象在
处切线的斜率为正，在
处切线的斜率为负；故选：D
【方法技巧与总结】
1、曲线
在
附近的变化情况可通过
处切线刻画
说明曲线在
处的切线的
斜率为正值，从而得出在
附近曲线是上升的；
说明在
附近曲线是下降的。
2、曲线在某点出的切线斜率的大小反映了曲线在相应点处的变化情况，由曲线的倾斜程度可以判断出曲
线升降的快慢情况。
一、单选题
1．（2023 高二下·全国·专题练习）函数
，则自变量从
变到
时函数值的增量
为（ ）
A． B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，所以
，故C 项正确.故选：C.
2．（22-23 高二下·全国·课时练习）过曲线
上两点
和
作曲线的割线，当
时割线的斜率为（ ）
A．
B．3 C．1 D．
【答案】A
【解析】∵
，
∴
，∴割线斜率为
，
当
时，割线
的斜率为
.故选：A．
3．（23-24 高二上·河北石家庄·期末）设
是可导函数，且
，则
（ ）
A．2 B．
C．
D．
【答案】B
【解析】∵
，
∴
，
∴
.故选：B
4．（20-21 高二下·浙江嘉兴·期中）某物体做直线运动，若它所经过的位移s 与时间t 的函数关系为
，则这个物体在时间段
内的平均速度为（ ）
A．2 B．
C．3 D．
【答案】B
【解析】
.故选：B.
5．（22-23 高二下·宁夏银川·阶段练习）在高台跳水运动中，
时运动员相对于水面的高度单位：
）是
，则运动员在
时的瞬时速度为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】运动员在
时的瞬时速度即为
，令
，
根据导数的定义，
，
所以
，
故运动员在
时的瞬时速度为
.故选：A．
6．（23-24 高二上·北京·期中）已知函数
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】作出函数
的图象，如图所示.
由图可知曲线上各点与坐标原点的连线的斜率随着
的增大而减小.
由
，得
，即
.故选：C.
7．（23-24 高二上·福建福州·期末）已知函数
在
上可导，且满足
，则函数
在点
处的切线的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由
，得到
，
由导数的定义知
，
所以函数
在点
处的切线的方程为
，即
，故选：D.
8．（2024 高二下·全国·专题练习）设P 为曲线C：
上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的
取值范围是
，则点P 横坐标的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
又曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为
，所以其斜率
，
所以
，解得
，
所以点P 横坐标的取值范围为
，故选：D.
二、多选题
9．（22-23 高二下·山东日照·阶段练习）设函数
，当自变量
由
变化到
时，下列说法正
确的是（ ）
A．
可以是正数也可以是负数，但不能为0
B．函数值的改变量
为
C．函数
在
上的平均变化率为
D．函数
在
上的平均变化率
【答案】ABD
【解析】由平均变化率的定义可知自变量的改变量不能为零，可以为正数或负数，
函数值的改变量
为
，
平均变化率为函数值的改变量比自变量的改变量，即A、B、D 正确；故选：ABD
10．（23-24 高二上·浙江杭州·期末）已知
，
在R 上连续且可导，且
，下列关于导数
与极限的说法中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【解析】
，故A 错；
，故B 对；
，由导数的定义知C 对；
，故D 对；故选：BCD
11．（22-23 高二下·山东德州·阶段练习）如果曲线
在点
处的切线过点
，则下列结论不
正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】CD
【解析】因为切点为
，所以
，故A 正确；
而
为切线上的点，不一定为切点，故C 错误；
由切线经过
和
可得切线斜率
，
所以由导数的几何意义知，
，故B 正确D 错误.故选：CD
三、填空题
12．（22-23 高二下·黑龙江绥化·开学考试）函数
在区间
上的平均变化率为 ．
【答案】
【解析】由题意可得平均变化率为：
．
13．（23-24 高二上·湖北武汉·期末）若
上的可导函数
在
处满足
，则
．
【答案】6
【解析】
，则
.
14．（2024 高二下·全国·专题练习）曲线
过点
的切线方程为 .
【答案】
或
【解析】
，
因为点
不在曲线上，
所以设切线的切点是
，则切线的斜率
，
又切线过点
和
，所以
，
所以
，化简得
，
因为
，所以
或
.
所以
，或
，
所以所求切线方程是
或
，
即
或
.
四、解答题
15．（22-23 高二·全国·课时练习）已知函数
.
（1）求当
，且
时，函数增量
和平均变化率
；
（2）求当
，且
时，函数增量
和平均变化率
；
（3）若设
，分析（1）（2）问中的平均变化率的几何意义.
【答案】（1）
，
；（2）
，
；（3）答案见解析.
【解析】（1）
.
当
且
时，
，
所以平均变化率
.
（2）当
且
时，
，
所以平均变化率
.
（3）在（1）中，
，
它表示曲线上两点
与
所在直线的斜率；
在（2）中，
，
它表示曲线上
与
所在直线的斜率.
16．（22-23 高二·全国·随堂练习）利用导数定义求下列各函数的导数：
（1）
； （2）
； （3）
；
（4）
； （5）
（6）
．
【答案】（1）
；（2）
；（3）
；（4）
；（5）
；（6）
【解析】（1）由题意
.
（2）由题意
.
（3）由题意
.
（4）由题意
.
（5）由题意
.
（6）由题意
.
17．（22-23 高二·全国·随堂练习）（1）已知
，用割线逼近切线的方法求
；
（2）已知
，用割线逼近切线的方法求
．
【答案】（1）
；（2）
【解析】（1）因为
，
则
，
所以
；
（2）因为
，
则
，
所以
.
18．（22-23 高二下·甘肃天水·期中）一做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是
（位移：
m，时间：s）.
（1）求此物体的初速度；
（2）求此物体在
时的瞬时速度；
（3）求
到
时的平均速度.
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【解析】（1）初速度
（2）
，
所以此物体在
时的瞬时速度为
，方向与初速度方向相反，
（3）
，
所以
到
时的平均速度为
19．（23-24 高二下·重庆·阶段练习）若函数
，
（1）用定义求
；
（2）求其图象在与
轴交点处的切线方程．
【答案】（1）
；（2）
和
【解析】（1）由导数定义可得，
（2）函数
的图象与
轴有两个交点，
交点坐标分别为
，
，
∴
，∴在
处的切线方程为
；
同理，在
处的切线方程为
．
