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第四章 指数函数、对数函数与幂函数 章末题型大总结
题型01 指数、对数、幂的运算
2
【典例1】（23-24 高一上·云南昆明·阶段练习）计算：
(1)
；
(2)
．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用分数指数幂的性质运算；（2）利用对数的性质运算
【详解】（1）原式
；
（2）原式
.
【变式1】（24-25 高一上·湖南长沙·开学考试）《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿
日兆．”说明了大数之间的关系：1 亿
万1 万，1 兆
万
万
亿．若1 兆
，则m 的值为（ ）
A．4
B．8
C．12
D．16
【答案】D
【分析】由指数幂的运算性质即可求解.
【详解】1 万=
，所以1 亿=
，
所以1 兆=
，
所以
.
故选：D
【变式2】（23-24 高一下·云南曲靖·阶段练习）若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
解题锦囊
(1)指数式的运算首先注意化简顺序,一般负指数先转化成正指数,根式化为指数运算,其次若出现分式则要
注意分子、分母因式分解以达到约分的目的.
(2)对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化,前后要等价,熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数
恒等式、换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧.
3
【答案】C
【分析】根据对数的换底公式及对数的运算法则求解即可.
【详解】因为
，所以
，
所以
．
故选：C．
【变式3】（24-25 高一上·全国·随堂练习）
的值为（ ）
A．
B．
C．1
D．
【答案】D
【分析】根据条件，利用对数的换底公式和运算性质，即可求解.
【详解】因为
，
故选：D.
【变式4】（23-24 高一下·云南昆明·期中）下列等式正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据题意，结合指数幂与对数的运算法则及运算性质，逐项计算，即可求解.
【详解】对于A 中，由
，所以A 正确；
对于B 中，由
，所以B 错误；
对于C 中，由
，所以C 错误；
对于D 中，由
，所以D 错误．
故选：A
题型02 幂指对函数的定义域
4
【典例2】（23-24 高一上·天津·期末）已知
，求函数
的定义域；
【答案】
.
【分析】（1）根据给定的函数有意义，列出不等式，再解指数、对数不等式即得.
【详解】依题意，
，解得
，因此
或
，
所以原函数的定义域为
.
【变式1】（23-24 高一上·安徽阜阳·期末）函数
的定义域为 .
【答案】
【分析】根据偶次根式被开方数大于等于
、
中
求解出
的范围，则定义域可知.
【详解】由题意可知
，解得
且
，
故函数的定义域为
．
故答案为：
.
【变式2】（23-24 高一上·北京延庆·期末）函数
的定义域为 .
【答案】
【分析】由函数有意义的条件，求函数定义域.
【详解】函数
有意义，则有
，解得
，
所以函数的定义域为
.
故答案为：
【变式3】（23-24 高一下·云南玉溪·期末）函数
的定义域为（ ）
解题锦囊
（1）求幂函数、指数型与对数型函数的定义域主要通过构建不等式(组)来求解,有时解不等式(组)时要借
助于指数、对数函数的单调性.
（2）涉及指数、对数函数的值域问题有两个类型,一是形如
和
的函数，一般要先求
f(x)的值域，然后利用指数、对数的单调性求解;二是形如
和
的函数,则要根据
和
的范围,利用函数y=f(x)的性质求解.
5
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】对数函数的真数大于0，然后解不等式得出答案.
【详解】由题意知，
，即
，
所以
或
.
故选：C.
题型03 幂指对函数的值域
【典例3】（23-24 高一上·安徽宣城·期末）已知函数
，
．
(1)当
时，求函数
的值域；
(2)设函数
，若对任意
，存在
，使得
，求实数m 的取
值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）令
，根据二次函数的性质求解即可；
（2）对任意
，存在
，使得
，则
，即
，在
上恒成立，再利用分离参数法求解即可.
解题锦囊
1、指数型复合函数值域的求法
（1）形如
（
，且
）的函数求值域：令
，将求原函数的值域转化为求
的
值域，但要注意“新元”的范围．
（2）形如
（
，且
）的函数求值域：令
，先求出
的值域，再利用
的单调性求出
的值域．
2、对数型复合函数值域的求法
（1）形如
（
，且
）的函数求值域：令
，先求出
的值域
，
再利用
在
上的单调性，再求出
的值域．
（2）形如
（
，且
）的函数的值域：令
，先求出
的值域，
再利用
的单调性求出
的值域．
6
【详解】（1）当
时，
，
，
令
，因为
，则
，
所以
，其中
，
则
时，
，
时，
，即
，
所以
的值域为
；
（2）由
，
，
设
，则函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
而函数
为增函数，所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增，故
，
因为对任意
，存在
，使得
，则
，
所以
，在
上恒成立，
令
，因为
，则
，即
在
上恒成立，
则
在
上恒成立，因为函数
在
上单调递增，
故
，所以
，即
．
【变式1】（23-24 高一上·浙江杭州·期中）函数
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
，设
，
，计算得到答案.
【详解】
，
设
，则
，
7
故函数的值域为
.
故选：C
【变式2】（24-25 高一上·全国·随堂练习）函数
的值域为 .
【答案】
【分析】根据二次函数的性质以及对数函数的单调性即可求解.
【详解】由于
，
所以
，
所以原函数的值域为
故答案为：
【变式3】（23-24 高一下·广西柳州·期中）函数
在
的最小值是 ．
【答案】
/
【分析】令
，然后利用配方法可得答案.
【详解】令
，则
，
则
，
所以当
时，
有最小值
.
故答案为：
.
【变式4】（23-24 高一上·全国·期末）如果函数
且
在区间
上的最大值是
，则
的值为（ ）
A．3
B．
C．
D．3 或
【答案】D
【分析】利用换元法，令
，转化为二次函数
，根据单调性及在区间
上的最大值是
，求出
的值即可.
【详解】令
，则
．
8
当
时，因为
，所以
，
又因为函数
在
上单调递增，
所以
，解得
（
舍去）．
当
时，因为
，所以
，
又函数
在
上单调递增，
则
，
解得
（
舍去）．
综上知
或
．
故选：D.
题型04 指对型函数的单调性
【典例4】（24-25 高三上·黑龙江鹤岗·阶段练习）已知定义域为
的函数
是奇函数.
(1)求实数
的值；
(2)判断函数
的单调性，并用定义加以证明；
(3)若对任意的
，不等式
成立，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
；(2)
在定义域内单调递增，证明见解析；(3)
.
【分析】（1）利用奇函数性质求出
，再利用定义验证即得.
（2）利用函数单调性定义，结合指数函数单调性判断推理即得.
解题锦囊
1、复合函数单调性的规律：“同增异减”
若内外两层函数的单调性相同，则它们的复合函数为增函数；
若内外两层函数的单调性相反，则它们的复合函数为减函数．
2、具体判断步骤
（1）求出原函数的定义域；
（2）将复合函数分解为内层函数和外层函数；
（3）分析内层函数和外层函数的单调性；
（4）利用复合函数法“同增异减”可得出结论．
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（3）利用奇函数性质及单调性质脱去法则。分离参数，借助基本不等式求解即得.
【详解】（1）定义在R 上的函数
为奇函数，得
，解得
，
此时
，则
，
即函数
是奇函数，所以
.
（2）由（1）知
，
函数在定义域内单调递增，证明如下：
设
，则
，
由
，得
，则
，所以函数在R 上单调递增.
（3）依题意，对任意的
，
成立，
则
，即
在
上恒成立，而
，
当且仅当
时取等号，因此
，
所以实数
的取值范围是
.
【变式1】（（23-24 高一上·甘肃定西·期末）函数
的单调递减区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据复合函数同增异减的原则，判定内外函数的单调性即可得到答案.
【详解】内函数
，其在
上单调递增，
而外函数
在
上单调递减，
则根据复合函数单调性“同增异减”的原则知
的单调递减区间为
，
故选：B.
【变式2】（23-24 高一下·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知函数
，则函数
的减
区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
10
【答案】D
【分析】根据复合函数单调性的规则来解答.
【详解】因为函数
在定义域上单调递减，
故函数
的减区间即为函数
的增区间，
所以
，解得
，
即函数
的减区间是
.
故选：D.
【变式3】（23-24 高一下·广东河源·期中）设函数
在区间
上单调递减，则实数
的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据复合函数的单调性法则，结合二次函数的单调性列式求解即可.
【详解】函数
在R上单调递增，而函数
在区间
上单调递减，
则有函数
在区间
上单调递减，
因此
，解得
，所以实数
的取值范围是
.
故选：D
【变式4】（24-25 高三上·江苏南通·阶段练习）若函数
在
上单调递减，则实
数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】设
，由复合函数的单调性可知，函数
在
上单调递减，且
，
再根据二次函数的性质即可求解.
【详解】设
，
由题意可知，函数
在
上单调递减，且
，
函数
的对称轴为
，
11
所以
，解得
.
故选：
.
【变式5】（多选）（23-24 高一上·江苏连云港·期末）（多选）下列说法正确的是（ ）
A．
的最小值为
B．
的递减区间是
C．
的图象关于
成中心对称
D．函数
在
上单调递增，则a 的取值范围是
【答案】AC
【分析】
由指数函数的单调性可判断A 正确；由复合函数的单调性和对数函数的性质可判断B 错误；对函数变形后，
利用反比例函数的对称性和函数图像的变换规律可得C 正确；由复合函数的单调性可判断D 错误.
【详解】A：因为
，所以
，故A 正确；
B：设
，因为
在定义域上为增函数，则由复合函数的单调性和对数函数有意义可知，减区
间为
，故B 错误；
C：
，对称中心为
，故C 正确；
D：函数
的对称轴为
，因为函数
在
上单调递增，所以
，即
，
故D 错误；
故选：AC.
题型05 幂指对函数的图象
【典例5】（23-24 高一下·浙江·期中）在同一直角坐标系中，函数
且
的图象可能是（ ）
解题锦囊
对于图像的判断与选择可利用图像的变换，也要重视利用特殊点与选择题中排除法的应用
12
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】分
、
讨论，结合图象可得答案.
【详解】当
时，
是单调递增函数，图象恒过(0,1)点，
是单调递减函数，图象恒过(
1
2 ,0)点；
当
时，
是单调递减函数，图象恒过(0,1)点，
是单调递增函数，图象恒过(
1
2 ,0)点；
所以满足条件的图象为D.
故选：D.
【变式1】（23-24 高三上·山东潍坊·期中）已知指数函数
，对数函数
的图象如图所示，则
下列关系成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据题意，由指数函数以及对数函数的单调性即可得到
的范围，从而得到结果.
【详解】由图象可得，指数函数
为减函数，
对数函数
为增函数，
所以
，
即
.
故选：B
【变式2】（23-24 高一下·安徽阜阳·期末）如图，图象①②③④所对应的函数不属于
中的一个是（ ）
13
A．①
B．②
C．③
D．④
【答案】D
【分析】由函数解析式确定其图象所过的定点，结合单调性确定对应的图形即可.
【详解】依题意，函数
的图象分别过定点
，
它们分别对应图③②①，因此④不属于给定的三个函数之一.
故选：D
【变式3】（23-24 高一下·广东湛江·开学考试）函数
（
且
）的图象所过的定
点为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用对数函数的性质即可得解.
【详解】因为函数
（
且
），
令
，解得
，则
，
所以
的图象所过的定点为
.
故选：A.
【变式4】（24-25 高三上·广西贵港·开学考试）已知函数
，且
的图象不经过第一
象限，则函数
的图象不经过（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】D
【分析】根据指数函数图象性质可得
，再由对数函数图象性质可判断出结论.
【详解】当
时，函数
单调递增，图象经过第一象限，不合题意；
当
时，函数
单调递减，图象不经过第一象限，合题意；
14
显然此时
，则函数
为单调递增，又
恒过点
，
因此函数
的图象不过第四象限.
故选：D
题型06 比较大小问题
【典例6】（23-24 高一下·安徽滁州·期末）若
，
，
，则
，
，的大小关系
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据幂函数,指数函数单调性，引入中间值
，比较
，根据指数,对数函数单调性，引入中间
值，比较
即可.
【详解】根据函数
在
单调递增，知道
，
根据函数
在
单调递减，知道
，
根据函数
在
单调递减，知道
，
综上所得，
.
故选：C.
【变式1】（23-24 高一下·浙江·期中）已知
，
，
，则
，
，的大小关系
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】取中间值
，根据指数函数、对数函数以及幂函数的单调性分析判断.
【详解】因为
在定义域
内单调递减，
解题锦囊
(1)数(式)的大小比较及常用的方法:
比较两数(式)或几个数(式)大小问题是本章的一个重要题型,主要考查指数函数、对数函数、幂函数图
像与性质的应用.常用的方法有单调性法、图像法、中间量法、作差法、作商法等.
(2)数的大小比较常用的技巧:
①当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对数式时,可将其看成某个指数函数、对数函数的函数值,
然后利用该函数的单调性比较.
②比较多个数的大小时,先利用“0”和“1”作为分界点,即把它们分为“小于0”“大于等于0,小于
等于1”“大于1”三部分,然后再在各部分内利用函数的性质比较大小.
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可得
，即
；
且
在定义域
内单调递增，
可得
，即
；
又因为
，即
；
所以
.
故选：A
【变式2】（23-24 高一上·云南德宏·期末）已知
，则
，
，
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用幂函数，指数函数，对数函数的单调性求出
的范围，从而判断大小.
【详解】由
在
上单调递增，又
，所以
，
由
在R 上单调递减，又
，所以
，
由
是(0,+∞)上的减函数，又
，所以
.
所以
.
故选：A.
【变式3】（23-24 高一下·上海·开学考试）若
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据不等式的基本性质和幂函数和对数函数的性质即可判断．
【详解】
，
，函数
在(0,+ ∞)上为增函数，
，A 错误；
由
，则
函数
在(0,+ ∞)上为增函数，
所以
，即
，B 正确；
由
，C 错误；
16
，
函数
为(0,+ ∞)上为增函数，则
，
所以
，即
，D 错误.
故选：
．
题型07 幂指对函数中的函数与方程问题
【典例7】（23-24 高一上·湖南株洲·期末）若方程
的实根在区间
上，则
（ ）
A．
B．2
C．
或2
D．1
【答案】C
【分析】根据方程的根与函数零点的关系转化为函数的零点来求解，画出函数图象观察交点范围，再用零
点存在性定理证明即可.
【详解】方程化为
，
分别做出方程左右两边的图象，
从图象可知，方程
，
方程有两个分别在
和(2,3)之间的根，
下面证明：方程
在
和(2,3)之间各有一个实根，
设
，
根据函数性质得在区间(2,3)上是增函数，
又
，
，
解题锦囊
函数与方程问题，注意利用幂指对函数的图像，将函数的零点问题转化为函数图像的交点问题处理.
17
则
，
由零点存在性定理知，
在区间(2,3)上仅有一个零点，
即方程
区间(2,3)上仅有一个实根，
同理可得方程
区间
上仅有一个实根，
结合题意可知，
或
，
故选：C.
【变式1】（23-24 高一下·内蒙古赤峰·期末）（多选）下列说法正确的是（ ）
A．已知方程
的解在
内，则
B．函数
的零点是
C．函数
有两个不同的零点
D．用二分法求函数
在区间
内零点近似值的过程中得到
，则零点近似值在区间
上
【答案】AD
【分析】对A，构造函数
，利用零点存在性定理和单调性可得；对B，根据零点定义可知；
对C，作出
的图象，观察其交点个数可得；对D，根据零点存在性定理可得.
【详解】对A，记
，易知
都在R单调递增，
所以
在R上单调递增，
又
，
所以
存在唯一零点
，且
，
即方程
的唯一解在
内，所以
，A 正确；
对B，令
，解得
或
，
所以函数
的零点是
或，B 错误；
对C，作出
的图象如图：
18
当
时，函数
和
的图象显然有一个交点，
又
，所以函数
和
的图象在
处相交，
所以
有三个不同的零点，C 错误；
对D，因为
，
所以由零点存在性定理可知，零点近似值在区间
上，D 正确.
故选：AD
【变式2】（23-24 高一下·湖南衡阳·期中）（多选）已知
，定义域和值域均为
的函数
和
的图像如图所示，给出下列四个结论，正确结论的是（ ）
A．方程
有且仅有三个解
B．方程
有且仅有二个解
C．方程
有且仅有五个解
D．方程
有且仅有一个解
【答案】ACD
【分析】将内层函数看作一个变量，先由外层函数确定其解的个数情况，再根据内层函数的图象即可确定
复合函数的解的个数，由此一一判断各选项，即得答案.
【详解】对于A，由题意可知
时，
或
或
，
故方程
时，则
或
或
，
，
又
在
上单调递减，故
都有唯一解，
即方程
有且仅有三个解，故A 正确；
对于B，当
时，
，
故
时，即
，而
，
19
故由
图象可知
有一个解，
即方程
有且仅有一个解，故B 错误；
对于C，
时，
或
或
，
故由
可得
或
或
，
而
，
故
和
各有唯一一个解，
有3 个解，
故方程
有且仅有五个解，故C 正确；
对于D，
时，
，
故由
可得
，而
，
在
上单调递减，
故
有唯一解，
故方程
有且仅有一个解，故D 正确，
故选：ACD
【变式3】函数
的零点个数是( )
A.0
B.1
C.2
D.4
【答案】C
【解析】令
,即
,在同一平面直角坐标系下作出
的图像(图略),易知两图像有2 个交点,即函数有2 个零点.故选C.
题型08 幂指对函数模型的应用
【典例8】（23-24 高一下·江西吉安·期末）已知某种铅蓄电池由于硫酸浓度的降低，每隔一个月其性能指
解题锦囊
(1)在实际问题中,有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型表示,通常可以
表示为y=N(1+p)x(其中N 为基础数,p 为增长率,x 为时间)的形式.解题时,往往用到对数运算,要注意与已知表
格中给定的值对应求解.
(2)有关对数型函数的应用题,一般都会给出函数解析式,要求根据实际情况求出函数解析式中的参数或
给出具体情境,从中提炼出数据,代入解析式求值,然后根据值回答其实际意义.
20
数都要损失10%，且一般认为当该种类型的电池的性能指数降低到原来的
以下时就需要更换其中的硫酸
来达到持久续航，则最多使用（ ）个月就需要更换纯硫酸（参考数据
，
）
A．11
B．12
C．13
D．14
【答案】C
【分析】依题意建立通过
月后性能指数y 与
之间的函数关系式，得到不等式
，通过
两边取对数，整理化简即得.
【详解】设最初该种电池的性能指数为k，通过
月后性能指数变为
，则
．
由题意得
，即
，两边取常用对数，可得
．
∵
，∴
．
又
，故最多使用13 个月就需要更换纯硫酸．
故选：C.
【变式1】（23-24 高一下·浙江杭州·期末）在某种药物实验中，规定
血液中药物含量低于
为
“药物失效”．现测得实验动物血液中药物含量为
，若血液中药物含量会以每小时
的速度
减少，那么至少经过（ ）个小时才会“药物失效”．（参考数据：
）
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】D
【分析】由题意得到不等式，两边取对数求出答案.
【详解】物实验中，
血液中药物含量为
的浓度为
，
设至少经过个小时才会“药物失效”，根据题意
，两边取对数得
，
可得
.
所以至少经过
个小时才会“药物失效”.
故选：D.
【变式2】（23-24 高一上·北京延庆·期末）假设有机体生存吋碳14 的含量为
，那么有机体死亡x 年后
体内碳14 的含量满足的关系为
（其中m₀，a 都是非零实数）.若测得死亡5730 年后的古生物样品，
体内碳14 的含量为0.5，又测得死亡11460 年后这类古生物样品.体内碳14 的含量为0.25.如果测得某古生
21
物样品碳14 的含量为0.3，推测此古生物的死亡时间为（取
）（ ）
A．10550 年
B．7550 年
C．8550 年
D．9550 年
【答案】D
【分析】根据已知指数函数模型列方程组求得
，推测此古生物的死亡时间为
年，再列方程求得
（利用对数的运算）．
【详解】由已知
，解得
，即
，
推测此古生物的死亡时间为
年，则
，
，
所以
，
．
故选：D．
【变式3】（23-24 高一上·福建龙岩·期末）美国生物学家和人口统计学家雷蒙德·皮尔提出一种能较好地描
述生物生长规律的生长曲线，称为“皮尔曲线”，常用的“皮尔曲线”的函数解析式可以简化为
的形式．已知
描述的是一种植物的高度随着时间
（单位：年）变化的规律．若刚栽种时该植物的高为1 米，经过一年，该植物的高为1.5 米，要让该植物
的高度超过2.8 米，至少需要（ ）年．
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】C
【分析】由题设有
，即可求参数
、
的值，进而判断
的单调性且
，即可
判断植物的高度超过
至少需要多少年.
【详解】依题意可得
，则
，解得
，
∴
，
因为
在定义域
上单调递减，且
，又
在
上单调递减，
所以
在
上单调递增，而
，
，
即
，
∴该植物的高度超过
，至少需要年.
故选：C.
22
题型09 幂指对函数性质的综合应用问题
【典例9】（23-24 高一下·河南洛阳·期末）已知函数
，
.
(1)求函数
的最大值；
(2)设不等式
的解集为
，若对任意
，存在
，使得
，求实数
的值.
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）根据对数运算化简为二次函数的复合函数，结合二次函数的值域求出最值即可；
（2）先换元把指数函数复合函数转化为二次函数，再分段分类讨论求出最值，再根据已知等式求值即可.
【详解】（1）
，
，
，
当
，即
时，
，当
，即
时，
，
当
时，
的最大值为2.
（2）由
，得
，
即
，
，
设
，则当
，
，
，
，
设
，
由题意，
是当
时，函数
的值域的子集.
①当
，即
时，函数
在
上单调递增，
则
解得
.
②当
，即
时，函数
在
上单调递减，
23
则
不等式组无解.
③当
，即
时，函数
在
上单调递减，
上单调递增，
则函数
的最大值是
与
的较大者.
令
，得
，
令
，得
，均不合题意.
综上所述，实数
的值为
.
【点睛】关键点点睛：本题第2 小问解决的关键是，利用换元法将问题转化为
是
的值域的子集，从而得解.
【变式1】（24-25 高一上·上海·期末）已知函数
．
(1)讨论函数的奇偶性；
(2)若函数在
上为严格减函数，求a 的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)a≥16
【分析】（1）分类讨论：由奇偶性的定义分函数为奇函数和偶函数可得对应的a 值，进而可得结论；
（2）由减函数可得对任意的
，都有
，变形可得
恒成立，又可得
，
可得a≥16．
【详解】（1）令
，则
，
若
，则
；若
，则
.
所以当
时，
是偶函数；
当
时，
是奇函数；
当
时，
是非奇非偶函数.
（2）设
，则
，
，
24
，
因为函数在
上严格减函数，所以
恒成立，
所以
，即
，
恒成立，
又因为
，
，所以
，
，所以a≥16．
【变式2】（23-24 高一下·安徽阜阳·期末）已知函数
为奇函数．
(1)求
的值；
(2)若对任意的
，关于
的不等式
恒成立，求正实数
的取值范围．
【答案】(1)
；
(2)
.
【分析】（1）利用奇函数定义列式计算即得.
（2）由（1）的结论，结合指数函数的性质求出
在
上的值域，换元分离参数借助函数单调性求
解即得.
【详解】（1）由函数
为奇函数，
得
，解得
，
所以
.
（2）由（1）知，
，当
时，
，则
，因此
，
令
，
，不等式
，
等价于
，即
，而
，
因此
，
，而函数
在
上单调递减，
即
，从而
恒成立，则
，
所以正实数
的取值范围是
.
