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第10 讲 正切函数的性质与图象
课程标准
学习目标
1．能画出正切函数的图像
2．会利用y＝tan x 的性质确定与正切函数
有关的函数性质．
3．会利用正切函数的单调性比较函数值大
小．
4．掌握正切函数的定义域及正切曲线的渐
近线．
1．通过正切函数图像与性质的学习，培养学生直观想
象核心素养．
2．借助正切函数图像与性质的应用，提升学生直观想
象和数学运算核心素养.
知识点01 正切函数的定义
对于任意一个角x，只要
，就有 唯一确定的正切值tan x 与之对应，因此y＝tan x
是一个函数，称为正切函数．
【即学即练1】（24-25 高一上·浙江宁波·期末）函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
知识点02 正切函数的性质
定义域、
值域
定义域为
， 值域为 R
奇偶性
奇函数
周期
π
单调性
单调增区间
(k∈Z)
零点
kπ，k∈Z
【解读】(1)正切曲线在x 轴上方的部分下凸，在x 轴下方的部分上凸，画图时，要注意曲线的光滑性
及凸凹性．
(2)正切曲线是被与y 轴平行的一系列直线x＝＋kπ，k∈Z 所隔开的无穷多支形状相同的曲线组成的．
这一系列直线也称为正切曲线的渐近线，即无限接近但不相交．
(3)正切曲线是中心对称图形，其对称中心为
，k∈Z.
(4)正切曲线没有对称轴，但有无数条渐近线，渐近线方程为x＝kπ＋，k∈Z.
【即学即练2】（24-25 高一上·黑龙江齐齐哈尔·期末）函数
的单调递增区间为
.
知识点03 正切函数的图像
(1)正切函数的图像
y＝tan x
的图像如图．
(2)正切函数的图像叫做正切曲线．
(3)正切函数的图像特征
正切曲线是由通过点
且与y 轴平行的直线隔开的无穷多支曲线所组成．
【即学即练3】（24-25 高一上·安徽淮南·阶段练习）与函数
的图象不相交的一条直线是
（ ）
A．
B．
C．
D．
题型01 正切函数的定义域
【典例1】（24-25 高一上·江苏镇江·期末）函数
的定义域是 .
【变式1】（24-25 高一上·全国·课后作业）函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（24-25 高一上·广东·期末）函数
的定义域为 .
【变式3】（24-25 高一上·山东烟台·期末）函数
的定义域为 .
【变式4】（23-24 高一下·上海黄浦·期末）设
，若函数
的.定义域为
，则
的值为 ．
题型02 正切函数的值域与最值
【典例2】（23-24 高一下·江西·阶段练习）函数
，
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（24-25 高一上·全国·课后作业）函数
的最小值为 .
【变式2】函数
在
的最大值为7，最小值为3，则ab 为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】已知
在区间
上的最大值为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4】当
时,函数
的最小值是
A．
B．
C．
D．4
题型03 正切函数的周期性
【典例3】（24-25 高一上·黑龙江牡丹江·期末）函数
的最小正周期为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（24-25 高一上·甘肃白银·期末）函数
的最小正周期为（ ）
A．16
B．8
C．
D．
【变式2】（24-25 高一上·吉林四平·期末）“
的最小正周期为
是”
“的（ ）
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【变式3】（24-25 高一上·重庆·期末）若函数
的最小正周期为
，则常数
．
【变式4】（24-25 高一上·北京·期末）若函数
的最小正周期为
，则
的值是
.
题型04 正切函数的奇偶性
【典例4】（24-25 高一上·全国·课后作业）已知函数
，则下列说法中正确的是（ ）
A．
是最小正周期为
的偶函数
B．
是最小正周期为
的偶函数
C．
是最小正周期为
的奇函数
D．
是最小正周期为
的奇函数
【变式1】（24-25 高一上·全国·课后作业）函数
（ ）
A．是奇函数
B．是偶函数
C．是非奇非偶函数
D．既是奇函数又是偶函数
【变式2】函数
的奇偶性是 ．
【变式3】（24-25 高一上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知函数
，且
，则
.
【变式4】（23-24 高一上·河北邢台·阶段练习）已知函数
的图象关于原点中心对称，
则
的最小值为 ．
题型05 正切函数的对称性
【典例5】（24-25 高一上·湖南株洲·期末）若函数
的图像的两个对称中心的最
短距离为
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（23-24 高一下·辽宁沈阳·阶段练习）已知函数
，则下列说法不正确的是（ ）
A．函数
是奇函数
B．函数
图象的对称中心是
C．函数
的零点为
D．函数
在
上单调递增
【变式2】（23-24 高一下·河南驻马店·阶段练习）下列是函数
的对称中心的是
（ ）
A．
B．
C．(0,1)
D．
【变式3】（24-25 高三上·广西南宁·阶段练习）“函数
的图象关于
对称”是“
，
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【变式4】（24-25 高一上·天津河东·期末）设函数
的图象的一个对称中心为
，则
的一个最小正周期是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型06 正切函数的单调性
【典例6】（24-25 高一上·全国·课后作业）函数
的单调递增区间是 ．
【变式1】（2024 高一下·上海·专题练习）函数
的单调递减区间是 ．
【变式2】（24-25 高一上·福建厦门·阶段练习）若函数
的图象经过点
，
则（ ）
A．
的最小正周期为
B．
的图象关于点
对称
C．
的单调增区间为
D．
在区间
上的值域为
【变式3】（24-25 高一上·云南昆明·阶段练习）已知函数
在
上是减函数，则
的取值范
围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4】（23-24 高一下·江西南昌·期末）已知函数
的单调递增区间是
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
题型07 正切不等式的求解
【典例7】（24-25 高一上·全国·课后作业）函数
的定义域为（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【变式1】（23-24 高一下·广西钦州·期中）不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】函数
的定义域为（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【变式3】（24-25 高一上·天津河西·期末）函数
的定义域为 ．
【变式4】（23-24 高一下·北京·期中）已知角A 是
的一个内角，若
，则角A 的取值范围
是 ．
题型08 利用单调性比较大小
【典例8】（24-25 高一上·云南昭通·期末）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（23-24 高一下·北京延庆·期中）设
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（24-25 高一上·甘肃白银·期末）若
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（23-24 高一下·北京门头沟·期中）比较
、
、
的大小关系（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4】（23-24 高一下·陕西渭南·期中）已知
，
，
，则
，
，的大小
关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型09 正切函数的图像及应用
【典例9】（24-25 高一上·陕西·期末）当
时，函数
的零
点个数为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
【变式1】（23-24 高一下·陕西渭南·期末）若函数
的图象与直线
没有交点，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（2024 高二下·浙江·学业考试）已知函数
，则函数在区间
内零点的个数
为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．5
【变式3】（23-24 高一上·广东·期末）若函数
的图象与直线
没有交点，则
的最
小值为（ ）
A．0
B．
C．
D．
【变式4】函数
的图像如图所示，图中阴影部分的面积为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
题型10 正切函数图像的变换
【典例10】（24-25 高一下·湖北武汉·期中）已知函数
与x 轴交于A，B
两点，且线段AB 长度的最小值为
，若将函数
的图象向左平移
个单位后恰好为奇函数，则
的值
为（ ）
A．
B．
C．
D．
或
【变式1】（24-25 高一·全国·课后作业）若将函数
的图象向左平移
个单位，再将所有点的横坐
标缩短到原来的
，则所得到的图象对应的函数表达式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】将函数
的图象向左平移
个单位长度，得到函数
的图象，则下列关于函
数
的说法正确的是（ ）
A．图象关于直线
对称
B．在
上单调递增
C．最小正周期为
D．图象关于点
对称
【变式3】要得到y＝tan x 的图象，只需把y＝tan
的图象（ ）
A．向左平移
个单位
B．向左平移
个单位
C．向右平移
个单位
D．向右平移
个单位
【变式4】（24-25 高一下·陕西榆林·期中）若将函数
的图象向右平移
个单位长度
后，与函数
的图象重合，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．2
D．4
一、单选题
1．（24-25 高一下·北京·期中）函数
是（ ）
A．周期为
的奇函数
B．周期为
的奇函数
C．周期为
的偶函数
D．周期为
的偶函数
2．（23-24 高一下·广西桂林·期末）函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（24-25 高一上·湖南永州·期末）下列大小关系正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（24-25 高一下·山东济宁·期中）函数
（
且
）的值域为
A．
B．
C．
D．
5．（23-24 高一上·河北保定·期末）“
”是“函数
的图象关于原点中心对称”的
（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
6．（23-24 高三上·江苏淮安·阶段练习）下列关于函数
的说法正确的是（ ）
A．图象关于点
成中心对称
B．图象关于直线
成轴对称
C．在区间
上单调递增
D．在区间
上单调递增
7．（24-25 高一上·上海·随堂练习）已知函数
在
上是减函数，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（23-24 高一上·甘肃·期末）已知函数
，下列结论正确的是（ ）
A．函数
的最小正周期为
B．函数
在区间
上是增函数
C．函数
的图象关于直线
对称
D．函数
是奇函数
二、多选题
9．（24-25 高一下·四川成都·阶段练习）与函数
的图象不相交的直线是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（24-25 高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数
，则下列说法正确的有（ ）
A．
的最小正周期为
B．
的定义域为
C．
的图象关于点
对称
D．将
的图象向左平移
个单位，所得函数的解析式为
11．（24-25 高二上·云南临沧·阶段练习）已知函数
图象的相邻两个对称中心之
间的距离为
，则（ ）
A．
B．
的最小正周期为
C．
的图象向左平移
个单位长度后得到函数
的图象
D．
的单调递增区间为
三、填空题
12．（24-25 高一上·云南大理·期末）已知函数
，若
的周期为π，则
.
13．（24-25 高一上·全国·课前预习）（1）函数
的定义域是 ．
（2）函数
的值域为 ．
14．（24-25 高一上·湖南常德·期末）若将函数
的图象向左平移
个单位后与
原图象重合，则
的最小值为 .
四、解答题
15．（24-25 高一上·全国·课后作业）已知函数
．
(1)求
的单调递减区间；
(2)试比较
与
的大小．
16．（23-24 高一上·湖北荆州·期末）已知函数
的图象关于点
对称.
(1)求
的单调递增区间;
(2)求不等式
的解集.
17．（24-25 高一上·上海·课堂例题）设函数
.
(1)求函数
的定义域、最小正周期和单调区间；
(2)求不等式
的解集；
(3)作出函数
在一个周期内的简图.
18．（24-25 高一上·全国·课后作业）已知函数
．
(1)若
，求函数
的定义域及最小正周期；
(2)若函数
在区间
内单调递增，求
的取值范围．
19．（24-25 高一·全国·课后作业）已知函数
，
．
(1)若
，求
的最小正周期与函数图像的对称中心；
(2)若
在
上是严格增函数，求
的取值范围；
(3)若方程
在
上至少存在2022 个根，且b－a 的最小值不小于2022，求
的取值范围．
