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第08 讲 正弦型函数的性质与图象
课程标准
学习目标
1．能正确使用“五点法”“图像变换法”
作出函数y＝Asin (ωx＋φ)的图像，并熟悉
其变换过程．
2．会求函数y＝Asin(ωx＋φ)的周期、频率
与振幅．
3．结合具体实例，了解y＝Asin(ωx＋φ)的
实际意义，并且了解y＝Asin(ωx＋φ)中的
参数A，ω，φ 对函数图像变化的影响以及
它们的物理意义．
1．会用“五点法”画函数
的图
象，重点提升直观想象核心素养；
2．掌握
与
图象间的变换
关系，并能正确地指出其变换步骤；
3．掌握正弦型函数的性质，并能利用正弦型函数的性
质解决简单问题。
知识点01 正弦型函数的概念及图象
1、正弦型函数的定义：一般地，形如
的函数，在物理，工程等学科的研究中经常
遇到，这类型的函数称为正弦型函数，其中
都是常数，且
.
2、
对函数正弦型函数图象的影响
（1）A 决定了函数的值域以及函数的最大值和最小值，通常称A 为振幅.
（2）φ 决定了x=0 时的函数值，通常称φ 为初相，ωx＋φ 为相位.
（3）ω 决定了函数的周期
3、
的实际意义
（1）
的表示小球能偏离平衡位置的最大距离，称为振幅；
（2）
在决定
时小球的位置中起关键性作用，称为初相；
（3）周期
表示小球完成一次运动所需要的时间，
表示1s 内能完成的运动次数，称为频率.
4、“五点法”画正弦型函数的图象
用五点法画
一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示.
x
－
－＋
－
ωx＋φ
0
π
2π
0
A
0
－A
0
【即学即练1】
1．（23-24 高一下·广东佛山·阶段练习）函数
的周期、振幅、初相分别是（ ）
A．
，2，
B．
，
，
C．
，2，
D．
，2，
【答案】D
【分析】由函数解析式观察出振幅，初相，再由公式求出函数的周期即可.
【详解】
函数
，
振幅是2，初相是
，
又
的系数是
，故函数的最小正周期是
，
故选：D．
2．（24-25 高一上·天津南开·期末）函数
，其中
，（
），（a，
），它的图象如图所示，则
的解析式为（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】A
【分析】将点
与
的坐标代入函数表达式，建立关于
的方程组即可求解.
【详解】点
与
代入
中，
可得
，解得
，
.
故选：A．
知识点02 正弦型函数的性质
1、定义域与值域：定义域为R，值域为
2、周期：
3、奇偶性：“定义域关于原点对称”，是函数具有奇偶性的前提，在满足这一前提的条件下，
对于
当
时，函数
是奇函数；
当
时，函数
是偶函数；
当
时，函数
是非奇非偶函数；
4、单调性：确定函数
的单调区间的思想是把
看作一个整体。
由
解出
的范围，可得单调递增区间；
由
解出
的范围，可得单调递减区间.
【即学即练2】（多选）（24-25 高一上·山东菏泽·阶段练习）已知函数
，则（ ）
A．点
是
图象的一个对称中心
B．直线
是
图象的一条对称轴
C．
在
上单调递增
D．
【答案】AB
【分析】通过代入验证法，判断选项中的对称中心对称轴单调区间等结论是否成立.
【详解】已知函数
，
由于
，所以点
是
图象的一个对称中心，A 选项正确；
由于
，是函数最值，所以直线
是
图象的一条对称轴，B 选项
正确；
由于
时，
，
不是正弦函数的单调递增区间，C 选项错误；
由于
，D 选项错误.
故选：AB.
知识点03 三角函数图象变换
1、振幅变换：要得到函数
的图象，只要将函数
的图象上所有点的
纵坐标伸长（当A＞1 时）或缩短（当0＜A＜1 时）到原来的A 倍（横坐标不变）即可得到．
2、平移变换：要得到函数
的图象，只要将函数
的图象上所有点向左（当φ＞
0 时）或向右（当φ＜0 时）平行移动|φ|个单位长度即可得到．
3、周期变换：要得到函数
（其中
且
）的图象，可以把函数
上所有点的横坐标缩短（当ω＞1 时）或伸长（当0＜ω＜1 时）到原来的
倍（纵坐标不变）即可得到．
4、从
到
的两种变换途径
【即学即练3】（24-25 高一上·黑龙江哈尔滨·期末）为了得到
图像，需要将函数
的图象（ ）
A．向左平移
个单位
B．向右平移
个单位
C．向左平移
个单位
D．向右平移
个单位
【答案】C
【分析】将
化为
，根据平移变换即可得解.
【详解】因为
，所以只要将函数
的图象向左平移
个单位，即可
得到函数的图象，
故选：C．
题型01 求正弦型函数的周期
【典例1】（24-25 高一上·吉林白城·期末）
的最小正周期为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据
求最小正周期即可.
【详解】函数的最小正周期
，
故选:D.
【变式1】（24-25 高一上·全国·课后作业）函数
的最小正周期是（ ）
A．
B．
C．4
D．6
【答案】C
【分析】根据
求函数的最小正周期.
【详解】因为
，所以函数
的最小正周期
．
故选：C
【变式2】（24-25 高一上·全国·课后作业）函数
的最小正周期为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据正弦函数的周期结合翻折得出最小正周期即可.
【详解】函数
的最小正周期
，
故对于函数
，其最小正周期为
．
故选：A.
【变式3】（24-25 高一上·山东菏泽·阶段练习）设函数
，则f (x)为（ ）
A．周期函数，最小正周期为
B．周期函数，最小正周期为
C．周期函数，最小正周期为2π
D．非周期函数
【答案】C
【分析】根据周期函数的定义判断即可.
【详解】
，故A 错误；
，故B 错误；
，故C 正确D 错误.
故选：C
【变式4】（24-25 高一上·全国·课后作业）设函数
，若对于任意的
，都有
，则
的最小值为（ ）
A．4
B．2
C．1
D．
【答案】B
【分析】由
可得
在
和
处取得最值，再由图象性质可得
的最小
值为半个周期即可.
【详解】由题得函数
在
处取得最小值，在
处取得最大值，
则
的最小值为相邻两条对称轴间的距离，
又最小正周期
，
故
的最小值为
．
故选：B
题型02 根据周期性求值
【典例2】（24-25 高一上·江苏盐城·阶段练习）已知
，函数
的最小正周期是
，则正
数
的值为 .
【答案】2
【分析】由周期公式即可求解；
【详解】
，
解得：
，
故答案为：2
【变式1】（23-24 高一下·河南驻马店·期末）函数
的最小正周期为T，
若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】运用周期公式，代入解析式．再已知函数值，求角度即可
【详解】
，则
，即
，
即
，即
，则
，又
，则
.
故选：B.
【变式2】（23-24 高一上·四川绵阳·期末）已知函数
的最小正周期为
，则函
数
在区间
上的最大值与最小值的和等于（ ）
A．0
B．
C．1
D．2
【答案】C
【分析】由最小正周期可得
，再由正弦型函数求
的最值，即可得答案.
【详解】由题设
，则
，
在
上
，故
，
所以最大值与最小值的和等于1.
故选：C
【变式3】（23-24 高一下·上海·阶段练习）已知
，若
、
满足
，且
的最小值为
，则
.
【答案】4
【分析】根据正弦函数图象的性质得到
的最小值为半个周期，然后求
即可.
【详解】若
、
满足
，则函数在
、
处取到最值，
的最小值为
，所以
，解得
.
故答案为：4.
题型03 正弦型函数的奇偶性及应用
【典例3】（24-25 高一上·甘肃平凉·期末）函数
为
上的奇函数，则
的值可以是
（ ）
A．0
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用正弦函数的性质，列式求解并赋值得答案.
【详解】由函数
为
上的奇函数，得
，
解得
，当
时，
，所给其他
均不存在整数
使其成立.
故选：C
【变式1】（23-24 高一下·四川成都·阶段练习）函数
是（ ）
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．非奇非偶函数
【答案】A
【分析】根据函数奇偶性的定义，即可判断.
【详解】函数
的定义域为
，且
，
所以函数是奇函数，不是偶函数.
故选：A
【变式2】（24-25 高一上·上海·随堂练习）函数
的奇偶性为 .
【答案】奇函数
【分析】根据函数奇偶性定义判断函数的奇偶性.
【详解】因为
定义域为
,
又因为
,
所以f (x)为奇函数.
故答案为：奇函数.
【变式3】（24-25 高一上·全国·课后作业）已知函数
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】B
【分析】利用奇函数的性质来求值即可.
【详解】因为
，
所以
．
故选：B.
【变式4】（24-25 高一上·全国·课后作业）函数
图象为
上的奇函数，则
的值可以
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据函数奇偶性得到方程，求出
，从而得到答案.
【详解】因为函数
为
上的奇函数，
所以
，
即
，
当
时，
，其他选项均不正确..
故选：B
题型04 求正弦型函数的单调区间
【典例4】（24-25 高一上·山东济宁·阶段练习）下列区间为函数
的增区间的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用整体代入法求得题设函数的单调递增区间，从而检验得解.
【详解】对于
，
令
，
，得
，
，
当
时，
，
当
时，
，
当
时，
，
对于A，不满足
，故A 错误；
对于B，不满足
，故B 错误；
对于C，
，故C 正确；
对于D，不满足
，故D 错误；
故选：C.
【变式1】（24-25 高一上·陕西榆林·期末）已知函数
，则（ ）
A．
在区间
上单调递增
B．
在区间
上单调递减
C．
在区间
上单调递增
D．
在区间
上单调递减
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用正弦函数的单调性逐项判断即可.
【详解】函数
，
对于AB，当
时，
，而正弦函数
在
上先递增后递减，
因此函数
在区间
上不单调，AB 错误；
对于CD，当
时，
，而正弦函数
在
上单调递减，
因此
在区间
上单调递减，C 错误，D 正确.
故选：D
【变式2】（24-25 高一上·全国·课后作业）关于函数
，下列说法正确的有（ ）
A．在区间
内单调递减
B．在区间
内单调递增
C．在区间
内单调递减
D．在区间
内单调递增
【答案】B
【分析】利用整体思想，结合三角函数的单调性，建立不等式，可得答案.
【详解】令
，解得
，
令
可知函数
在区间
内单调递增，A 错误，B 正确；
同理可知函数
在区间
内单调递减，C 错误，D 错误．
故选：B.
【变式3】（24-25 高一上·吉林·期末）函数
的单调增区间为 .
【答案】
【分析】以
为整体，结合正弦函数单调性运算求解.
【详解】令
，解得
，
所以函数
的单调增区间为
.
故答案为：
.
【变式4】（24-25 高一上·江苏南通·阶段练习）函数
在区间
上的单调减区间是
.
【答案】
和
【分析】利用正弦函数的性质可知
的单调增区间为
，
，故可得
，从而求出函数
的单调减区间，最后
取特殊值便可求
得
上的单调减区间.
【详解】函数
，
令
，
解得
，
即函数
的单调减区间为：
令
得，
；令
得
，
所以在区间
上的单调减区间为
和
，
故答案为：
和
.
【变式5】（24-25 高一上·全国·课后作业）函数
的单调递增区间为 ．
【答案】
【分析】利用正弦函数的奇偶性整理函数，根据整体思想，结合正弦函数的单调性，建立不等式组，可得
答案.
【详解】
，
要求
的单调递增区间，即求
的单调递减区间，
令
，解得
，
令
，又
，故函数
的单调递增区间为
．
故答案为：
.
题型05 由正弦型函数单调性求参数
【典例5】（24-25 高一上·山东枣庄·阶段练习）已知函数
在区间
上单调递增，
则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由题可得
，然后结合正弦函数的单调性及可得答案.
【详解】因为
，
，所以
，
因为
在
，
上单调递增，
则
，得
，
，
又
，取
，则
，即
.
故选：A.
【变式1】（24-25 高一上·黑龙江佳木斯·期末）已知函数
（
）的图象过
点
，且
在区间
上具有单调性，则
的最大值为（ ）
A．
B．4
C．
D．8
【答案】C
【分析】由函数
的图象过点
求得
，根据函数的单调性，结合三角函数的性质列式求得
的范
围，即可得解.
【详解】因为函数
的图象过点
，所以
，
因为
，所以
，所以
，
当
时，
，
因为
在区间
上具有单调性，
所以
，
，
即
且
，
，
则
，
，
因为
，得
，
因为
，所以
时，
，则
；
当
时，
，
综上，
，即
的最大值为
.
故选：C.
【变式2】（24-25 高一上·山东·阶段练习）已知函数
，若
为函数
的一
个零点，且函数
在
上是单调函数，则
的最大值为 .
【答案】3
【分析】根据函数图象性质可得
，再由区间上的单调性即可得出
的最大值为3.
【详解】根据题意可得
，所以
，
可得
；
由函数
在
上是单调函数，可得
，
解得
；
因此可得当
时，
取得最大值.
故答案为：3
【变式3】（24-25 高一上·江苏泰州·阶段练习）已知函数其中
．若
，
在区
间
上单调递增，则
的取值范围是 .
【答案】
【分析】先由
得
，再由正弦函数性质得不等式
，解该不等式即可得解.
【详解】若
，则
，
因为
在区间
上单调递增，
所以
，解得
，
由
，又
，故
或
，
所以当
时，得
；当
时，得
.
所以满足题意的
的取值范围是
.
故答案为：
.
题型06 正弦型函数的值域与最值
【典例6】（23-24 高一上·安徽·期末）函数
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据
，可得
，再结合正弦函数的图象求解即可.
【详解】由
，得
，
则
.
故选：C.
【变式1】（2024 高三·天津·专题练习）已知函数
的最小正周期为
.则函数在
的最小值是（ ）
A．
B．
C．0
D．
【答案】D
【分析】先根据函数的周期性求出
，再根据正弦函数的性质结合整体思想即可得解.
【详解】由题意
，所以
，
可得
，
由
，得
，
所以当
，即
时，函数
取得最小值
.
故选：D.
【变式2】（24-25 高三上·重庆·阶段练习）已知函数
（
）的最小正周期为
，
则
在
的最小值为（ ）
A．
B．
C．0
D．
【答案】C
【分析】先利用最小正周期求出
的值，再根据正弦函数的图象和性质求解最小值即可.
【详解】因为函数
的最小正周期为
，
所以
，解得
，所以
，
当
时，
，
由正弦函数的图象和性质可知当
即
时，
取最小值，
故
的最小值为
.
故选：C
【变式3】（24-25 高二上·海南海口·阶段练习）对于
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】令
，从而转化成求
在区间
上的最小值，利用二次函数的性质，即
可求解.
【详解】令
，则
，对称轴
，
所以当
时，
取到最小值，最小值为
，
故选：A.
【变式4】（24-25 高一上·河北衡水·期中）函数
的最大值为 .
【答案】
【分析】根据三角恒等式化简
，结合
在
的值域求最大值即可.
【详解】由于
，所以
.
又函数
，
所以当
时，
.
故答案为：
.
题型07 由正弦型函数的值域求参数
【典例7】（24-25 高一上·江苏南京·期末）设
为实数，若函数
在区间
上既有最大值，
又有最小值，则
的最小值为 .
【答案】
【分析】根据
的取值范围，求出
的取值范围，依题意可得
，解得即可.
【详解】由
，所以
，
依题意可得
，解得
，所以
的最小值为
.
故答案为：
【变式1】 （23-24 高一上·江苏盐城·期末）若函数
在区间
上恰有两个最
大值，则实数
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】求出
，根据函数恰有两个最大值，得到
，得到答案.
【详解】因为
，
，
所以
，
又
上恰有两个最大值，
所以
，解得
.
故答案为：
【变式2】 （24-25 高一上·江苏无锡·阶段练习）函数
在区间
上的值域为
则
实数a 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由
，结合函数在
上的值域，列出不等式即可求出实数a 的取值范围．
【详解】当x =0时，
，
由
，可得
，
函数
在区间
上的值域为
，
根据正弦函数的图象知，
，解得
，
所以实数a 的取值范围是
．
故答案为：
．
【变式3】 （24-25 高一上·甘肃白银·阶段练习）设函数
，若
对任
意的实数
都成立，则
的最小值为 ．
【答案】
【分析】分析可知
的最大值为
，结合正弦函数最值运算求解即可.
【详解】因为
对任意的实数
都成立，可知
的最大值为
，
则
，可得
．
因为
，所以当
时，
取最小值，最小值为
．
故答案为：
．
【变式4】 （24-25 高三上·安徽·期中）已知函数
在
上的最小值为-1，则
．
【答案】
【分析】求出
，根据最小值得到
，求出答案.
【详解】
，
时，
，
在
上的最小值为-1，故
，
解得
.
故答案为：
题型08 判断正弦型函数的对称性
【典例8】（24-25 高一上·新疆阿克苏·阶段练习）函数
的一条对称轴为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】求出函数
的对称轴为
逐一验证即可.
【详解】由
所以函数
的对称轴为
当
时，
，只有D 满足.
故选:D.
【变式1】（24-25 高一上·重庆·阶段练习）下列函数中，最小正周期是π 且图象关于直线
对称的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用最小正周期及对称轴，逐项验证判断得解.
【详解】对于A，函数
的最小正周期为
，
当
时，
，即函数图象关于直线
对称，A 是；
对于B，当
时，
，即函数图象不关于直线
对称，B 不是；
对于C，当
时，
，即函数图象不关于直线
对称，C 不是；
对于D，函数
的最小正周期为
，D 不是.
故选：A
【变式2】（24-25 高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数
，若
是偶函数，则
图象对称轴方程可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】首先求函数
，根据偶函数的性质求
，再代入函数的对称轴方程，即
可求解.
【详解】函数
是偶函数，
则
，得
，
令
，解得
.
因为
，则
，经验证只有D 选项
满足题意，此时
.
故选：D.
【变式3】（23-24 高一下·北京延庆·期中）函数
图象的对称轴方程可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】易知正弦函数的对称轴，因此用整体的思想可以列出方程求解.
【详解】令
,
解得
,
所以
的对称轴方程为
当
时，其对称轴方程为
，故B 正确；
因为A，C，D 均不满足对称轴方程，所以A，C，D 错误.
故选：B.
【变式4】（24-25 高三上·山东青岛·期中）已知函数
的最小正周期为
，则
的图
象（ ）
A．关于点
对称
B．关于
对称
C．关于直线
对称
D．关于直线
对称
【答案】D
【分析】根据周期求出
，代入
，
计算检验即可判断各选项.
【详解】因为函数
的最小正周期为
，
所以
，
因为
，所以AC 错误；
，所以B 错误，D 正确.
故选：D
题型09 根据正弦型函数的对称性求参数
【典例9】（24-25 高一上·山东泰安·阶段练习）将函数
的图象向左平移
个单
位，所得的函数图象关于
对称，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由条件结合函数图象变换结论求出变换后的函数解析式，结合对称性条件列方程可得结论.
【详解】函数
的图象向左平移
个单位可得函数
由已知函数
的图象关于
对称，
所以
，
，
所以
，
，又
，
所以k =1，
.
故选：D.
【变式1】（24-25 高一上·天津武清·期末）若函数
在区间
上有且仅有2 条
对称轴，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据题意可得函数的对称轴为
，进而可得
，即得.
【详解】又
可得
的对称轴为
，
当
时，
，当
时，
，当
时，
，
因
，由题意
，可得
，
故选：B
【变式2】（23-24 高一下·安徽·期末）函数
的图象在区间
上恰有一条对称
轴和一个对称中心，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用正弦型函数的性质列出关于
的不等式，求解即可．
【详解】由x∈(0,1)，设
，则
，
由图可知直线
在线段
之间，不含点
，
所以
，得
．
故选：C.
【变式3】（24-25 高一上·福建厦门·阶段练习）已知函数
在区间
上单调，其中
为正整数，
，且
．则
图象的一个对称中心是 ；若
，则
的值为 ．
【答案】
答案不唯一
/
【分析】根据单调区间，以及
可得
，进而可得对称中心；先根据单
调区间求出
的可能取值，然后根据
得到
和
的关系，根据关系以及
的可能取值对照验证
计算即可.
【详解】因为
在区间
上单调，且
，
，
，
所以
，
所以
图象的一个对称中心是
；
所以
的最小正周期
，即
，又
，
由
为
图象的一个对称中心，则
①，
因为
，所以
或
，
若
②，①
②得
，
即
，不存在整数
，使得
，
若
③，①
③得
，
即
，故不存在整数
，使得
，
当
时，
，此时
，
又
，得
.
故答案为：
；
.
题型10 根据函数图像求解析式
【典例10】（24-25 高一上·山东·阶段练习）函数f (x)= A sin (ωx +φ)（其中
，
，
）的部
分图象如图所示，则
的解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用图象可确定最小正周期
，由此可得
，结合
可得
，由此可得
.
【详解】由图象知函数周期
，所以
，所以
，
又函数图象过点
，
，所以
，
解得
，又
，所以
，所以
.
故选：A
【变式1】（24-25 高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数
的部分图
象如图所示，
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据最值可确定
；由图象可确定
最小正周期，由此可得
；代入
可求得
，由
此可得
.
【详解】
，
，
，
；
最小正周期
，
，即
，
，
，
，
又
，
，
.
故选：B.
【变式2】（24-25 高一上·天津西青·期末）函数
的部分图象如图
所示，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】借助图象可得
，求得周期
，进而求出
，再由定点结合范围求出
，即可得出解析式．
【详解】由题中图象可得
，
，故
，则
，
又图象过点
，所以
，
即
，解得
，
又
，即
，故
.
故选：B.
【变式3】（24-25 高一上·黑龙江哈尔滨·期末）函数
（其中
，
）的部分图象
如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数
的图象关于点
中心对称
C．函数
的图象的对称轴为直线
D．函数
的单调递增区间为
【答案】D
【分析】根据给定的图象，求出函数
的解析式，再逐项分析求解即可.
【详解】观察函数图象，
，函数
的最小正周期
,解得
，
，由
，得
，
，则
，
对于A，
，A 错误；
对于B，
，B 错误；
对于C，由
，得
，
函数
的图象的对称轴为直线
，C 错误；
对于D，由
，得
，
因此函数
的单调递增区间为
，D 正确.
故选：D
【变式4】（24-25 高一上·甘肃·期末）已知函数
的部分图象如图
所示，则
等于（ ）
A．
B．0
C．
D．
【答案】A
【分析】根据图象求出函数
的解析式，利用对称性求解一个周期内的值，进而利用周期性求解即可.
【详解】由
的图象可知，
，周期
，故
，
又
且
，可得
，
故
.
又根据函数图象的对称性可知
，
所以
，
所以
，
故选：A.
题型11 正弦型函数间的图像变换
【典例11】（24-25 高一上·全国·课后作业）如果两个函数的图象经过平移后能够重合，那么这两个函数称
为“和谐”函数．下列函数中与
能构成“和谐”函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】分析可知所求函数
与函数
的振幅、最小正周期均相等，逐项判断，可得出合适的选项.
【详解】由题意可知，所求函数
与函数
的振幅、最小正周期均相等，
由题意可知，函数
的振幅为
，最小正周期为
，
对于A 选项，函数
的振幅为，最小正周期为
，A 不满足要求；
对于B 选项，函数
的振幅为
，最小正周期为
，B 不满足要求；
对于C 选项，函数
的振幅为
，最小正周期为
，C 不满足要求；
对于D 选项，函数
的振幅为
，最小正周期为
，D 满足要求.
故选：D.
【变式1】（24-25 高一上·吉林长春·期末）要得到
的图象，需要将函数
的图象
（ ）
A．向左平移
个单位
B．向右平移
个单位
C．向左平移
个单位
D．向右平移
个单位
【答案】D
【分析】利用三角函数图象变换可得出结论.
【详解】因为
，
为了得到
的图象，需要将函数
的图象向右平移
个单位.
故选：D.
【变式2】（24-25 高一上·江苏南京·期末）将函数
的图象上各点的横坐标变为原来的2
倍，再将得到的图象向右平移
个单位长度，所得图象的解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据三角函数图象变换规律结合题意求解即可.
【详解】将函数
的图象上各点的横坐标变为原来的2 倍，得
，
再将得到的图象向右平移
个单位长度，得
.
故选：B
【变式3】（24-25 高一上·江苏无锡·期末）函数
的图象经过怎样的平移可得到函数
的图象（ ）
A．向左平行移动
个单位长度
B．向右平行移动
个单位长度
C．向左平行移动
个单位长度
D．向右平行移动
个单位长度
【答案】D
【分析】由
得到
，利用左加右减的平移规律，得到答案.
【详解】
，故向右平行移动
个单位长度，
得到
，故D 正确，其他选项不正确.
故选：D.
【变式4】（24-25 高一上·河南郑州·期末）要得到函数
的图象，需（ ）
A．将函数
图象上所有点的横坐标变为原来的2 倍（纵坐标不变）
B．将函数
图象上所有点的横坐标变为原来的
（纵坐标不变）
C．将函数
图象上所有点向左平移
个单位长度
D．将函数
图象上所有点向左平移
个单位长度
【答案】D
【分析】根据三角函数图象平移的规律可得答案.
【详解】将函数
图象上所有点的横坐标变为原来的2 倍（纵坐标不变），
得到
的图象，故A 错误；
将函数
图象上所有点的横坐标变为原来的
倍（纵坐标不变），
得到
的图象，故B 错误；
将函数
图象上所有点向左平移
个单位得到
图象，
故C 错误；
D. 将函数
图象上所有点向左平移
个单位得到
的图象，故D 正确.
故选：D.
题型12 正弦型函数的零点问题
【典例12】（24-25 高一上·天津河西·期末）设函数
，若函数
在
上
恰有3 个零点，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由题设得
在
上恰有3 个解，结合正弦函数性质得不等式
，解
该不等式即可得解.
【详解】因为
在
上恰有3 个零点，
所以
在
上恰有3 个解，
因为
时，
，
所以由正弦函数性质可得
，解得
，
所以实数
的取值范围是
.
故选：B.
【变式1】（23-24 高一上·浙江杭州·期末）已知函数
在区间
有且仅有3 个零
点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】将函数的零点转化为方程
在区间
有且仅有3 个根，由三角函数性质可解.
【详解】函数
的零点，
即方程
的根，
当
时，
，方程
在区间
有且仅有3 个根，
则
，解得
.
故选：D.
【变式2】（24-25 高一上·北京顺义·阶段练习）如果函数
的一个零点是
，那么φ 可以是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据余弦函数的图像与性质，列出方程，结合选项，即可求解.
【详解】由题意，函数
的一个零点是
，可得
，
即
，解得
，
当
时，可得
.
故选：D.
【变式3】（24-25 高一上·甘肃兰州·期末）已知函数
，若
在区间
内恰好有198 个零点，则
的取值可以为（ ）
A．132
B．133
C．198
D．199
【答案】ACD
【分析】令
，按
分类探讨一元二次
根的情况，再结合正弦函数的性
质求解即得.
【详解】令
，则
，
，
由
，则
，
显然
，即方程
有两个不等的实数根
，
，
当
时，
，
，此时
在
上恰有3 个实根，
而
，因此
，则
；
令
，
当
时，
，
，
，当
时
，
则
，
，
此时
在
上恰有2 个实根，
而
，于是
或
，
因此
或
，所以n 的取值可以为
或
或
.
故选：ACD
【点睛】思路点睛：涉及一元二次方程的实根分布问题，可借助二次函数及其图象，利用数形结合的方法
解决一元二次方程的实根问题.
题型13 正弦型函数性质的综合问题
【典例13】（24-25 高一上·天津·阶段练习）已知
(1)求
的最小正周期和单调递减区间；
(2)若
，
，求
的值;
(3)若函数
在
上有两个零点，求实数
的取值范围
【答案】(1)最小正周期为
，单调递减区间是
(2)
(3)
【分析】（1）根据三角函数的性质求最小正周期和单调递减区间；
（2）利用诱导公式，以及同角三角函数基本关系式，即可求解；
（3）首先设
，再转化为
与
有2 个交点，求参数的取值范围.
【详解】（1）
的最小正周期是
，
令
，
得
，
所以函数的单调递减区间是
.
（2）
，得
，
，
因为
，所以
，
所以
，
即
.
（3）
，则
，
若函数
在区间
上有2 个零点，即
与
在区间
有2 个交
点，
如图，
即
，得
.
【变式1】（多选）（23-24 高一下·广东茂名·阶段练习）已知函数
在区间
上单调递增，则（ ）
A．
的最大值为2
B．若
，则
C．若
，则
D．若函数
两个零点间的最小距离为
，则
【答案】ACD
【分析】对于A：根据函数周期性可得
，再举例说明
是可以成立即可；对于B：举反例说明即
可；对于C：根据函数的对称性分析判断；对于D：根据题意整理可得
，即可得结果.
【详解】对于选项A：因为函数
在区间
上单调递增，且
，
则该函数的最小正周期
满足
，解得
.
例如
，
，即
，
若
，则
，且
在
内单调递增，
可知函数
在区间
上单调递增，符合题意，
所以
的最大值为2，故A 正确；
对于选项B：例如
，
，即
，
若
，则
，且
在
内单调递增，
可知函数
在区间
上单调递增，符合题意，故B 错误；
对于选项C：因为
，
若
时，结合正弦型函数的对称性可知
，故C 正确；
对于选项D：设函数
两个零点分别为
，
令
，即
，
则
，可得
，
若
，所以
，故D 正确.
故选：ACD.
【变式2】（24-25 高一·上海·随堂练习）已知函数
，下列说法正确的是 ．
①函数
为偶函数；
②函数
的最小正周期为2；
③所有的整数都是函数
的零点；
④函数
在
上为严格增函数．
【答案】①③
【分析】运用函数图像伸缩，翻折变换，数形结合可解.
【详解】如图所示，运用函数伸缩，翻折变换，画出图像.
的定义域为R，且为偶函数，最小正周期为1，
，
，故所有的整数都是函数
的零点，
在
上为严格增函数，
在
上严格减函数，
故答案为：①③．
【变式3】（24-25 高一上·安徽淮南·阶段练习）已知函数
，
(1)求
的最小正周期及单调递增区间；
(2)求
在区间
上的最大值和最小值；
(3)若
在区间
上有两个零点，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
的最小正周期为
，单调递增区间为
，
(2)
的最大值和最小值分别为
，
(3)
【分析】（1）利用正弦型函数的周期公式即可求出周期，再由
的单调增区间，整体代入即可求解；
（2）令
，从而得到
，再利用
的图象与性质，即可求解.
（3）转化为
在
上有两个解，求出
，结合正弦函数性质得到
，求出答案.
【详解】（1）因为
，所以
的最小正周期为
，
令
，
，求得
，
，
可得
的单调递增区间为
，
．
（2）由题意
，则令
，则
，
又
时，
，得到
，
故
的最大值和最小值分别为
，
；
（3）
在区间
上有两个零点，
等价于
在
上有两个解，即
在
上有两个解，
由
，得
，
要想
在
上有两个解，
则
，解得
，
故
的取值范围为
.
一、单选题
1．（24-25 江苏省连云港期末）设
为正数，若函数
的最小正周期为
，则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【分析】利用正弦型三角函数，代入计算即可.
【详解】由
，且
为正数，可得
，解得
.
故选：C.
2．（23-24 高一上·北京平谷·期末）如果函数
的一个零点是
，那么
可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由题意令
，解方程即可得解.
【详解】由题意
，解得
，对比选项可知只有
，
符合题意.
故选：D.
3．（22-23 高一下·辽宁沈阳·阶段练习）已知函数
的相邻两个零点之间的距离为
，则函数
的单调递增区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据函数的周期求得参数
，可得函数解析式，结合正弦函数的单调性解不等式，即可求得
的单调递增区间.
【详解】由题意可知
的最小正周期为
，
故
，则
，
令
，
则
，
即
的单调递增区间为
，
故选：B
4．（24-25 江苏省连云港期末）将函数
图象上每个点的横坐标变为原来的
（纵坐标不变），再
将得到的图象向右平移
个单位长度，所得图象的函数解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据条件，直接利用三角函数的图象的平移变换和伸缩变换，即可求出结果.
【详解】将函数
图象上每个点的横坐标变为原来的
（纵坐标不变），得到
，
再将得到的图象向右平移
个单位长度，得到
，
故选：A.
5．（24-25 高三上·上海·期中）已知函数
为偶函数，则
的对称中心为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由已知可得
，进而可得
的解析式，从而可求对称中心.
【详解】因为
为偶函数，
所以
，又
，所以
，
所以
，
由
，解得
，
所以
的对称中心为
.
故选：B.
6．（24-25 高一上·吉林长春·期末）已知函数
，则
在
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用同角公式化简函数
，再利用正弦函数的性质，结合二次函数求出值域.
【详解】函数
在
上单调递增，而
，
，即
函数
，当
时，
，
当
时，
，
所以
在
的值域为
.
故选：A
7．（24-25 高一上·吉林长春·期末）定义在
上的函数
既是偶函数，又是周期函数，若
的最小
正周期为
，且当
时，
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由已知，根据题意利用周期性和奇偶性，将
转换到区间
内，然后带入即可求解.
【详解】由已知，函数
既是偶函数又是周期函数，
的最小正周期是
，
当
时，
，
所以
.
故选：D.
8．（23-24 高一下·四川绵阳·阶段练习）若函数
在区间
上有且仅有两个零点，则实
数
的最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用函数零点的定义及三角函数的性质即可求解.
【详解】因为
，所以
因为函数
在区间
上有且仅有两个零点，
所以
，解得
，
所以实数
的最大值是
.
故选：D.
二、多选题
9．（24-25 高一上·宁夏银川·期末）已知函数
，则下列关于函数
的说法正确的是
（ ）
A．函数
在
上单调递增
B．函数
的图象可以由
图象向左平移
个单位长度得到
C．
D．若函数
在
上至少有11 个零点，则
的最小值为
【答案】AD
【分析】由正弦函数的单调性判断A，由图象变换判断B，由对称性判断C，求出
的解，结合周
期性找出11 个解后判断D．
【详解】对于A，令
，则
，即
的一个单调增区间为
，则
在
上单调递增，故选项
正确；
对于B，
图象向左平移
个单位长度得到，
，故选项
错误；
对于C，由于
，故选项
错误；
对于D，若函数
在
上至少有11 个零点，即y = f (x)与
在
上至少有11 个交点，
令
，则
或
，即
或
，
由于函数
一个周期由两个点函数值为
，则在
正好由11 个交点，故
的
最小值为
，故选项
正确.
故选：AD．
10．（24-25 高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数
的图象关于点
中心
对称，则（ ）
A．
B．
在区间
有两个零点
C．直线
是曲线
的对称轴
D．
在区间
单调递增
【答案】ABD
【分析】根据正弦型函数的对称性、单调性，结合函数零点的定义逐一判断即可.
【详解】对于A,
代入点
，得
,
,
,
,故A 正确;
对于B,由
，
，所以
或
，所以该函数
在区间
有两个零
点，故B 正确；
对于C,代入
，
，故C 错误;
对于D,
处于正弦函数的递增区间
内，故D 正确．
故选：ABD
11．（23-24 高一上·安徽·期末）函数
的部分图象如图所示，则
下列说法正确的是（ ）
A．
B．
的一个单调递增区间为
C．函数
的图象关于点
对称
D．若函数
在
上没有零点，则
【答案】ACD
【分析】A：利用图象求出函数的周期，由此求出
，再由
，求出
的值，然后根据
求
出
的值，进而可以判断；
：利用
的范围求出
的范围，然后利用正弦函数的单调性以及整体代
换的性质即可判断；
：判断
与0 的关系，由此即可判断；
：利用图象变换的性质以及数形结合
建立不等式关系，由此即可判断．
【详解】
：由函数图象可得
，则
，所以
，
又
，则
，则
，结合其范围有
，
由
，解得
，所以
，故
正确；
：当
时，
，则函数
在
不单调递增，故
错误；
：当
时，
，所以
的图象关于点
,
对称，故
正确；
的图象是由
的图象上所有点的横坐标变为原来的
倍得到的，
由题图知
在
上没有零点，则
在
上没有零点，
由题意得
，所以
，故
正确．
故选：ACD.
三、填空题
12．（24-25 高二上·上海·阶段练习）若函数
的最小正周期是 .
【答案】
【分析】由最小正周期的计算公式求解即可.
【详解】由
，所以函数
的最小正周期为
.
故答案为：
13．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
在
上有两个不同的零点
，
则
.
【答案】
/
【分析】由
得
，令
，则
，
有两个不同的解
，
易得
关于
对称，所以
，即
得
，由
可得答案.
【详解】由
，得
，
则
在
上有两个不同的解
.
当
时，
，
令
，则
，
有两个不同的解
.
易得
关于
对称，
所以
，即
，
所以
，即
，所以
，
所以
.
故答案为：
.
14．（24-25 高三上·天津·期中）函数
的图象向左平移
个单位后关于
轴对称，
则函数
在
上的最小值为 .
【答案】
/
【分析】由题意利用函数
的图象变换规律得到
的解析式，再利用正弦函数的定义域和
值域，求得函数
在
的最小值．
【详解】将函数
的图象向左平移
个单位后得到函数
的图
象，
若函数
为偶函数，又
，所以
，
，故函数
．
，
，
，
则函数
在
的最小值为
，
故答案为：
四、解答题
15．（24-25 高一上·山东·阶段练习）已知
.
(1)求函数
的最小正周期：
(2)求函数
在
上的单调区间.
【答案】(1)
(2)
的单调递增区间为
，单调递减区间为
【分析】（1）利用正弦函数求解函数的最小正周期，
（2）结合正弦函数的单调区间求解出此函数的单调区间.
【详解】（1）最小正周期为：
令
则
由
所以
的单调递增区间为
，
（2）令
则
由
所以
的单调递减区间为
16．（23-24 高一下·广东阳江·阶段练习）函数
在区间
单调，其中
为正整数，
，且
.
(1)求
图象的一条对称轴；
(2)
，求
.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据单调区间判断周期范围，并利用周期性以及函数值相等可求得对称轴；
（2）由周期性求得
的取值，再由对称性得到
与
的关系式，再结合
可得结果.
【详解】（1）因为函数
在区间
单调，
所以
，即可得
，
因此点
和点
在同一个周期内，
又
，所以
图象的一条对称轴为
；
（2）由（1）可知
，即
，
又
为正整数，所以
，
因为
图象的一条对称轴为
，
所以
，即
；
当
时，
，又
，可得
，
所以
，此时
，不符合题意；
当
时，
，又
，可得
，
所以
，此时
，符合题意；
当
时，
，又
，可得
，
所以
，此时
，不符合题意；
综上可得，
17．（24-25 高一上·甘肃定西·期末）已知函数
的部分图象如图所
示.
(1)求函数y = f (x)的解析式；
(2)将y = f (x)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的
，纵坐标不变，再向右平移
个单位长度得到
y = g(x)的图象，求函数
在
上的值域.
【答案】(1)
(2)
.
【分析】（1）根据图象结合五点法可得，即可得函数解析式；
（2）先由图象变换得到
，然后由整体思想结合正弦函数性质得值域.
【详解】（1）由图可知
，
，则
，得
，
所以
.又
，
所以
，即
.
又
，所以当
时，
，
所以
.
（2）将
的图象上所有点的横坐标缩短到原来的
，纵坐标不变，得
的图象，
再向右平移
个单位长度得到
的图象.
由
，得
，所以
，
所以
的值域为
.
18．（24-25 高一上·山东菏泽·阶段练习）已知函数f (x)=sin(ωx +φ)(ω>0,|φ)<π
2 )的最小正周期为
的一个零点是
．
(1)求
的解析式；
(2)当
时，
的最小值为
，求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
．
【分析】（1）借助正弦型函数的周期可得
，再结合零点可得
，即可得
的解析式；
（2）结合正弦型函数图象，可得
，解出即可得.
【详解】（1）由题知
，又
，所以
，
又因为
，所以
，
即：
，又
，则
，
所以
；
（2）因为
，
令
，
因为
在
上的最小值为
，如图：
可知须使
，解得
，
所以
的取值范围是
．
