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第11 讲 已知三角函数值求角
课程标准
学习目标
1．理解反正弦、反余弦、反正切的概念，
明确其表示角的范围；
2．掌握已知的三角函数值求角，培养学生
数学运算的数学核心素养．
1．掌握利用三角函数线求角的方法，会由已知的三角
函数值求角，并会用符号
、
、
表示角；
2．熟记一些比较常见的三角函数值及其在区间
上对应的角.
知识点01 已知三角函数值求角相关概念
1、已知正弦值求角
对于正弦函数
，在区间
内，满足
的
只有一个，这个
记作
，即
.
2、已知余弦值求角
对于余弦函数
，在区间
内，满足
的
只有一个，这个
记作
，即
.
3、已知正切值求角
对于正切函数
，在区间
内，满足
的
只有一个，这个
记作
，即
.
【即学即练1】（23-24 高一·上海·课堂例题）求分别满足下列条件的角：
(1)
，
；
(2)
，
；
(3)
，
．
知识点02 已知三角函数值求角或角的范围的方法
1、利用三角函数线求角
在单位圆中，
是正弦线，
是余弦线，
是正切线，作出三角函数线，即可求得角的大小。
2、利用三角函数图象求角或角的范围
用三角函数图象解
(或
)的方法
（1）作出直线
，
(或
)的图像；
（2）确定
(或
)的
的值；
（3）选取一个合适的周期写出
(或
)的解集，要尽量使解集为一个连续区间。
【即学即练2】（24-25 高一·河南南阳·期末）若0<α<2π，且sinα<
，cosα>
，则角α 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
∪
题型01 已知正弦值求角
【典例1】（24-25 高一下·上海·课后作业）若
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（23-24 高一下·上海·阶段练习）若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】设
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分也非必要条件
【变式3】（2025 高一·课时训练）下列等式成立的是（ ）
A．
，
B．
C．
D．
题型02 已知余弦值求角
【典例2】已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】已知
，则以下四个式子表示
，其中不正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（24-25 高一·全国·课后作业）设
，则
的值可表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
题型03 已知正切值求角
【典例3】（24-25 高一·上海浦东新·期末）（22-23 高一下·上海浦东新·阶段练习）若
，
，则x 可以用反正切表示为 ．
【变式1】若
，且
，则x 的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（24-25 高一下·北京海淀·期中）若
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】已知
，且
，则
可表示成（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4】（24-25 高一上·北京·期末）若函数
的最小正周期为
，则
的值是
.
题型04 三角方程的求解
【典例4】方程
在
上的解的个数为______.
【变式1】在方程
的所有解中，最小正解是
A．
B．
C．
D．
【变式2】若
，则在区间
上解的个数为（ ）
A．5
B．4
C．3
D．2
【变式3】（24-25 高一上·上海·随堂练习）方程
，
的解集为
．
【变式4】若cos x＝cos ，求x 的值．
题型05 三角函数线的应用
【典例5】（24-25 高一上·江苏无锡·阶段练习）在（0，2π）内，使sinx＞|cosx|的x 的取值范围是
（ ）
A．（
，
）
B．（
，
]∪（
，
]
C．（
，
）
D．（
，
）
【变式1】（23-24 高一下·上海·假期作业）（1）已知
，求：满足条件的角
的取值范围；
（2）已知
，求：满足条件的角
的取值范围；
【变式2】（24-25 高一·全国·随堂练习）利用单位圆，求适合下列条件的角α 的集合．
(1)
；
(2)
．
【变式3】（24-25 高一下·全国·课后作业）利用三角函数线，写出满足下列条件的角x 的集合：
(1)
且
；
(2)
．
一、单选题
1．（24-25 高一上·黑龙江齐齐哈尔·期末）在
中，“
”是“
”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．（24-25 高一上·湖南衡阳·期末）若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（24-25 高一下·全国·课后作业）下列叙述错误的是（ ）
A．
B．若
，则
C．若
，则
D．
4．（23-24 高一下·上海·课后作业）下列各式中不成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（23-24 高一下·上海浦东新·期末）设
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
6．计算：
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
7．已知
，那么以下四个式子：
①
；
②
；
③
；
④
中，
可以表示x 的式子是
A．①②
B．③④
C．②④
D．①④
8．（23-24 高一下·上海黄浦·期中）李善兰是中国近代著名数学家，辅助角公式是他提出来的一种三角公
式，其主要作用是将多个三角函数化成单个三角函数.辅助角公式的正弦型为：
下列判断错误的是（ ）
A．当
时，辅助角
B．当
时，辅助角
C．当
时，辅助角
D．当
时，辅助角
二、多选题
9．已知
，且
，则关于
表述正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（24-25 高一上·全国·课后作业）方程
在区间
上的解为（ ）
A．0
B．
C．
D．π
11．下列对等式
的描述正确的是（ ）
A．对任意的角
都成立
B．
时成立
C．只对有限个
的值成立
D．对于任何角
都不成立
E．有无限个
的值使等式成立
三、填空题
12．（24-25 高一上·上海·课后作业）计算：
.
13．（23-24 高一下·上海松江·期末）若
是方程
的解，其中
，则
．
14．
三个角的大小关系是 ．
四、解答题
15．（24-25 高一上·上海·课后作业）求下列各式的值：
(1)
；
(2)
.
16．（23-24 高一·上海·课堂例题）根据下列条件，求角x：
(1)
，且x 是第三象限的角；
(2)
，
；
(3)
；
(4)
．
17．（23-24 高一·上海·课堂例题）分别求满足下列条件的角x 的集合：
(1)
，
；
(2)
；
(3)
．
18．已知
是方程
的两根，且
，求
的值
19．（24-25 高一上·上海·课堂例题）（1）已知
，求角x 的解集；
（2）已知
，求满足条件的角x 的集合．
