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第10 讲 正切函数的性质与图象
课程标准
学习目标
1．能画出正切函数的图像
2．会利用y＝tan x 的性质确定与正切函数
有关的函数性质．
3．会利用正切函数的单调性比较函数值大
小．
4．掌握正切函数的定义域及正切曲线的渐
近线．
1．通过正切函数图像与性质的学习，培养学生直观想
象核心素养．
2．借助正切函数图像与性质的应用，提升学生直观想
象和数学运算核心素养.
知识点01 正切函数的定义
对于任意一个角x，只要
，就有 唯一确定的正切值tan x 与之对应，因此y＝tan x
是一个函数，称为正切函数．
【即学即练1】（24-25 高一上·浙江宁波·期末）函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据正切函数的定义域，利用整体思想，建立不等式，可得答案.
【详解】因为
，所以
.
则函数
的定义域为
故选：A.
知识点02 正切函数的性质
定义域、
值域
定义域为
， 值域为 R
奇偶性
奇函数
周期
π
单调性
单调增区间
(k∈Z)
零点
kπ，k∈Z
【解读】(1)正切曲线在x 轴上方的部分下凸，在x 轴下方的部分上凸，画图时，要注意曲线的光滑性
及凸凹性．
(2)正切曲线是被与y 轴平行的一系列直线x＝＋kπ，k∈Z 所隔开的无穷多支形状相同的曲线组成的．
这一系列直线也称为正切曲线的渐近线，即无限接近但不相交．
(3)正切曲线是中心对称图形，其对称中心为
，k∈Z.
(4)正切曲线没有对称轴，但有无数条渐近线，渐近线方程为x＝kπ＋，k∈Z.
【即学即练2】（24-25 高一上·黑龙江齐齐哈尔·期末）函数
的单调递增区间为
.
【答案】
【分析】根据正切函数的单调递增区间利用整体代换解不等式可得结果.
【详解】易知正切函数
的单调递增区间为
，
所以令
，解得
；
即该函数的单调递增区间为
.
故答案为：
.
知识点03 正切函数的图像
(1)正切函数的图像
y＝tan x
的图像如图．
(2)正切函数的图像叫做正切曲线．
(3)正切函数的图像特征
正切曲线是由通过点
且与y 轴平行的直线隔开的无穷多支曲线所组成．
【即学即练3】（24-25 高一上·安徽淮南·阶段练习）与函数
的图象不相交的一条直线是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】解方程
，然后对整数
赋值可得结果.
【详解】由
，得
，令
，得
，
令
，得
，令
，得
，令
，得
，
令
，得
，结合选项得函数
的图象的一条渐近线为直线
，
即直线
与函数
的图象不相交．
故选：C．
题型01 正切函数的定义域
【典例1】（24-25 高一上·江苏镇江·期末）函数
的定义域是 .
【答案】C
【分析】根据函数的解析式列出函数有意义时需满足的不等式，即可求得答案.
【详解】由题意可知
需满足
,
即
，故函数
的定义域为
.
故选：C.
【变式1】（24-25 高一上·全国·课后作业）函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用函数有意义可得
，再结合正切函数及性质求解即得.
【详解】函数
有意义，则
，于是
，
即
，因此
，
所以原函数的定义域为
.
故选：A
【变式2】（24-25 高一上·广东·期末）函数
的定义域为 .
【答案】
【分析】由正切函数的定义得出定义域.
【详解】由
，即
，
所以函数
的定义域为
.
故答案为：
.
【变式3】（24-25 高一上·山东烟台·期末）函数
的定义域为 .
【答案】
【分析】由题意，
，解不等式得出结论.
【详解】由题意，
，所以
，
，
所以
，
，
所以函数
的定义域为
.
故答案为：
.
【变式4】（23-24 高一下·上海黄浦·期末）设
，若函数
的.定义域为
，则
的值为 ．
【答案】
/
【分析】根据正切函数的定义域，列式求解.
【详解】由题意可知，
，
，
所以
.
故答案为：
题型02 正切函数的值域与最值
【典例2】（23-24 高一下·江西·阶段练习）函数
，
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先求出
的范围，再由正切函数的性质求出
范围，再乘以3 即可.
【详解】
故选：C.
【变式1】（24-25 高一上·全国·课后作业）函数
的最小值为 .
【答案】2
【分析】配方，结合
即可求解.
【详解】因为
，由于
，所以当
时，函数取最小值2.
故答案为：2
【变式2】函数
在
的最大值为7，最小值为3，则ab 为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】首先根据区间的定义以及
的有界性确定
的范围，然后再利用正切函数的单调性得到
的单调性，再代入相应端点值及对应的最值得到相应的方程，解出
即可.
【详解】
，
，
，
根据函数
在
的最大值为7,最小值为3，
所以
，即
，根据正切函数
在
为单调增函数，
则
，在
上单调减函数，
，
，
则
，
，
，
，
，
故选：B.
【变式3】已知
在区间
上的最大值为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先求出
，再根据
解方程即可.
【详解】因为
，即
，
又
，所以
，所以
，
所以
，
．
故选：A．
【变式4】当
时,函数
的最小值是
A．
B．
C．
D．4
【答案】D
【分析】分子与分母同除以
，得
利用二次函数求最值即可解答
【详解】分子与分母同除以
，得
，
时，
的最大值为
综上，
的最小值为4
故选D
题型03 正切函数的周期性
【典例3】（24-25 高一上·黑龙江牡丹江·期末）函数
的最小正周期为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据正切函数性质，求函数最小正周期.
【详解】由正切型函数的性质，知
的最小正周期
.
故选：C
【变式1】（24-25 高一上·甘肃白银·期末）函数
的最小正周期为（ ）
A．16
B．8
C．
D．
【答案】B
【分析】利用正切函数的周期公式求解.
【详解】
的最小正周期为
．
故选：B.
【变式2】（24-25 高一上·吉林四平·期末）“
的最小正周期为
是”
“的（ ）
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据函数的最小正周期求得
，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解.
【详解】当
的最小正周期为
时，有
，即充分性不成立；
当
时，
的最小正周期为
，即必要性成立；
所以“
的最小正周期为
”是“
”的必要不充分条件.
故选：A
【变式3】（24-25 高一上·重庆·期末）若函数
的最小正周期为
，则常数
．
【答案】
/0.5
【分析】直接利用三角函数的周期公式求解即可.
【详解】因为函数
的最小正周期为
，所以
，又因为
，解得
.
故答案为：
.
【变式4】（24-25 高一上·北京·期末）若函数
的最小正周期为
，则
的值是
.
【答案】
【分析】先根据正切函数的最小正周期求出
，再计算
即可.
【详解】因为函数
的最小正周期为
，所以
，解得
，
故
，所以
，
故答案为：
.
题型04 正切函数的奇偶性
【典例4】（24-25 高一上·全国·课后作业）已知函数
，则下列说法中正确的是（ ）
A．
是最小正周期为
的偶函数
B．
是最小正周期为
的偶函数
C．
是最小正周期为
的奇函数
D．
是最小正周期为
的奇函数
【答案】D
【分析】利用正切型函数的周期公式及奇偶性定义判断即可.
【详解】函数
中，
，则
，
其最小正周期为
，且
，
为奇函数.
故选：D
【变式1】（24-25 高一上·全国·课后作业）函数
（ ）
A．是奇函数
B．是偶函数
C．是非奇非偶函数
D．既是奇函数又是偶函数
【答案】B
【分析】先判断
的定义域是否对称，再利用函数奇偶性的定义判断即可.
【详解】
的定义域为
，定义域对称，
因为
，
所以
是偶函数.
故选：B.
【变式2】函数
的奇偶性是 ．
【答案】奇函数
【分析】解正切不等式，求得函数定义域；再结合奇偶性的定义，即可判断.
【详解】由
，得
或
，
∴函数定义域为
∪
，关于原点对称．
又
，
∴
，∴
是奇函数．
故答案为：奇函数.
【变式3】（24-25 高一上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知函数
，且
，则
.
【答案】
【分析】结合奇函数的性质求解即可.
【详解】由
，
，
设函数
，
，
则
，
即函数
为奇函数，则
，
所以
，
则
，即
.
故答案为：
.
【变式4】（23-24 高一上·河北邢台·阶段练习）已知函数
的图象关于原点中心对称，
则
的最小值为 ．
【答案】
【分析】根据正切函数的奇偶性列式运算得解.
【详解】因为
的图象关于原点中心对称，
所以
，又
，故
的最小值为
．
故答案为：
.
题型05 正切函数的对称性
【典例5】（24-25 高一上·湖南株洲·期末）若函数
的图像的两个对称中心的最
短距离为
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由两个对称中心的最短距离为半个周期求得周期，然后得到
的值，然后求得
的值.
【详解】设函数
的最小正周期为
，由题意可知
，可得
，
，
则
，
故选：A.
【变式1】（23-24 高一下·辽宁沈阳·阶段练习）已知函数
，则下列说法不正确的是（ ）
A．函数
是奇函数
B．函数
图象的对称中心是
C．函数
的零点为
D．函数
在
上单调递增
【答案】C
【分析】A 选项，先求出定义域，进而得到
，故A 正确；B 选项，令
，解得
，得到对称中心；C 选项，令
，求出零点；D 选项，整体法得到函数的单调递增
区间，得到答案.
【详解】A 选项，
，解得
，
故
的定义域为
，
，故
为奇函数，A 正确；
B 选项，令
，解得
，
故
图象的对称中心是
，B 正确；
C 选项，令
，解得
，
故函数
的零点为
，C 错误；
D 选项，令
，解得
，
当
时，
，
故
在
上单调递增，D 正确.
故选：C
【变式2】（23-24 高一下·河南驻马店·阶段练习）下列是函数
的对称中心的是
（ ）
A．
B．
C．(0,1)
D．
【答案】D
【分析】整体法求出函数的对称中心为
，一一检验得到答案.
【详解】令
，解得
，
故函数的对称中心为
，
故AB 错误；
当
时，
，故对称中心为
，D 正确，
经检验，C 不满足要求.
故选：D
【变式3】（24-25 高三上·广西南宁·阶段练习）“函数
的图象关于
对称”是“
，
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】利用正切函数的性质结合集合间的基本关系判定充分、必要条件即可.
【详解】当函数
的图象关于
对称时，
有
，
，得
，
，
易知
，
，
所以“函数
的图象关于
对称”是“
，
”的必要不充分条件．
故选：B．
【变式4】（24-25 高一上·天津河东·期末）设函数
的图象的一个对称中心为
，则
的一个最小正周期是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据对称中心结合正切函数性质可得
，进而可求最小正周期.
【详解】因为函数
的图象的一个对称中心为
，
则
，解得
，
且
，所以函数
的最小正周期为
，
对于选项A：若
，此时
，不合题意，故A 错误；
对于选项B：若
，此时
，不合题意，故B 错误；
对于选项C：若
，解得
，故C 正确；
对于选项D：若
，此时
，不合题意，故D 错误；
故选：C.
题型06 正切函数的单调性
【典例6】（24-25 高一上·全国·课后作业）函数
的单调递增区间是 ．
【答案】
【分析】根据正切函数的单调区间求解即可.
【详解】根据正切函数的单调区间可得
，
.
故答案为：
【变式1】（2024 高一下·上海·专题练习）函数
的单调递减区间是 ．
【答案】
．
【分析】根据正切函数的单调性，整体代入法求解即可.
【详解】令
，
，
解得
，
故函数
的单调递减区间是:
．
故答案为:
．
【变式2】（24-25 高一上·福建厦门·阶段练习）若函数
的图象经过点
，
则（ ）
A．
的最小正周期为
B．
的图象关于点
对称
C．
的单调增区间为
D．
在区间
上的值域为
【答案】ABD
【分析】先根据图象过点计算解析式，再结合正切函数的图象与性质一一判定选项即可.
【详解】将
代入
得
，
所以
，
对于A，函数的最小正周期
，故A 正确；
对于B，
，所以
的图象关于点
对称，故B 正确；
对于C，令
，
即函数的单调递增区间为：
，故C 错误；
对于D，当
时，则
，则
，故D 正确.
故选：ABD
【变式3】（24-25 高一上·云南昆明·阶段练习）已知函数
在
上是减函数，则
的取值范
围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据题意得到
，
，即可得到答案.
【详解】因为函数
在
上是减函数，
所以
，
，
，
.
故选：B.
【变式4】（23-24 高一下·江西南昌·期末）已知函数
的单调递增区间是
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用整体法求解单调增区间，即可与题中单调区间比较求解.
【详解】令
，解得
，
故
且
，解得
，
故选：C
题型07 正切不等式的求解
【典例7】（24-25 高一上·全国·课后作业）函数
的定义域为（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】C
【分析】求解不等式
即可.
【详解】由题意
，得
，
所以
，
，得
，
，
故所求函数的定义城为
，
，
故选：C.
【变式1】（23-24 高一下·广西钦州·期中）不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用正切函数的单调性解不等式即得.
【详解】依题意，得
，解得
，
所以不等式
的解集为
.
故选：A
【变式2】函数
的定义域为（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】C
【分析】由对数函数的性质得
，利用正切函数的性质以及余弦函数的性质即可分类求解.
【详解】
的定义域满足
，
当
时，则
等价于
或
，
此时解得
,或
当
时，
也符合要求，此时
,
综上可知：满足
的
的取值范围为
，
故选：C
【变式3】（24-25 高一上·天津河西·期末）函数
的定义域为 ．
【答案】
【分析】根据对数的定义，得不等式
，结合正切函数的性质进行求解即可.
【详解】由
，得
.
所以函数y = f (x)的定义域为
.
故答案为：
.
【变式4】（23-24 高一下·北京·期中）已知角A 是
的一个内角，若
，则角A 的取值范围
是 ．
【答案】
【分析】根据角的大小范围与角的正切值取值范围对应关系,结合正切函数
图象即可求解.
【详解】因为角A 是
的一个内角，
所以
，又
，
所以由正切函数
图象可得
.
故答案为：
.
题型08 利用单调性比较大小
【典例8】（24-25 高一上·云南昭通·期末）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先利用三角函数的性质得到
，进而得到
，再
利用对数函数的单调性与换底公式即可得解.
【详解】因为
，所以
，
即
，
所以
，
，即
，
所以
，
即
，则
，
因为
，
，
，
所以
.
故选：C.
【变式1】（23-24 高一下·北京延庆·期中）设
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】首先判断
，然后根据三角函数的定义和单调性判断即可得出答案.
【详解】因为
是钝角，所以
，
，
，
因为
，
在(0,π)上是减函数，
所以
，
而
在
上是增函数，可得
，
所以
，所以
，
故选：A.
【变式2】（24-25 高一上·甘肃白银·期末）若
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由换底公式化简
，并判断
，由对数函数的性质判断
，根据正切函数的单调
性可判断
，得解.
【详解】由题意得
，
．
因为函数
在
上单调递增，所以
，
即
．故
．
故选：D.
【变式3】（23-24 高一下·北京门头沟·期中）比较
、
、
的大小关系（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用诱导公式得
，然后由正切函数的单调性可得.
【详解】
，
因为函数
在
上单调递增，且
，
所以
，即
.
故选：D
【变式4】（23-24 高一下·陕西渭南·期中）已知
，
，
，则
，
，的大小
关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
可得
，又由
从而得出
的大小关系，得出答案.
【详解】因为
，即
，所以
又
，
，所以
所以
故选：C
题型09 正切函数的图像及应用
【典例9】（24-25 高一上·陕西·期末）当
时，函数
的零
点个数为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用函数零点的意义，结合函数图象交点个数得解.
【详解】由
，得
，
在同一坐标系内作出
，
，
的图象，
由图知，两函数的图象的交点有4 个，
所以当
时，函数
的零点个数为4.
故选：A
【变式1】（23-24 高一下·陕西渭南·期末）若函数
的图象与直线
没有交点，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据正切函数的性质，代入求值即可.
【详解】函数
的图象与直线
没有交点．
若函数
的图象与直线
没有交点，
则
，
，
则
的最小值为
．
故选：B.
【变式2】（2024 高二下·浙江·学业考试）已知函数
，则函数在区间
内零点的个数
为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．5
【答案】C
【分析】将函数零点转化为函数
与
图象交点个数问题，分别对
和
进行讨论
可得结论.
【详解】令
，可得
当
时，则有
，
数形结合画出
与
在
上的图象如下图所示：
可得在
内两图象有三个交点；
当
时，在
内解得
，不是方程的解，不合题意.
故选：C
【变式3】（23-24 高一上·广东·期末）若函数
的图象与直线
没有交点，则
的最
小值为（ ）
A．0
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据正切函数的性质，代入求值.
【详解】函数
的图象与直线
没有交点．
若函数
的图象与直线
没有交点，
则
，
，
,
，
则
的最小值为
．
故选：C
【变式4】函数
的图像如图所示，图中阴影部分的面积为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由正切函数的周期性及其图象，应用等面积法求得最小正周期为
，结合图象所过的点求参
数，即可得
解析式，进而求函数值.
【详解】如图，①和②面积相等，故阴影部分的面积即为矩形
的面积，可得
，
设函数
的最小正周期为
，则
，
由题意得
，解得
，故
，得
，即
，
的图象过点
，即
，
∵
，则
，
∴
，解得
．
∴
∴
.
故选：A
题型10 正切函数图像的变换
【典例10】（24-25 高一下·湖北武汉·期中）已知函数
与x 轴交于A，B
两点，且线段AB 长度的最小值为
，若将函数
的图象向左平移
个单位后恰好为奇函数，则
的值
为（ ）
A．
B．
C．
D．
或
【答案】D
【分析】根据题意求得
的最小正周期为
，得到
，结合三角函数的图象变换，得到
，由
为奇函数，求得
，进而求得
的值.
【详解】因为函数
与x 轴交于A，B 两点，且线段AB 长度的最小值为
，
可得函数
的最小正周期为
，所以
，所以
，
将函数
的图象向左平移
个单位长度，得到
，
又因为
为奇函数，可得
，即
，
因为
，当
时，可得
；当
时，可得
，
所以
的值为
或
.
故选：D.
【变式1】（24-25 高一·全国·课后作业）若将函数
的图象向左平移
个单位，再将所有点的横坐
标缩短到原来的
，则所得到的图象对应的函数表达式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据图象平移伸缩变换，可得答案.
【详解】函数
的图象向左平移
个单位，得
，再将所有点的横坐标缩短到原来的
，
得
.
故选：B.
【变式2】将函数
的图象向左平移
个单位长度，得到函数
的图象，则下列关于函
数
的说法正确的是（ ）
A．图象关于直线
对称
B．在
上单调递增
C．最小正周期为
D．图象关于点
对称
【答案】D
【分析】求出函数
的解析式，再逐项判断即可.
【详解】依题意，
，由
，得
，
即函数
的定义域为
，
对于A，
，即函数
是奇函数，
不是偶函数，其图象关于直线
不对称，A 错误；
对于B，0 不在函数
的定义域内，则函数
在
上不单调，B 错误；
对于C，函数
的最小正周期为
，C 错误；
对于D，
，
的图象关于点
对称，D 正确.
故选：D
【变式3】要得到y＝tan x 的图象，只需把y＝tan
的图象（ ）
A．向左平移
个单位
B．向左平移
个单位
C．向右平移
个单位
D．向右平移
个单位
【答案】D
【解析】化简
即得解.
【详解】
，
所以要得到y＝tan x 的图象，只需把y＝tan
的图象向右平移
个单位.
故选：D
【变式4】（24-25 高一下·陕西榆林·期中）若将函数
的图象向右平移
个单位长度
后，与函数
的图象重合，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．2
D．4
【答案】C
【分析】求出平移后的函数解析式，再利用正切函数的性质列式求解作答.
【详解】函数
的图象向右平移
个单位得
，
依题意，
，
，解得
，而
，有
，
，
所以
的最小值为2．
故选：C
一、单选题
1．（24-25 高一下·北京·期中）函数
是（ ）
A．周期为
的奇函数
B．周期为
的奇函数
C．周期为
的偶函数
D．周期为
的偶函数
【答案】B
【分析】根据正切函数的性质判断
的最小正周期、奇偶性，即可得答案.
【详解】由正切函数性质知：
的最小正周期为
，
定义域关于原点对称且
，即
为奇函数.
所以
是周期为
的奇函数.
故选：B
2．（23-24 高一下·广西桂林·期末）函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用
直接求解即可.
【详解】为使函数
有意义，只需
，即
，
所以函数定义域为：
.
故选：C.
3．（24-25 高一上·湖南永州·期末）下列大小关系正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据指数函数的性质判断A，根据对数函数的性质判断B，利用诱导公式及余弦函数的性质判断
C，利用诱导公式及正切函数的性质判断D.
【详解】对于A：因为
在定义域
上单调递减，所以
，故A 错误；
对于B：因为
在定义域(0,+ ∞)上单调递增，所以
，故B 错误；
对于C：
，
，
又
在(0,π)上单调递减，所以
，即
，故C 错误；
对于D：
，
，
又
在
上单调递增，所以
，所以
，故D 正确.
故选：D.
4．（24-25 高一下·山东济宁·期中）函数
（
且
）的值域为
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】试题分析：
且
，
且
，
由于正切函数的图象及单调性，得：
或
，
即
故选B．
考点：正切函数的图象．
5．（23-24 高一上·河北保定·期末）“
”是“函数
的图象关于原点中心对称”的
（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据正切函数的性质可判断充分性成立，必要性不成立，即可.
【详解】当
时，
，
则其图象关于原点对称，故充分性成立，
当函数
的图象关于原点中心对称时，
则
，
不一定成立，
则必要性不成立，
则“
”是“函数
的图象关于原点中心对称”的充分不必要条件，
故选：B.
6．（23-24 高三上·江苏淮安·阶段练习）下列关于函数
的说法正确的是（ ）
A．图象关于点
成中心对称
B．图象关于直线
成轴对称
C．在区间
上单调递增
D．在区间
上单调递增
【答案】A
【分析】根据正切函数的对称性、定义域、单调性逐项分析即可.
【详解】当
时，
，
所以
是函数的对称中心，故A 正确，B 错误；
当
时，
，
则当
时，函数无意义故C 错误；
当
时，
，
则当
时，函数无意义故D 错误，
故选：A.
7．（24-25 高一上·上海·随堂练习）已知函数
在
上是减函数，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据题意得到
，
，即可得到答案.
【详解】因为函数
在
上是减函数，
所以
，
，
，
.
故选：B.
8．（23-24 高一上·甘肃·期末）已知函数
，下列结论正确的是（ ）
A．函数
的最小正周期为
B．函数
在区间
上是增函数
C．函数
的图象关于直线
对称
D．函数
是奇函数
【答案】C
【分析】根据给定的函数，结合正切函数的图象、性质逐项判断即得.
【详解】对于A，由于
，
，因此
，A 错误；
对于B，当
时，
，则函数
在区间
上是减函数，B 错误；
对于C，
，
因此函数
的图象关于直线
对称，C 正确；
对于D，由于
，因此函数
是偶函数，不是奇函数，D 错误.
故选：C
二、多选题
9．（24-25 高一下·四川成都·阶段练习）与函数
的图象不相交的直线是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【分析】根据正切函数的定义域有
且
，即可判断不相交直线.
【详解】由正切函数性质知：
且
，则
且
，
当
，
；当
，
；当
，
；
所以，只有A、D 符合，B、C 不符合.
故选：AD
10．（24-25 高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数
，则下列说法正确的有（ ）
A．
的最小正周期为
B．
的定义域为
C．
的图象关于点
对称
D．将
的图象向左平移
个单位，所得函数的解析式为
【答案】BCD
【分析】利用正切函数的周期公式求出周期判断A；求出定义域判断B；验证判断对称性判断C；利用平移
变换求出解析式判断D.
【详解】对于A，函数
的最小正周期为
，A 错误；
对于B，由
，得
，
的定义域为
，B 正确；
对于C，当
时，函数
无意义，则
的图象关于点
对称，C 正确；
对于D，将
的图象向左平移
个单位，得
，D 正确.
故选：BCD
11．（24-25 高二上·云南临沧·阶段练习）已知函数
图象的相邻两个对称中心之
间的距离为
，则（ ）
A．
B．
的最小正周期为
C．
的图象向左平移
个单位长度后得到函数
的图象
D．
的单调递增区间为
【答案】BCD
【分析】由题设知周期，得
的值，求出函数的解析式，由正切函数的图象性质逐项判断即可.
【详解】对于A、B，因为函数
的图象相邻两个对称中心之间的距离为
，
则该函数的最小正周期为
，所以，
，故A 错误，B 正确；
对于C，
，
的图象向左平移
个单位长度后得到
函数
的图象，故C 正确；
对于D，由
，可得
，
所以
的单调递增区间为
，D 正确.
故选：BCD.
三、填空题
12．（24-25 高一上·云南大理·期末）已知函数
，若
的周期为π，则
.
【答案】
【分析】利用周期求出
可得
的解析式，再求
即可.
【详解】因为周期为
，所以
，
，
则
.
故答案为：
.
13．（24-25 高一上·全国·课前预习）（1）函数
的定义域是 ．
（2）函数
的值域为 ．
【答案】
【分析】（1）由被开方数非负建立不等式，再结合正切函数图象可解；
（2）令
，换元法转化为求二次函数值域即可.
【详解】（1）要使
有意义，
则
，解得
，
解得
.
故函数
的定义域是
；
（2）设
，则
，
当
时，
.
所以
的值域是
．
故答案为：
；
.
14．（24-25 高一上·湖南常德·期末）若将函数
的图象向左平移
个单位后与
原图象重合，则
的最小值为 .
【答案】
【分析】由题可知
是该函数周期的整数倍，结合
计算即可求解.
【详解】由题可知
是该函数周期的整数倍，
即
，解得
.
又
，故其最小值为
.
故答案为：
.
四、解答题
15．（24-25 高一上·全国·课后作业）已知函数
．
(1)求
的单调递减区间；
(2)试比较
与
的大小．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先应用诱导公式化简再应用正切函数的单调性求解；
（2）先求函数值再结合函数的单调性比较大小.
【详解】（1）
，
由
，得
．
因为
在
上单调递增，
所以
在
上单调递减．
故原函数的单调递减区间为
．
（2）
，
，
因为
，且
在
上单调递增，
所以
，所以
．
16．（23-24 高一上·湖北荆州·期末）已知函数
的图象关于点
对称.
(1)求
的单调递增区间;
(2)求不等式
的解集.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意首先根据对称中心求得函数表达式，然后令
，解不等
式组即可得解.
（2）由
，得
,解不等式组即可得解.
【详解】（1）由题意知，
的图象关于点
对称，
，
即
．
，
故
．
令
，
得
，
即
．
函数
的单调递增区间为
．
（2）由（1）知，
．
由
，
得
，
即
．
不等式
的解集为
.
17．（24-25 高一上·上海·课堂例题）设函数
.
(1)求函数
的定义域、最小正周期和单调区间；
(2)求不等式
的解集；
(3)作出函数
在一个周期内的简图.
【答案】(1)定义域是
，最小正周期
，单调增区间是
（
）.
(2)
；
(3)答案见解析.
【分析】（1）由整体代换即可求出正切函数的定义域，由周期公式可得最小正周期，由单调性解不等式
可得单调增区间.
（2）由（1）中的单调性解不等式，可得其解集.
（3）利用五点作图法即可得一个周期内的简图.
【详解】（1）由
，
得
（
），
∴
的定义域是
,
∵
，
∴最小正周期
，
由
（
），得
（
）.
∴函数
的单调增区间是
（
）.
所以函数
定义域是
，最小正周期
，单调增区间是
（
）.
（2）由
，得
（
）.
解得
（
）.
∴不等式
的解集是
.
（3）令
，则
；
令
，则
；
令
，则
.
∴函数
的图像与x 轴的一个交点坐标是
，在这个交点左、右两侧相邻的两条渐
近线方程分别是
，
.
从而得函数y = f (x)在一个周期
内的简图如下：
18．（24-25 高一上·全国·课后作业）已知函数
．
(1)若
，求函数
的定义域及最小正周期；
(2)若函数
在区间
内单调递增，求
的取值范围．
【答案】(1)
，
(2)
【分析】（1）把
代入，利用正切函数定义域及周期公式列式求解.
（2）利用正切函数的单调区间列出不等式求解即得.
【详解】（1）当
时，
，则函数
的最小正周期
；
由
，解得
，
所以函数
的定义域为
．
（2）由
，得
，
由函数
在区间
内单调递增，得
，解得
，又
，
所以
的取值范围为
．
19．（24-25 高一·全国·课后作业）已知函数
，
．
(1)若
，求
的最小正周期与函数图像的对称中心；
(2)若
在
上是严格增函数，求
的取值范围；
(3)若方程
在
上至少存在2022 个根，且b－a 的最小值不小于2022，求
的取值范围．
【答案】(1)
，
；
(2)
；
(3)
．
【分析】（1）根据正切函数的图象和性质即得；
（2）由题可得
，进而即得；
（3）根据正切函数的图象和性质可得b－a 的最小值，然后结合条件可得
，进而即得.
【详解】（1）由题可得
，
所以函数的最小正周期为
，
由
，可得
，
所以函数
的图像的对称中心
；
（2）因为
在
上是严格增函数，
所以
，
所以
，又
，
所以
；
（3）因为
，
所以
，
，至少存在2022 个根，
所以可得b－a 至少包含2021 个周期，即
，
所以b－a 的最小值为
，又b－a 的最小值不小于2022，
所以
，
所以
．
