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第09 讲 余弦函数的性质与图象
课程标准
学习目标
1．会用“五点法”“图像变换法”作余弦
函数和y＝Acos(ωx＋φ)的图像．
2．理解余弦函数的性质，会求余弦函数的
周期、单调区间及最值．
1．通过余弦函数图像和性质的学习，培养学生的直观
想象核心素养．
2．借助余弦函数图像和性质的应用，提升学生的直观
想象和数学运算核心素养.
知识点01 余弦函数的图象
1．余弦函数与余弦曲线：对于任意一个角
，都有唯一确定的余弦
与之对应，所以
是
一个函数，一般称为余弦函数。函数
的图象成为余弦曲线。
2．余弦函数图象的三种画法
（1）描点法：同正弦曲线的画法，通过列表、描点、连线、作图画出余弦函数在
上的图象；
（2）五点法：在函数
，
的图象上，有5 个关键点：
，
，
，
，
，描出五个关键点后，用平滑的曲线连接，可得
，
的图象。
（3）平移法：根据诱导公式
，可知
的图象可由
的图象向左平
移
个单位得到（如图所示）。
【即学即练1】（23-24 高一上·陕西宝鸡·阶段练习）用“五点法”作
的图象，首先描出的五个点
的横坐标是（ ）
A．0，
，π，
，2π
B．0，
，
，
，π
C．0，π，2π，3π，4π
D．0，
，
，
，
【答案】A
【分析】结合“五点法”作图特征，直接求出结论即可.
【详解】函数
的最小正周期为
，
用“五点法”作
的图象，即作函数
在
上的图象，
所以五个关键点的横坐标为0，
，π，
，2π.
故选：A
知识点02 余弦函数的性质
1．定义域与值域：定义域为R，值域为
当且仅当
，
时，
；
当且仅当
，
时，
；
2．奇偶性：偶函数
3．周期性：最小正周期为
4．单调性：单调增区间为
；单调减区间为
5．对称性：对称轴为
，对称中心为
【即学即练2】（24-25 高一上·全国·课后作业）已知函数
，则下列说法正确的是（ ）
A．
是最小正周期为
的偶函数
B．
是最小正周期为
的偶函数
C．
是最小正周期为
的奇函数
D．
是最小正周期为
的奇函数
【答案】A
【分析】根据余弦函数的周期性和奇偶性即可得解.
【详解】
定义域是
，关于原点对称，
因为
，
所以函数
为偶函数，
又
，
所以
是最小正周期为
的偶函数.
故选：A.
题型01 五点法作余弦函数图像
【典例1】（24-25 高一上·全国·课后作业）用五点法画出函数
在区间
内的图象．
【答案】作图见解析
【分析】利用一个周期内的五点法作图即可.
【详解】列表如下：
0
0
1
0
0
描点、连线得函数
在区间
内的图象如图所示：
【变式1】用“五点法”作
的图象，首先描出的五个点的横坐标是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据五点作图法结合余弦函数的图象即可得解.
【详解】由“五点法”作图知：令
，
，
，
，
，
解得
，即为五个关键点的横坐标.
故选：B.
【变式2】函数
的简图是（ ）
A．
B．
B．C．
D．
【答案】B
【解析】由cos（﹣x）＝cosx 及余弦函数的图象即可得解．
【详解】由
知，其图象和
的图象相同，
故选B．
【变式3】（23-24 高一上·河南商丘·期末）已知函数
.
(1)填写下表，并画出
在
上的图象；
0
(2)写出
的解集.
【答案】(1)表格见解析，图象见解析
(2)
【分析】（1）令
分别等于
，
，
，2π作图.
（2）整体思想：令
，
求解即可
【详解】（1）
2π
0
0
0
（2）由
，
得
，
，
故
的解集为
题型02 余弦函数与不等式
【典例2】（24-25 高一下·黑龙江·阶段练习）函数
定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据函数的解析式有意义，得到
，即可求解函数的定义域.
【详解】由题意，函数
有意义，则满足
，即
.
解得
，
所以函数
的定义域
.
故选：C.
【变式1】（24-25 高一上·山东德州·阶段练习）满足
的角的集合为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用余弦函数的性质即可求解
【详解】
结合余弦函数的性质可得
，
故满足
的角的集合为
故选：C
【变式2】函数
定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据函数的解析式有意义，得到
，即可求解函数的定义域.
【详解】由题意，函数
有意义，则满足
，即
解得
，
所以函数
的定义域
.
故选：A.
【变式3】函数
的定义域为 .
【答案】
，
【分析】利用真数大于0 列出不等式，求出定义域.
【详解】由题意得：
，即
，
所以
.
故答案为：
，
【变式4】（23-24 高一下·四川成都·阶段练习）在
内，使
成立的x 的取值范围是
．
【答案】
【分析】根据题意在同一个坐标系中画出
在
内的函数图像，由图求出不等式的解集
【详解】解：在同一个坐标系中画出
在
内的函数图像，如图所示，
则使
成立的x 的取值范围是
，
故答案为：
题型03 余弦函数的周期性
【典例3】（2025·宁夏内蒙古·模拟预测）函数
的最小正周期是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据三角函数最小正周期的求法求得正确答案.
【详解】依题意，
的最小正周期
.
故选：D
【变式1】（23-24 高一下·山东日照·期中）函数
的最小正周期是（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】D
【分析】根据给定的函数，利用余弦型函数的周期公式计算即得.
【详解】函数
的最小正周期是
.
故选：D
【变式2】（2024 高一上·全国·专题练习）若函数
的最小正周期是2，则
的值
为（ ）
A．
B．π
C．
D．
【答案】B
【分析】根据周期公式即可得到答案.
【详解】依题意
．所以ω 的值为
，
故选：B.
【变式3】（23-24 高三下·湖南岳阳·开学考试）设函数
，若对于任意的
，都有
，则
的最小值为（ ）
A．4
B．2
C．1
D．
【答案】B
【分析】由题意可得
是函数的最小值，
是函数的最大值，
的最小值就是函数的半周期
长.
【详解】函数
，若对于任意的
，都有
，
则
是函数
的最小值，
是函数
的最大值，
的最小值即为函数
的半周期长，
而函数
的最小正周期
，因此
.
故选：B
题型04 余弦函数的奇偶性
【典例4】（24-25 高一上·浙江杭州·阶段练习）“
”是“函数
为奇函数”的
（ ）
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．
既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据诱导公式及正弦函数的性质、充分条件和必要条件即可得解.
【详解】当“
”时，
是奇函数；
当“函数
为奇函数”时，
不一定为
，
如
时，
是奇函数，
所以“
”是“函数
为奇函数”的充分不必要条件.
故选：B
【变式1】（24-25 高一上·福建福州·阶段练习）已知函数
是偶函数，则
的值
为（ ）
A．
B．1
C．1 或
D．
【答案】A
【分析】根据余弦函数的奇偶性求出
，再根据诱导公式即可得解.
【详解】因为函数
是偶函数，
所以
，解得
，
则
.
故选：A.
【变式2】（23-24 高一上·广西柳州·期末）已知函数
是奇函数，则
时，
．
【答案】
【分析】由函数
为奇函数，可知
即可求解.
【详解】因为函数
是奇函数，
所以
,即
,
又因为
，所以令
，
，
故答案为：
.
【变式3】（23-24 高一下·北京·期末）已知函数
为奇函数， 则符合条件的一个
的取
值可以为 .
【答案】
（答案不唯一，
）
【分析】由正余弦型函数的奇偶性，结合诱导公式列式求解即得.
【详解】函数
为奇函数，则
，
所以符合条件的一个
的取值可以为
.
故答案为：
【变式4】（23-24 高二上·广西贵港·期末）已知函数
是奇函数，则
．
【答案】
【分析】由已知结合奇函数的定义即可求解．
【详解】因为
是奇函数，则
，
所以
即
，则
，
经检验，
满足题意.
故答案为：
．
题型05 余弦函数的对称性
【典例5】（23-24 高一下·山东临沂·期中）已知函数
图象关于直线
对称，
且关于点
对称，则
的值可能是（ ）
A．7
B．9
C．11
D．13
【答案】C
【分析】利用余弦函数图象的对称性，由对称轴和对称中心方程求得
的表达式，即可求得其取值.
【详解】根据图象关于直线
对称可得
，解得
;
又关于点
对称可得
，解得
；
经检验当
时，
符合题意.
故选：C
【变式1】（24-25 高一上·黑龙江哈尔滨·期末）函数
图象的一个对称中心为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据整体法，结合余弦函数的性质即可求解.
【详解】令
，可得
.
所以当
时，
，故
满足条件.
故选：A
【变式2】已知函数
，则下列结论正确的是（ ）
A．
的最小正周期为
B．
的最大值为2
C．
的图象关于直线
对称
D．
的图象关于坐标原点对称
【答案】C
【分析】根据余弦函数的性质逐一判断即可.
【详解】
的最小正周期
，故A 错误；
的最大值为，故B 错误；
因为
，所以
的图象关于直线
对称，故C 正确；
因为
，
所以
的图象不关于坐标原点对称，故D 错误.
故选：C.
【变式3】（2024·陕西榆林·二模）若函数
的图象关于直线
对称，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由余弦函数的对称性直接求解.
【详解】因为
的图象关于直线
对称，
所以
，得
，
因为
，所以
.
故选：C.
【变式4】（24-25 高一上·全国·课后作业）已知函数
的图象关于原点
中心对称，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用余弦型函数为奇函数，则初相是
，从而可求最小值.
【详解】由题得函数
为奇函数，则
，
，故
，
故当
时，
取得最小值
．
故选：D.
题型06 余弦函数的单调性
【典例6】（24-25 高一上·河北衡水·期中）函数
的单调递减区间是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】A
【分析】先变形
，再根据余弦函数的单调性即可求解.
【详解】已知
，
令
，
，得
，
，
所以函数
的单调递减区间为
，
.
故选：
.
【变式1】（24-25 高一上·全国·单元测试）已知函数
，则函数
的单调递减区间
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先化简函数，再应用整体代换计算余弦函数的单调减区间即可.
【详解】
，
令
，则
，
所以函数
的单调递减区间为
．
故选：A．
【变式2】（23-24 高一下·甘肃白银·期中）已知函数
，则（ ）
A．
在
上单调递减
B．
的图象关于直线
对称
C．
在
上单调递增
D．
的图象关于点
对称
【答案】D
【分析】由
求出
的范围，结合余弦函数单调性判断AC；代入验证确定对称性判断BD.
【详解】对于AC，当
时，
，则函数
在
上先增后减，A，C 错误；
对于B，而
，则
的图象不关于直线
对称，B 错误；
对于D，
，则
的图象关于点
对称， D 正确．
故选：D
【变式3】（2024·全国·模拟预测）函数
的单调递增区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】整体法得到不等式，求出单调递增区间.
【详解】
，令
，
,
故函数
的单调递增区间为
.
故选：D．
题型07 根据余弦函数的单调性求参数
【典例7】（24-25 高一上·上海·课后作业）函数
在区间
上严格减，实数
的取值范围是
.
【答案】
【分析】分
与
讨论，求出
的范围，结合余弦函数的单调性即可求解.
【详解】当
时，因为
，所以
.
因为函数
在区间
上严格减，
所以
，解得
；
当
时，因为
，所以
，
故不可能满足函数
在区间
上严格减.
综上所述，
，即实数
的取值范围是
.
故答案为:
.
【变式1】已知函数
在区间
上单调递减，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据题意，得到
，结合余弦函数的性质，列出不等式，即可求解.
【详解】由
，可得
，
要使得函数
在区间
上单调递减，
则满足
且
，解得
，即
的取值范围是
.
故选：D.
【变式2】 （2024·江西宜春·模拟预测）已知函数
在区间
上单调递减，则
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】先根据区间
上的长度不大于半个周期求出
，再根据
的范围确定
所满足的
范围，由
在区间
上单调递减，得到
的取值范围.
【详解】因为
在区间
上单调递减，所以
，
则
，即
，所以
，
因为
，
，所以
，
因为
，所以
，
，
因为
在区间
上单调递减，
，所以
，解得
，
所以
的取值范围为
．
故答案为：
.
【变式3】若函数
在
上不单调，则实数
的取值范围是 .
【答案】
【分析】先求出使函数
在
上具有单调性的
的取值范围，再用集合的补
集运算求出符合题意的
的取值范围．
【详解】由题意得
，
若函数
在
上单调递增，
则
,
解得：
，
所以
，
解得
，
即
，
因为
，所以
且
，
所以
，
①
若函数
在
上单调递减，
则
,
解得
，
所以
，
解得
，
即
，
因为
，所以
且
，
所以
，
②
又因为函数
在
上不单调，且
，
所以
的取值为①②所表示的不等式的补集，
即
或
.
故答案为：
或
.
题型08 利用单调性比较大小
【典例8】（24-25 高一上·全国·课后作业）下列不等式中，正确的有（ ）
①
；②
；③
；④
A．①②
B．①③
C．②③
D．③④
【答案】B
【分析】①由函数
在区间
内单调递减判断；②由函数
在区间
内单调递减判
断；③由函数
在区间
内单调递减判断；④由函数
在区间
内单调递增判断.
【详解】由于
，且函数
在区间
内单调递减，则
，①正确；
由于
，且函数
在区间
内单调递减，
则
，②错误；
由于
，则
，③正确；
由于
，且函数
在区间
内单调递增，则
，④错误．
故选：B
【变式1】已知
为锐角三角形的两个内角，则以下结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由锐角三角形可知
，即
，则有
.
【详解】
为锐角三角形的两个内角，则
，即
，
，
，
余弦函数在
上单调递减，所以
.
对于等边三角形，A、C、D 都不对；
故选：B.
【变式2】设
，
，
则
，
，的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先判断
的范围，再利用指数函数和对数函数的单调性得到
的范围，即可比较大小.
【详解】因为
，所以
，
，
所以
.
故选：C.
【变式3】（23-24 高三上·辽宁抚顺·期末）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
利用指数、对数、三角函数的性质，找到中间变量，进行比较即可.
【详解】
，
，
，
.
故选: C.
【变式4】（24-25 高一上·全国·课后作业）已知定义在
上的偶函数
满足在区间(0,1)内单调递增．若
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由诱导公式可得
，
，由余弦函数单调性比较
，根据函数f (x)单调性比
较
的大小，结合奇偶性可得结论.
【详解】因为
，
由
，则
．
所以
，
又
在区间(0,1)内单调递增，
则
，
又函数f (x)为偶函数，故则
，
所以
．
故选：D.
题型09 余弦函数的值域与最值问题
【典例9】（24-25 高一上·云南红河·期末）函数
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用整体法，结合余弦函数的性质即可求解.
【详解】因为
，所以
，则
，
故
，故
的值域为
.
故选:C.
【变式1】（24-25 高一上·湖南常德·阶段练习）
在
上的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先根据
的取值范围，确定
的取值范围，再结合余弦函数的图象可求所给函数的值域.
【详解】因为
，所以
，
由余弦函数的图象可知：
即
，故函数的值域为
.
故选：C
【变式2】（24-25 高一上·全国·课后作业）函数
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】直接利用余弦型函数的性质求出结果.
【详解】如图为函数
在
的图象，易知，
时，函数的值域为
.
故选：C.
【变式3】（24-25 高一上·云南昆明·阶段练习）已知函数
的最大值为（ ）
A．6
B．5
C．
D．
【答案】B
【分析】利用换元法结合同角的三角函数关系和二次函数的性质求解即可；
【详解】
，
令
，所以
，
该函数在
上单调递增，所以
.
故选：B.
【变式4】（24-25 高一上·全国·课后作业）函数
，
，当
时，f (x)最小且最小值为 ．
【答案】
【分析】利用换元法令
，由余弦型函数单调性可得的取值范围，再结合二次函数的性
质即可得答案.
【详解】令
，
∴
，
．∵
在
上是减函数，∴当
，即
时，
．
故答案为：
，
.
题型10 根据函数值域求参数
【典例10】（23-24 高一下·山东日照·期末）设函数
，若
对任意的实数
x 都成立，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，可得
在
处取得最大值，再结合余弦函数的性质求解即得.
【详解】由
对任意的实数x 都成立，得
在
处取得最大值，
则
，解得
，
所以
的最小值是
.
故选：B
【变式1】（24-25 高一·上海·随堂练习）已知函数
的定义域为
，值域为
，那么
的值为（ ）．
A．－6
B．－3
C．
D．
【答案】B
【分析】求得复合三角函数值域即可得解.
【详解】因为
，所以
，
，
，
，
∴
，
，
故选：B．
【变式2】（23-24 高一下·江西南昌·期末）已知函数
，若对任意的实数，
在区间
上的值域均为
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据三角恒等变换化简函数解析式，再根据余弦型函数的值域与周期性可得解.
【详解】由
，
函数值域为
，
又对任意的实数，
在区间
上的值域均为
，
则
，
解得
，
故选：D.
【变式3】（23-24 高一下·四川成都·期中）已知命题
：
，
，若命题
是假
命题，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】将问题转化为
，
，恒成立为真命题，分离参数，再构造函数，利用
二次函数可求得最小值，从而可得结果.
【详解】因为命题p 是假命题，所以其否定命题为真命题，
即
，
恒成立，
所以
恒成立，
因为
，
而
，所以
，
所以当
时，
取得最小值，
所以
.
故选：A
题型11 与余弦函数有关的零点问题
【典例11】（23-24 高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知函数
在
上有且仅
有2 个零点.则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据所给角的范围求出
的范围，再由余弦函数的图象与性质建立不等式得解.
【详解】当
时，
.
因为
在
上有且仅有2 个零点，
所以
，解得
.
故选：C
【变式1】（23-24 高一下·辽宁辽阳·期中）已知函数
的一个零点是
，则
的最小
值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】结合零点的定义，有
，解方程即可.
【详解】函数
的一个零点是
，则有
，
即
，则
，即
，
所以当
时，
有最小值
.
故选：A.
【变式2】（24-25 高一上·湖南永州·期末）已知函数
在区间
上单调递减，
且在区间
上恰有个零点，则
的取值范围是 .
【答案】
【分析】当
时，求出
的取值范围，根据函数
在区间
内的零点个数可得出关于
的不等式；当
时，求出
的取值范围，根据函数
在区间
上的单调性，可得出关于
的不等式组，综合可得出
的取值范围.
【详解】因为函数
在区间
上恰有个零点，
令
，可得
，当
时，
，
所以，
，解得
，
又因为函数
在区间
上单调递减，
当
时，
，
则
，其中
，
所以，
，解得
，
，
由
解得
，故
，则
，
综上所述，正实数
的取值范围是
.
故答案为：
.
【变式3】（23-24 高一下·上海·阶段练习）设常数
，
．若函数
在区
间
上恰有2024 个零点，则所有可能的正整数n 的值组成的集合为
【答案】
【分析】对函数化简得
，利用换元法有
，
，求出
，知
有两个零点，然后分类讨论
的情况，根据函数在区间有上
个零
点，从而求出
值.
【详解】由题意
，
令
，
，所以
，
，
且
，则
，
，
，
记
的两零点为
、
，
因为
，不妨设
，
当
时，则
，解得
，
，
可知
在
（k 为正整数）内零点个数为3k，
在
内零点个数为
，
因为
，则
；
当
，则
，
，
可知
在
和
（k 为正整数）内零点个数均为2k，
所以
或
；
综上n 的所有可能值为：
，
，
.
故答案为：
.
题型12 余弦函数的图像变换
【典例12】（23-24 高一下·山东青岛·期末）将
的图象向左平移
个单位得到函数
的图象，
则下列结论正确的是（ ）
A．
的最小正周期为
B．
的图象关于
对称
C．
是
的一个零点
D．
是
的一个单调减区间
【答案】B
【分析】先根据三角函数图象变换规律求出
的解析式，然后逐个分析判断即可.
【详解】将
的图象向左平移
个单位得,
，
所以
，
对于A，
的最小正周期为
，所以A 错误，
对于B，因为
，
所以
为
图象的一条对称轴，即
的图象关于
对称，所以B 正确，
对于C，因为
，
所以
不是
的零点，所以C 错误，
对于D，由
，得
，得
，
因为
在
上单调递增，所以
是
的一个单调增区间，所以D 错误.
故选：B
【变式1】（24-25 高一下·辽宁·期末）已知函数
在
上单调，且
的图象关于点
对称，则（ ）
A．
的周期为π
B．若
，则
C．将
的图像向右平移
个单位长度后对应的函数为偶函数
D．函数
在
上有2 个零点
【答案】B
【分析】对于A，根据题意确定周期范围，再根据图象关于点
对称，结合正弦函数的对称中心求
解即可；对于B，由A 知
，结合余弦函数的最值与周期性质判断即可；对于C，根据
三角函数平移性质判断即可；对于D，根据余弦函数值直接求解即可.
【详解】对于A，因为函数
在
上单调，
所以
的最小正周期T 满足
，即
，所以
，
因为
的图象关于点
对称，
所以
，得
，
所以当
时，
，所以
，故A 错误；
对于B，
，
，
则
为
，则
为半周期，即
，故B 正确；
对于C，将
的图象向右平移
个单位长度后得
的图象，
为奇
函数，故C 错误；
对于D，
，即
，
令
，当
时，
，故仅有
，故D 错误．
故选：B.
【变式2】（23-24 高一·全国·假期作业）已知函数
，函数
的图象可以由函数
的图象先
向右平移
个单位长度，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的
倍得到，若函数
在
上没有零点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由函数
，根据三角函数的图象变换得到
，令
，结合函数零点存在的条件建立不等式求解即可.
【详解】函数
，向右平移
个单位长度，得
，
再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的
倍得到
，
令
，得
，所以
，
若函数
在
上没有零点，则需
，
所以
，所以
，
若函数
在
上有零点，则
，
当
时，得
，解得
，
当
时，得
，解得
，
综上：函数
在
上有零点时，
或
，
所以函数
在
上没有零点，
.
所以
的取值范围是
.
故选：A.
【变式3】（23-24 高三上·北京·阶段练习）将函数
的图象向左平移
个单位长
度后得到函数
的图象，且
，下列说法错误的是（ ）
A．
为偶函数
B．
C．当
时，
在
上有3 个零点
D．若
在
上单调递减，则
的最大值为9
【答案】D
【分析】先用诱导公式进行变形，再由平移变换和两角和的正弦公式化简得出函数
的解析式，利用定
义得出奇偶性，进而判断A，将
代入函数
，即可判断B，由余弦函数的性质可判断C、D.
【详解】由
，
其图象向左平移
个单位长度后得到函数
的图象，
则
，
又
，则
，得
，
则
，
对A，函数
的定义域为
，
，则函数
为偶函数，A 正确；
对B，
，B 正确；
对C，当
时，
，由
，得
，
，所以
可取
，当
时，
在
上有3 个零点，C 正确；
对D，由
，解得
，
则函数
在
单调递减，
因为
在
上单调递减，所以
，解得
，即
的最大值为5，D 错误.
故选：D.
题型13 根据图像求函数的解析式
【典例13】（多选）（24-25 高一上·吉林长春·期末）已知函数
的
图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．函数
在区间
单调递增
D．当
时，函数
有8 个零点
【答案】ACD
【分析】根据图象的振幅、周期求出
和
的值，根据图象的特殊点和
的范围求出
的值，可判断选项
A、B 是否正确；根据求出的解析式及整体替换思想求出
的单调增区间可判断C；化简解析式，将一
个函数的零点个数问题，转化为两个新函数的交点个数问题可判断D.
【详解】对于选项A，由图知
，
，得到
，
则
，选项A 正确；
对于选项B，
，又因为
，
所以
，故选项B 错误；
对于选项C，当
时，
，
单调递增，所以选项C 正确；
对于选项D，
，
整理得
，
，
令
，得
观察图象知，
和
在
上共8 个交点，
所以
在
上共有8 个零点，故选项D 正确.
故选：ACD
【变式1】（多选）（23-24 高一上·湖南·期末）已知函数
，且函数
的图像如图所示，
则（ ）
A．
B．若
，则
C．已知
，若
为偶函数，则
D．若
在(0,π)上有两个零点，则
的取值范围为
【答案】ACD
【分析】由图象求出
的解析式可判断A；若
，可得
可判断B；由
为偶函数
可得
，求出
可判断C；令
，即
在
上有两个零点，可
得
，解不等式可判断D.
【详解】由题意得，
，又由
，
可得
，又
，
所以
，故选项A 正确；
若
，则
，
故选项B 错误；
若
为偶函数，
则
，即
，故选项C 正确；
令
，则
，
即
在
上有两个零点，
，解得：
，故选项D 正确.
故选：ACD.
【变式2】（24-25 高一上·山西晋城·期末）已知函数
的部分
图象如图所示.
(1)求
的解析式；
(2)求
在
上的值域；
(3)若函数
在(0,m)上恰有5 个零点，求m 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据图象可得
，
，将
代入解析式,结合
即可得出解析式；
（2）由
，得到
，根据余弦函数的性质求出值域；
（3）将函数零点问题转化为
在(0,m)上恰有5 个解，换元后转化为函数
与
在区间
有5 个交点，数形结合，结合余弦函数图象列不等式求解即可.
【详解】（1）由函数
的图象，可得
，
，
则
，所以
．
将点
代入函数解析式可得
，
解得
，因为
，所以
，所以
；
（2）因为
，所以
，所以
，
所以
，即
的值域为
；
（3）由（1）知
，则
，
由函数
在(0,m)上恰有5 个零点，
即
在(0,m)上恰有5 个解，即
在(0,m)上恰有5 个解，
因为
，所以
，
即函数
与
在区间
有5 个交点，
由图象知，只需
即可，解得
，故
.
【变式3】（23-24 高一上·山西·期末）如图，已知函数
的图象与
轴相交
于点
，图象的一个最高点为
．
(1)求
的解析式；
(2)将函数y = f (x)的图象向左平移
个单位长度，得到函数y = g(x)的图象，求函数
的所
有零点之和．
【答案】(1)
(2)9
【分析】（1）根据函数图象求出周期，即可求得
，再将点
代入解析式求出
即可；
（2）先根据函数平移的性质求出y = g(x)，将函数的零点问题转化为函数图象交点的问题，根据函数的对
称性求解.
【详解】（1）设
的最小正周期为
，则
，
所以
，所以
，
又因为函数
的图象的一个最高点为
，
所以
，所以
，
所以
，
因为
，所以
，所以
．
（2）将函数
的图象向左平移
个单位长度，得到函数
的图象，
所以
，
令
，得
，
考虑
与
图象的所有交点的横坐标之和，
函数
与
的图象都关于点(1,0)对称，
令
，解得
，
函数
与
的图象如图所示：
故两函数的图象有且仅有9 个交点从左到右分别为
，
所以
，
，
，
，
所以
，故函数
的所有零点之和为9.
一、单选题
1．（2021·海南·模拟预测）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性以及是否存在零点，综合即可得答案．
【详解】解：根据题意，依次分析选项：
对于
，
，为对数函数，不是奇函数，不符合题意，
对于
，
，为二次函数，是偶函数，但不存在零点，不符合题意，
对于
，
，为正弦函数，是奇函数，不符合题意，
对于
，
，为余弦函数，既是偶函数又存在零点，符合题意，
故选：
．
2．（24-25 高一上·陕西咸阳·期末）为了得到余弦函数
的图象，只需把函数
图象上所有的
点（ ）
A．横坐标伸长为原来的4 倍，纵坐标不变
B．横坐标缩短为原来的
，纵坐标不变
C．纵坐标伸长为原来的4 倍，横坐标不变
D．纵坐标缩短为原来的
，横坐标不变
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用余弦函数图象变换判断得解.
【详解】把函数
图象上所有的点横坐标缩短为原来的
，纵坐标不变得函数
的图象.
故选：B
3．（23-24 高一下·河北承德·阶段练习）函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据给定的函数，列出不等式，再解三角不等式即得.
【详解】函数
的意义，则
，即
，解得
，
所以函数
的定义域为
.
故选：B
4．（23-24 高一下·广东茂名·阶段练习）已知函数
，
，则
的单调递增
区间是（ ）
A．
B．
C．
，
D．
，
【答案】D
【分析】根据题意，由余弦型函数的单调性，代入计算，即可得到结果.
【详解】因为
，令
，
解得
，
，
令
，则
，
令
，
，
又
，所以
的单调递增区间是
，
.
故选：D
5．（24-25 高一上·黑龙江牡丹江·期末）已知函数
，则（ ）
A．
的最小正周期为
B．
在
上单调递增
C．
的图象关于直线
对称
D．若
，则
的最小值为
【答案】B
【分析】根据余弦函数的性质一一判断.
【详解】因为
，所以
的最小正周期
，故A 错误；
当
，则
，因为
在
上单调递增，
所以
在
上单调递增，故B 正确；
因为
，所以
的图象不关于直线
对称，故C 错误；
当
，则
，所以
，
所以
在
上不存在最小值，故D 错误.
故选：B
6．（2024·天津南开·一模）关于函数
，则下列结论中：
①
为该函数的一个周期；
②该函数的图象关于直线
对称；
③将该函数的图象向左平移
个单位长度得到
的图象：
④该函数在区间
上单调递减.
所有正确结论的序号是（ ）
A．①②
B．③④
C．①②④
D．①③④
【答案】C
【分析】对①，根据周期公式求出最小正周期结合周期函数定义判断；对②，根据余弦函数的对称性代入
验证；对③，根据平移变换求平移后函数表达式判断；对④，根据余弦函数的单调性求解判断.
【详解】对于①，由周期公式可得
，所以函数
的最小正周期为
，所以
，均是其周期.故①正确；
对于②，当
时，
，所以
是其对称轴，故②正确；
对于③，将函数
图象向左平移
个单位得到
，故③
错误；
对于④，
，
，由余弦函数的单调性可知，函数
在
上
单调递减，故④正确.
综上，正确的有①②④.
故选：C.
7．（23-24 高一上·湖南·期末）已知函数
，其中
.若
在区间
上单调
递增，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用余弦函数的单调性求出
单调递增区间，可得
，解不等
式即可得出答案.
【详解】由题意得，函数
的增区间为
，且
，
解得
.
由题意可知：
.
于是
，解得
.
又
，于是
.
故选：A.
8．（24-25 高一上·云南昆明·期末）将函数
的图象上所有的点向左平移
个单位长
度，所得图象关于直线
对称，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】求出平移后的函数解析式，再结合余弦函数的性质列式求解.
【详解】依题意，
的图象关于直线
对称，
则
，解得
，而
，则
，
所以当
时，
取得最小值
.
故选：B
二、多选题
9．（22-23 高一上·河北唐山·期中）设函数
，则（ ）
A．
的一个周期为
B．
的图象关于直线
对称
C．
的一个零点为
D．
在
单调递减
【答案】ABC
【分析】根据余弦函数的性质逐一分析判断即可得解.
【详解】则
，故
的一个周期为
，故A 正确；
因为
，故
的图象关于直线
对称，故B 正确；
，故
的一个零点为
，故C 正确.
当
时，
，函数先增后减，故D 错误.
故选：ABC.
10．（23-24 高一上·浙江温州·阶段练习）已知函数
（
，
，
）在
处取得最小值
，与此最小值点相邻的
的一个零点为
，则（ ）
A．
B．
C．
是奇函数
D．
在
上单调递减
【答案】AC
【分析】由结合题意与余弦型函数的性质可得
的解析式，可得A、B；再借助解析式对C、D 逐一验证
即可.
【详解】由最小值为
，
，可得
，
由
在
处取得最小值，且与此最小值点相邻的一个零点为
，
故
，即
，又
，则
，
有
，解得
，
又
，则
，即
，
故A 正确、B 错误；
，
由
为奇函数，故
为奇函数，即C 正确；
若
，则
，
而
不是
的单调递减区间，
故
不是
的单调递减区间，
故D 错误.
故选：AC.
11．（24-25 高一上·吉林松原·期末）已知函数
，则（ ）
A．
的最大值为
B．
为偶函数
C．
在
上单调递减
D．
在
上有6 个零点
【答案】BC
【分析】根据三角函数和对勾函数的最值可以求得
的最值，利用函数奇偶性的定义判断函数
的
奇偶性，根据复合函数的单调性，判断
的单调性，结合三角函数的周期性和对勾函数可以判断零点的
个数.
【详解】令
，
，
当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增，则
；
当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减，则
.
则
的值域为
，则
的最大值为1，故A 错误；
因为
的定义域为
，
，所以
为偶函数，故B 正确；
在
上单调递增，且当
时，
的值域为
.
因为函数
在
上单调递减，所以
在
上单调递减，故C 正确；
当
时，
单调递增，
的值域为
，
，
函数
在
上有5 个零点，所以
在
上有5 个零点，故D 错误.
故选：BC.
三、填空题
12．（22-23 高一上·江苏扬州·阶段练习）函数
的值域为 .
【答案】
【分析】将函数式化为
，结合余弦函数值域及二次函数性质求值域.
【详解】由
，而
，
当
时，
；
当
时，
；
综上，函数值域为
.
故答案为：
13．（24-25 高三上·天津河北·期中）将函数
的图象向右平移
个单位得到函数
的图象，则函数
在区间
上的值域 .
【答案】
【分析】先根据平移变换的原则求出函数
的解析式，再根据余弦函数的性质即可得解.
【详解】由题意
，
因为
，所以
，所以
，
所以函数
在区间
上的值域为
.
故答案为：
.
14．（24-25 高一上·江苏盐城·期末）将余弦函数
的图象向左平移
个单位，再将函数图象上所有
点的横坐标变为原来的
得到函数
的图象，若
在区间
上恰有1 个最小值和3 个零点，
则
的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据图像变换可得
，再以
为整体，结合余弦函数性质列式求解即可.
【详解】余弦函数
的图象向左平移
个单位，可得
，
再将函数图象上所有点的横坐标变为原来的
，可得
，
因为
，且
，则
，
由题意可得：
，解得
，
所以
的取值范围为
.
故答案为：
.
四、解答题
15．（24-25 高一上·江苏常州·期末）已知函数
．
(1)求函数
的最小正周期与单调递增区间；
(2)求函数
在区间
上的值域．
【答案】(1)
，
(2)
【分析】（1）利用余弦函数性质求出最小正周期及单调递增区间.
（2）利用相位的范围，结合余弦函数的单调性求出最值即可.
【详解】（1）函数
的最小正周期
；
由
，
，得
，
所以函数
的单调递增区间为
.
（2）由
，得
，而
在
上单调递减，在
上单调递增，
因此函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
于是
，而
，则
，
所以函数
在区间
上的值域为
.
16．（24-25 高一上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知函数
.
(1)求函数
的对称中心坐标；
(2)求函数
的单调递减区间；
(3)若
，求函数
的值域.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用整体法即可根据
求解，
（2）利用整体法即可列不等式求解，
（3）利用整体法求解
，即可结合余弦函数的性质求解.
【详解】（1）令
，解得：
，此时
，
的对称中心为
；
（2）令
，解得：
，
的单调递减区间为
（3）当
时，
，则
，
，即
的值域为
17．（青海省名校联盟2024-2025 学年高一上学期期末联合考试数学试题）已知函数
的部分图象如图所示.
(1)求
的解析式；
(2)求
在
上的值域；
(3)若函数
在
上恰有两个不同的零点，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
.
【分析】（1）根据图象周期求出
，再由过定点求出
，进而求出解析式；
（2）由
，得到
.整体代入求出最值即可;
（3）由
，得到
.结合
在
上有两个不同的零点，得到
，解不等式即可.
【详解】（1）由图可得
的最小正周期
.
因为
，且
，所以
.
因为
的图象经过点
，所以
，
所以
，即
.
因为
，所以
，
则
.
（2）因为
，所以
.
当
，即
时，
取得最大值，最大值为
；
当
，即
时，
取得最小值，最小值为
.
故
在
上的值域为
.
（3）因为
，所以
.
由g(x)=0，得
，因为
在
上有两个不同的零点，所以
，
解得
.
故
的取值范围为
.
18．（23-24 高一下·江西南昌·期中）已知函数
（其中
，
）.
(1)求它的定义域；
(2)求它的单调区间；
(3)判断它的奇偶性；
(4)判断它的周期性，如果是周期函数，求出它的最小正周期.
【答案】(1)
，
；
(2)见解析
(3)非奇非偶函数
(4)周期函数，周期为
【分析】（1）可结合余弦函数的图象，解
便可得出
的定义域;
（2）可以看出原函数是由
和
复合而成的复合函数，这样根据余弦函数、对数
函数，以及复合函数的单调性便可求出
单调区间；
（3）可以看出
的定义域不关于原点对称，从而得出
为非奇非偶函数；
（4）由
为周期函数，且周期为
可判断
的周期性，并可得出它的周期.
【详解】（1）解
得：
，
∴
，
∴
的定义域为
，
；
（2）设
，
，
解
，
得：
，
解
，
得：
，
∴
在
上单调递增，在
上单调递减；
①若
，则
为增函数，
所以
的单调递增区间为
，单调递减区间为
;
②若
，则
为减函数，
所以
的单调递增区间为
，单调递减区间为
.
（3）
的定义域不关于原点对称，所以
为非奇非偶函数；
（4）因为
为周期函数，且最小正周期为
，
所以
所以
为周期函数，最小正周期为
.
19．（23-24 高一上·江苏南通·期末）已知函数
，对任意
，当
时，
的最小值为
，将
的图象向左平移
个单位长度得到
的图象，
图象关于
轴对称．
(1)求
：
(2)已知
，当
时，
恒成立，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
，
(2)
【分析】（1）根据题意求得
，得到
，结合三角函数的图象变换得到
，根
据
图象关于
轴对称，得出
，即可求解；
（2）根据
的表达式，结合给定的不等式的条件，求解实数
的取值范围．
【详解】（1）解：当
时，
的最小值为
，
所以
，
可得
，
将
的图象向左平移
个单位长度得到
的图象，
，因为
图象关于
轴对称，
，
，
由于
，取
，得
．
（2）由（1）得到
，
由题意，当
时，
恒成立，
可以转化为，
，
化简得到：
，
，所以
，
，
，
故
且
，又
，
解得：
所以
的取值范围为
．
