文档文本内容
第11 讲 已知三角函数值求角
课程标准
学习目标
1．理解反正弦、反余弦、反正切的概念，
明确其表示角的范围；
2．掌握已知的三角函数值求角，培养学生
数学运算的数学核心素养．
1．掌握利用三角函数线求角的方法，会由已知的三角
函数值求角，并会用符号
、
、
表示角；
2．熟记一些比较常见的三角函数值及其在区间
上对应的角.
知识点01 已知三角函数值求角相关概念
1、已知正弦值求角
对于正弦函数
，在区间
内，满足
的
只有一个，这个
记作
，即
.
2、已知余弦值求角
对于余弦函数
，在区间
内，满足
的
只有一个，这个
记作
，即
.
3、已知正切值求角
对于正切函数
，在区间
内，满足
的
只有一个，这个
记作
，即
.
【即学即练1】（23-24 高一·上海·课堂例题）求分别满足下列条件的角：
(1)
，
；
(2)
，
；
(3)
，
．
【答案】(1)
或
(2)
或
(3)
【分析】利用三角函数的值求解角的大小即可．
【详解】（1）
，
,
；
可得
，或
．
（2）
，
,
；
可得
或
（3）
，
．
可得
．
知识点02 已知三角函数值求角或角的范围的方法
1、利用三角函数线求角
在单位圆中，
是正弦线，
是余弦线，
是正切线，作出三角函数线，即可求得角的大小。
2、利用三角函数图象求角或角的范围
用三角函数图象解
(或
)的方法
（1）作出直线
，
(或
)的图像；
（2）确定
(或
)的
的值；
（3）选取一个合适的周期写出
(或
)的解集，要尽量使解集为一个连续区间。
【即学即练2】（24-25 高一·河南南阳·期末）若0<α<2π，且sinα<
，cosα>
，则角α 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
∪
【答案】D
【分析】根据题意，画出三角函数线，找出角度范围，即可表示.
【详解】角α 的取值范围为图中阴影部分如下所示吧：
即
∪
故选：
.
题型01 已知正弦值求角
【典例1】（24-25 高一下·上海·课后作业）若
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由
，得
，利用
，得
，即可得出结论．
【详解】解：
，
，
，
，
，
，
故选：
．
【变式1】（23-24 高一下·上海·阶段练习）若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
借助反三角函数的性质计算即可得.
【详解】由
，故
，故
.
故选：B.
【变式2】设
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分也非必要条件
【答案】B
【分析】根据反三角函数的定义可以判断出．因为反正弦函数的值域为
，说明题中的必要
条件成立，而不具有充分性，故可得正确答案．
【详解】若
成立，可得
或
，
，
说明
是其中的一个角，不一定刚好
，充分性不成立，
反之如果
成立，则
成立，必要性成立，
所以“
”是“
”的必要不充分条件．
故选：B．
【变式3】（2025 高一·课时训练）下列等式成立的是（ ）
A．
，
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】对于A，由反正弦函数的值域判断即可，对于B，C，由反正弦函数的定义域判断即可，对于D，
由反正弦函数的定义域判断即可
【详解】解：对于A，因为反正弦函数的值域为
，则可得
，所以A 错误；
对于B，C，因为反正弦函数的定义域为
，而
，所以B，C 错误；
对于D，因为
，所以
，所以D 正确，
故选：D
题型02 已知余弦值求角
【典例2】已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用反三角函数进行求解.
【详解】由题意得：
.
故选：D
【变式1】已知
，则以下四个式子表示
，其中不正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由反函数的定义可知，
，再由对称性可知
，由
，
可知
，
，则可知
，由此即可选出答案.
【详解】因为
，
由反函数的定义可知
，其中
，
由于
，
所以
，故B 正确，
由
与
关于
对称，
所以
，故A 正确，C 错误，
由于
，
所以
，
，
所以
，故D 正确.
故选：C.
【变式2】（24-25 高一·全国·课后作业）设
，则
的值可表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由
，再利用诱导公式计算可得；
【详解】解：∵
，且
，
∴
.
故选：C
【变式3】已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
根据角的范围，以及该角的余弦值，可得结果.
【详解】
∵
且
，
∴
.
故选：B
题型03 已知正切值求角
【典例3】（24-25 高一·上海浦东新·期末）（22-23 高一下·上海浦东新·阶段练习）若
，
，则x 可以用反正切表示为 ．
【答案】
/
【分析】根据反三角函数的定义及
的取值范围，即可得出答案．
【详解】
，
，
，
又
，
，
故答案为：
．
【变式1】若
，且
，则x 的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由
得到
，根据
得到
，从而得到
的值.
【详解】因为
，
所以
.
又
，
所以
.
所以
.
故选：C.
【变式2】（24-25 高一下·北京海淀·期中）若
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据反正切函数的值域及特殊角的三角函数值判断即可.
【详解】因为
，
，
，
，
又反正切函数
的值域为
，
所以
.
故选：B
【变式3】已知
，且
，则
可表示成（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，
所以
，所以
，故选：C.
【变式4】（24-25 高一上·北京·期末）若函数
的最小正周期为
，则
的值是
.
【答案】
【分析】先根据正切函数的最小正周期求出
，再计算
即可.
【详解】因为函数
的最小正周期为
，所以
，解得
，
故
，所以
，
故答案为：
.
题型04 三角方程的求解
【典例4】方程
在
上的解的个数为______.
【答案】3
【分析】
先求出解的一般形式，再根据范围可求解的个数.
【详解】
因为
，故
，
故
，令
，故
，
故答案为：3.
【变式1】在方程
的所有解中，最小正解是
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
由正切值为1，可得
，化简即可得解.
【详解】
由
得：
，
解得：
，
取
，得最小正解
.
故选：C.
【变式2】若
，则在区间
上解的个数为（ ）
A．5
B．4
C．3
D．2
【答案】B
【分析】
根据
，可得
，再根据
，求得x 的值，即可得出答案.
【详解】
解：因为
，
所以
，解得
，
又因为
，所以
，
所以在区间
上解的个数为4 个.
故选：B.
【变式3】（24-25 高一上·上海·随堂练习）方程
，
的解集为
．
【答案】
【分析】根据题意，由方程可得
或
，再由反三角函数的定义代入计算，即可得到结果.
【详解】因为
，则
或
，
又
，则
或
，或
，
所以解集为
.
故答案为：
【变式4】若cos x＝cos ，求x 的值．
【分析】先求出一个周期内的角，然后利用周期性找出所有的角．
【解答】在同一个周期[－π，π]内，满足cos x＝cos 的角有两个：和－.
又y＝cos x 的周期为2π，所以满足cos x＝cos 的x 为2kπ±(k∈Z)
题型05 三角函数线的应用
【典例5】（24-25 高一上·江苏无锡·阶段练习）在（0，2π）内，使sinx＞|cosx|的x 的取值范围是
（ ）
A．（
，
）
B．（
，
]∪（
，
]
C．（
，
）
D．（
，
）
【答案】A
【分析】
由题意可得
，讨论当
时，当
时，当
时，运用同角三角函数的商数关系，
结合正切函数的图象，即可得到所求范围．
【详解】
解：由
，
可得
，
再由
，可得
，
当
时，
显然成立；
当
时，由
，即
，可得
；
当
时，
，即有
，
则
，解得
，
综上可得
．
故选：A．
【变式1】（23-24 高一下·上海·假期作业）（1）已知
，求：满足条件的角
的取值范围；
（2）已知
，求：满足条件的角
的取值范围；
【答案】（1）
；（2）
或
【分析】（1）画出画出单位圆中三角函数线，结合图象可得
.
（2）画出画出单位圆中三角函数线，结合图象可得
或
.
【详解】（1）由
可知，角x 对应的正弦线方向朝上，而且长度为
，
作示意图，如图所示，
可知角
的终边可能是
，也可能是
，
又因为
，所以
或
，
再由图可知，如果
的终边在
中，则一定有
，
因此，满足条件的角
的取值范围
.
（2）画出单位圆中三角函数线，如图．
由图可知角
的范围是：
或
.
【变式2】（24-25 高一·全国·随堂练习）利用单位圆，求适合下列条件的角α 的集合．
(1)
；
(2)
．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）作出单位圆与直线
，求出交点坐标，根据三角函数的定义得出
内满足
的角，进而根据终边相同角的集合，即可写出答案；
（2）作出单位圆与直线
，求出交点坐标，根据三角函数的定义结合图象得出
内满足
的角，进而根据终边相同角的集合，即可写出答案.
【详解】（1）
如图1，
为直线
与单位圆的两个交点，可知
，
.
设
的终边落在射线
上，
的终边落在射线
上，
，
根据三角函数的定义可知，
，
，
，
所以，
，
.
又当
的终边落在射线
或
上时，有
，
所以，满足条件的
的集合为
.
（2）
如图2，
为直线
与单位圆的两个交点，可知
，
.
设
的终边落在射线
上，
的终边落在射线
上，
，
根据三角函数的定义可知，
，
，
，
所以，
，
.
根据图2 可知，当
，且
时，有
.
所以，当
时，由
可得，
.
【变式3】（24-25 高一下·全国·课后作业）利用三角函数线，写出满足下列条件的角x 的集合：
(1)
且
；
(2)
．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据
且
作出正弦线为
和余弦线为
的图象，取其交集即可求得结果；
（2）根据正切线定义作出图象，即可得出解集.
【详解】（1）分别作出三角函数线图象如下所示：
由图（1）知当
且
时，
角
满足的集合
.
（2）由图（2）知：当
时，
角
满足的集合
，
即
；
所以
的解集为
.
一、单选题
1．（24-25 高一上·黑龙江齐齐哈尔·期末）在
中，“
”是“
”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】在
中，由
解出
的值，再利用充分条件、必要条件的定义判断可得出合适的选项.
【详解】在
中，
，若
，则
或
，
所以，“
”
“
”且“
”
“
”.
因此，在
中，“
”是“
”的充分而不必要条件.
故选：A.
2．（24-25 高一上·湖南衡阳·期末）若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用诱导公式，结合角的范围可得.
【详解】由
，
解得
.
故选：C.
3．（24-25 高一下·全国·课后作业）下列叙述错误的是（ ）
A．
B．若
，则
C．若
，则
D．
【答案】C
【分析】令
，则
，利用正切函数的单调性求解判断A；根据定义：任意给定的一个
，当
且
时，记作
，判断B；由特值法判断C；令
，则
，求出
的范围判断D.
【详解】令
，则
，
∵
，而
为增函数，
∴
，即
，故A 正确；
根据定义：任意给定的一个
，当
且
时，记作
，可知B 正确；
当
时
，而
，故C 错误；
令
，
，则
，
∵
，∴
，
，即
，故D 正确.
故选：C.
4．（23-24 高一下·上海·课后作业）下列各式中不成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据反三角函数的基本关系式进行计算并判断.
【详解】A．
，故正确；
B．
，故正确；
C．
，故错误；
D．
，故正确；
故选：C.
5．（23-24 高一下·上海浦东新·期末）设
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】本题可根据反三角函数的性质得出结果.
【详解】
，
，
因为
，所以
，
则
，
故选：C.
6．计算：
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据正弦函数的二倍角公式和反三角函数公式，即可求出结果.
【详解】
.
故选：B.
7．已知
，那么以下四个式子：
①
；
②
；
③
；
④
中，
可以表示x 的式子是
A．①②
B．③④
C．②④
D．①④
【答案】B
【分析】通过x 的取值范围，利用反三角函数可直接表示x.
【详解】解：因为
，
则当
时，
，故③正确；
又由
可得
，
则
，故④正确.
故选：B.
【点睛】本题考查利用反三角表示角，是基础题.
8．（23-24 高一下·上海黄浦·期中）李善兰是中国近代著名数学家，辅助角公式是他提出来的一种三角公
式，其主要作用是将多个三角函数化成单个三角函数.辅助角公式的正弦型为：
下列判断错误的是（ ）
A．当
时，辅助角
B．当
时，辅助角
C．当
时，辅助角
D．当
时，辅助角
【答案】D
【分析】根据
的正负确定
的正负，进而结合
确定
的范围，再结合反三角函数的定
义即可求解.
【详解】
，
其中
，
当
时，
，则
，所以
，故A 正确；
当
时，
，则
，所以
，故B 正确；
当
时，
，则
，所以
，故C 正确；
当
时，
，则
，所以
，故D 错误.
故选：D.
二、多选题
9．已知
，且
，则关于
表述正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【分析】根据
，且
，由同角三角函数的基本关系式求解.
【详解】解：因为
，且
，
所以
，
则
，
，
，
故选：AD
10．（24-25 高一上·全国·课后作业）方程
在区间
上的解为（ ）
A．0
B．
C．
D．π
【答案】ACD
【分析】求出相位的范围，再由给定值求出角即可得解.
【详解】当
时，
，
由
，得
或
或
，
解得
或
或
，
所以方程
在区间
上的解为
.
故选：ACD
11．下列对等式
的描述正确的是（ ）
A．对任意的角
都成立
B．
时成立
C．只对有限个
的值成立
D．对于任何角
都不成立
E．有无限个
的值使等式成立
【答案】BE
【解析】由题对
且
可使等式成立，再通过分析得解.
【详解】因为
，
所以
且
可使等式成立，所以
，
因为
，所以
有无限多个，包含
，故B，E 成立．
故选：BE
【点睛】本题主要考查和角的正弦公式的应用，考查余弦函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识理
解掌握水平.
三、填空题
12．（24-25 高一上·上海·课后作业）计算：
.
【答案】
【分析】根据反三角函数的定义直接可得解.
【详解】由
的定义域为
，值域为
，且单调递减，
所以
，
故答案为：
.
13．（23-24 高一下·上海松江·期末）若
是方程
的解，其中
，则
．
【答案】
/
【分析】将
代入方程，化简结合正弦函数的性质即可求解.
【详解】由题意可得：
，即
，
所以
或
，
所以
或
，
，
又
，则
.
故答案为：
.
14．
三个角的大小关系是 ．
【答案】
【分析】根据反三角函数的定义求出这三个角即可比较大小.
【详解】∵在
上，
，∴
，
∵在
上，
，∴
，
∵在
上，
，∴
，
∴
.
故答案为：
.
四、解答题
15．（24-25 高一上·上海·课后作业）求下列各式的值：
(1)
；
(2)
.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据反三角函数定义可得解；
（2）设
，
，根据反三角函数定义及公式化简可得解.
【详解】（1）由函数
的定义域为
，值域为
，且函数单调递增，
所以
.
（2）设
，
，
则
，
所以
，
，且
，
，
所以
，
，
所以
，
所以
，
即
.
16．（23-24 高一·上海·课堂例题）根据下列条件，求角x：
(1)
，且x 是第三象限的角；
(2)
，
；
(3)
；
(4)
．
【答案】(1)
(2)
或
(3)
或
(4)
或
【分析】（1）已知正切特殊值求对应角，由x 是第三象限的角，直接求出角即可；
（2）已知余弦特殊值求对应角，由
，直接求出角即可；
（3）已知正弦特殊值求对应角，在全体实数范围内，写出满足条件的所有角即可；
（4）由
，可得
，则由余弦特殊值求对应角，可得
或
，解出
，即可求得.
【详解】（1）因为
，且x 是第三象限的角，所以
.
（2）因为
，
，所以
或
.
（3）因为
，所以
或
.
（4）因为
，所以
，
所以
或
，
所以
或
.
17．（23-24 高一·上海·课堂例题）分别求满足下列条件的角x 的集合：
(1)
，
；
(2)
；
(3)
．
【答案】(1)
(2)
或
．
(3)
【分析】（1）利用三角函数的特殊值对应的特殊角，得到x，再由
，即可得到角的取值集合；
（2）利用三角函数的特殊值对应的特殊角即可得到角的取值集合；
（3）利用三角函数的特殊值对应的特殊角即可得到角的取值集合；
【详解】（1）由题意得
，
或
，
，
∴
或
．
∵
，∴
（2）
由题意得
或
，
，
∴
或
．
（3）
由题意得
，
，
.
18．已知
是方程
的两根，且
，求
的值
【答案】
【分析】根据韦达定理可得
，再利用和角正切公式求得
，
即可求得
.
【详解】因为
是方程
的两根，
所以
.
又
所以
故答案为：
19．（24-25 高一上·上海·课堂例题）（1）已知
，求角x 的解集；
（2）已知
，求满足条件的角x 的集合．
【答案】（1）
或
；（2）
或
.
【分析】（1）将
看成整体角，结合正弦函数的图象和函数值，即可求得
的范围；
（2）将方程变形后，把
看成整体角，结合余弦函数的图象和函数值，即可求得
的范围.
【详解】（1）由题意得
，
结合正弦函数在
上的图象可得，
或
，
再利用正弦函数的周期性，可得：
或
，
，
解得
或
，
故满足条件的角x 的集合为
或
（2）由
变形得，
，
结合余弦函数在
上的图象可得，
或
，
再利用余弦函数的周期性，可得：
或
，
，
解得
或
故满足条件的角x 的集合为
或
.
