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第03 讲 向量的基本定理
课程标准
学习目标
1．理解两个平面向量共线的含义．
2．理解平面向量基本定理及其意义．
1．理解并掌握两个向量共线的性质及其判定方法，并
能熟练地运用这些知识处理有关共线向量问题．
2．理解平面向量基本定理的内容，了解向量的一组基
底的含义．
3．会用基底来表示其他向量．
4．会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合
问题．
知识点01 共线向量基本定理
（1）定义：如果a≠0 且b∥a，则存在唯一的实数λ，使得b＝λa．
（2）几点说明
①b＝λa 时，通常称为b 能用a 表示．
②其中的“唯一”指的是，如果还有b＝μa，则有λ＝μ．
（3）作用：如果A，B，C 是三个不同的点，则它们共线的充要条件是：存在实数λ，使得AB＝λAC．
（4）A，B，C 三点共线
存在实数
⇔
λ，μ 对平面内任意一点O(O 不在直线BC 上)满足OA＝λOB＋
μOC(λ＋μ＝1)．
【即学即练1】设e1，e2是两个不共线的向量，若向量a＝2e1－e2，与向量b＝e1＋λe2(λ∈R)共线，则λ 的
值为________．
【答案】－1
2
【解析】因为向量a 与b 共线，所以存在唯一实数μ，使b＝μa 成立．
2
即e1＋λe2＝μ(2e1－e2)＝2μe1－μe2，
所以(2μ－1)e1＝(λ＋μ)e2，
又因为e1与e2不共线．
所以{
2 μ−1=0，
λ+ μ=0，解得λ＝－1
2.
知识点02 平面向量基本定理
1.平面向量基本定理
如果平面内两个向量a 与b 不共线，则对该平面内任意一个向量c，存在唯一的实数对(x，y)，使得c
＝xa＋yb．
2.基底与向量的分解
平面内不共线的两个向量a 与b 组成该平面上向量的一组基底，记为{a，b}，此时如果c＝xa＋yb，则
称xa＋yb 为c 在基底{a，b}下的分解式．
【解读】①当a 与b 不共线时，“唯一的实数对”指的是c 用a，b 表示时，表达式唯一，即如果c＝
xa＋yb＝ua＋vb，那么x＝u 且y＝v．
②当x≠0 或y≠0 时，必定有xa＋yb≠0．也就是说，当a 与b 不共线时，xa＋yb≠0 的充要条件是x
与y 中至少有一个不为0．
的差向量⃗a−⃗b，可以简记为“共起点，连终点，指被减”
【即学即练2】已知向量e1，e2 不共线，实数x，y 满足(2x－3y)e1＋(3x－4y)e2＝6e1＋3e2，则x＝
________，y＝________．
【答案】－15 －12
【解析】根据平面向量基本定理可知向量e1，e2不共线可以作为一组基底，则表示是唯一的，从而
，解的x= －15,y=－12.
题型01 共线向量定理的应用
【典例1】（24-25 高二上·重庆九龙坡·期中）若
，
，
且向量
，
不共线，则一定共线的三点是（ ）
A．A、B、D
B．A、B、C
C．B、C、D
D．A、C、D
【答案】A
【分析】根据向量共线定理一一分析即可.
【详解】对A，
，
则
共线，又因为有公共点
，则A、B、D 三点共线，故A 正确；
3
对B，因为
，故
不共线，则A、B、C 三点不共线，故B 错误；
对C，因为
，故
不共线，则B、C、D 三点不共线，故C 错误；
对D，
，因为
，
故
不共线，则A、C、D 三点不共线，故D 错误.
故选：A.
【变式1】（23-24 高一下·海南省直辖县级单位·阶段练习）
是平面内不共线两向量，已知
，
，
，若A，B，D 三点共线，则k 的值是（ ）．
A．3
B．
C．
D．2
【答案】D
【分析】由由A，B，D 三点共线，得存在实数
，使
，再用
表示后，由向量相等可得．
【详解】由已知
，由A，B，D 三点共线，
故存在实数
，使
，即
，
即
，解得
．
故选：D．
【变式2】（23-24 高一下·贵州安顺·期末）已知
是两个不共线的向量，
，若
与
是共线向量，则实数
的值为（ ）
A．1
B．
C．4
D．
【答案】D
【分析】利用共线向量定理列式求解即得.
【详解】由
是两个不共线的向量，得
是非零向量，又
与
共线，
则
，即
，于是
，所以
.
故选：D
【变式3】（23-24 高一下·四川广安·阶段练习）已知向量
不共线，且
，若
与
反共线，则实数λ 的值为（ ）
A．1
B．
C．1 或
D．
或
【答案】B
4
【分析】根据题意设
，然后将，
代入化简，可得
，从而可求出实数λ 的值.
【详解】解：由于与
反向共线，则存在实数k 使
，
于是
，
整理得
．
由于
不共线，所以有
，整理得
，
解得
或
．
又因为
，故
．
故选：B．
题型02 基底的判断
【典例2】（23-24 高一下·黑龙江大庆·期中）若
是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中
能构成平面内所有向量的一个基底的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据平面向量共线定理以及基底的概念逐一判断即可.
【详解】对于A 选项，
，所以
共线，不能作为基底；
对于B 选项，
，所以
共线，不能作为基底；
对于C 选项，
，所以
共线，不能作为基底；
对于D 选项，易知
不共线，可以作为基底.
故选：D.
【变式1】（23-24 高一下·山东菏泽·阶段练习）已知
，
是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基
底的是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】C
5
【分析】由不共线的两个非零向量才可以作为基底，结合共线定理对各项逐一判断.
【详解】对于A，因为
，所以
与
共线，不能作为基底；
对于B，设
，则
，解得
，所以
与
共线，不能作为基底；
对于C，设
，则
，即：
，此时
无解，所以
与
不共线，可以作为基
底；
对于D，设
，则
，即：
，解得
，所以
与
共线，不能作为基
底；
故选：C.
【变式2】（23-24 高一下·江苏淮安·期中）设
，
为平面向量的一组基底，则下面四组向量组中不能作
为基底的是（ ）
A．
和
B．
和
C．
和
D．
和
【答案】D
【分析】根据基底的定义，结合共线向量的性质逐一判断即可.
【详解】A：假设
和
是共线向量，因此有
，
因为
，
为平面向量的一组基底，
所以
，
不是共线向量，且
，因此
不成立，
因此假设不成立，因此
和
不是共线向量，因此本选项的向量可以做基底；
B：假设
和
是共线向量，因此有
，
因为
，
为平面向量的一组基底，
所以
，
不是共线向量，且
，因此
不成立，
因此假设不成立，因此
和
不是共线向量，因此本选项的向量可以做基底；
C：假设
和
是共线向量，因此有
，
因为
，
为平面向量的一组基底，
所以
，
不是共线向量，且
，因此要想
成立，
6
一定有
，显然无实数解，因此假设不成立，
因此
和
是不共线向量，所以本选项的向量可以做基底；
D：因为
，
所以
和
是共线向量，所以本选项的向量不可以做基底，
故选：D
【变式3】（24-25 高一上·上海·课后作业）设点O 是
两条对角线的交点，下列组合中：①
与
；②
与
；③
与
；④
与
，其中可作为表示平行四边形
所在平面所有向量的
基的是（ ）
A．①②
B．①③
C．①④
D．③④
【答案】B
【分析】根据基底的定义判断即可.
【详解】①
不共线可以做基底，②
不可以做基底；
③
不共线可以做基底，④
不可以做基底；
故所在平面所有向量的基的是①③.
故选：B.
题型03 用基底表示向量
【典例3】（24-25 高三上·湖北·期中）在
中，点
，
分别为
，
边上的中点，点
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用向量加法及数乘向量运算求解即得.
【详解】依题意，
，而
，
所以
故选：D
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【变式1】（24-25 高二上·河南·阶段练习）已知在
中，
，
分别为
，
的中点，
，
，则
可以用含
，的式子表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由向量的加减法则，
，分别与
相应的关系，再消元构建三者的关系，得出结果.
【详解】由题意得，
，
，故
，
故
.
故选：B.
【变式2】（24-25 高三上·河北衡水·阶段练习）如图，平行四边形
中，
，
，若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据条件，结合图形，利用向量的线性运算，即可求出结果.
【详解】因为四边形
为平行四边形，且
，
，
所以
，即
①，
又
，即
②，
8
由①
②得到
，又
，
，所以
.
故选：D.
【变式3】（23-24 高一下·广西柳州·开学考试）如图，在
中，点D 是BC 边的中点，
，
则用向量
，
表示
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用向量的线性运算求解即可.
【详解】
，故
，
则
.
故选：A
题型04 根据向量基本定理求参数
【典例4】（24-25 高三上·江苏南通·期中）在
中，
，
，
，
.若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】以
为基底表示向量
，因为
，则
，建立
与
的等量关系，求解即
可.
【详解】因为
，
，所以
，
又
，所以
，
9
则
，解得：
，
.
故选：C
【变式1】（24-25 高三上·福建南平·期中）在
中，点
在边
上，若
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由向量的线性运算把
用
表示后可得
，从而得结论．
【详解】由已知
，
所以
，
，
，
故选：D．
【变式2】（24-25 高三上·江西·期中）已知点P 是
的中线BD 上一点（不包含端点），且
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
的最大值为
C．
的最小值为1
5
D．
的最小值是9
【答案】ACD
【分析】由平面向量的基本定理及共线的推论得
，再应用基本不等式、二次函数性质判断各项正
误.
【详解】
10
因为
，则
，又
，
，
共线，所以
，A 正确；
由
，则
，则
，当且仅当
时取等号，B 错误；
由
，当
时有最小值
，C 正确；
因为
，
当且仅当
，即
时，等号成立，D 正确.
故选：ACD
【变式3】（23-24 高三上·安徽淮南·阶段练习）如图
中，
，
，
，
若
，则
.
【答案】
【分析】先设
得到
，再设
得到
，再结合
平面向量基本定理求得
，即可求解.
【详解】设
，
则
，
设
，
则
，
所以
，解得
，则
，结合题设有
所以
，
11
故答案为：
题型05 平面向量基本定理的综合问题
【典例5】（23-24 高一下·内蒙古通辽·阶段练习）（多选）已知图中
，
，
，
为图中的阴影中（含边界）任意一点，并且
，下列命题正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．存在无数个点
，使得
【答案】ACD
【分析】按点
的位置分类，结合向量线性运算探讨
的取值及关系，再逐项分析判断得解.
【详解】由
，得
，又
，则
，
于是
，
，连接
，则四边形
为平行四边形，
有
，当点
在线段
上时，
，
而
，
不共线，则
，
，
当点
在线段
上时，
，当点
在线段
上时，
，
当点
在
内时，过点
作
交
于
，则
，
其中
，
，
则
，
，
，
，因此
，
对于A，
，A 正确；
对于B，取
，则
，B 错误；
对于C，由
，得
，C 正确；
对于D，点
为线段
上任意一点时，均有
，D 正确．
故选：ACD
12
【变式1】（23-24 高一下·河南漯河·期中）（多选）已知P 是边长为1 的正六边形ABCDEF 内一点(含边
界)，且
=
+λ
，λ∈R，则下列正确的是（ ）
A．∃λ 使得|
|>|
|
B．△PCD 的面积为定值
C．∠CPD 的取值范围是[
，
]
D．|
|的取值范围是[
，
]
【答案】BCD
【分析】对于A，根据正六边形的对称性判断即可；对于B，根据
可得
，从
而确定
在正六边形
的对角线
上运动，进而根据
到
的距离为定值判断即可；对于C，根
据正六边形的对称性分析最值即可；对于D，根据当
时，
有最小值，点
与点
重合时，
有最大值，判断即可.
【详解】
由
可得
，
即
，可得
，
对于A，因为正六边形
关于对角线
对称，故
，故A 错误；
对于B，
在正六边形
的对角线
上运动，
所以
到
的距离为定值，所以
的面积为定值，故B 正确；
对于C，根据图形的对称性，当
为
中点时，
取得最大值
，
当
与
重合时
取得最小值
，即
的取值范围是
，故C 正确；
对于D，因为正六边形边长为1，所以平行线
的距离
，
又当
时，
有最小值
，当点
与点
重合时，
有最大值
，故D 正确.
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故选：BCD
【变式2】（24-25 高三上·宁夏银川·阶段练习）欧拉线是由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉在1765 年提出的一个
几何定理，指出在一个三角形中，其外心、重心和垂心共线.这条直线被称为欧拉线.在三角形ABC 中，O
为三角形的外心，P 为三角形垂心（O 点与P 点不重合），且
，动点M 在直线OP 上，且
，则
的最大值
【答案】
【分析】首先利用欧拉线的性质以及已知的平行关系得到一些向量关系，再根据向量的线性表示求出
与
的关系，最后求
的最大值.
【详解】设
为
重心，则由欧拉线定理可知
在
上，
连接
交
于点
，
所以
为
的中线，所以
，
点
在直线
上，设
，
所以
，
所以
，所以
，
所以
，当
时取最大值
.
故答案为：
.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于找出
和
的代数关系.
【变式3】已知
为
所在平面内的一点，且
，若点
在
的内部（不含边
界），则实数
的取值可以是_____
【答案】
14
【解析】
如图，
由
得，
,
所以
,所以
,
所以
解得，
故实数
的取值范围是
故答案为：
.
一、单选题
1．（2024 高一下·全国·专题练习）下列关于基底的说法正确的序号是（ ）
①平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底；
②基底中的向量可以是零向量；
③平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的．
A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③
【答案】B
【分析】由基底的定义可逐项判断.
【详解】对于①，平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底（只要不共线就行），正确；
对于②，零向量和任何一个向量都平行，不能作为基底，错误；
对于③，由平面向量基本定理知，基底确定，分解形式也唯一确定，正确,
所以①③正确.
故选：B
2．（24-25 高一上·上海·随堂练习）若已知
、
是平面上的一组基，则下列各组向量中不能作为基的一
组是（ ）
A．
与
B．
与
C．
与
D．
与
【答案】D
【分析】由基的定义可判断选项正误.
【详解】因
、
是平面上的一组基，则
、
不共线，据此可得ABC 选项所对应向量组均不共线，可作
为基，
15
D 选项，
与
共线，则不可以作为一组基.
故选：D
3．（22-23 高一下·浙江温州·阶段练习）在四边形
中，对角线
与
交于点
，若
，则四边形
一定是（ ）
A．矩形
B．梯形
C．平行四边形
D．菱形
【答案】B
【分析】利用向量判断四边形形状首先考虑判断对边的位置与大小关系，根据变形可得
，可得四
边形为梯形.
【详解】由
，得
，
所以
，
可得
且
.
所以四边形
一定是梯形．
故选：B
4．（23-24 高一下·广东佛山·阶段练习）已知平面向量
，
不共线，
，
，
，则（ ）
A．
三点共线
B．
三点共线
C．
三点共线
D．
三点共线
【答案】D
【分析】运用向量共线的判定先证明向量共线，再得到三点共线.
【详解】对于A，
，与
不共线，A 不正确；
对于B，
，
，则
与
不共线，B 不正确；
对于C，
，
，则
与
不共线，C 不正确；
对于D，
，
即
，又线段AC 与CD 有公共点C，所以
三点共线，D 正确．
故选：D．
5．（24-25 高三上·山东·期中）已知向量
，
不共线，
，
，若
，
，
三点共
线，则
（ ）
A．
B．
.
C．1
D．2
【答案】D
【分析】因为
，
，
三点共线，则
与
共线，由此可以根据向量共线的性质列出等式，进而求出
与
的关系，最后得出
的值.
16
【详解】由于
，
，
三点共线，所以
与
共线.
存在实数
，使得
，即
.
因为
，
不共线，根据向量相等的性质，若
，则
.
由
，将其代入
可得
.
故选：D.
6．（23-24 高一下·北京通州·期中）如图，在
中，
是AB的中点，
是
延长线上一点，且
，若
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】B
【分析】根据平面向量的线性运算可得结果.
【详解】因为
，所以
为
的中点，又D 是AB 的中点，
所以
，
则
，
.
故选：B.
7．（23-24 高一下·河北·期中）在
中，
为
边上的中点，
是
上靠近
的四等分点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据几何关系，转化向量，用基底表示.
【详解】因为
，
由已知可得，
，所以
，
17
所以
．
故选：A
8．（23-24 高一下·黑龙江哈尔滨·期末）在
中，
，I 是
的平分线上
一点，且
，若
内（不包含边界）的一点D 满足
，则实数x 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】将向量
归一化可得
，结合向量的线性运算可得
，
结合题意列式求解即可.
【详解】设
，则
，且
，
可得
，
则
，可得
，
即
，可得
，
则
，
因为
，则
，可得
，
所以
，
因为
，解得
，
所以实数x 的取值范围是
.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是以
为基底表示出
.本题的难点在于用
表示出向量
.
二、多选题
18
9．（24-25 高一下·全国·课堂例题）若
，
是平面
内两个不共线的向量，
，
是实数，下列说法正
确的是（ ）
A．若
，
满足
，则
B．对于平面
内任意一个向量
，使得
成立的实数
，
有无数对
C．
可以表示平面
内的所有向量
D．当
，
取不同的值时，向量
可能表示同一向量
【答案】AC
【分析】根据平面向量的线性运算、平面向量基本定理等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】若
，则
，从而向量
，
共线，这与
，
不共线相矛盾，则
，同理可得
，故A 正确；
由平面向量基本定理可知
，
唯一确定，故B 不正确；
平面
内的每个向量
可表示成
的形式，反之也成立，故C 正确；
结合向量加法的平行四边形法则易知，当
和
确定后，其和向量
便唯一确定，故D 不正确.
故选：AC
10．（23-24 高一下·广东深圳·阶段练习）在
中，
在
边上，
，
是
的中点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】CD
【分析】根据向量的线性运算判断各选项的准确性.
【详解】如图：
对A：
，故A 错误；
对B：
，故B 错误；
19
对C：
，故C 正确；
对D：
，故D 正确.
故选：CD
11．（23-24 高一下·四川达州·期末）如图，已知O 是
内部任意一点，
，
，
的
面积分别为
，
，
，
．根据上述结论，则（ ）．
A．如果
，那么
B．如果
，那么
C．如果O 为
的重心，那么
D．如果O 为直角
的内心，且两直角边
，
，那么
【答案】BCD
【分析】依题意易判断A 错误，利用平面向量线性运算计算，平面向量基本定理可知B 正确，由重心性质
可得C 正确，根据三角形内心性质并利用勾股定理可判断D 正确.
【详解】对于A：由题意
,结合
，
可得
,即A 错误.
对于B：由
,
可得
;
整理得
,
即得
，即B 正确；
对于C：如果O 为
的重心，
则可知
，
可知
，即C 正确；
对于D：如果O 为
的内心，设内切圆半径为r,
20
则
,
又
,
,则
,所以
，
可知
，即D 正确.
故选：BCD.
【点睛】本题关键在于将重心、内心性质转化为向量OA,OB,OC 之间得关系式，进而实现问题求解.
三、填空题
12．（23-24 高一下·四川内江·阶段练习）若
，
是两个不共线的向量，且
与
共线，则实
数
的值为 .
【答案】
【分析】由题意结合共线向量定理可得存在实数
，使
，化简后可求得结果.
【详解】因为
与
共线，
所以存在实数
，使
，
因为
，
是两个不共线的向量，
所以
，所以
，
解得
或
，所以
故答案为：
13．（23-24 高一下·江苏连云港·期中）设
是平面内两个不共线的向量，
，
，
，
．若
三点共线，则
的最小值是 ．
【答案】8
【分析】根据向量共线定理和基本不等式即可求解.
【详解】
，
,若
三点共线，
设
，即
，
是平面内两个不共线的向量，
，解得
，
，
21
则
，
当且仅当
，即
时，取等号，故最小值为8.
故答案为：8.
14．（23-24 高一下·北京·期中）四边形ABCD 中，
，且
，若
，则
．
【答案】2
【分析】由题设可得
且
，利用相似三角形和向量的线性运算将
用
与
的另式
表达，根据平面向量基本定理列出方程求解即得.
【详解】如图，由
可得
且
，
易得
,则有
于是
, 因
，
故得
由
，解得：
.
故答案为：2.
四、解答题
15．（23-24 高一下·江苏无锡·阶段练习）设
，
是不平行的向量，且
，
．
(1)若向量
与
共线，求实数
的值；
(2)若
，用
，
的线性组合表示
．
【答案】(1)
(2)
22
【分析】（1）由向量共线的定理计算可得；
（2）由向量的线性运算和共线定理计算可得；
【详解】（1）因为向量
与
共线，所以设
，
即
，
所以
，
（2）设
，
又因为
，
由向量基本定理，得
，解得
所以
．
16．（24-25 高一上·河北保定·期中）如图，在
中，
，
．设
，
．
(1)用
，
表示
，
；
(2)若
为
内部一点，且
．求证：
，
，
三点共线．
【答案】(1)
，
(2)证明见解析
【分析】（1）利用平面向量线性运算法则，计算出
，进而得到
；
（2）计算出
，结合（1）可得
，证明出结论.
【详解】（1）由题可知，
，
23
（2）
，且有公共点M
，
，
三点共线.
17．（23-24 高一下·河北邯郸·阶段练习）如图，在平行四边形
中，
、
依次是对角线
上的两
个三等分点，设
.
(1)请用
与
表示
;
(2)用向量方法证明：四边形
是平行四边形.
【答案】(1)
(2)证明过程见解析
【分析】（1）根据平面向量基本定理，结合平面向量线性运算的性质进行求解即可；
（2）根据平面向量基本定理，结合平面向量线性运算的性质、相等向量的定义进行证明即可.
【详解】（1）因为
、
依次是对角线
上的两个三等分点，
所以
，
于是有
，
即
；
（2）因为
、
依次是对角线
上的两个三等分点，
所以
，
于是有
，
即
，因此
，
显然有
，
不共线，
因此
且
，
所以四边形
是平行四边形.
24
18．（23-24 高一下·江苏徐州·阶段练习）如图,已知点
是
的重心,过点
作直线分别与边
交
于
两点（点
与点
不重合）,设
.
(1)求
的值；
(2)求
的最小值,并求此时
的值.
【答案】(1)
(2)最小值为
,
【分析】（1）
是
的重心,所以
，结合
性质得解.
（2）“乘1 法”，再将1 进行代换，用基本不等式解决.
【详解】（1）因为
是
的重心,
所以
,
因为
,所以
,因为
三点共线,
所以
,则
.
（2）由⑴得,
,则
,
所以
,当且仅当
且
,即
,
所以
的最小值为
,此时
.
19．（23-24 高一下·广东广州·期末）如图，已知
，
，且点
是
的重心.过
点
的直线与线段
、
分别交于点
、
.设
，
（
，
）.
25
(1)求
的值，并判断
是否为定值，若是则求出定值，若不是请说明理由；
(2)若
的周长为
，
的周长为
.设
，记
，求
的取值范围.
【答案】(1)
，
是定值，理由见详解
(2)
【分析】（1）根据题意可得
，变形可得，根据
三点共线，即可得
的值；
（2）根据题意可得
，
，故得
的表达式，根据
的范
围，利用函数性质，即可得答案.
【详解】（1）已知
，
，所以
，
所以
，
因为
，
，则
，
，
因为点
是
的重心，所以
，
因为
在直线上，所以
.
（2）
，
所以
，
26
设
，由（1）得
，所以
所以
因为
，
，又因为
，则
，
因为
，所以
，
因为
，所以当
时，
的最小值为：
，当
或
时，
的最大值为：
，所以
，
因为
的对称轴为
，所以在
上单调递增，又因为
在
上也是单调递
增，所以
在
上单调递增，
所以当
时，
，当
时，
，
所以
的取值范围为
【点睛】本题的关键在于利用小问（1）所得的结论
，结合根据三点共线确定，将
双变量函数化为单变量函数，结合函数的定义域求函数的值域.
