文档文本内容
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2.2.4 均值不等式及其应用
课程标准
学习目标
1、学会推导并掌握均值不等式定理.
2、能够简单应用定理求最值.
1、通过对均值不等式不同形式应用的研究，渗透
“转化”的数学思想
2、了解均值不等式的几何意义。
3、教材用作差配方法证明均值不等式，并用定理求
最值问题。
4、掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件：当且
仅当这两个数相等。
知识点01 均值不等式
（1）算术平均值与几何平均值
给定两个正数a，b，数称为a，b 的算术平均值；数称为a，b 的几何平均值．
多个正数的算术平均值和几何平均值可以类似地定义，例如a，b，c 的算术平均值为，几何平均值为.
（2）均值不等式
如果a，b 都是正数，那么≥，当且仅当a＝b 时，等号成立．
均值不等式也称为基本不等式，其实质是：两个正实数的算术平均值不小于它们的几何平均值．
(1)“当且仅当”的含义：当a＝b 且仅当a＝b 时，不等式≥能取到等号，即＝.
(2)均值不等式可变形为a＋b≥2，ab≤.
【即学即练1】【多选】（2024·广东江门·高一新会陈经纶中学校考阶段练习）下列命题中正确的是
（ ）
A．当
时，
2
B．若
，则
的最小值是
C．当
时，
D．
的最小值是
【答案】BC
【分析】对于A，举反例即可判断A 错误；
对于B，利用基本不等式可得B 正确；
对于C，利用基本不等式可得C 正确；
对于D，不满足基本不等式取等号的条件，判断D 错误.
【详解】若
，则
，显然不满足
，A 错误；
若
，则
，当且仅当
时取等号，最小值是
，B 正确；
若
，则
，当且仅当
时取等号，最小值是
，C 正确；
若
，则
，当且仅当
即
时取等号，
显然
无解，故取不到最小值
，D 错误.
故选：BC.
知识点02 均值不等式与最大(小)值
已知x，y 都是正数．
(1)如果积xy 是定值P，那么当x＝y 时，和x＋y 有最小值2；
(2)如果和x＋y 是定值S，那么当x＝y 时，积xy 有最大值S2.
可以表述为：
两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；
两个正数的和为常数时，它们的积有最大值．
可简记为“两正数积定和最小，和定积最大”．
利用均值不等式求最值必须满足三个条件才可以进行，即“一正、二定、三相等”．具体理解如下：
(1)“一正”，即所求最值的各项必须都是正值，否则就容易得出错误的答案．
(2)“二定”，即含变量的各项的和或者积必须是常数，即要求a＋b 的最小值，ab 必须是定值；求ab
的最大值，a＋b 必须是定值．
(3)“三相等”，即必须具备不等式中等号成立的条件，才能求得最大值或最小值．
3
【即学即练2】【多选】（2024·重庆·高一校联考阶段练习）设正实数x，y 满足
，则（ ）
A．
的最大值是
B．
的最小值是9
C．
的最小值为
D．
的最小值为2
【答案】BC
【分析】根据基本不等式一一求解最值即可.
【详解】对于A，
，
，
当且仅当
，即
，
时等号成立，故A 错误；
对于B，
，
当且仅当
即
时等号成立，故B 正确；
对于C，由A 可得
，又
，
，当且仅当
，
时等号成立，故C 正确；
对于D，
，
所以
，当且仅当
，
时等号成立，故D 错误；
故选：BC.
易错：利用基本不等式求最值
示例 若正数x，y 满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y 的最小值是( )
A．24
5 B．28
5 C．5 D．6
错误的根本原因是忽视了两次使用基本不等式，等号成立的条件必须一致．
【错解】 由x＋3y＝5xy⇒5xy≥2√3 xy，
因为x＞0，y＞0，所以25x2y2≥12xy，即xy≥12
25.
4
所以3x＋4y≥2√12 xy≥2√12· 12
25
＝24
5 ，
当且仅当3x＝4y 时取等号，
故3x＋4y 的最小值是24
5 .
【正解】 由x＋3y＝5xy 可得1
5 y + 3
5 x ＝1，所以3x＋4y＝(3x＋4y)(
1
5 y + 3
5 x)＝9
5 + 4
5 + 3 x
5 y + 12 y
5 x ≥13
5
＋2√
3 x
5 y · 12 y
5 x
＝13
5 + 12
5 ＝5，
当且仅当x＝1，y＝1
2时取等号，
故3x＋4y 的最小值是5.
【答案】 C
【题型1：对均值不等式的理解】
例1．（2024·广东广州·高一广州市第四十一中学校考阶段练习）《几何原本》卷Ⅱ的几何代数法成了后世
西方数学家处理数学问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，也称之为
无字证明现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，可以
直接通过比较线段OF 与线段CF 的长度完成的无字证明为（ ）
A．a2+b2≥2ab（a＞0，b＞0）
B．
5
C．
（a＞0，b＞0）
D．
（a＞0，b＞0）
【答案】C
【分析】由图形可知
，
，在Rt△OCF 中，由勾股定理可求CF，结合
CF≥OF 即可得出.
【详解】解：由图形可知，
，
，
在Rt△OCF 中，由勾股定理可得，
CF＝
，
∵CF≥OF，
∴
，
故选：C.
变式1.（2024·北京·高一丰台第十二中学校考期中）下列结论正确的是（ ）
A．当
时，
B．当
时，
的最小值是
C．当
时，
D．当
时，
的最小值为1
【答案】C
【解析】对于A，当
时，
，故A 错误，
对于B，当
时，
，当且仅当
时等号成立，故B 错误，
对于C，当
时，
，当且仅当
即
时等号成立，故C 正确，
对于D，当
时，
，
当且仅当
即
时等号成立，故D 错误，故选：C
变式2.（2024·湖北十堰·高一郧阳中学校考阶段练习）（多选）下列推导过程，其中正确的是（ ）
A．因为
为正实数，所以
B．因为
，所以
C．因为
，所以
6
D．因为
，所以
，当且仅当
时，
等号成立
【答案】ABD
【解析】对于A，
为正实数，有
，且
，
又当且仅当
时，
成立，满足均值不等式的条件，A 正确；
对于B，
，当
时，
，且
，
显然不存在大于3 的正数a 使
成立，所以
，B 正确；
对于C，因为
，则
，不符合均值不等式成立的条件，C 错误；
对于D，
，则
，且
，
又当且仅当
时，
成立，满足均值不等式的条件，D 正确.
故选：ABD
变式3.（2024·全国·高一专题练习）如果
，那么下列不等式正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由已知
，利用基本不等式得出
，
因为
，则
，
，
所以
，
，∴
.故选：B
变式4.（2024·江苏常州·高一校考阶段练习）下列说法，其中一定正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
的最小值为
【答案】B
【解析】对于A：因为
，所以
，当且仅当
时取等号，故A 错误；
对于B：因为
，所以
，所以
，
7
即
，当且仅当
时取等号，故B 正确；
对于C：当
时，满足
，但是
，故C 错误；
对于D：令
，因为
在
上单调递增，
所以
，当且仅当
，即
时取等号，
即
的最小值为
，故D 错误；故选：B
【方法技巧与总结】
基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把
构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不
是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方
【题型2：利用均值不等式求最值】
例2.（2024·陕西西安·高一校考期中）已知
，
，
，则
的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】B
【解析】因为
，
，所以
，
当且仅当
时，取等号，故选：B
变式1.（2024·海南·高一校考期中）已知
，代数式
的最大值为（ ）
A．
B．
C．2 D．
【答案】A
【解析】由于
，所以
，
所以
，
当且仅当
时等号成立.故选：A
变式2．【多选】（2024·陕西咸阳·高一武功县普集高级中学校考阶段练习）若
，
，且
，
则下列不等式恒成立的是（ ）
8
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【分析】利用重要不等式的合理变形可得
，即可知A 正确；由基本不等式和不等式性
质即可计算B 正确；由
即可求得C 正确；根据不等式中“1”的妙用即可得出
，
即D 错误.
【详解】对于A，由
可得
，
又
，所以
，即
，当且仅当
时等号成立，故A 正确；
对于B，由
可得
，即
，
所以
，当且仅当
时等号成立，即B 正确；
对于C，由
可得
，
所以可得
，即
，当且仅当
时等号成立，即C 正确；
对于D，易知
，即
；
当且仅当
时等号成立，可得D 错误；
故选：ABC
变式3．（2024·江苏连云港·高一校考阶段练习）已知
，则
的最小值为 .
【答案】
【分析】根据题意，结合基本不等式，即可求解.
【详解】由
，可得
，
当且仅当
时，即
时，等号成立，
所以
的最小值为
.
故答案为：
.
变式4．（2024·吉林·高三校考阶段练习）设
，则函数
的最小值是 .
【答案】
9
【分析】根据题意，化简
，结合基本不等式，即可求解.
【详解】由
，可得
，
则
，
当且仅当
时，即
时，等号成立，
所以函数
的最小值是最小值为.
故答案为：.
变式5．（2024·海南省直辖县级单位·高三校联考阶段练习）设
，则函数
，的最小值
为（ ）
A．7
B．8
C．14
D．15
【答案】D
【分析】利用基本不等式求解.
【详解】因为
，所以
，
所以
，
当且仅当
，即
时等号成立，
所以函数
的最小值为15，
故选:D．
变式6．（2023 春·新疆塔城·高一乌苏市第一中学校考开学考试）已知
，若
，则
的最小值为 .
【答案】
【分析】根据给定条件，利用“1”的妙用计算作答.
【详解】由
，
，得
，
则
，
当且仅当
，即
时取等号，
所以
的最小值为
.
10
故答案为：
变式7.（2024·全国·高一专题练）已知
，则
的最小值为（ ）
A．
B．0 C．1 D．
【答案】A
【解析】
，
，
，
，
，
，
当且仅当
，即
，
时等号成立，故选：A
变式8．（2024·山东德州·高三德州市第一中学校考阶段练习）已知正实数a，b 满足
，则
的
最小值为 ．
【答案】
/
【分析】根据基本不等式求解即可.
【详解】因为正实数a，b 满足
，
所以
，
当且仅当
，即
，
时，等号成立，
所以
的最小值为
.
故答案为：
.
变式9．（2024·江苏常州·高一常州市北郊高级中学校考阶段练习）已知
，
，且
，则
的最小值是（ ）
A．1
B．
C．2
D．3
11
【答案】D
【分析】根据已知等式，结合基本不等式进行求解即可.
【详解】因为
，所以
，
因为
，
，
所以
当且仅当
，即
时，等号成立．
故选：D．
变式10．（2024·江苏常州·高一常州市北郊高级中学校考阶段练习）求解下列各题：
(1)求
的最小值；
(2)已知
，且
，求
的最小值．
【答案】(1)8
(2)10
【分析】（1）将
化为
，利用基本不等式即可求得答案；
（2）化
为
，利用基本不等式即可求得答案.
【详解】（1）因为
，故
，
所以
，
当且仅当
，即
时取等号，
所以
的最小值是8．
（2）由
，
得
，
，所以
，
所以
，
当且仅当
，结合
即
时，等号成立．
故
的最小值为10．
12
变式11．（2024·江西·高一江西师大附中校考期中）已知正数x，y 满足
，则
的最小值
为 .
【答案】4
【分析】根据已知条件变形，结合基本不等式求得答案.
【详解】∵
，∴
，又
，
∴
，
当且仅当
且
，即
时等号成立，
所以
的最小值4.
故答案为：4.
变式12．（2024·天津武清·高一天津市武清区杨村第一中学校考阶段练习）若
，
，则
的最小值为 ．
【答案】
【分析】连续使用基本不等式计算即可.
【详解】由
，
，
所以
，
当且仅当
且
，解得：
，
所以
的最小值为
.
故答案为：
.
【方法技巧与总结】
利用均值不等式求最值的策略
（1）利用均值不等式求最值的策略
(2)拼凑法求解最值，就是先通过代数式变形拼凑出和或积为常数的两项，然后利用均值不等式求解最
值．
13
(3)通过消元法利用基本不等式求最值的方法
消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解．有时会出
现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．
注意：利用基本不等式求函数最值，千万不要忽视等号成立的条件．
【题型3：利用均值不等式证明不等式】
例3.（2024·江苏苏州·高一校考阶段练习）已知
均为正数，且
，求证：
.
【答案】证明见解析
【解析】因为
则
，
，
三式相加得：
所以
.
变式1．（2024·全国·高一课堂例题）对任意三个正实数
，
，，求证：
，当
且仅当
时等号成立．
【答案】证明见解析
【分析】运用基本不等式进行证明即可.
【详解】因为
，
，
，
所以由基本不等式，得
，
，
，当且仅当
，
，
时成立，
把上述三个式子的两边分别相加，
得
，即
．
当且仅当
时等号成立．
变式2．（2024·全国·高一课堂例题）设
，
为正数，证明下列不等式：
(1)
；
(2)
．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
14
【分析】运用基本不等式对（1）（2）进行证明即可.
【详解】（1）因为
，
均为正数，由基本不等式，得
，当且仅当
，即
时等
号成立，所以原不等式成立．
（2）因为
，
为正数，所以
，
也为正数，由基本不等式，得
，当且仅当
，
即
时等号成立，所以原不等式成立．
变式3．（2024·河南焦作·高二博爱县第一中学校考阶段练习）已知
，且
.
(1)证明：
；
(2)证明：
.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由
，
，利用基本不等式求解即
可.
（2）由
，两边同时平方，结合基本不等式求
的最小值.
【详解】（1）
，
当且仅当
时取等号，
所以
.
（2）由
，得
，
又由基本不等式可知当a，b，c 均为正数时，
，
，
，
当且仅当
时，上述不等式等号均成立，
所以
，
即
，
所以
，当且仅当
时等号成立.
变式4．（2024·广西南宁·高一校考阶段练习）（1）设
均为正数，且
，证明：若
，
15
则
：
（2）已知
为正数，且满足
，证明：
.
【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析
【分析】（1）先对
和
平方化简，然后结合已知条件可证得结论，
（2）利用基本不等式结合
可证得结论
【详解】（1）因为
，
又因为
，则
为正数，
所以
，
因此
.
（2）因为
，当且仅当
时，取等号，
又
，故有
.
所以
，当且仅当
时取等号.
变式5．（2024·陕西西安·高二校考期中）（1）已知
，求
的最大值；
（2）设
均为正数，且
，证明：
．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【分析】（1）根据基本不等式求最值求解即可.
（2）根据基本不等式，运用不等式的性质即可证明；
【详解】解：（1）因为
，
所以
，
当且仅当
，即
时等号成立，
则
的最大值为
；
（2）证明：由
，a，b，c 均为正数，
因为
，当且仅当时
等号成立，
，当且仅当
时等号成立，
16
，当且仅当
时等号成立，
相加可得
，即当且仅当
取得等号.
变式6.（2024·湖南长沙·高一校考期末）已知
，
都是正数.
（1）若
，证明：
；
（2）当
时，证明：
.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】（1）证明：由于
，
都是正数，
，
当且仅当
时等号成立.所以
.
（2）证明：
.
因为
，
，所以
，
，
所以
成立.
【方法技巧与总结】
利用均值不等式证明不等式
(1)在利用a＋b≥2 时，一定要注意是否满足条件a>0，b>0.
(2)在利用基本不等式a＋b≥2 或≥(a>0，b>0)时要注意对所给代数式通过添项配凑，构造符合基本不等式的
形式．
(3)另外，在解题时还要注意不等式性质和函数性质的应用．
【题型4：均值不等式的恒成立问题】
例4.（2024·四川雅安·高一校考开学考试）若对
，
，有
恒成立，则
的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，
，
所以
，
17
当且仅当
时取等号，所以
，故选：D．
变式1．（2024·全国·高一专题练习）已知
且
，若
恒成立，则实数
的范围是 ．
【答案】
【分析】依题意得
，利用基本不等式“1”的代换求出
的最小值，即
可得解.
【详解】因为
且
，若
恒成立，则
，
又
，
当且仅当
，即
，
时等号成立，
所以
，即实数
的取值范围是
．
故答案为：
．
变式2.（2024·高一单元测试）已知对任意
，不等式
恒成立，则实数a 的最小值为
．
【答案】
【解析】因为
，故
，
所以
，
当且仅当
，即
时等号成立，
即有
，所以
，即a 的最小值为
，
故答案为：
18
变式3．（2024·福建龙岩·高一福建省连城县第一中学校考阶段练习）已知
，且
，若
恒成立，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用基本不等式求出
的最小值，即可得到
，从而得到
，解得即可.
【详解】因为
，
，且
，
则
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
即
，
因为
恒成立，可得
，解得
，
所以实数
的取值范围是
.
故选：C.
变式4．（2024·全国·高一专题练习）已知
，且
，若
恒成立，则实数
的取值范围是 （ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用基本不等式求出
的最小值，即可得到
，从而得到
，解得即可.
【详解】因为
，
，且
，
所以
，
当且仅当
，即
，
时取等号，
所以
，因为
恒成立，所以
，
即
，解得
，所以实数
的取值范围是
.
故选：C
19
变式5．（2024·全国·高一专题练习）已知不等式
对任意正实数
恒成立，则正实数
的最小值为（ ）
A．2
B．4
C．6
D．9
【答案】D
【分析】根据基本不等式即可求解最值，进而由
即可求解.
【详解】因为
，当且仅当
且
时取等号，
所以
，整理得
，解得
，故正实数
的最小值为9.
故选:D.
变式6．（2024·吉林四平·高一校考阶段练习）已知
，且
(1)求
的最小值；
(2)若
恒成立，求
的最大值.
【答案】(1)8
(2)
【分析】（1）由题意可得
，化简后利用基本不等式可求出其最小值，
（2）将问题转化为
恒成立，求出
的最小值，而
，化简后利用基本
不等式可求出其最小值，从而可求出
的最大值.
【详解】（1）因为
，且
，所以
，
所以
，
当且仅当
，即
时取等号，
所以
的最小值为8，
20
（2）因为
（
）恒成立，
所以
恒成立，
因为
，
，
所以
，
当且仅当
，即
时取等号，
所以
的最小值为
，
所以
，所以
的最大值为
.
变式7．（2024·安徽阜阳·高二校考期中）两个正实数
，
满足
，若不等式
有解，
则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】妙用“1”先求得
的最小值为4，然后解不等式
可得.
【详解】
正实数
，
满足
，
，
当且仅当
且
，即
，
时取等号，
不等式
有解，
，解得
或
，即
．
故选：C．
【方法技巧与总结】
21
求参数的值或取值范围的一般方法
(1)分离参数，转化为求代数式的最值问题．
(2)观察题目特点，利用均值不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或取值范围．
【题型5：利用均值不等式解决实际问题】
例5.（2024·广西钦州·高一校考开学考试）有一块橡皮泥的体积为2，起初做成一个长，宽，高依次为
，
，1 的长方体.现要将它的长增加1，宽增加2，做成一个新的长方体，体积保持不变，则新长方体高的最
大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】依题意
，设新长方体高为，则
，
得到
，
当且仅当
，即
时取等号，
所以的最大值为
．故选：C.
变式1.（2024·四川雅安·高一雅安中学校考开学考试）一批货物随17 列货车从A 市以千米/时匀速直达B
市，已知两地铁路线长400 千米，为了安全，两列货车的间距不得小于
千米，那么这批货物全部运
到B 市，最快需要 小时.
【答案】8
【解析】设这批货物从A 市全部运到B 市的时间为t，
则
＝
＋
(小时)，
当且仅当
＝
，即v＝100 时，等号成立，此时
小时.
故答案为：8.
变式2．（2024·浙江杭州·高一校联考阶段练习）某人要买房，随着楼层的升高，上下楼耗费的精力增多，
因此不满意度升高.当住第
层楼时，上下楼造成的不满意度为
.但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为
安静，因此随着楼层的升高，环境不满意度降低.设住第
层楼时，环境不满意程度为
.则此人应选第
楼，会有一个最佳满意度.
【答案】3
【分析】先得到不满意程度为
，利用基本不等式可得
取最小值即为最佳满意度.
22
【详解】由题意可知，当住
层楼时，不满意程度为
，
因
，且
，所以
，当且仅当
即
时等号成立，
故当住楼时，不满意程度最低，
故答案为：3
变式3．（2024·湖南邵阳·高三湖南省邵东市第三中学校考阶段练习）某小区要建一座八边形的休闲小区，
它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD 和EFGH 构成的十字形地域，四个小矩形加一个正方形
面积共为200 平方米．计划在正方形MNPQ 上建一座花坛，造价为每平方米4200 元，在四个相同的矩形
上（图中阴影部分）铺设花岗岩地坪，造价为每平方米210 元，再在四个角上铺设草坪，造价为每平方米
80 元．
(1)设AD 长为x 米，总造价为S 元，试建立S 关于x 的函数关系式；
(2)问：当x 为何值时S 最小，并求出这个S 最小值.
【答案】(1)
(2)
，118000 元
【分析】（1）根据题意，建立函数关系式即可；
（2）根据题意，由（1）中的函数关系式，结合基本不等式即可得到结果.
【详解】（1）由题意可得，
，且
，则
，
则
（2）由（1）可知，
当且仅当
时，即
时，等号成立，
23
所以，当
米时，
元.
变式4．（2024·重庆·高一校联考阶段练习）中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的
重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，
利用其一侧原有墙体，建造一面高为3m，底面积为
，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保
管员室的后背靠墙，无需建造费用，因此甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米
400 元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150 元，屋顶和地面以及其他报价共计7200 元，设屋子的左
右两面墙的长度均为
．
(1)当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低?
(2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为
元
若无论左右两面
墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求a 的取值范围．
【答案】(1)长度为4 米时，报价最低
(2)
【分析】（1）首先由题意抽象出甲工程队的总造价的函数，再利用基本不等式求最值，结合等号成立的
条件，即可求解；
（2）由（1）可知，转化为不等式
恒成立，参变分离后，转化为求最值的
问题.
【详解】（1）设甲工程队的总造价为
元，依题意，左右两面墙的长度均为
（
），
则屋子前面新建墙体长为
，
则
即
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
故当左右两面墙的长度为4 米时，甲工程队的报价最低为
元；
（2）由题意可知，当
对任意的
恒成立，
即
，所以
，即
，
，
24
当
，
，即
时，
的最小值为12，
即
，
所以
的取值范围是
.
变式5．（2024·山东菏泽·高一菏泽一中校考期中）某公司拟在下一年度开展系列促销活动，已知其产品年
销量
万件与年促销费用万元之间满足：
.已知每一年产品的设备折旧、维修等固定费用
为3 万元，每生产1 万件产品需再投入32 万元的生产费用，若将每件产品售价定为：其生产成本的1.5 倍
与“平均每件促销费的一半”之和，则当年生产的商品正好能销完.
(1)将下一年的利润
（万元）表示为促销费（万元）的函数；
(2)该公司下一年的促销费投入多少万元时，年利润最大?并求出此时的最大利润.（注：利润=销售收入-生
产成本-促销费，生产成本=固定费用+生产费用）
【答案】(1)
(2)7 万元，最大利润为42 万元
【分析】（1）根据题意表示出年生产成本，年销售收入，从而可表示出年利润；
（2）由（1）知
，变形后利用基本不等式可求得结果.
【详解】（1）由题意知，当年生产
（万件）时，年生产成本为：
，
当销售
（万件）时，年销售收入为：
，
由题意，
，
即
.
（2）由（1）知
，
即
，
当且仅当
，又
即
时，等号成立.
此时，
.
所以该公司下一年促销费投入7 万元时年利润最大，最大利润为42 万元.
25
【方法技巧与总结】
利用均值不等式解决实际问题的步骤
解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识(函数及不等式性质
等)解决问题．用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：
(1)理解题意，设变量，设变量时，一般把要求最大值或最小值的变量定为函数．
(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题．
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值．
(4)正确写出答案．
一、单选题
1．（2024 高一上·江苏南通·阶段练习）若
，使得
成立是真命题，则实数
的最
大值为（ ）
A．
B．
C．4
D．
【答案】B
【分析】依据题意先将问题等价转化成
在
上恒成立，接着将恒成立问题转化成最值问
题
，再结合基本不等式即可求解.
【详解】
，使得
成立是真命题，
所以
,
恒成立.
所以
在
上恒成立，
所以
，
26
因为
，当且仅当
即
时等号成立，
所以
，所以
，即实数
的最大值为
.
故选：B.
2．（2024 高一上·福建福州·阶段练习）已知实数
，则函数
的最小值为（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
【答案】B
【分析】配凑后，根据基本不等式即可求解.
【详解】
实数
，
，
当且仅当
，即
时等号成立，
函数
的最小值为6.
故选：B.
3．（2024 高三上·江苏南通·阶段练习）已知
，
，且
，则
的最小值为
（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】A
【分析】变形给定的等式，再利用基本不等式求解即得.
【详解】由
，得
，由
，得
，
所以
，当且仅当
时取等号，
所以
的最小值为3.
故选：A
4．（2024·河南信阳·模拟预测）
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．6
【答案】C
【分析】由已知可得
，利用基本不等式求
的最小值.
【详解】
，则
，且
,
27
整理得到
，
所以
，当且仅当
，即
时取等号.
即
的最小值为
.
故选：C.
5．（25-26 高一上·上海·课后作业）若两个正实数
满足
，且存在这样的
使不等式
有解，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由
，得
，则
化简后利用基本不等式可求出其最小值为
4，从而得
，解不等式可求得答案.
【详解】由
，
，可得
，
所以
，
当且仅当
，即
时等号成立．
所以
，解得
或
，
所以实数
的取值范围是
．
故选：C．
6．（24-25 高三上·广东·开学考试）若
，且
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】对
进行变形，再利用
不相等时
，即可求出
的范围.
【详解】由
，则
，
又
，则
，
28
又当
时，
，
因此可得，
，
即
，又
，
因此可得
，
故选：D.
7．（2024 高一上·河南郑州·阶段练习）已知
，且
，则
的最小值为（ ）
A．45
B．42
C．40
D．38
【答案】A
【分析】利用基本不等式“1”的妙用，即可求解.
【详解】由题意得
，
当且仅当
，即
时，等号成立．
故选：A
8．（2024·福建宁德·模拟预测）若两个正实数x，y 满足
，且不等式
有解，则实
数m 的取值范围是（ ）
A．
B．
或
C．
D．
或
【答案】B
【分析】根据题意，利用基本不等式求得
的最小值，把不等式
有解，转化为不等式
，即可求解.
【详解】由两个正实数
满足
，得
，
则
，
当且仅当
，即
时取等号，
又由不等式
有解，可得
，解得
或
，
所以实数
的取值范围为
或
.
故选：B.
29
9．（2024·山东淄博·二模）记
表示
中最大的数．已知
均为正实数，则
的最小值为（ ）
A．
B．1
C．2
D．4
【答案】C
【分析】设
，可得
，利用基本不等式运算求解，注意等号成
立的条件.
【详解】由题意可知：
均为正实数，
设
，则
，
，
则
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
又因为
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
可得
，即
，所以
的最小值为2.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据定义得出
，
，再结合基本不
等式求得
.
二、多选题
10．（24-25 高三上·河南·开学考试）已知a，b 为正实数，且
，
，
，则（ ）
A．
的最大值为4
B．
的最小值为
C．
的最小值为4
D．
的最小值为2
【答案】BCD
【分析】A 选项，由基本不等式得到
，从而得到
，求出
；B 选项，
，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值；C 选项，由基本不等式得到
，
30
从而得到
，得到
；D 选项，变形得到
，由C 选项，得到答案.
【详解】A 选项，
，
因为a，b 为正实数，且
，
，
由基本不等式得
，即
，解得
，
当且仅当
时，等号成立，故
的最小值为4，A 错误；
B 选项，由
，
由基本不等式得
，
当且仅当
，即
时，等号成立，B 正确；
C 选项，
，
因为a，b 为正实数，且
，
，
由基本不等式得
，即
，解得
，
当且仅当
时，等号成立，故
的最小值为4，C 正确；
D 选项，因为
，所以
，
因为
的最小值为4，所以
的最小值为2，D 正确.
故选：BCD
11．（24-25 高三上·湖南常德·阶段练习）已知
且
，则下列不等式恒成立的是（ ）
A．
的最小值为2
B．
的最小值为
C．
的最大值为1
D．
的最小值为2
【答案】AC
【分析】利用基本不等式逐项判断即可.
【详解】对于A，
，
所以
，当且仅当
时，等号成立，故A 正确；
对于B，
，
当且仅当
时，
时等号成立，故B 错误；
31
对于C，
，故
，当且仅当
时，等号成立，故C 正确；
对于D，由A 知，
，故
，
故
，
，当且仅当
时，等号成立，
故
的最大值为2，故D 错误.
故选：AC
12．（2024 高一上·江苏南通·开学考试）已知
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【分析】由已知结合基本不等式及相关结论检验各选项即可判断．
【详解】对于A，因为
，
，且
，
所以
，即
，当且仅当
时等号成立，故A 错误；
对于B，根据A 可知，
，当且仅当
时等号成立，故B
正确；
对于C，
，当且仅当
时等号成立，故C 正确．
对于D，要证明
，只需要证明
，由于
，则只需要证明
，只需证
明
，
由于
，当且仅当
时等号成立，此时
，故等号不能取到，故
，即
，故D 正确.
故选：BCD
13．（24-25 高三上·福建龙岩·开学考试）已知
，
，则（ ）
A．
B．若
，则
C．若
，则
D．
，则
的最大值
32
【答案】BC
【分析】由
结合基本不等式即可判断A；由基本不等式，换元法及一元二次不等式
的解法即可判断B；由基本不等式“1”的妙用即可判断C；由基本不等式及一元二次不等式的解法即可判断
D．
【详解】对于A，
，当且仅当
时，等号成立，故A 错误；
对于B，
，即
，当且仅当
时，等号成立，
设
，则
，解得
，即
，
当
时，取等号，所以
，故B 正确；
对于C，
，当且仅当
，即
时等号成立，故C 正确；
对于D，
，因为
，当且仅当
，即
时等号成立，
所以
，即
，解得
，
所以
的最大值为
，故D 错误，
故选：BC．
三、填空题
14．（2024 高一上·天津滨海新·阶段练习）已知函数
，当
时，
取得最小值
，
则
；
．
【答案】 2 1
【分析】现将函数进行配凑，然后利用基本不等式求解即可.
【详解】因为
,所以
,
所以
，
当且仅当
,
即x =2时等号成立，
所以
.
故答案为：
.
15．（2024 高二下·安徽·学业考试）某服装加工厂为了适应市场需求，引进某种新设备，以提高生产效率
33
和降低生产成本．已知购买
台设备的总成本为
（单位：万元）．若要使每台设备
的平均成本最低，则应购买设备 台．
【答案】400
【分析】由
的表达式得到每台设备的平均成本，由均值不等式等号成立条件得到答案.
【详解】每台设备的平均成本
，
当且仅当
，
时，等号成立，
故答案为：400.
【点睛】方法点睛：均值不等式常用结论
1、如果
，
，则
，当且仅当
时取等号；
推论：
；
2、如果
，那么
，当且仅当
时取等号；
推论：
；
3、
16．（2024 高一上·江苏南通·开学考试）若命题“
”是假命题，则实数
的最大值
.
【答案】
【分析】由命题的否定转化为能成立问题，利用分离参数法和基本不等式即可求解.
【详解】由题知命题的否定“
”是真命题．
即
，即
，其中
，
因为
，当且仅当
时等号成立，则
故实数
的最大值为
故答案为：
.
17．（2024 高一上·河南郑州·阶段练习）已知
， 且
， 则
的最大值为 ．
【答案】144
【分析】由基本不等式得到
，平方后得到答案.
34
【详解】因为
，由基本不等式得
，
故
，当且仅当
时，等号成立．
故
的最大值为
故答案为：144
18．（2024 高一下·北京石景山·期中）为提高生产效率，某公司引进新的生产线投入生产，投入生产后，
除去成本，每条生产线生产的产品可获得的利润s（单位：万元）与生产线运转时间t（单位：年，
）满足二次函数关系：
，现在要使年平均利润最大，则每条生产线运行的时间t 为
年．
【答案】7
【分析】求出年平均利润函数，利用均值不等式求解即可.
【详解】依题意，年平均利润为
,
由于
，当且仅当
，即
时取等号，此时
，
所以当每条生产线运行的时间
时，年平均利润最大.
故答案为：7.
19．（24-25 高三上·福建莆田·开学考试）若实数
满足
，则
的最大值为
.
【答案】
/
【分析】利用基本不等式可求得
，通过配凑即可得出结果.
【详解】由
可得
，
可得
；
而
，
所以
，解得
；
当且仅当
，也即
时，上式右边等号成立；
此时
的最大值为
.
故答案为：
.
35
四、解答题
20．（2024 高一上·福建莆田·阶段练习）运货卡车以每小时
千米的速度匀速行驶130 千米，按交通法规
限制
（单位:千米/时），假设汽油的价格是每升6 元，而汽车每小时耗油
升，司机的
工资是每小时18 元.
(1)求这次行车总费用
关于
的表达式;
(2)当
为何值时，这次行车的总费用最低?最低费用是几元?
【答案】(1)
(2)
，最低费用为
元
【分析】（1）求出运货卡车行驶的时间，然后根据题意求出行车总运费即可；
（2）利用基本不等式即可求出最值.
【详解】（1）运货卡车行驶的时间为
，
则有
，
，
即
.
（2）由（1）得
，
当且仅当
，即
时取等号，
即当
时，这次行车总费用最低为
元.
21．（2024 高一下·全国·课堂例题）（1）已知
，求
的最小值；
（2）已知
，求
的最大值．
【答案】（1）6；（2）
【分析】（1）对式子进行配凑，然后用基本不等式即可；
（2）对式子进行配凑和变形，确保满足“一正”的前提下使用基本不等式.
【详解】（1）∵
，∴
，
36
∴
，
当且仅当
，即
时等号成立，
∴当
时，
取得最小值6．
（2） ∵
，∴
，∴
，
∴
，
∵
，
当且仅当
，即
时等号成立．
∴
，
∴当
时，
取得最大值
．
22．（2024 高三·全国·专题练习）已知
，
，
，求
的最大值．
【答案】
【分析】由基本不等式，结合乘“1”法即可求得答案，注意“一正、二定、三相等”的条件.
【详解】可以先求
的最小值
，
又
，
当且仅当
，即
，
时取“＝”，
因此，
的最大值是
．
23．（2024 高一上·天津滨海新·阶段练习）（1）若
，求
的最大值；
（2）求
在
时的最小值．
（3）已知
，且
，求
的最小值．
（4）已知正数
满足
．求
的最大值．
37
【答案】（1）12；（2）
；（3）6；（4）
.
【分析】对于（1），用配凑法及基本不等式的变形即可求解最大值；对于（2）可以先用换元的方法进行
化简，然后直接利用基本不等式求解最小值即可；对于（3）直接利用基本不等式的变形，然后解不等式
即可；对于（4）将
变成
，然后用两次基本不等式求解即可求解最大值.
【详解】（1）
，
，
当且仅当
，即x =2时等号成立，
的最大值为12.
（2）
,
令
,则
则
可化为
,
当且仅当
,即
时等号成立,
的最小值为
.
（3）
，
即
，
解得
或
(舍),
当且仅当
且
，
即
时等号武立，
的最小值为6.
（4）
正数a,b,c满足
，
,
即
,
,
，
38
，
当且仅当
且
,
即
时等号成立,
故
的最大值为
.
24．（2024 高三·全国·专题练习）已知
，求函数
的最大值．
【答案】
【分析】利用基本不等式可求函数的最大值或将原函数变形为二次函数求最值，根据二次函数性质可求出
最大值.
【详解】法1：因为
，故
，
故
，当且仅当x =1时等号成立，
故
的最大值为4.
法2：根据题意知
，
根据二次函数性质函数图象开口向下，因为
，
所以当
时，
取得最大值，即
.
25．（2024 高一上·福建福州·阶段练习）已知命题p：
，
；命题q：
，
(1)若p 是真命题，求实数a 的取值范围；
(2)若p 与q 有且只有一个为假命题，求实数a 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）参变量分离等价变形后，转化为恒成立问题，再转化为求最值问题，即可得解；
（2）分“p 真q 假”和“p 假q 真”两类进行讨论，根据题意，分别列出不等式组，即可得解.
【详解】（1）命题p：
，
为真，
则
恒成立，等价于
，
令
，由基本不等式可得，
，
当且仅当
时，等号成立，即
，所以
故实数a 的取值范围为
.
39
（2）命题q 为真命题：
，
，
故
，解得
或
由于p 与q 有且只有一个为假命题，
①p 真q 假：
，故
；
②p 假q 真：
，故
；
故实数a 的取值范围为
.
26．（2024 高一上·河南郑州·阶段练习）已知
， 且
．
(1)证明:
．
(2)若
， 求
的最小值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用基本不等式可得
，
，
，求和即可证明；
（2）原不等式可化为
，且
，利用基本不等
式可求得
的最小值.
【详解】（1）
，①
②
③
①+②+③得
，
40
即
，
当且仅当
时，等号成立．
（2）由
，得
，即
，
所以
由
，得
，得
，即
，
所以
．
所以
的最小值为
，
当且仅当
，即
时，等号成立．
27．（2024 高一上·浙江宁波·自主招生）对于任意正实数
， 仅当
时，等号成立． 结论：
． 若
为定值，仅当
时，
有最小值
． 根据上述内容，
回答下列问题：
(1)初步探究： 若 x>0 ，仅当
___时，有
最小值___；
(2)变式探究： 对于函数
，当
取何值时，函数
的值最小？ 最小值是多少？
(3)拓展应用：疫情期间、为了解决疑似人员的临隔离问题． 高速公路榆测站入口处， 检测人员利用检测
站的一面墙 (墙的长度不限)， 用 63 米长的钢丝网围成了 9 间相同的长方形隔离房， 如图． 设每间离
房的面积为 (米
)． 问： 每间隔离房的长、宽各为多少时，可使每间隔离房的面积 最大？ 最
大面积是多少？
【答案】(1)1,2;
41
(2)4,5;
(3)
;
【分析】（1）应用基本不等式计算求解；
（2）加3 构造定值应用基本不等式求和的最小值；
（3）根据题意设边长写出定值再应用基本不等式求面积最大值及取等条件.
【详解】（1）
,当且仅当
时取得最小值
.
（2）
,
当且仅当
时，
.
（3）设每间隔离房的长、宽分别为
,
由题意可知
,
当且仅当
时，
.
28．（2024 高一上·江苏苏州·阶段练习）《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，
由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门
发现新问题、新结论的重要方法．
阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便
解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入：（4）整体求和等．
例如，
，求证：
． 证明：原式
．
波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个藤菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群
生长”类似问题，我们有更多的式子满足以上特征．
阅读材料二：基本不等式
（
，
），当且仅当
时等号成立，它是解决最值问题的
有力工具．例如：在
的条件下，当
为何值时，
有最小值，最小值是多少？
解：
，
，
，即
，
，当且仅当
，即
时，
42
有最小值，最小值为2．请根据以上阅读材料解答下列问题：
(1)已知
，求
的值．
(2)若
，解关于
的方程
．
(3)若正数
，
满足
，求
的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由题意把
代入式中化简计算即可得解；
（2）将
代入方程后化简计算即可得解；
（3）由已知条件可得
，利用基本不等式求出
的最小值即可得
的最小值．
【详解】（1）由题意得
；
（2）由
，
故原方程可化为：
，
即：
，
，即
，解得：
；
（3）由
，则有
，
，
当且仅当
，即
，
时，等号成立，
43
有最小值
，此时
有最大值
，
从而
有最小值
，即
有最小值
．
