文档文本内容
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2.2.4 均值不等式及其应用
课程标准
学习目标
1、学会推导并掌握均值不等式定理.
2、能够简单应用定理求最值.
1、通过对均值不等式不同形式应用的研究，渗透
“转化”的数学思想
2、了解均值不等式的几何意义。
3、教材用作差配方法证明均值不等式，并用定理求
最值问题。
4、掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件：当且
仅当这两个数相等。
知识点01 均值不等式
（1）算术平均值与几何平均值
给定两个正数a，b，数称为a，b 的算术平均值；数称为a，b 的几何平均值．
多个正数的算术平均值和几何平均值可以类似地定义，例如a，b，c 的算术平均值为，几何平均值为.
（2）均值不等式
如果a，b 都是正数，那么≥，当且仅当a＝b 时，等号成立．
均值不等式也称为基本不等式，其实质是：两个正实数的算术平均值不小于它们的几何平均值．
(1)“当且仅当”的含义：当a＝b 且仅当a＝b 时，不等式≥能取到等号，即＝.
(2)均值不等式可变形为a＋b≥2，ab≤.
【即学即练1】【多选】（2024·广东江门·高一新会陈经纶中学校考阶段练习）下列命题中正确的是
（ ）
A．当
时，
2
B．若
，则
的最小值是
C．当
时，
D．
的最小值是
知识点02 均值不等式与最大(小)值
已知x，y 都是正数．
(1)如果积xy 是定值P，那么当x＝y 时，和x＋y 有最小值2；
(2)如果和x＋y 是定值S，那么当x＝y 时，积xy 有最大值S2.
可以表述为：
两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；
两个正数的和为常数时，它们的积有最大值．
可简记为“两正数积定和最小，和定积最大”．
利用均值不等式求最值必须满足三个条件才可以进行，即“一正、二定、三相等”．具体理解如下：
(1)“一正”，即所求最值的各项必须都是正值，否则就容易得出错误的答案．
(2)“二定”，即含变量的各项的和或者积必须是常数，即要求a＋b 的最小值，ab 必须是定值；求ab
的最大值，a＋b 必须是定值．
(3)“三相等”，即必须具备不等式中等号成立的条件，才能求得最大值或最小值．
【即学即练2】【多选】（2024·重庆·高一校联考阶段练习）设正实数x，y 满足
，则（ ）
A．
的最大值是
B．
的最小值是9
C．
的最小值为
D．
的最小值为2
易错：利用基本不等式求最值
示例 若正数x，y 满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y 的最小值是( )
A．24
5 B．28
5 C．5 D．6
3
【题型1：对均值不等式的理解】
例1．（2024·广东广州·高一广州市第四十一中学校考阶段练习）《几何原本》卷Ⅱ的几何代数法成了后世
西方数学家处理数学问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，也称之为
无字证明现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，可以
直接通过比较线段OF 与线段CF 的长度完成的无字证明为（ ）
A．a2+b2≥2ab（a＞0，b＞0）
B．
C．
（a＞0，b＞0）
D．
（a＞0，b＞0）
变式1.（2024·北京·高一丰台第十二中学校考期中）下列结论正确的是（ ）
A．当
时，
B．当
时，
的最小值是
C．当
时，
D．当
时，
的最小值为1
变式2.（2024·湖北十堰·高一郧阳中学校考阶段练习）（多选）下列推导过程，其中正确的是（ ）
A．因为
为正实数，所以
B．因为
，所以
C．因为
，所以
D．因为
，所以
，当且仅当
时，
等号成立
4
变式3.（2024·全国·高一专题练习）如果
，那么下列不等式正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式4.（2024·江苏常州·高一校考阶段练习）下列说法，其中一定正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
的最小值为
【方法技巧与总结】
基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把
构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不
是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方
【题型2：利用均值不等式求最值】
例2.（2024·陕西西安·高一校考期中）已知
，
，
，则
的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
变式1.（2024·海南·高一校考期中）已知
，代数式
的最大值为（ ）
A．
B．
C．2 D．
变式2．【多选】（2024·陕西咸阳·高一武功县普集高级中学校考阶段练习）若
，
，且
，
则下列不等式恒成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式3．（2024·江苏连云港·高一校考阶段练习）已知
，则
的最小值为 .
5
变式4．（2024·吉林·高三校考阶段练习）设
，则函数
的最小值是 .
变式5．（2024·海南省直辖县级单位·高三校联考阶段练习）设
，则函数
，的最小值
为（ ）
A．7
B．8
C．14
D．15
变式6．（2023 春·新疆塔城·高一乌苏市第一中学校考开学考试）已知
，若
，则
的最小值为 .
变式7.（2024·全国·高一专题练）已知
，则
的最小值为（ ）
A．
B．0 C．1 D．
变式8．（2024·山东德州·高三德州市第一中学校考阶段练习）已知正实数a，b 满足
，则
的
最小值为 ．
变式9．（2024·江苏常州·高一常州市北郊高级中学校考阶段练习）已知
，
，且
，则
的最小值是（ ）
A．1
B．
C．2
D．3
变式10．（2024·江苏常州·高一常州市北郊高级中学校考阶段练习）求解下列各题：
(1)求
的最小值；
(2)已知
，且
，求
的最小值．
变式11．（2024·江西·高一江西师大附中校考期中）已知正数x，y 满足
，则
的最小值
为 .
变式12．（2024·天津武清·高一天津市武清区杨村第一中学校考阶段练习）若
，
，则
的最小值为 ．
【方法技巧与总结】
利用均值不等式求最值的策略
（1）利用均值不等式求最值的策略
6
(2)拼凑法求解最值，就是先通过代数式变形拼凑出和或积为常数的两项，然后利用均值不等式求解最
值．
(3)通过消元法利用基本不等式求最值的方法
消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解．有时会出
现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．
注意：利用基本不等式求函数最值，千万不要忽视等号成立的条件．
【题型3：利用均值不等式证明不等式】
例3.（2024·江苏苏州·高一校考阶段练习）已知
均为正数，且
，求证：
.
变式1．（2024·全国·高一课堂例题）对任意三个正实数
，
，，求证：
，当
且仅当
时等号成立．
变式2．（2024·全国·高一课堂例题）设
，
为正数，证明下列不等式：
(1)
；
(2)
．
变式3．（2024·河南焦作·高二博爱县第一中学校考阶段练习）已知
，且
.
(1)证明：
；
(2)证明：
.
变式4．（2024·广西南宁·高一校考阶段练习）（1）设
均为正数，且
，证明：若
，
则
：
（2）已知
为正数，且满足
，证明：
.
变式5．（2024·陕西西安·高二校考期中）（1）已知
，求
的最大值；
7
（2）设
均为正数，且
，证明：
．
变式6.（2024·湖南长沙·高一校考期末）已知
，
都是正数.
（1）若
，证明：
；
（2）当
时，证明：
.
【方法技巧与总结】
利用均值不等式证明不等式
(1)在利用a＋b≥2 时，一定要注意是否满足条件a>0，b>0.
(2)在利用基本不等式a＋b≥2 或≥(a>0，b>0)时要注意对所给代数式通过添项配凑，构造符合基本不等式的
形式．
(3)另外，在解题时还要注意不等式性质和函数性质的应用．
【题型4：均值不等式的恒成立问题】
例4.（2024·四川雅安·高一校考开学考试）若对
，
，有
恒成立，则
的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式1．（2024·全国·高一专题练习）已知
且
，若
恒成立，则实数
的范围是 ．
变式2.（2024·高一单元测试）已知对任意
，不等式
恒成立，则实数a 的最小值为
．
变式3．（2024·福建龙岩·高一福建省连城县第一中学校考阶段练习）已知
，且
，若
恒成立，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式4．（2024·全国·高一专题练习）已知
，且
，若
恒成立，则实数
的取值范围是 （ ）
A．
B．
C．
D．
变式5．（2024·全国·高一专题练习）已知不等式
对任意正实数
恒成立，则正实数
8
的最小值为（ ）
A．2
B．4
C．6
D．9
变式6．（2024·吉林四平·高一校考阶段练习）已知
，且
(1)求
的最小值；
(2)若
恒成立，求
的最大值.
变式7．（2024·安徽阜阳·高二校考期中）两个正实数
，
满足
，若不等式
有解，
则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【方法技巧与总结】
求参数的值或取值范围的一般方法
(1)分离参数，转化为求代数式的最值问题．
(2)观察题目特点，利用均值不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或取值范围．
【题型5：利用均值不等式解决实际问题】
例5.（2024·广西钦州·高一校考开学考试）有一块橡皮泥的体积为2，起初做成一个长，宽，高依次为
，
，1 的长方体.现要将它的长增加1，宽增加2，做成一个新的长方体，体积保持不变，则新长方体高的最
大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式1.（2024·四川雅安·高一雅安中学校考开学考试）一批货物随17 列货车从A 市以千米/时匀速直达B
市，已知两地铁路线长400 千米，为了安全，两列货车的间距不得小于
千米，那么这批货物全部运
到B 市，最快需要 小时.
变式2．（2024·浙江杭州·高一校联考阶段练习）某人要买房，随着楼层的升高，上下楼耗费的精力增多，
因此不满意度升高.当住第
层楼时，上下楼造成的不满意度为
.但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为
安静，因此随着楼层的升高，环境不满意度降低.设住第
层楼时，环境不满意程度为
.则此人应选第
楼，会有一个最佳满意度.
变式3．（2024·湖南邵阳·高三湖南省邵东市第三中学校考阶段练习）某小区要建一座八边形的休闲小区，
它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD 和EFGH 构成的十字形地域，四个小矩形加一个正方形
面积共为200 平方米．计划在正方形MNPQ 上建一座花坛，造价为每平方米4200 元，在四个相同的矩形
9
上（图中阴影部分）铺设花岗岩地坪，造价为每平方米210 元，再在四个角上铺设草坪，造价为每平方米
80 元．
(1)设AD 长为x 米，总造价为S 元，试建立S 关于x 的函数关系式；
(2)问：当x 为何值时S 最小，并求出这个S 最小值.
变式4．（2024·重庆·高一校联考阶段练习）中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的
重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，
利用其一侧原有墙体，建造一面高为3m，底面积为
，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保
管员室的后背靠墙，无需建造费用，因此甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米
400 元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150 元，屋顶和地面以及其他报价共计7200 元，设屋子的左
右两面墙的长度均为
．
(1)当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低?
(2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为
元
若无论左右两面
墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求a 的取值范围．
变式5．（2024·山东菏泽·高一菏泽一中校考期中）某公司拟在下一年度开展系列促销活动，已知其产品年
销量
万件与年促销费用万元之间满足：
.已知每一年产品的设备折旧、维修等固定费用
为3 万元，每生产1 万件产品需再投入32 万元的生产费用，若将每件产品售价定为：其生产成本的1.5 倍
与“平均每件促销费的一半”之和，则当年生产的商品正好能销完.
(1)将下一年的利润
（万元）表示为促销费（万元）的函数；
(2)该公司下一年的促销费投入多少万元时，年利润最大?并求出此时的最大利润.（注：利润=销售收入-生
产成本-促销费，生产成本=固定费用+生产费用）
【方法技巧与总结】
利用均值不等式解决实际问题的步骤
解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识(函数及不等式性质
等)解决问题．用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：
(1)理解题意，设变量，设变量时，一般把要求最大值或最小值的变量定为函数．
10
(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题．
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值．
(4)正确写出答案．
一、单选题
1．（2024 高一上·江苏南通·阶段练习）若
，使得
成立是真命题，则实数
的最
大值为（ ）
A．
B．
C．4
D．
2．（2024 高一上·福建福州·阶段练习）已知实数
，则函数
的最小值为（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
3．（2024 高三上·江苏南通·阶段练习）已知
，
，且
，则
的最小值为
（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
4．（2024·河南信阳·模拟预测）
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．6
5．（25-26 高一上·上海·课后作业）若两个正实数
满足
，且存在这样的
使不等式
有解，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（24-25 高三上·广东·开学考试）若
，且
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2024 高一上·河南郑州·阶段练习）已知
，且
，则
的最小值为（ ）
11
A．45
B．42
C．40
D．38
8．（2024·福建宁德·模拟预测）若两个正实数x，y 满足
，且不等式
有解，则实
数m 的取值范围是（ ）
A．
B．
或
C．
D．
或
9．（2024·山东淄博·二模）记
表示
中最大的数．已知
均为正实数，则
的最小值为（ ）
A．
B．1
C．2
D．4
二、多选题
10．（24-25 高三上·河南·开学考试）已知a，b 为正实数，且
，
，
，则（ ）
A．
的最大值为4
B．
的最小值为
C．
的最小值为4
D．
的最小值为2
11．（24-25 高三上·湖南常德·阶段练习）已知
且
，则下列不等式恒成立的是（ ）
A．
的最小值为2
B．
的最小值为
C．
的最大值为1
D．
的最小值为2
12．（2024 高一上·江苏南通·开学考试）已知
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
13．（24-25 高三上·福建龙岩·开学考试）已知
，
，则（ ）
A．
B．若
，则
C．若
，则
D．
，则
的最大值
三、填空题
14．（2024 高一上·天津滨海新·阶段练习）已知函数
，当
时，
取得最小值
，
则
；
．
15．（2024 高二下·安徽·学业考试）某服装加工厂为了适应市场需求，引进某种新设备，以提高生产效率
12
和降低生产成本．已知购买
台设备的总成本为
（单位：万元）．若要使每台设备
的平均成本最低，则应购买设备 台．
16．（2024 高一上·江苏南通·开学考试）若命题“
”是假命题，则实数
的最大值
.
17．（2024 高一上·河南郑州·阶段练习）已知
， 且
， 则
的最大值为 ．
18．（2024 高一下·北京石景山·期中）为提高生产效率，某公司引进新的生产线投入生产，投入生产后，
除去成本，每条生产线生产的产品可获得的利润s（单位：万元）与生产线运转时间t（单位：年，
）满足二次函数关系：
，现在要使年平均利润最大，则每条生产线运行的时间t 为
年．
19．（24-25 高三上·福建莆田·开学考试）若实数
满足
，则
的最大值为
.
四、解答题
20．（2024 高一上·福建莆田·阶段练习）运货卡车以每小时
千米的速度匀速行驶130 千米，按交通法规
限制
（单位:千米/时），假设汽油的价格是每升6 元，而汽车每小时耗油
升，司机的
工资是每小时18 元.
(1)求这次行车总费用
关于
的表达式;
(2)当
为何值时，这次行车的总费用最低?最低费用是几元?
21．（2024 高一下·全国·课堂例题）（1）已知
，求
的最小值；
（2）已知
，求
的最大值．
22．（2024 高三·全国·专题练习）已知
，
，
，求
的最大值．
23．（2024 高一上·天津滨海新·阶段练习）（1）若
，求
的最大值；
（2）求
在
时的最小值．
（3）已知
，且
，求
的最小值．
（4）已知正数
满足
．求
的最大值．
24．（2024 高三·全国·专题练习）已知
，求函数
的最大值．
25．（2024 高一上·福建福州·阶段练习）已知命题p：
，
；命题q：
，
(1)若p 是真命题，求实数a 的取值范围；
13
(2)若p 与q 有且只有一个为假命题，求实数a 的取值范围.
26．（2024 高一上·河南郑州·阶段练习）已知
， 且
．
(1)证明:
．
(2)若
， 求
的最小值．
27．（2024 高一上·浙江宁波·自主招生）对于任意正实数
， 仅当
时，等号成立． 结论：
． 若
为定值，仅当
时，
有最小值
． 根据上述内容，
回答下列问题：
(1)初步探究： 若 x>0 ，仅当
___时，有
最小值___；
(2)变式探究： 对于函数
，当
取何值时，函数
的值最小？ 最小值是多少？
(3)拓展应用：疫情期间、为了解决疑似人员的临隔离问题． 高速公路榆测站入口处， 检测人员利用检测
站的一面墙 (墙的长度不限)， 用 63 米长的钢丝网围成了 9 间相同的长方形隔离房， 如图． 设每间离
房的面积为 (米
)． 问： 每间隔离房的长、宽各为多少时，可使每间隔离房的面积 最大？ 最
大面积是多少？
28．（2024 高一上·江苏苏州·阶段练习）《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，
由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门
发现新问题、新结论的重要方法．
阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便
解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入：（4）整体求和等．
例如，
，求证：
． 证明：原式
．
波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个藤菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群
14
生长”类似问题，我们有更多的式子满足以上特征．
阅读材料二：基本不等式
（
，
），当且仅当
时等号成立，它是解决最值问题的
有力工具．例如：在
的条件下，当
为何值时，
有最小值，最小值是多少？
解：
，
，
，即
，
，当且仅当
，即
时，
有最小值，最小值为2．请根据以上阅读材料解答下列问题：
(1)已知
，求
的值．
(2)若
，解关于
的方程
．
(3)若正数
，
满足
，求
的最小值．
