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1
第四章 概率与统计章末测试
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准
考证号填写在答题卡上．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1．（23-24 高二下·福建福州·期中）下列叙述中，是离散型随机变量的是（ ）
A．某电子元件的寿命
B．高速公路上某收费站在一小时内经过的车辆数
C．某人早晨在车站等出租车的时间
D．测量某零件的长度产生的测量误差
【答案】B
【分析】根据离散型随机变量的定义直接求解.
【详解】某电子元件的寿命可为任意值，不能一一列举出来，不是离散型随机变量；
一小时内经过的车辆数可以一一列举出来，是离散型随机变量；
等出租车的时间是随机变量，但无法一一列出，不是离散型随机变量；
测量误差不能一一列出，不是离散型随机变量．
故选：B．
2．（23-24 高二下·安徽安庆·期中）若随机变量X 的分布列如下表所示，且
，则表中a 的值为
（ ）
X
4
a
9
P
0.5
0.1
b
A．
B．7
C．5.61
D．6.61
【答案】B
【分析】根据随机变量
的分布列的性质求得
，再由期望的公式，求得
，最后利用方差的公
式，即可求解，得到答案．
【详解】根据随机变量
的分布列性质，可得
，解得
，
又由
，解得
.
故选：B.
3．（23-24 高二下·四川遂宁·阶段练习）已知随机变量
服从两点分布，且
，设
，
2
那么
的值是（ ）
A．0.84
B．0.7
C．0.4
D．0.3
【答案】A
【分析】由已知结合两点分布的方差公式和方差性质即可求解.
【详解】因为随机变量
服从两点分布，
所以由题
，又
，
所以
.
故选：A.
4．（23-24 高二下·福建宁德·阶段练习）已知变量
和
的统计数据如下表：
6
8
10
12
2
3
5
6
根据上表可得回归直线方程
，据此可以预测当
时，
（ ）
A．7.8
B．6.5
C．9.6
D．8.2
【答案】D
【分析】利用回归直线过样本中心点求解
，代入
即可.
【详解】根据表格中的数据
，
当
时，
故选：D
5．（23-24 高二下·浙江·期中）从7 男3 女共10 名学生干部中随机选出5 名学生干部，抽到的女生人数的
均值为（ ）
A．
B．
C．
D．2
【答案】A
【分析】根据超几何分布的概率公式求解概率，即可由期望公式求解.
【详解】抽到的女生人数
可能为0，1，2，3，
，
，
，
，
所以
．
3
故选：A
6．（24-25 高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，一个质点从原点0 出发，每隔一秒随机等可能地向左
或向右移动一个单位，共移动4 次，在质点第一秒位于1 的位置的条件下，该质点共经过两次2 的位置的
概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据已知条件，结合条件概率与独立事件的乘法公式，即可求解．
【详解】质点移动4 次，共有
种情况，
设质点第一秒位于1 的位置为事件为
，则
，
记质点两次经过质点2 为事件
，若第一步位于1，则还有3 步，想要经过质点2 两次，
则有
，
两种情况，
所以
，
则
．
故选：A．
7．（24-25 高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）今有水平相当的棋手甲和棋手乙进行某项围棋比赛，胜者可获
得48000 元奖金.比赛规定下满五局，五局中获胜局数多者赢得比赛，比赛无平局，若比赛已进行三局，甲
两胜一负，由于突发因素无法进行后面比赛，如何分配奖金最合理？（ ）
A．甲24000 元，乙24000 元
B．甲32000 元，乙16000 元
C．甲40000 元，乙8000 元
D．甲36000 元，乙12000 元
【答案】D
【分析】根据甲乙两人最终获胜的概率即可按比例分配.
【详解】乙最终获胜的概率为
，甲最终获胜的概率为
，
所以甲乙两人按照
分配奖金才比较合理，
所以甲
元，乙
元，
故选：D.
8．（24-25 高二上·四川眉山·阶段练习）某人有两把雨伞用于上下班，如果一天上班时他也在家而且天下
雨，只要有雨伞可取，他将拿一把去办公室，如果一天下班时他也在办公室而且天下雨，只要有雨伞可取，
他将拿一把回家.；如果天不下雨，那么他不带雨伞.假设每天上班和下班时下雨的概率均为
，不下雨的概
4
率均为
，且与过去情况相互独立.现在两把雨伞均在家里，那么连续上班两天，他至少有一天淋雨的概率
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】计算对立事件的概率，从下雨次数入手，分类讨论计算两天都不淋雨的概率，即可得至少有一天
淋雨的概率.
【详解】解：“至少有一天淋雨”的对立事件为“两天都不淋雨”，
连续上两天班，上班、下班的次数共有4 次.
(1)4 次均不下雨，概率为：
；
(2)有1 次下雨但不淋雨，则第一天或第二天上班时下雨，概率为：
；
(3)有2 次下雨但不淋雨，共3 种情况：
①同一天上下班均下雨；②两天上班时下雨，下班时不下雨；③第一天上班时下雨，下班时不下雨，第二
天上班时不下雨，下班时下雨；
概率为：
；
(4)有3 次下雨但不被淋雨，则第一天或第二天下班时不下雨，
概率为：
；
(5)4 次均下雨，概率为：
；
两天都不淋雨的概率为：
，
所以至少有一天淋雨的概率为：
.
故选：D.
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．（24-25 高二上·黑龙江·期中）有6 个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机
取两次，每次取一个球.事件
“第一次取出的球的数字是1”，事件
“第二次取出的球的数字是
2”，事件
“两次取出的球的数字之和是8”，事件
“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ）
A．
与
互斥
B．
与
互斥
C．
与
相互独立
D．
与
相互独立
【答案】ABD
【分析】列举出基本事件，再根据互斥事件及相互独立事件的定义判断即可.
【详解】依题意从中有放回地随机取两次球，则可能结果有：
5
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，共
个结果.
事件
包含的基本事件有：
，
，
，
，
，
共
个；
事件
包含的基本事件有：
，
，
，
，
，
共
个；
事件
包含的基本事件有：
共个；
事件
包含的基本事件有：
，
，
，
，
，
共
个；
对于A：显然事件
与事件
不可能同时发生，所以
与
互斥，故A 正确；
对于B：事件
与事件
不可能同时发生，所以
与
互斥，故B 正确；
对于C：因为
，
，
，
所以
与
不独立，故C 错误；
对于D：因为
，
，
，
所以
与
相互独立，故D 正确.
故选：ABD
10．（24-25 高二下·全国·课后作业）（多选）假设某厂有两条包装食盐的生产线甲、乙，生产线甲正常情
况下生产出来的包装食盐质量服从正态分布
（单位：g），生产线乙正常情况下生产出来的包装
食盐质量为
，随机变量x 的概率分布密度函数为
，其中
，则（ ）
附：随机变量
，则
，
.
A．正常情况下，从生产线甲任意抽取一包食盐，质量小于
的概率为0.135%
B．生产线乙的食盐质量
C．曲线
的峰值为
D．生产线甲上的检测员某天随机抽取两包食盐，称得其质量均大于
，于是判断出该生产线出现
异常，该判断是合理的
6
【答案】ACD
【分析】根据正态分布的性质结合给定区间上的概率值可判断A；根据随机变量x 的概率分布密度函数可
判断B，C；根据正态分布的“
”原则可判断D.
【详解】对于A，设生产线甲正常情况下生产出来的包装食盐的质量为X，则
，
其中
，则
，A 正确；
对于B，随机变量x 的概率分布密度函数
，有
，
，因此生产线乙的食
盐质量
，B 错误；
对于C，因为
，当且仅当
时取等号，
因此当
时，
，C 正确；
对于D，
，
说明生产线甲上抽到质量大于
食盐的可能性很低，
则随机抽取两包其质量均大于
，说明判断出该生产线出现异常是合理的，D 正确.
故选:ACD.
11．（23-24 高二下·黑龙江哈尔滨·期末）某计算机程序每运行一次都随机出现一个十位二进制数
（例如若
，则
），已知
出现“0”的概率为
，出现“1”的概率为
，记
，则当程序运行一次时（ ）
A．X 服从二项分布
B．
C．
D．
【答案】AC
【分析】根据二项分布的定义可判断A 的正误，利用二项分布可判断B 的正误，利用公式计算出
的期望
和方差后可判断CD 的正误.
【详解】由二进制数A 的特点知，每一个数位上的数字只能填0，1 且每个数位上的数字互不影响，
故X 中1 出现次数的可能取值有
，则
可能取值情况与之相同，
由二项分布的定义可得：
，故A 正确.
7
故
，故B 错误；
所以
，
，故C 正确，D 错误．
故选：AC．
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分．
12．（23-24 高二下·四川眉山·期末）以曲线
拟合一组数据时，经
代换后的线性回归方程为
，则
．
【答案】
【分析】利用对数的运算法则，再结合回归方程即可求解.
【详解】因为
，
所以
，
令
，则
，
又因为
，
所以
，
，
所以
.
故答案为：
.
13．（23-24 高二下·天津和平·期中）甲从装有除颜色外都相同的3 个黑球和m 个白球的布袋中随机摸取一
球，有放回的摸取3 次，记摸出黑球的个数为X，若
，则
．
【答案】
【分析】根据已知可得
，由
得
；由此可以得到
的值.
【详解】甲从装有除颜色外完全相同的3 个白球和
个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取3 次，
记摸得黑球个数为
，则
，
∵
，∴
，∴
，
∴
.
故答案为：
.
14．（24-25 高二上·湖北十堰·阶段练习）假定某工厂甲、乙、丙个车间生产同一种螺钉，产量依次占全
厂的
、
、
，如果各车间的次品率依次为
、
、
.现在从待出厂产品中检查出个次品，
则它是由甲车间生产的概率是 ．
8
【答案】
【分析】先根据全概率公式求出
，再带入贝叶斯公式计算即可．
【详解】设“从待出厂产品中取出个是次品”为事件A，从待出厂产品中取出个产品是甲、乙、丙车间
生产的事件分别为事件
，
，
，
则
，
，
，
，
，
，
由全概率公式得
，
现在从待出厂产品中检查出个次品，则它是由甲车间生产的概率是
．
故答案为：
.
四、解答题：本题共5 小题，共77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（24-25 高二上·四川眉山·期中）随着互联网的高速发展和新媒体形式的不断丰富，微短剧作为一种新
兴的文化载体，正逐渐成为拓展文化消费空间的重要途径.某媒体为了了解微短剧消费者的年龄分布，随机
调查了200 名消费者，得到如下列联表：
年龄不超过40 岁
年龄超过40 岁
合计
是微短剧消费者
30
45
不是微短剧消费者
合计
100
200
(1)根据小概率值
的独立性检验，能否认为“是微短剧消费者”与“年龄不超过40 岁”有关联？
(2)记2020~2024 年的年份代码x 依次为1，2，3，4，5，下表为2020~2023 年中国微短剧市场规模及2024
年中国微短剧预测的市场规模y（单位：亿元）与x 的统计数据：
年份代码x
1
2
3
4
5
市场规模y
9.4
36.8
101.7
373.9
m
根据上表数据求得y 关于x 的经验回归方程为
，求相关系数r，并判断该经验回归方程
是否有价值.
参考公式：
，其中
，
.
9
，相关系数
.
.
若
，则认为经验回归方程有价值.
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
【答案】(1)有关联
(2)
，该经验回归方程有价值.
【分析】（1）先补全
列联表，再计算卡方，根据独立性检验原则即可判断；
（2）通过给出的经验回归方程公式求相关系数，再判断．
【详解】（1）2×2 列联表如下：
年龄不超过40 岁
年龄超过40 岁
合计
是微短剧消费者
30
15
45
不是微短剧消费者
70
85
155
合计
100
100
200
零假设
“是微短剧消费者”与“年龄不超过40 岁”无关联，
因为
，
根据小概率值
的独立性检验，我们推断
不成立，即认为“是微短剧消费者”与“年龄不超过40
岁”有关联，此推断犯错误的概率不超过0.05.
（2）由x 的取值依次为1，2，3，4，5，得
，
，
因为经验回归方程为
，
所以
，
所以
，
10
所以
.
因为
，所以该经验回归方程有价值.
16．（24-25 高三上·重庆·期中）某工厂生产一批机器零件，现随机抽取100 件对某一项性能指标进行检测，
得到一组数据
，如下表：
性能指标X
66
77
80
88
96
产品件数
10
20
48
19
3
(1)求该项性能指标的样本平均数
的值．若这批零件的该项指标
近似服从正态分布
其中
近
似为样本平均数
的值，
，试求
的值．
(2)若此工厂有甲、乙两台机床加工这种机器零件，且甲机床的生产效率是乙机床的生产效率的2 倍，甲机
床生产的零件的次品率为0.02，乙机床生产的零件的次品率为0.01，现从这批零件中随机抽取一件．
①求这件零件是次品的概率：
②若检测出这件零件是次品，求这件零件是甲机床生产的概率；
③若从这批机器零件中随机抽取300 件，零件是否为次品与该项性能指标相互独立，记抽出的零件是次品，
且该项性能指标恰好在
内的零件个数为
，求随机变量
的数学期望（精确到整数）．
参考数据：若随机变量
服从正态分布
则
，
【答案】(1)80，0.8186
(2)①
；②
；③4
【分析】（1）计算出平均数后可得
，结合正态分布的性质计算即可得解；
（2）①借助全概率公式计算即可得；②按照条件概率公式计算即可；③借助二项分布期望公式计算即可
得．
【详解】（1）
，
因为
，所以
，
则
；
（2）①设“抽取的零件为甲机床生产”记为事件
，
“抽取的零件为乙机床生产”记为事件
，
“抽取的零件为次品”记为事件
，
11
则
，
，
，
，
则
；
②
；
③由（1）及（2）①可知，这批零件是次品且性能指标在
内的概率
，
且随机变量
，
所以
，
所以随机变量Y 的数学期望为4.
17．（24-25 高二上·北京·期中）图像识别是人工智能领域的一个重要研究方向.某中学人工智能兴趣小组研
发了一套根据人脸照片识别性别的程序.在对该程序的一轮测试中，小组同学输入了500 张不同的人脸照片
作为测试样本，获得数据如下表（单位：张）：
识别结果真实性
别
可以识别
无法识别
男
女
男
180
15
5
女
20
275
5
该程序对每张照片的识别都是独立的.
(1)现从这500 张人脸照片中随机抽取，
①若抽取一张，求识别结果正确的概率；
②若抽取一张男性照片和一张女性照片，求至少有一张照片无法被成功识别（含无法识别或识别错误）的
概率；
(2)为处理无法识别的照片，该小组同学提出上述程序修改的三个方案：
方案一：将无法识别的照片全部判定为女性；
方案二：将无法识别的照片全部判定为男性；
方案三：将无法识别的照片随机判定为男性或女性（即判定为男性或女性概率均为50%）.
现从若干张不同人脸照片（其中男性、女性照片数量之比为
中随机抽取一张，分别用方案一、方案二、
方案三进行识别，其识别正确的概率估计值分别记为
，
，
，试比较
，
，
的大小.（假设用
频率估计概率，结论不要求证明）
【答案】(1)①
；②
；
12
(2)
.
【分析】（1）①利用全概率公式求概率；②应用独立乘法、互斥事件加法公式求概率；
（2）分别求出方案一方案二方案三进行识别正确的概率，然后比较大小
､
､
.
【详解】（1）①若
表示抽到男性，
表示抽到女性，
表示识别为男性，
表示识别为女性，
由题设
，
，所以
，
，
又
，
，所以
，
，
所以抽取一张，求识别结果正确的概率
；
②由
，
，所以
，
，
所以抽取一张男性照片和一张女性照片，至少有一张照片无法被成功识别的概率为
.
（2）程序将男生识别正确的频率为
，识别为女生的频率为
，无法识别的频率为
，
程序将女生识别正确的频率为
，识别为男生的频率为
，无法识别的频率为
，
由频率估计概率得
，
，
，
所以
.
18．（23-24 高二下·河南漯河·阶段练习）为不断改进劳动教育，进一步深化劳动教育改革，现从某单位全
体员工中随机抽取3 人做问卷调查.已知某单位有N 名员工，其中
是男性，
是女性.
(1)当
时，求出3 人中男性员工人数X 的分布列和数学期望；
(2)我们知道，当总量N 足够大而抽出的个体足够小时，超几何分布近似为二项分布.现在全市范围内考虑，
从N 名员工(男女比例不变)中随机抽取3 人，在超几何分布中男性员工恰有2 人的概率记作
，在二项分
布中，即男性员工的人数
男性员工恰有2 人的概率记作
.那么当N 至少为多少时，我们可以
在误差不超过0.001（即
）的前提下认为超几何分布近似为二项分布(参考数据:
)
13
【答案】(1)分布列见解析，
(2)N 至少为145
【分析】（1）利用超几何分布概率模型求出概率，即可列出分布列和求数学期望；
（2）利用二项分布概率模型和超几何分布概率模型即可求解.
【详解】（1）由题意，当
时，男性员工有4 人，女性员工有6 人，
服从超几何分布，
，
，
，
，
，
则
的分布列为
0
1
2
3
所以数学期望为
.
（2）由题意，男性员工有
人，女性员工有
人，
则
，
，
由于
，则
，
即
，
即
，
由题意易知
，
从而
，
14
化简得
，
又
，于是
.
由于函数
在
上单调递增，且
，
从而
在
时单调递增，
又
，
.
因此当
时，符合题意，
而又考虑到
和
都是整数，则
一定是5 的整数倍，
则N 至少为145 时，我们可以在误差不超过0.001（即
）的前提下认为超几何分布近似为二
项分布.
19．（24-25 高二上·黑龙江齐齐哈尔·期中）4 月23 日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”．为了解
某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了500 名高一学生进行在线调查，得到了这500
名学生的日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成[0,2]，
，
，
，
，
，
，
，
九组，绘制成如图所示的频率分布直方图．
(1)从这500 名学生中随机抽取一人，日平均阅读时间在
内的概率；
(2)为进一步了解这500 名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在
，
，
三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10 人，现从这10 人中随机抽取3
人，记日平均阅读时间在
内的学生人数为X，求X 的分布列和数学期望和方差；
(3)以样本的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取10 名学生，用
表示这10 名学生中恰有
k 名学生日平均阅读时间在
内的概率，其中
，1，2，…，10．当
最大时，写出k 的值．
（写出证明）
【答案】(1)
15
(2)分布列见解析，
，
(3)
，证明见解析
【分析】（1）根据频率分布直方图的性质可求得
，从而可得日平均阅读时间在
内的概率；
（2）求得
的可能取值及对应概率，完成分布列，根据期望公式计算即可；
（3）由题意得，
，则
，利用组合数的性质求最大值即可．
【详解】（1）由频率分布直方图得：
，
解得
，
，所以日平均阅读时间在
内的概率为0.20；
（2）由频率分布直方图得：
这500 名学生中日平均阅读时间在
，
，
，三组内的学生人数分别为：
人，
人，
人，
若采用分层抽样的方法抽取了10 人，
则从日平均阅读时间在，
内的学生中抽取：
人，
现从这10 人中随机抽取3 人，则X 的可能取值为0，1，2，3，
，
，
，
，
的分布列为：
X
0
1
2
3
P
∴数学期望
，
.
（3）
，理由如下：
由频率分布直方图得学生日平均阅读时间在
内的概率为0.50，
从该地区所有高一学生中随机抽取10 名学生，
恰有k 名学生日平均阅读时间在
内的分布列服从二项分布
，
16
，
由组合数的性质可得
，且当
时
递增，故当
时
最大.
