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第四章 概率与统计 章末题型大总结
题型01 条件概率、乘法公式及全概率公式
2
【典例1】 （24-25 高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）秋冬季节是某呼吸道疾病的高发期，为了解该疾病
的发病情况，疾控部门对该地区居民进行普查化验，化验结果阳性率为
，但统计分析结果显示患病
率为
，医学研究表明化验结果是有可能存在误差的，没有患该疾病的居民其化验结果呈阳性的概率为
，则该地区患有该疾病的居民化验结果呈阳性的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】 （24-25 高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，一个质点从原点0 出发，每隔一秒随机等可能
地向左或向右移动一个单位，共移动4 次，在质点第一秒位于1 的位置的条件下，该质点共经过两次2 的
位置的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】 （23-24 高二下·浙江宁波·期中）已知甲、乙两个袋子各装有10 个球，其中甲袋子中装有4 个
黑球、3 个白球和3 个红球，乙袋子中装有3 个黑球、2 个白球和5 个红球.规定抛掷一枚质地均匀的硬币，
若正面朝上，则从甲袋子中随机摸出一个球：若反面朝上，则从乙袋子中随机换出一个球，下列概率中等
于
的为（ ）
A．摸到黑球
B．摸到红球
C．在抛出的硬币正面朝上的条件下，摸到白球D．在抛出的硬币反面朝上的条件下，摸到红球
【变式3】 （23-24 高二下·重庆九龙坡·期中）在某次流感疫情爆发期间，A，B，C 三个地区均爆发了流感，
经调查统计A，B，C 地区分别有
的人患过流感，且A，B，C 三个地区的人数的比为
．
现从这三个地区中随机选取一人，则此人患过流感的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4】（23-24 高二下·内蒙古通辽·阶段练习）某厂生产螺口灯泡和卡口灯泡两种灯泡，其中螺口灯泡
的产量占70%，螺口灯泡的合格率是95%，卡口灯泡的合格率是85%.现随机取一只灯泡，发现是合格的，
这只灯泡是螺口灯泡的概率约为（ ）
A．0.665
B．0.723
C．0.7
D．0.737
解题锦囊
1．求条件概率的主要方法
(1)利用条件概率公式P(B|A)＝；
(2)针对古典概型，可通过缩减基本事件总数求解．
2．应用乘法公式的注意点
在利用乘法公式解决实际问题时，要注意区分P(B|A)和P(A|B)的不同，P(B|A)表示在事件A 发生的条件下，
事件B 发生的概率；而P(A|B)则表示在事件B 发生的条件下，事件A 发生的概率．
3
题型02 相互独立事件的概率、独立重复试验的概率
【典例1】 （24-25 高二上·四川眉山·阶段练习）某人有两把雨伞用于上下班，如果一天上班时他也在家
而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把去办公室，如果一天下班时他也在办公室而且天下雨，只要有
雨伞可取，他将拿一把回家.；如果天不下雨，那么他不带雨伞.假设每天上班和下班时下雨的概率均为
，
不下雨的概率均为
，且与过去情况相互独立.现在两把雨伞均在家里，那么连续上班两天，他至少有一天
淋雨的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（24-25 高二上·广东佛山·阶段练习）投篮测试中，每人投2 次，至少投中1 次才能通过测试.已
知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ）
A．0.24
B．0.48
C．0.84
D．0.94
【变式2】 （24-25 高二上·湖北鄂州·期中）“五道方”是一种民间棋类游戏，甲，乙两人进行“五道
方”比赛，约定连胜两场者赢得比赛.若每场比赛，甲胜的概率为
，乙胜的概率为
，则比赛6 场后甲赢
得比赛的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】 （24-25 高二上·湖北武汉·期中）概率论起源于博弈游戏17 世纪，曾有一个“赌金分配”的问
题：博弈水平相当的甲、乙两人进行博弈游戏，每局比赛都能分出胜负，没有平局．双方约定：各出赌金
210 枚金币，先赢3 局者可获得全部赎金．但比赛中途因故终止了，此时甲赢了2 局，乙赢了1 局，问这
420 枚金币的赌金该如何分配？数学家费马和帕斯卡都用了现在称之为“概率”的知识，合理地给出了赌
金分配方案．该分配方案是（ ）
A．甲315 枚，乙105 枚
B．甲280 枚，乙140 枚
C．甲210 枚，乙210 枚
D．甲336 枚，乙84 枚
【变式4】（23-24 高二下·贵州·期中）高尔顿（钉）板是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行、水平
解题锦囊
1.求相互独立事件同时发生的概率需注意的三个问题
(1)“P(AB)＝P(A)P(B)”是判断事件是否相互独立的充要条件，也是解答相互独立事件概率问题的唯一工具.
(2)涉及“至多”“至少”“恰有”等字眼的概率问题，务必分清事件间的相互关系.
(3)公式“P(A＋B)＝1－P(AB)”常应用于求相互独立事件至少有一个发生的概率.
2.在解决概率问题时，一定要根据有关概念判断是互斥事件、相互独立事件，条件概率等，用基本事件表
示较复杂的事件，选择正确的计算方法，同时要注意几种事件的综合问题，需全面考虑.
4
间隔相等的圆柱形铁钉，并且每一-排铁钉数目都比上一排多一个，一排中各个铁钉恰好对准上面一排两相
邻铁钉的正中央．从入口处放入一个直径略小于两颗铁钉间隔的小球，当小球从两钉之间的间隙下落时，
由于碰到下一排铁钉，它将以相等的可能性向左或向右落下，接着小球再通过两铁钉的间隙，又碰到下一
排铁钉如此继续下去，在最底层的5 个出口处各放置一个容器接住小球．理论上，小球落入2 号容器的概
率是多少（ ）
A．
B．
C．
D．
题型03 随机变量分布列及性质
【典例1】 （23-24 高二下·广西玉林·期末）随机变量Y 的分布列为下表所示，若Y 的期望值为1，则：
（ ）
0
2
A．
B．
C．
D．
【变式1】 （23-24 高二下·辽宁沈阳·期中）随机变量
的分布列如下（
为常数）：
0
1
2
0.3
则
（ ）
A．0.6
B．0.7
C．0.9
D．1.2
【变式2】 （23-24 高二下·河北沧州·期末）设随机变量
的分布列
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
解题锦囊
分布列的两个性质
①pi≥0，i＝1，2，…，n；②p1＋p2＋…＋pn＝1.
5
【变式3】（23-24 高二下·福建莆田·期末）随机变量
服从两点分布，其分布列如下
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
或
题型04 随机变量的期望与方差
【典例1】 （24-25 高二上·湖南岳阳·期中）不透明的盒中有四个除所标数字外均相同的球，它们分别标
有数字，，
，，现从中随机取
个球．
(1)求取到
个标有数字的球的概率；
(2)设
为取出的
个球上的数字之和，求
的分布列和数学期望．
【变式1】 （23-24 高二下·青海·期末）已知一组数据1，2，2，5，5，6 的第60 百分位数为
，随机变量
X 的分布列为
2
m
14
0.3
0.6
0.1
（ ）
A．5
B．6
C．9.8
D．10.8
【变式2】（24-25 高二上·黑龙江哈尔滨·期中）高考数学试题第二部分为多选题，共个小题，每小题有
个选项，其中有
个或个是正确选项，全部选对得
分，部分选对得部分分，有选错的得
分.若正确答
案是
个选项，只选对个得分，有选错的得
分；若正确答案是个选项，只选对个得
分，只选对
个得
分，有选错的得
分.小明对其中的一道题完全不会，该题有两个正确选项的概率是
，记
为小明
随机选择个选项的得分，记
为小明随机选择
个选项的得分，则（ ）
A．
B．
C．
D．
解题锦囊
离散型随机变量的期望和方差是随机变量中两种最重要的特征数，它们反映了随机变量取值的平均值及其
稳定性．期望与方差在实际问题中有广泛的应用，是高考的热点．
解决均值、方差的应用时，先要将实际问题数学化，然后求出随机变量的概率分布列．对于一般类型的随
机变量，应先求其分布列，再代入公式计算，此时解题的关键是概率的计算．计算概率时要结合事件的特点，
灵活地结合排列组合、古典概型、独立重复试验概率、互斥事件和相互独立事件的概率等知识求解．
6
【变式3】（24-25 高二上·黑龙江哈尔滨·期中）某志愿者社团计划在周一和周二两天各举行一次活动，
分别由甲、乙两人负责活动通知，已知该社团共有n 位同学，每次活动均需k 位同学参加.假设甲和乙分别
将各自活动通知的信息独立、随机地发给该社团k 位同学，且所发信息都能收到.
(1)当
，
时，求该社团只有小明同学同时收到甲、乙两人所发活动通知信息的概率；
(2)记至少收到一个活动通知信息的同学人数为X
①设
，
，求随机变量X 的分布列和数学期望；
②求使
取得最大值的整数m.
题型05 期望与方差的性质
【典例1】 （23-24 高二下·四川遂宁·阶段练习）设离散型随机变量
的分布列为
0
1
2
3
4
0.
1
0.4
0.2
0.2
若离散型随机变量
满足
，则下列结论错误的是（ ）
A．
B．
，
C．
，
D．
，
【变式1】 （23-24 高二下·新疆·期中）已知
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】 （23-24 高二下·新疆·期中）已知随机变量
的概率分布如表则
（ ）
1
2
4
A．1
B．
C．11
D．15
【变式3】 （24-25 高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）（多选）某中学组织了足球射门比赛．规定每名同学
有5 次射门机会，踢进一球得8 分，没踢进得
分．小明参加比赛且没有放弃任何一次射门机会，每次踢
进的概率为
，每次射门相互独立．记X 为小明的得分总和，
为小明踢进球的次数，则下列结论正确的
解题锦囊
均值、方差的性质
(1)若η＝aξ＋b(a，b 是常数)，ξ 是随机变量，则η 也是随机变量，且E(η)＝E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b.
(2)D(aξ＋b)＝a2D(ξ).
7
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4】（2024 高二·全国·专题练习）（多选）如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点
出发，每
隔
等可能地向左或向右移动一个单位.设移动
次后质点位于位置
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．移动
次后质点位于原点
的概率最大
题型06 两点分布
【典例1】 已知随机变量
服从两点分布，且
，设
，那么
（ ）
A．0.2
B．0.3
C．0.4
D．0.6
【变式1】已知随机变量
服从两点分布，且
.设
，那么
等于（ ）
A．0.6
B．0.3
C．0.2
D．0.4
【变式2】 已知离散型随机变量
的分布列服从两点分布，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】随机变量
服从两点分布，且
，令
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
题型07 二项分布
解题锦囊
两点分布：是很简单的一种概率分布，其实验结果只有两种可能，且概率和为1；两点分布列又称
分
布列或佰努利分布列；两点分布能清晰的反映出事件的正反两面.两点分布的应用十分广泛，如抽取的彩票是否
中奖，买回的意见产品是否为正品，新生儿的鉴定，投篮是否命中等.
8
【典例1】（23-24 高二下·山东泰安·期末）若随机变量X 服从二项分布，
；随机变量Y 服从
二项分布，且
，则下列结果正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】 【变式4】（23-24 高二下·河南商丘·期末）设随机变量
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（23-24 高二下·吉林白山·期末）已知随机变量
，当且仅当
时，
取得
最大值，则
（ ）
A．7
B．8
C．9
D．10
【变式3】 （23-24 高二下·北京海淀·期末）小明投篮3 次，每次投中的概率为
，且每次投篮互不影响，
若投中一次得2 分，没投中得0 分，总得分为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4】（23-24 高二下·四川绵阳·期末）某市政道路两旁需要进行绿化，计划从甲，乙，丙三种树木中
选择一种进行栽种，通过民意调查显示，赞成栽种乙树木的概率为
，若从该地市民中随机选取4 人进行
访谈，则至少有3 人建议栽种乙树木的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型08 超几何分布
解题锦囊
二项分布
若ξ～B(n，p)，则Eξ＝np，Dξ＝np(1－p)．
根据独立重复试验求二项分布的有关问题时，关键是理清事件与事件之间的关系，确定二项分布的试验次
数n 和变量的概率，求得概率．
9
【典例1】 （23-24 高二下·江苏南通·阶段练习）厂家生产一种产品，产品的质量指标服从正态分布
，其中
不低于85 的为合格品．已知合格率为80%，厂家将合格品按100 件一箱包装出厂．某
经销商购进一批该产品分等级销售，质量指标高于95 的贴“一等品”标签，其余贴“二等品”标签，每件
“二等品”的利润是12 元．
(1)经销商在购进的产品中任取一件，求该产品是“一等品”的概率；
(2)从一箱产品中任取3 件，需要贴“一等品”标签的个数为X，求X 的分布列；
(3)已知一箱产品利润的期望是1800 元，求每件“一等品”的利润．
【变式1】 （23-24 高二下·江苏扬州·阶段练习）已知甲参加青年志愿者的选拔，选拔以现场答题的方式进
行．已知在备选的10 道试题中，甲能答对其中的6 道题，规定每次考试都从备选题中随机抽出3 道题进行
测试，设甲答对的试题数为X，则
的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】 （23-24 高二下·山东青岛·期中）数学老师从6 道题中随机抽3 道让同学检测，规定至少要解答
正确2 道题才能及格．某同学只能正确求解其中的4 道题，则该同学能及格的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】 （23-24 高二下·新疆省直辖县级单位·阶段练习）一个班级共有30 名学生，其中有10 名女生，
现从中任选三人代表班级参加学校开展的某项活动，假设选出的3 名代表中的女生人数为变量
，男生的
人数为变量
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4】（23-24 高二下·云南保山·阶段练习）为深入学习贯彻党的二十大精神，推动全市党员干部群众
解题锦囊
超几何分布
若ξ～H(N，n，M)则Eξ＝，Dξ＝Eξ·.
对超几何分布的三点说明
（1）超几何分布的模型是不放回抽样．
（2）超几何分布中的参数是M，N，n.
（3）超几何分布可解决产品中的正品和次品、盒中的白球和黑球、学生中的男和女等问题，往往由具有明
显差异的两部分组成．
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用好“学习强国”学习平台，某单位组织“学习强国”知识竞赛，竞赛共有10 道题目，随机抽取3 道让参
赛者回答，规定参赛者至少要答对其中2 道才能通过初试.已知某参赛党员甲只能答对其中的6 道，那么党
员甲抽到能答对题目数
的数学期望为 .
题型09 正态分布
【典例1】 （23-24 高二下·四川德阳·期末）为弘扬我国优秀的传统文化，某市教育局对全市所有中小学
生进行了“成语”听写测试，经过大数据分析，发现本次听写测试成绩服从正态分布
．试根据正
态分布的相关知识估计测试成绩不小于90 的学生所占的百分比为（ ）
参考数据：若
，则
，
，
．
A．
B．
C．
D．
【变式1】 （23-24 高二下·河南安阳·期中）某次高三统考共有12000 名学生参加，若本次考试的数学成绩
服从正态分布
，已知数学成绩在70 分到130 分之间的人数约为总人数的
，则此次考试中数
学成绩不低于130 分的学生人数约为（ ）
A．2400
B．1200
C．1000
D．800
【变式2】（24-25 高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知随机变量
服从正态分布
，
则
（ ）
A．0.1
B．0.2
C．0.3
D．0.4
【变式3】 （23-24 高二下·上海金山·期末）已知随机变量
服从正态分布
，若
，则实数
的取值范围是 ．
题型10 一元线性回归方程
解题锦囊
1.正态分布
若X～N(μ，σ2)，则EX＝μ，DX＝σ2，X 的概率密度函数φu，σ(x)＝e.
2.正态分布的概率求法
（1）注意“3σ 原则”的适用范围．记住正态总体在三个区间内取值的概率．
（2）注意数形结合．由于正态分布密度曲线具有完美的对称性，体现了数形结合的重要思想，因此运用对
称性结合图像解决某一区间内的概率问题成为热点问题．
11
【典例1】 市场监管部门对某线下某实体店2023 年前两季度的月利润情况进行调查统计，得到的数据如
下：
月份x
1
2
3
4
5
6
净利润y（万元）
1.0
1.4
1.7
2.0
2.2
2.4
(1)是否可以用线性回归模型拟合y 与x 的关系？请用相关系数r 加以说明；（参考：若
时，则线性
相关程度较高，
，则线性相关程度一般，计算时精确度为0.01）
(2)利用最小二乘法求出y 关于x 的回归方程；用样本估计总体，请预估第9 月份的利润.
附：对于一组数据
，其回归直线
的斜率
，
.相关系数
.
参考数据：
，
，
，
，
，
.
【变式1】 （24-25 高二上·河南南阳·阶段练习）某产品的广告费用
与销售额
的统计数据如下表：
广告费用
/万元
4
2
3
5
销售额
/万元
49
26
39
54
根据上表可得线性回归方程
中的
为9.4，据此模型预测广告费用为6 万元时销售额为（ ）
A．9.1 万元
B．9.2 万元
C．67.7 万元
D．65.5 万元
【变式2】 （23-24 高二下·河北·阶段练习）由于人们健康意识的提升，运动爱好者人群不断扩大，运动
相关行业得到快速发展.某运动品牌专卖店从2019 年至2023 年的年销售额如下表：
年份
2019
2020
2021
2022
2023
年份编号
1
2
3
4
5
年销售额
/万元
30
35
45
60
80
解题锦囊
对于线性回归直线方程的应用主要体现在以下两个方面．
(1)判断两个变量的关系，主要体现在分析两个变量的相关性，画出样本点的散点图或相关系数．确定两变
量具有线性相关关系，再求出线性回归方程．
(2)如果x，y 的线性相关关系具有统计意义，就可以用回归直线方程进行预测和控制．预测是指对于x 的取
值范围内任一个x0，y 取相应值y0的估计；控制是指通过控制x 的值把y 的值控制在指定范围内．
12
(1)请根据表中的数据用最小二乘法求
与
的经验回归方程
，并预测2024 年该店的年销售额.
(2)该专卖店为了回馈广大消费者，推出了消费抽奖返现活动，规则如下：凡一次性消费满500 元可抽奖1
次，满1000 元可抽奖2 次.其中一次抽奖返现金额及概率如下表：
返现金
额
50
100
概率
已知一位消费者一次性消费满500 元的概率为
，满1000 元的概率为
，求这位消费者抽奖返现金额
的
分布列与期望.
附：经验回归方程
中，
.
【变式3】 （23-24 高二下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）某品牌电脑专卖店的年销售量
与该年广告费用
有关，如表收集了4 组观测数据：
（万元）
1
4
5
6
（百
台）
30
40
60
50
以广告费用
为解释变量，销售量
为预报变量对这两个变量进行统计分析．
(1)已知这两个变量呈线性相关关系，试建立
与
之间的回归方程
；
(2)假如2017 年该专卖店广告费用支出计划为10 万元，根据你得到的模型，预测这一年的销售量
．
参考公式：
，
．
题型11 非线性回归方程
13
【典例1】 数独是源自18 世纪瑞士的一种数学游戏，玩家需要根据
盘面上的已知数字，推理出所有
剩余空格的数字，并满足每一行、每一列、每一个粗线宫（
）内的数字均含1～9，且不重复．数独爱
好者小明打算报名参加“丝路杯”全国数独大赛初级组的比赛．
参考数据：
1750
0.37
0.55
参考公式：对于一组数据
，
，
，
⋯
，其经验回归方程
的斜率和截距的最小
二乘估计分别为
，
．
(1)赛前小明进行了一段时间的训练，每天解题的平均速度y（秒/题）与训练天数x（天）有关，经统计得
到如下数据：
x（天）
1
2
3
4
5
6
7
y（秒/题）
910
800
600
440
300
240
210
现用
作为回归方程模型，请利用表中数据，求出该回归方程；（用分数表示）
(2)小明和小红玩“对战赛”，每局两人同时开始解一道数独题，先解出题的人获胜，不存在平局，两人约
定先胜3 局者赢得比赛．若小明每局获胜的概率为
，且各局之间相互独立，设比赛X 局后结束，求随机
变量X 的分布列及均值．
【变式1】（24-25 高二上·黑龙江哈尔滨·期中）某学校为了解校庆期间不同时段的校门人流量，从上午8
点开始第一次反馈校门人流量，以后每过2 小时反馈一次，共统计了前3 次的数据
，其中
，2，
解题锦囊
建立非线性经验回归模型的基本步骤
1.确定研究对象，明确哪个是解释变量，哪个是响应变量；
2.由经验确定非线性经验回归方程的模型；
3.通过变换（一般题目都有明显的暗示如何换元，换元成什么变量），将非线性经验回归模型转化为线性
经验回归模型（特别注意：使用线性回归方程的公式，注意代入变换后的变量）；
4.按照公式计算经验回归方程中的参数，得到经验回归方程；
5.消去新元，得到非线性经验回归方程；
14
3，
为第i 次人流量数据（单位：千人），由此得到y 关于i 的回归方程
.已知
，根据回
归方程，可预测下午2 点时校门人流量为（ ）千人.
参考数据：
A．9.6
B．10.8
C．12
D．13.2
【变式2】（23-24 高二下·河南南阳·期中）某研发团队实现了从单点光谱仪到超光谱成像芯片的跨越.为制
定下一年的研发投入计划，该研发团队需要了解年研发资金投入量
（单位：亿元）对年销售额
（单位：
亿元）的影响.结合近12 年的年研发资金投入量
和年销售额
，该团队建立了两个函数模型：①
，②
，其中
均为常数，为自然对数的底数.经对历史数据的初步处理，得到散点
图如图.令
，计算得到如下数据.
20
66
770
200
14
460
4.20
3125000
0.308
21500
(1)设变量
和变量
的样本相关系数为
，变量
和变量的样本相关系数为
，请从样本相关系数的角度，
选择一个
与
相关性较强的模型.
(2)（i）根据（1）的选择及表中数据，建立
关于
的经验回归方程（系数精确到0.01）；
（ii）若下一年销售额需达到80 亿元，预测下一年的研发资金投入量.
附：
；样本相关系数
；经验回归方程
，其中
.
【变式3】（23-24 高二下·宁夏银川·阶段练习）红蜘蛛是柚子的主要害虫之一，能对柚子树造成严重伤害，
15
每只红蜘蛛的平均产卵数
（个）和平均温度
有关，现收集了以往某地的7 组数据，得到下面的散
点图及一些统计量的值.
参考数据
17713
714
27
81.3
(1)根据散点图判断，
与
（其中
为自然对数的底数）哪一个更适合作为平均产
卵数
（个）关于平均温度
（
）的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
(2)由（1）的判断结果及表中数据，求出
关于
的回归方程.（计算结果精确到0.1）
附：回归方程中
题型12 独立性检验
【典例1】（24-25 高二上·黑龙江哈尔滨·期中）随着冬天的临近，哈尔滨这座冰雪之城，将再次成为旅游
的热门目的地.为更好地提升旅游品质，我市文旅局随机选择
名青年游客对哈尔滨出行体验进行满意度
评分（满分
分），
分及以上为良好等级，根据评分，制成如图所示的频率分布直方图.
解题锦囊
独立性检验的两个关键
一是弄清问题中的两个变量及其取值分别是什么，其次掌握2×2 列联表的结构特征．
二是利用2×2 列联表计算χ2的值，再结合常用的显著性水平及对应的分位数表来分析两变量相关的可能性
大小．
16
(1)根据频率分布直方图，求x 的值并估计该评分的上四分位数；
(2)若采用按比例分层抽样的方法从评分在
，
的两组中共抽取6 人，再从这6 人中随机抽取3
人进行单独交流，求选取的4 人中评分等级为良好的人数X 的分布列和数学期望；
(3)为进一步了解不同年龄段游客对哈尔滨出行体验的反馈，我市文旅局再次随机选择100 名中老年游客进
行满意度评分，发现两次调查中评分为良好等级的人数为120 名.请根据小概率值
的独立性检验，
分析游客的评分等级是否良好与年龄段（青年或中老年）是否有关.
附：
，
0.05
0.01
0.001
3.841
6.635
10.828
【变式1】 （23-24 高二下·天津滨海新·期末）现在，很多人都喜欢骑“共享单车”，但也有很多市民并不
认可．为了调查人们对这种交通方式的认可度，某同学从交通拥堵严重的A 城市和交通拥堵不严重的B 城
市分别随机调查了20 名市民，得到了一个市民是否认可的样本，具体数据如下
列联表：
A
B
总计
认可
15
8
23
不认
可
5
12
17
总计
20
20
40
0.10
0.05
0.025
0.01
0.005
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
17
附：
．
根据表中的数据，下列说法中，正确的是（ ）
A．没有95%以上的把握认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”
B．有97.5%以上的把握认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”
C．可以在犯错误的概率不超过0.05 的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”
D．可以在犯错误的概率不超过0.01 的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”
【变式2】 （23-24 高二下·河北·阶段练习）（多选）根据分类变量
与
的成对样本数据，计算得到
.已知
，依据
0.01 的独立性检验，下列结论正确的是（ ）
A．若
，则变量
与
不独立
B．若
，则变量
与
独立
C．若
，则变量
与
独立
D．若
，则变量
与
不独立
【变式3】 （23-24 高二下·广东中山·期末）某市举行了首届阅读大会，为调查市民对阅读大会的满意度，
相关部门随机抽取男女市民各50名，每位市民对大会给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：
满意
不满意
男市民
女市民
当
，
时，若在
的情况下，我们没有充分的证据推断男、女市民对大会的评价有差异，
则
的最小值为 ．
附：
，其中
．
【变式4】（23-24 高二下·安徽安庆·期中）随着全民运动健康意识的提高，马拉松运动在全国各大城市逐
渐兴起，参与马拉松训练与比赛的人数逐年增加，为此某市对人们参加马拉松运动的情况进行了统计调查，
其中一项调查是调查人员从参与马拉松运动的人中随机抽取200 人，对其每周参与马拉松长跑训练的天数
进行统计，得到以下统计表：
平均每周进行长跑训练天
数
不大于2 天
3 天或4 天
不少于5 天
人数
30
130
40
18
若某人平均每周进行长跑训练天数不少于5 天，则称其为“热烈参与者”，否则称为“非热烈参与者”．
附：
（
为样本容量）
a
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
(1)经调查，该市约有3 万人参与马拉松运动，估计其中“热烈参与者”的人数；
(2)根据上表的数据，填写下列：
列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01 的前提下，
认为“热烈参与马拉松”与性别有关？
性别
热烈参与者
非热烈参与
者
合计
男
140
女
55
合计
题型13 概率统计的综合问题
【典例1】（24-25 高二上·黑龙江齐齐哈尔·期中）4 月23 日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”．
为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了500 名高一学生进行在线调查，得到了
这500 名学生的日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成[0,2]，
，
，
，
，
，
，
，
九组，绘制成如图所示的频率分布直方图．
(1)从这500 名学生中随机抽取一人，日平均阅读时间在
内的概率；
(2)为进一步了解这500 名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在
，
，
三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10 人，现从这10 人中随机抽取3
人，记日平均阅读时间在
内的学生人数为X，求X 的分布列和数学期望和方差；
19
(3)以样本的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取10 名学生，用
表示这10 名学生中恰有
k 名学生日平均阅读时间在
内的概率，其中
，1，2，…，10．当
最大时，写出k 的值．
（写出证明）
【变式1】 （23-24 高二下·江西南昌·阶段练习）某中学举办学生体育技能测试，共有两轮测试，第一轮是
篮球定点投篮测试，每位学生投两次篮，每次投篮若投中得2 分，没投中得0 分；第二轮是四个人踢毽子，
互相传递测试．
(1)已知某位学生定点投篮投中的概率为
，求该学生在第一轮得分的分布列和数学期望；
(2)已知恰有甲、乙、丙、丁四个人参加第二轮踢毽子互相传递测试，第一次由甲踢出，每次传递时，踢出
者都等可能将毽子踢给另外三个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传递都能被接到.记第n
次甲踢到毽子的概率为
，则
．
①证明：数列
为等比数列；
②比较第k 次与第
次踢到毽子者是甲的可能性大小．
【变式2】（23-24 高二下·北京海淀·期末）为了调研某地区学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活
动的参与情况，在该地区随机选取了10 所学校进行研究，得到如下数据：
(1)从这10 所学校中随机选取1 所，已知这所学校参与“自由式滑雪”人数超过40 人，求该校参与“单板
滑雪”超过30 人的概率；
(2)已知参与“自由式滑雪”人数超过40 人的学校评定为“基地学校”.现在从这10 所学校中随机选取2 所，
设“基地学校”的个数为
，求
的分布列和数学期望；
(3)现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行、转弯、停止”这3 个动作技巧进行集训，并专门对这3 个
动作进行了多轮测试.规定：在一轮测试中，这3 个动作中至少有2 个动作达到“优秀”，则该轮测试记为
“优秀”.在此集训测试中，李华同学3 个动作中每个动作达到“优秀”的概率均为
，每个动作互不影响，
每轮测试也互不影响.如果李华同学在集训测试中想获得“优秀”的次数的均值达到5 次，那么至少要进行
多少轮测试？（结果不要求证明）
【变式3】（23-24 高二下·浙江宁波·期中）2023 年11 月，宁波市余姚河姆渡遗址迎来发掘五十周年，为
引导青少年了解河姆渡文化，某校组织全体学生参加河姆渡历史文化知识竞赛，现从中抽取100 名学生的
成绩组成样本，并将得分分成以下6 组：[40,50)，
，
，
，
，
，统计
20
结果如图所示．
(1)试估计这100 名学生的众数和中位数（保留一位小数）；
(2)从样本中得分不低于70 分的学生中，用分层抽样的方法选取11 人进行座谈，若从座谈名单中随机抽取
3 人，记得分在
的人数为X，试求X 的分布列和均值：
(3)以样本估计总体，根据频率分布直方图，可以认为参加知识竞赛的学生得分X 近似服从正态分布
，经计算
．若
，参赛学生可获得“参赛纪念证书”：若
，
参赛学生可获得“参赛先锋证书”．已知该校共600 名学生参加本次文化竞赛活动，试估计获得“参赛纪
念证书”的学生人数，并判断竞赛成绩为90 分的学生能否获得“参赛先锋证书”．
附：若
，则
，
，
；
【变式4】（23-24 高二下·重庆九龙坡·期中）某健身馆为预估2024 年2 月份客户投入的健身消费金额，随
机抽样统计了2024 年1 月份100 名客户的消费金额，分组如下：
，
，
，…，
（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图：
(1)若消费金额不少于800 元的客户称为健身卫士，不少于1000 元的客户称为健身达人，现利用分层随机
抽样的方法从健身卫士中抽取6 人，再从这6 人中抽取2 人做进一步调查，求抽到的2 人中至少1 人为健
身达人的概率；
(2)为吸引顾客，在健身项目之外，该健身馆特推出健身配套营养品的销售，现有两种促销方案.
方案一：每满800 元可立减100 元；
方案二：金额超过800 元可抽奖三次，每次中奖的概率为
，且每次抽奖互不影响，中奖1 次打9 折，中
奖2 次打8 折，中奖3 次打7 折.
21
若某人打算购买1000 元的营养品，请您帮他分析应该选择哪种促销方案.
