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第02 讲 平面向量的线性运算
课程标准
学习目标
1．熟练运用向量加法的三角形法则、平行
四边形法则及其几何意义进行向量的加法
运算；
2．理解实数与向量的积的定义，向量平行
的充要条件。
1. 借助实例和平面向量的几何表示,掌握平面向量加法
运算及运算法则,理解其几何意义；
2. 通过实例，掌握向量减法的运算，并理解其几何意
义；
3.了解平面向量的线性运算率及其应用；
4.通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算法
则，理解两个平面向量共线的含义．
知识点01 向量加法的定义及运算法则
1．向量加法的定义
求两个向量和的运算，叫做向量的加法．
2．向量的加法运算法则
（1）三角形法则：已知非零向量a，b，在平面内取任意一点A，作AB＝a，BC＝b，向量AC叫做a 与b 的
和，记作a＋b，即a＋b＝AB＋BC＝AC
图示：
（2）平行四边形法则：已知不共线的两个向量a，b，在平面内任取一点O，作OA＝a，OB＝b，以OA，
OB 为邻边作▱OACB，连接OC，则OC＝OA＋OB＝a＋b，对角线OC就是a 与b 的和.
图示：
（3）对于零向量与任意向量a，我们规定：a＋0＝0＋a＝a.
【解读】（1）向量加法的三角形法则要注意三点：
2
①两个向量一定首尾相连；
②和向量的始点是第一个向量的始点，终点是第二个向量的终点；
③当多个向量相加时，可以使用三角形法则．
（2）向量加法的平行四边形法则注意两点：①两个非零向量一定要有相同的始点；
②平行四边形中的一个对角线所对应的向量为和向量；
3.三角不等式：向量a，b 的模与a＋b，a-b 的模之间的关系：|a|-|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|.
【解读】①当a 与b 不共线时,a+b 的方向与a,b 都不相同,且|a+b|<|a|+|b|。
②当a 与b 同向时,a+b,a,b 的方向相同,且|a+b|=|a|+|b|。
③当a 与b 反向时,若|a|≥|b|,则a+b 与a 的方向相同,且|a+b|=|a|-|b|。
若|a|<|b|,则a+b 与b 的方向相同,且|a+b|=|b|-|a|。
【即学即练1】下列判断错误的是 ( )
A AB＋BD＋DC＝AC
B 任意两个向量的和仍然是一个向量．
C 两个向量相加实际上就是两个向量的模相加．
D 任意两个向量的和向量不可能与这两个向量共线．
2. (多选)在平行四边形ABCD 中，下列结论中正确的是( )
A．AB＝DC B．AD＋AB＝AC C．AB＝BD＋AD D．AB＋CB＝AC
知识点02 向量加法的运算律
（1）交换律：a＋b＝b＋a
（2）结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c
【解读】用交换律、结合律可以将多个向量相加转化为首尾相接的形式，实现简化运算．如NQ＋QP＋MN＝
MN＋NQ＋QP＝MP.
知识点03 向量的减法及其几何意义
1.相反向量
(1)我们规定，与向量a 长度相等，方向相反的向量，叫做a 的相反向量，记作－a.
(2)－(－a)＝a，a＋(－a)＝(－a)＋a＝0.
(3)零向量的相反向量仍是零向量，即0＝－0.
2．向量减法的定义
求两个向量差的运算叫做向量的减法．
我们定义，a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量
3．向量减法的几何意义
(1)三角形法则
如图，已知a、b，在平面内任取一点O，作⃗OA＝a，⃗OB＝b，则⃗BA＝a－b，即a－b 可以表示为从向
量b 的终点指向向量a 的终点的向量，这是向量减法的几何意义．
3
(2)平行四边形法则
如图①，设向量⃗AB＝b，⃗AC＝a，则⃗AD＝－b，由向量减法的定义，知⃗AE＝a＋(－b)＝a－b.
又因为b＋⃗BC＝a，所以⃗BC＝a－b.
如图②，理解向量加、减法的平行四边形法则：
在▱ABCD 中，⃗AB＝a，⃗AD＝b，则⃗AC＝a＋b，⃗DB＝a－b.
【解读】（1）两个向量的差仍是一个向量；
（2）向量的减法可以转化为向量的加法,减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量。
（3）向量减法的三角形法则中，⃗BA表示⃗a−⃗b，强调了差向量的“箭头”指向被减向量⃗a.即作非零向量⃗a
，⃗b的差向量⃗a−⃗b，可以简记为“共起点，连终点，指被减”
【即学即练2】（1.（多选）下列判断正确的是( )
A 相反向量一定是共线向量． B 两个相反向量之差等于0.
C 向量的减法实质上是向量的加法的逆运算． D 两个向量的差仍是一个向量．
2．在平行四边形ABCD 中，下列结论错误的是( )
A．⃗AB−⃗DC＝0
B．⃗AD−⃗BA＝⃗AC
C．⃗AB−⃗AD＝⃗BD
D．⃗AD +⃗CB＝0
知识点04 向量的数乘运算及运算律
1．向量数乘的定义
一般地，我们规定实数λ 与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa．
(1)|λa|＝|λ||a|．特别地，当λ＝0 时，λa＝0．
(2)当λ＞0 时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ＜0 时，λa 的方向与a 的方向相反．
【解读】从两个角度理解向量数乘
(1)代数角度
实数与向量的乘积λa 仍然是一个向量；λa＝0⇔λ＝0 或a＝0.
(2)几何角度
|λ|>1
λ>1
在原方向上伸长到原来的λ 倍
λ<－1
在反方向上伸长到原来的－λ 倍
4
0<|λ|<1
0<λ<1
在原方向上缩短到原来的λ 倍
－1<λ<0
在反方向上缩短到原来的－λ 倍
2．向量数乘的运算律
设λ，μ 为实数，a，b 为向量，则满足如下运算律：
(1)λ(μa)＝( λμ
) a ；
(2)(λ＋μ)a＝λ a ＋
μ _a；
(3)λ(a＋b)＝λ a ＋
λ b ；
(4)(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.
3．向量的线性运算
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．向量线性运算的结果仍是向量．
对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b．
【解读】
向量的线性运算类似于多项式的运算
，具有实数与多个向量和的乘积形式，计算时应先去括
号．共线向量可以“合并同类项”“提取公因式”，这里的“同类项”“公因式”是指向量，实数看作是
向量的系数．
(1)实数和向量可以求积，但不能求和或求差．
(2)λ＝0 或a＝0⇔λa＝0.
【即学即练3】（24-25 高二上·北京朝阳·阶段练习）
（ ）
A．
B．
C．
D．
知识点05 共线向量定理
向量a(a≠0)与b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b ＝
λ a ．
【解读】（1）判断两个向量是否共线的关键是看两个向量是否满足向量共线定理，即向量a(a≠0)与b
共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使b＝λa.因此，在考虑问题时，不要忽略零向量．
（2）这个定理可以用一般形式给出：若存在不全为0 的一对实数t，s，使t⃗a＋s⃗b＝⃗0，则⃗a与⃗b共线；
若两个非零向量⃗a与⃗b不共线，且t⃗a＋s⃗b=⃗0，则必有t＝s＝0.
【即学即练4】判断下列各小题的向量⃗a与⃗b是否共线。
（1）
（2）
（3）
。
5
题型01 平面向量的线性运算
【典例1】（多选）下列能化简为
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（23-24 高一下·江苏·阶段练习）
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（23-24 高一下·天津南开·阶段练习）化简
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】下列各式中，化简后不是零向量的是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型02 线性运算的几何意义
【典例2】（23-24 高一下·四川雅安·期末）如图，在梯形ABCD 中，
，E 在BC 上，且
，设
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（23-24 高一下·河南郑州·期末）在
中，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（23-24 高一下·浙江·期中）如图所示，D，E 为
边BC 上的三等分点，且|⃗AB|=|⃗AC|则
下列各式中正确的是（ ）
6
A．
B．
C．
D．
【变式3】 设|a|=8,|b|=12,则|a+b|的最大值与最小值分别为 , 。
题型03 向量共线问题
【典例3】4．（24-25 高三上·山东日照·阶段练习）已知向量
，
不共线，且
，
，若与
同向共线，则实数
的值为（ ）
A．1
B．
C．1 或
D．
或
【变式1】（2024·青海·一模）已知向量
不平行，向量
与
平行，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（24-25 高三上·浙江·期中）已知
，
是不共线的单位向量，若
，
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（23-24 高一下·贵州安顺·期末）已知
是两个不共线的向量，
，若
与
是共线向量，则实数
的值为（ ）
A．1
B．
C．4
D．
题型04 三点共线问题
【典例4】（23-24 高一下·广东佛山·阶段练习）已知平面向量
，
不共线，
，
，
，则（ ）
A．
三点共线
B．
三点共线
C．
三点共线
D．
三点共线
【变式1】（24-25 高二上·重庆九龙坡·期中）若
，
，
且向量
，
不共线，则一定共线的三点是（ ）
A．A、B、D
B．A、B、C
C．B、C、D
D．A、C、D
【变式2】（23-24 高一下·四川·期末）点
满足向量
，则点
与
的位置关系是
（ ）
A．点
为线段
的中点
B．点
在线段
延长线上
C．点
在线段
的延长线上
D．点
不在直线
上
7
【变式3】（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知向量
不共线，
，其中
，若
三点共线，则
的最小值为（ ）
A．5
B．4
C．3
D．2
题型05 线性运算在实际问题中的应用
【典例5】（23-24 高一下·浙江台州·期末）一条河的两岸平行，河宽
，一艘船从河岸边的某处出发到
河对岸.设船在静水中行驶的速度的大小为
，水流速度的大小为
.当船以最短距离到对岸时，
船行驶所用的时间（保留两位小数）为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（23-24 高三上·广东汕头·期末）设
表示向东走了10 km，
表示向南走了5 km，则
所表
示的意义为（ ）
A．向东南走了
km
B．向西南走了
km
C．向东南走了
km
D．向西南走了
km
【变式2】在水流速度
的自西向东的河中，如果要使船以
的速度从河的南岸垂直到达北
岸，则船出发时行驶速度的方向和大小为（ ）
A．北偏西
，
B．北偏西
，
C．北偏东
，
D．北偏东
，
【变式3】（23-24 高一下·云南·阶段练习）设
表示“向东走
”，
表示“向南走
”，则
所表示的意义为（ ）
A．向东南走
B．向西南走
C．向东南走
D．向西南走
题型06 线性运算在几何问题中的应用
【典例6】（23-24 高一·上海·课堂例题）如图，已知
是平行四边形
的对角线
上的两点，且
，求证：四边形
是平行四边形．
【变式1】（23-24 高一·上海·课堂例题）如图，已知
，D、E 分别是AB、AC 的中点，求证；
．
8
【变式2】（23-24 高一·上海·课堂例题）已知四边形ABCD 和点O 在同一平面上，设向量
，
，
，
，且
．求证：ABCD 是平行四边形．
【变式3】（23-24 高一下·河北邯郸·阶段练习）如图，在平行四边形
中，
、
依次是对角线
上的两个三等分点，设
.
(1)请用
与
表示
;
(2)用向量方法证明：四边形
是平行四边形.
题型07 三角形重心、内心的向量表示
【典例7】O 是平面上一定点，A、B、C 是该平面上不共线的3 个点，一动点P 满足：
，则直线AP 一定通过
的（ ）
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
【变式1】已知向量
、
（
三点不共线），若
，则点
是（ ）
A．
的中点
B．
的中点
C．
的中点
D．
的重心
【变式2】（24-25 高一上·上海·课堂例题）已知
，若点P 满足
，其中
，
则点P 的轨迹一定通过
的（ ）
A．外心
B．内心
C．垂心
D．重心
【变式3】（2024·全国·二模）点
是
所在平面内两个不同的点，满足
，则直
线
经过
的（ ）
A．重心
B．外心
C．内心
D．垂心
一、单选题
9
1．（24-25 高一下·全国·随堂练习）
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高一下·全国·随堂练习）已知非零向量
，
满足
，则（ ）
A．
B．
C．
与
的方向相同
D．
与
的方向相反
3．（24-25 高一下·全国·课后作业）已知非零向量
与
同向，则
（ ）
A．必与
同向
B．必与
同向
C．可能与
同向、反向也可能是
D．不可能与
同向
4．（23-24 高一下·福建福州·期中）在
中，点
在边
上，
，记
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（23-24 高一下·山东济宁·期中）已知
是不共线的向量，且
，
则（ ）
A．A，B，C 三点共线
B．A，B，D 三点共线
C．B，C，D 三点共线
D．A，C，D 三点共线
6．（23-24 高一下·海南省直辖县级单位·阶段练习）
是平面内不共线两向量，已知
，
，
，若A，B，D 三点共线，则k 的值是（ ）．
A．3
B．
C．
D．2
7．（24-25 高一下·全国·课后作业）在四边形
中，
，则一定有（ ）
A．四边形
是矩形
B．四边形
是菱形
C．四边形
是梯形
D．四边形
是平行四边形
8．（23-24 高一下·云南昭通·期中）已知
为
内一点，且满足
，若
的面
积与
的面积的比值为
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．2
二、多选题
9．（24-25 高一下·全国·课后作业）已知
，
是不共线的向量，下列向量
，
共线的为（ ）
10
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
10．（24-25 高一下·全国·课堂例题）（多选）已知
，
，且
，则在以下各命题中，正确的是
（ ）
A．当
时，
的方向与
的方向一定相反
B．当
时，
的方向具有任意性
C．
D．当
时，
的方向与
的方向一定相同
11．（23-24 高一下·福建泉州·期中）已知向量
，
不共线，若
，
，且
，
，
三点共线，则关于实数
，
的值可以是（ ）
A．2，
B．
，
C．2，
D．
，
三、填空题
12．（24-25 高二上·山东潍坊·开学考试）化简：
．
13．（24-25 高三上·北京·阶段练习）已知平面内四个不同的点A，B，C，D 满足
，则
.
14．（23-24 高一下·广东广州·期末）如图，一条河两岸平行，河的宽度为
，一艘船从河岸边的A 地
出发，向河对岸航行．已知船的速度大小为
，水流速度的大小为
，当航程最短时，这艘船行
驶完全程共需要时间
．
四、解答题
15．（24-25 高一上·河北保定·期中）如图，在
中，
，
．设
，
．
11
(1)用
，
表示
，
；
(2)若
为
内部一点，且
．求证：
，
，
三点共线．
16．（23-24 高一下·全国·课堂例题）已知
、
是两个不平行的向量，向量
，
，
，
(1)求证：
；
(2)判断
三点的位置关系.
17．（24-25 高一下·全国·课堂例题）如图所示，四边形
是以向量
，
为邻边的平行四边
形.又
，
，试用
，
表示
，
，
.
18．（23-24 高一下·河北·期中）已知非零向量
和
不共线．
(1)如果
，
，
，求证：A，B，D 三点共线；
(2)若向量
与
平行，求实数k 的值．
19．（23-24 高一下·北京大兴·期中）如图，在
中，点
是
的中点，
，过点
的
直线分别交边
于
（不同于
）两点，且
，
．
(1)当
时，用向量
表示
，
；
(2)证明：
为定值．
