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11.1.4 棱锥和棱台
课程标准
学习目标
（1）理解棱锥和棱台的定义和结构特征.(重点）
（2）能在棱锥和棱台中构造恰当的特征图形，研
究其中的线段数量关系和位置关系.（难点)
（1）了解棱锥、棱台的定义和结构特征；
（2）掌握棱锥、棱台平行于底面的截面的性
质；
（3）3.知道棱锥、棱台的表面积计算公式，
能用公式解决简单的实际问题.
知识点01 棱锥
1、棱锥的定义：如果一个多面体有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，则称这个
多面体为棱锥。
2、棱锥的相关概念：
（1）这个多边形面叫做棱锥的底面；
（2）有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；
（3）相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱；
（4）各个侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点。
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【注意】有一个面是多边形，其余各面都使三角形的几何体不一定是棱锥，如图。
棱锥还需要满足各三角形有且只有一个公共顶点。
3、棱锥的表示：棱锥可以用顶点与底面各顶点的字母来表示.
4、棱锥的分类：
按底面多边形的边数，可以把棱锥分成三棱锥、四棱锥和五棱锥。
【注意】如果棱锥的底面为正多边形，且棱锥的顶点与底面中心的连线垂直于底面，则称这个棱锥为正棱
锥，如正三棱锥、正四棱锥……
【即学即练1】（23-24 高一下·全国·专题练习）下列说法中正确的是（ ）
A．各侧棱都相等的棱锥为正棱锥
B．各侧面都是面积相等的等腰三角形的棱锥为正棱锥
C．各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥为正棱锥
D．底面是正多边形且各侧面是全等三角形的棱锥为正棱锥
知识点02 棱台
1、棱台的定义：一般地，用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，所得截面与底面间的多面体称为棱台
2、棱台的相关概念：
（1）原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；
（2）其他各面叫做棱台的侧面；
（3）相邻侧面的公共边叫做棱台的侧棱；
（4）侧面与底面的公共顶点叫做棱台的顶点。
【注意】（1）棱台上下底面是互相平行且相似的多边形；
（2）侧面都是梯形；
（3）各侧棱的延长线交于一点。
3、棱台的高与侧面积
过棱台一个底面上的任意一个顶点，作另一个底面的垂线所得到的线段（或它的长度）称为棱台的高。
棱台所有侧面的面积之和称为棱台的侧面积。
4、棱台的分类
（1）按底面形状：由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台……
（2）正棱台：由正棱锥截得的棱台称为正棱台，正棱台的上下底面的中心连线是棱台的高。
正棱台的侧面都全等，且都是等腰梯形，这些等腰梯形的高也都相等，称为棱台的斜高。
【即学即练2】（23-24 高二上·海南海口·开学考试）（多选）棱台具备的特点有（ ）
A．两底面相似
B．侧面都是梯形
C．侧棱都相等
D．侧棱延长后都交于一点
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【题型一：判断是否为棱锥或棱台】
例1．（23-24 高一下·全国·课后作业）下面图形中，为棱锥的是（ ）
A．①③
B．③④
C．①②④
D．①②
变式1-1．（23-24 高一下·安徽亳州·月考）下列空间几何体中可能是棱台的是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式1-2．（23-24 高一·全国·课后作业）下列空间图形中是棱台的为 .(填序号)
变式1-3．（23-24 高一下·全国·课后作业）如图，能推断这个几何体可能是三棱台的是（ ）
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A．A1B1＝2，AB＝3，B1C1＝3，BC＝4，AC＝3，A1C1＝4
B．A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝3
C．A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝4
D．AB＝A1B1，BC＝B1C1，CA＝C1A1
【方法技巧与总结】
1、判断一个多面体是棱锥时，尤其要注意“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公
共顶点的三角形”。
2、判断一个多面体是棱台，关键要抓住两个特征：（1）各侧棱的延长线交于一点；（2）两底面平行。
还可以由“两底面的对应边平行，且这些对应边成比例”这一性质进行判断。在把握棱台的结构特征时，
一定要认识到它是棱锥的一部分，而不能只看现象不看本质。
【题型二：棱锥和棱台的结构特征】
例2．（23-24 高一下·全国·课后作业）下列说法中正确的是（ ）
A．三棱锥的四个面不可能都是直角三角形
B．棱柱被平面分成的两部分可以都是棱锥
C．用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体是棱台
D．棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥
变式2-1．（23-24 高二上·四川内江·月考）（多选）下列说法中正确的有（ ）
A．正四面体是正三棱锥.
B．棱锥的侧面是全等的三角形.
C．正三棱锥是正四面体.
D．延长棱台所有侧棱，它们会交于一点.
变式2-2．（23-24 高一下·全国·专题练习）（多选）下列说法不正确的是（ ）
A．棱台的两个底面相似
B．棱台的侧棱长都相等
C．棱锥被平面截成的两部分是棱锥和棱台
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D．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形
变式2-3．（23-24 高一下·四川攀枝花·月考）下列关于棱锥、棱台的说法正确的是（ ）
A．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥
B．有两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体是棱台
C．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间那部分所围成的几何体叫做棱台
D．棱台的各侧棱延长后必交于一点
【方法技巧与总结】
判断棱锥、棱台的两种方法：
（1）举反例法：结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断出关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确；
（2）直接法：
根据棱锥的判定方法：①确定底面，只有一个面是多边形即为底面；②看侧面，相交于一点。
根据棱台的判定方法：①确定底面，两个互相平行的面即为底面；②看侧面，侧棱延长后交于一点。
【题型三：棱锥的相关计算】
例3．（22-23 高一下·辽宁鞍山·月考）正三棱锥
的高为
，斜高为
，则该三棱锥的侧棱长
为（ ）
A．
B．
C．
D．4
变式3-1．（23-24 高一下·山东济宁·期中）已知正三棱锥P－ABC 的底面边长为6，顶点P 到底面ABC 的
距离是
，则这个正三棱锥的侧面积为（ ）
A．27
B．
C．9
D．
变式3-2．（22-23 高一下·陕西西安·期中）已知正四棱锥的底面边长为8，侧棱长为
，则表面积为
.
变式3-3．（22-23 高一下·重庆万州·月考）如图，已知正四棱锥
的底面是面积为4 的正方形
，侧面是全等的等腰三角形，一条侧棱长为3，
为棱
的中点，
为底面正方形
的中心．
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（1）求四棱锥的高
；
（2）求四棱锥
侧面三角形底面上的高
．
【方法技巧与总结】
求棱锥表面积的一般方法：定义法，注意“高”和“斜高”的区别。
另外，正棱锥的高为顶点与底面正多边形中心的连线。
【题型四：棱台的相关计算】
例4．（22-23 高一下·辽宁铁岭·期末）所有棱长均为6 的正三棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个
底面边长为2 的正三棱锥，则所得棱台的高为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式4-1．（23-24 高一下·广东广州·期中）将一个正四棱台物件放入有一定深度的电解槽中，对其表面进
行电泳涂装．如图所示，已知该物件的上底边长与侧棱长相等，且为下底边长的一半，一个侧面的面积为
，则该物件的高为（ ）
A．
B．1
C．
D．3
变式4-2．（22-23 高一下·内蒙古乌兰察布·月考）若正四棱台
的上、下底面边长分别是5
和
，则该棱台的高为 ．
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变式4-3．（22-23 高一下·北京延庆·期末）已知一个正六棱台的两底面边长分别为
，高是
，则
该棱台的斜高为（ ）
A．
B．
C．
D．
【方法技巧与总结】
关于正棱台的计算，解题的关键是把所求线段转化到直角梯形中，常用到两类直角梯形：正棱台的两底面
中心的连线、两底面相应的内切圆的半径和斜高构成的直角梯形；正棱台的两底面中心的连线、侧棱和两
底面相应的外接圆的半径构成的直角梯形。
【题型五：棱锥的表面最短距离】
例5．（23-24 高二上·辽宁·开学考）如图，正三棱锥
中，
，侧棱长为
，过点
的平
面与侧棱
相交于
，则△
的周长的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式5-1．（22-23 高一下·湖北武汉·期中）如图，在三棱锥
中，
，
，过点A 作截面，分别交侧棱PB，PC 于E，F 两点，则△AEF 周长的最小值
为 ．
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变式5-2．（22-23 高一下·河北保定·月考）《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑．
如图，在鳖臑
中，
，
，
，
，
，
分别为棱
，
上一点，
则
的最小值为 ．
变式5-3．（23-24 高一下·湖南衡阳·期中）如图，在正四棱锥
中，
，
，一小虫
从顶点A 出发，沿该棱锥的侧面爬一圈回到点A，则小虫走过的最短路线的长为 ．
【方法技巧与总结】
求棱锥表面最短距离的方法步骤：
（1）首先需要将棱锥的侧面展开成平面图形，即将棱锥的侧面沿着某个轴线展开，形成一个多边形；
（2）在展开图中，需要识别出起点和终点，以及任何可能的中间转折点。这些点可能位于多边形的边缘
或内部。
（3）从起点开始，按照一定的顺序连接所有关键点，形成一条路径。这条路径应该尽可能直线，确定最
短路径所对应的选段长度进行求解。
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一、单选题
1．（22-23 高一下·广东云浮·期末）一个几何体由6 个面围成，则这个几何体不可能是（ ）
A．四棱台
B．四棱柱
C．四棱锥
D．五棱锥
2．（22-23 高一下·四川成都·期中）下列几何体中，面的个数最小的是（ ）
A．四面体
B．四棱锥
C．三棱柱
D．三棱台
3．（22-23 高一下·安徽·月考）下列叙述正确的是（ ）
A．用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台
B．两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台
C．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台
D．棱台的侧棱延长后必交于一点
4．（23-24 高一下·广东佛山·月考）下列说法不正确的是（ ）
A．正棱锥的底面是正多边形，侧面都是等腰三角形
B．棱台的各侧棱延长线必交于一点
C．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分是棱台
D．棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形
5．（22-23 高一下·山东临沂·月考）下列说法正确的是（ ）
A．棱台的侧棱长都相等
B．棱锥被平面截成的两部分是棱锥和棱台
C．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形
D．棱台的两个底面相似
6．（22-23 高一下·全国·课后作业）如图，三棱台
截去三棱锥
后，剩余部分是
（ ）
A．三棱锥
B．四棱锥
C．三棱台
D．四棱柱
7．（22-23 高一下·湖北黄冈·月考）已知侧棱长为
的正三棱锥（底面为等边三角形）其底面周长为
，
则棱锥的高为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（22-23 高一下·四川成都·期末）如图，在三棱锥P－ABC 中，AB＝AC＝2，
，A 为锐角，侧棱
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PA＝PB＝PC＝2，一只小虫从A 点出发，沿侧面绕棱锥爬行一周后回到A 点，则小虫爬行的最短距离为（
）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．（23-24 高一下·河南信阳·期中）用一个平面去截一个三棱柱，可以得到的几何体是（ ）
A．四棱台
B．四棱柱
C．三棱柱
D．三棱锥
10．（23-24 高一下·福建宁德·月考）下列说法中，错误的是（ ）
A．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱；
B．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台；
C．底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；
D．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是正六棱锥.
11．（22-23 高一下·新疆昌吉·期末）正六棱台的上、下底面边长分别是
和
，侧棱长是
，则下
列说法正确的是（ ）
A．该正六棱台的上底面积是
B．该正六棱台的侧面面积是
C．该正六棱台的表面积是
D．该正六棱台的高是
三、填空题
12．（22-23 高一下·天津河北·期中）一个几何体的表面展开图如图，该几何体中与“祝”字相对的字是
；与“你”字相对的字是 .
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13．（22-23 高一下·广东深圳·期中）已知正四棱台的上底边长为2，下底边长为4，侧棱长为2，则正四棱
台的高为 .
14．（23-24 高二上·湖北恩施·月考）分子式
是有机化合物甲烷（农村沼气的主要气体），它作为燃料
广泛应用于民用和工业中. 近年来科学家通过观测数据，证明了甲烷会导致地球表面温室效应不断增加.
深入研究甲烷，趋利避害，成为科学家面临的新课题. 如图甲烷分子的结构为正四面体结构，四个氢原子
位于正四面体的四个顶点
，碳原子位于正四面体的中心
，碳原子和氢原子之间形成的四个碳氢
键的键长相同
、键角相等
. 请计算甲烷碳氢键的键角
的余弦值为 .
四、解答题
15．（22-23 高一下·重庆万州·月考）如图，已知四棱锥
的底面是面积为
的正方形
，侧
面是全等的等腰三角形，一条侧棱长为
.
（1）计算四棱锥
的高；
（2）计算四棱锥
侧面三角形底边上的高.
16．（23-24 高一下·云南昆明·月考）如图，在边长为8 的正方形
中，E，F 分别为AB，BC 的中点，
沿图中虚线将3 个三角形折起，使点A，B，C 重合，重合后记为点P.
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（1）折起后形成的几何体是什么几何体？这个几何体共有几个面？
（2）每个面的三角形有何特点？每个面的三角形面积为多少？
17．（22-23 高一下·宁夏银川·期中）正四棱台两底面边长分别为2 和4．
（1）若侧棱长为
，求棱台的表面积；
（2）若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的高．
18．（23-24 高一下·四川成都·期中）如图，一个加盖密封的漏斗的上面部分是一个正方体，下面部分是一
个正四棱锥，该几何体所有棱长均为2 米.
（1）求该漏斗的表面积；
（2）若一只蚂蚁沿漏斗表面从点
爬到点
，求它爬过的最短路径的长；
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（3）将图中正方形
水平放置，在由斜二测画法得到的水平放置的直观图中，求线段
的长.
