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7.3.5 已知三角函数值求角
课程标准
学习目标
（1）理解反正弦、反余弦、反正切的概念，明
确其表示角的范围；
（2）掌握已知的三角函数值求角，培养学生数
学运算的数学核心素养。
（1）掌握利用三角函数线求角的方法，会由已
知的三角函数值求角，并会用符号
、
、
表示角；
（2）熟记一些比较常见的三角函数值及其在区
间
上对应的角。
知识点01 已知三角函数值求角相关概念
1、已知正弦值求角
对于正弦函数
，在区间
内，满足
的
只有一个，这个
记作
，即
.
2、已知余弦值求角
对于余弦函数
，在区间
内，满足
的
只有一个，这个
记作
，即
.
3、已知正切值求角
对于正切函数
，在区间
内，满足
的
只有一个，这个
记作
，即
.
【即学即练1】（2023·高一课时练习）用反三角函数的形式把下列各式中的x 表示出来．
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）
；（2）
；（3）
；（4）
【解析】（1）∵
，∴
，
∴
，∴
.
（2）∵
，∴
.
（3）∵
，∴
，
∴
，∴
，∴
.
（4）∵
，
∴
，
∴
，∴
.
知识点02 已知三角函数值求角或角的范围的方法
1、利用三角函数线求角
在单位圆中，
是正弦线，
是余弦线，
是正切线，作出三角函数线，即可求得角的大小。
2、利用三角函数图象求角或角的范围
用三角函数图象解
(或
)的方法
（1）作出直线
，
(或
)的图像；
（2）确定
(或
)的
的值；
（3）选取一个合适的周期写出
(或
)的解集，要尽量使解集为一个连续区间。
【即学即练2】（2023·全国·高一课时练习）求出
的解集（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】画出正弦函数
的图象，如图：
，
，
等价
因为
的周期为
，
，
故不等式的解集为
，故选：C.
【题型一：已知正弦值求角】
例1．（2023·江西南昌·高一校考阶段练习）“
”是“
”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】因为
，所以
，
所以“
”是“
”的充要条件，故选：A.
变式1-1．（2023·上海闵行·高一校考期中）设
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
【答案】B
【解析】若
成立，可得
或
，
，
说明
是其中的一个角，不一定刚好
，充分性不成立，
反之如果
成立，则
成立，必要性成立，
所以“
”是“
”的必要不充分条件．故选：B．
变式1-2．（2023·上海长宁·高一延安中学校考期中）已知
，
，则
.
【答案】
或
【解析】
，
，则
，所以
或
.
变式1-3．（2023·高一单元测试）若
，
，则
．
【答案】
【解析】由
，得
，所以
，
由
，
所以
，所以
【方法技巧与总结】
1、给值求角的问题，由于范围不同，所得的角可能不同，一定要注意范围条件的约束作用。
2、对于已知正弦值求角的规律
【题型二：已知余弦值求角】
例2．（2024·上海·高一假期作业）已知
，则角x 等于
【答案】
【解析】由题意
，
，所以
.
变式2-1．（2023·上海浦东新·高一校考期中）集合
．
【答案】
【解析】当
时，
，则
，
由
，可得
，所以，
，
因为
，则
或
，
因此，
.
变式2-2．（2023·上海松江·高一上海市松江二中校考期中）方程
，
的解为
．
【答案】
【解析】依题意，
，而
，即
，
因此
，解得
，所以所求方程的解为
.
变式2-3．（2022·上海浦东新·高二校考阶段练习）已知
，则以下四个式子表示
，其
中不正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，
由反函数的定义可知
，其中
，
由于
，所以
，故B 正确，
由
与
关于
对称，所以
，故A 正确，C 错误，
由于
，所以
，
，
所以
，故D 正确.故选：C.
【方法技巧与总结】
利用余弦值求角、解不等式：将
看作整体，先求出
或
的角，再通过周期推广到整个
定义域内，最后解出
的值或范围。
【题型三：已知正切值求角】
例3．（2023·北京·高一北京市第一六一中学校考期中）若
，
，则
.
【答案】
【解析】
则
，又
，故
.
变式3-1．（2023·北京海淀·高一人大附中校考期中）若
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，
，
，
，
又反正切函数
的值域为
，所以
.故选：B
变式3-2．（2023·高一课时练习）已知
，且
，则
可表示成（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，
所以
，所以
，故选：C.
变式3-3．（2023·高一课时练习）已知
，
，则
等于 ．
【答案】
【解析】由题知，
，
所以
，所以
【方法技巧与总结】
1、已知角的正切值求角，可先求出
内的角，再由
的周期性表示所给范围内的角；
2、
，
的解集为
.
【题型四：三角方程的求解】
例4．（2024·广东佛山·高一统考期末）“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．必要条件 D．既不充分也不必要条
什
【答案】B
【解析】由
，可得
或
，即充分性不成立；
反之，若
，可得
，则
，即必要性成立，
所以“
”是“
”的必要不充分条件.故选：B.
变式4-1．（2023·浙江·高一期末）已知
，且
，则
（ ）
A．
B．
或
C．
或
D．
或
【答案】D
【解析】
，又
，则
或
．故选：D.
变式4-2．（2023·高一课时练习）
的解集为 ．
【答案】
【解析】因为
，
所以
，则
或
，
当
时，
；
当
时，
，则
.
综上：
或
.
变式4-3．（2021 下·四川成都·高一四川省蒲江县蒲江中学校考阶段练习）如果
，则角
与
的终边除了可能重合外，还有可能（ ）
A．关于
轴对称 B．关于
轴对称 C．关于直线
对称 D．关于原点对称
【答案】A
【解析】如图：角
的终边与单位圆相交于点
，过点
作
轴于点
，
由三角函数线的定义可知：
，
由图知：设角
的终边与单位圆相交于点
，当角
的终边与角
的终边关于
轴对称时，
过点
作
轴的垂线，则垂足为点
，所以
，
所以当角
与
的终边关于
轴对称时，
，故选：A.
【方法技巧与总结】
明确所求角的范围和个数，结合诱导公式先用
或
或
表示一个或两个特殊角，然
后再根据函数的周期性表示出所有的角。
一、单选题
1．（2023·陕西咸阳·高三统考期中）“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当
时，
，，
反之，当
时，
，不一定是
，
所以“
”是“
”的充分不必要条件.故选：A.
2．（2023·高一课时练习）若
，则角x 等于（ ）
A．
或
B．
或
C．
或
D．
或
【答案】D
【解析】∵
，
∴
，∴
，
∵
，∴
，∴
或
.故选：D.
3．（2023·四川宜宾·高二统考期末）已知命题
，命题
，则
是
的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当
时，可得
，所以充分性成立；
反之：若
，可得
，所以必要性不成立，
所以
是
的充分不必要条件.故选：A.
4．（2023·北京·高一校考阶段练习）在△
中，若
，则
=（ ）
A．90° B．60° C．45° D．30°
【答案】A
【解析】△
中，若
，
，
则
，所以
，所以
，故选：A.
5．（2019·高一课时练习）若
，
，则适合条件的角
有（ ）
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．无数个
【答案】C
【解析】因为
，
，则
或
，
又在
只有1 个角使得
，在
也只有1 个角使得
，
即符合条件的角
有2 个，故选C.
6．（2023·高一课时练习）下列叙述错误的是（ ）
A．
B．若
，则
C．若
，则
D．
【答案】C
【解析】令
，则
，
∵
，而
为增函数，∴
，即
，故A 正确；
根据定义：任意给定的一个
，
当
且
时，记作
，可知B 正确；
当
时
，而
，故C 错误；
令
，
，则
，
∵
，∴
，
，即
，故D 正确.故选：C.
二、填空题
7．（2023·北京·高一北理工附中校考期中）设
，且
，则
为 .
【答案】
【解析】因为
，且
在
上单调递减，
所以由
，
得
．
8．（2023·上海·高一金山中学校考阶段练习）写出方程
在
内的解集 .
【答案】
【解析】
，
，或
，
，或
.
9．（2024·辽宁沈阳·统考一模）
的一个充分不必要条件是 .
【答案】
（答案不唯一）
【解析】因为
时
，
由
可得
,
故
的一个充分不必要条件是
.
10．（2023·黑龙江齐齐哈尔·高一校考阶段练习）已知
，则
.
【答案】
或
【解析】因为
，所以
或
.
11．（2023·上海·高一上海市第三女子中学校考期中）已知
，则
（用
反正弦表示）
【答案】
【解析】由
，可得
.
12．（2023·高一课时练习）已知
，若
，用反正弦符号表示
为 ．
【答案】
【解析】∵
，∴
，
∴
，∴
.
13．（2022·辽宁沈阳·高一沈阳二中阶段练习）若
，
，则
．
【答案】
【解析】由反三角函数的性质知
，故
而
，故
14．（2023·辽宁铁岭·高一昌图县第一高级中学校考阶段练习）
.
【答案】
【解析】
