1
2.2.4 点到直线的距离
课程标准
学习目标
1.理解点到直线距离的概念;
2.掌握求直线上一点到直线的距离的方法，
并能运用到实际问题中:
3.培养数学思维能力，提高逻辑推理能力。
1.重点：(1)点到直线的距离公式的推导思路;(2)点
到直线的距离公式的应用
2.难点：用向量的方法推导点到直线的距离公式
知识点01 两点间距离公式
定义：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离|P1P2|＝√（x2−x1）
2+（y2−y1）
2
【即学即练1】（23-24 高二下·全国·课后作业）若A(−3,5),B(2,0)，则| AB|为 .
【即学即练2】（24-25 高二上·全国·随堂练习）已知点( x , y)到原点的距离等于1，则实数x , y满足的
条件是（ ）
A．x
2−y
2=1
B．x
2+ y
2=0
C．√x
2+ y
2=1
D．x
2−y
2=0
知识点02 点到直线的距离公式
1.点到直线的距离公式
点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0 的距离，d＝
2
2.点到特殊直线的距离公式
点P0(x0，y0)到x 轴的距离d＝|y0|，到平行于x 轴的直线y=a 的距离d＝|y0-a|,到y 轴的距离d＝|x0|,到
平行于y 轴的直线x=b 的距离d＝|x0-b|.
【即学即练3】（23-24 高二上·新疆·期末）点M (1,2)到直线3 x + 4 y −6=0的距离为（ ）
A．−2
B．2
C．−1
D．1
【即学即练4】(多选)（23-24 高二下·全国·随堂练习）已知点M (1,4)到直线l:mx + y −1=0的距离为
3，则实数m等于（ ）
A．0
B．3
4
C．3
D．2
知识点03 两条平行线之间的距离
1.两条平行线之间的距离
两条平行线之间的距离，等于其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离.
2.两条平行线之间的距离公式
两条平行线Ax＋By＋C1＝0 与Ax＋By＋C2＝0 间的距离d＝
【即学即练5】（23-24 高二上·北京房山·期末）两条直线l1: x−2 y −4 =0与l2: x−2 y +1=0之间的距
离是（ ）
A．5
B．1
C．√5
D．3√5
5
【即学即练6】（22-23 高二上·广东肇庆·阶段练习）两平行直线2 x−y −1=0与4 x−2 y +3=0之间的
距离为 ．
难点：将军饮马问题
示例1：（24-25 高二下·上海·单元测试）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽
火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后
从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军
营所在的位置为A(−3,0)，若将军从山脚下的点B(−1,1)处出发，河岸线所在直线方程为x + y =1，则
“将军饮马”的最短总路程为 ．
难点：类比距离问题
示例2 ：（2024 高二下· 吉林· 竞赛）已知函数f (x)=√2 x
4−18 x
2+12 x +68+ x
2−x +1
，则
3
（ ）
A．f (x)的最小值为8
B．f (x)的最小值为9
C．f (x)=8有1 个实根
D．f (x)=9有1 个实根
【题型1：平面两点之间的距离】
例1．（21-22 高二上·河北衡水·阶段练习）点M 1(2,−5)与M 2(5, y)之间的距离是5，则y=（ ）
A．−9
B．−1
C．−9或−1
D．12
变式1．（2023·江西上饶·模拟预测）已知a+b−7=0，c +d −5=0，则√(a+c)
2+(b+d )
2的最小值等于
（ ）
A．√3
B．6
C．4√2
D．6√2
变式2．（23-24 高二下·全国·课后作业）已知点A的坐标(−8,12)，线段AB中点的坐标为(−1
2 ,2)，则B
点坐标为 ，| AB|为 .
变式3．（20-21 高二·全国·课后作业）已知△ABC的三个顶点坐标是A(1,−1)，B(−1,3)，C(3,0)．则
△ABC的形状为 ；△ABC的面积为 .
变式4．（23-24 高二下·全国·课后作业）已知A(a,0),B(0,10)，且| AB|=17，则a= ．
变式5．（21-22 高二上·北京·阶段练习）已知点A (−√3,0),B (cosα ,sin α )，且|AB|=2，写出直线AB 的
一个方程
变式6．（2021 高二上·全国·专题练习）已知点A (−2,−1),B (a,3)，且|AB|=5，则a的值为 .
4
变式7．（24-25 高二上·全国·课后作业）二元函数f (x , y)=( x +cos y)
2+(2 x +3+sin y)
2的值域为
．
变式8.（2021 高二·黑龙江哈尔滨·学业考试）已知A(−2,0)，B(0,4)，线段AB的垂直平分线为直线l．
(1)求直线l的一般式方程；
(2)若点C在直线l上，且| AC |=√10，求点C坐标．
【题型2：点到直线的距离】
例2．（23-24 高二上·新疆·期末）点M (1,2)到直线3 x + 4 y −6=0的距离为（ ）
A．−2
B．2
C．−1
D．1
变式1．（23-24 高二上·江苏南京·开学考试）已知直线l：x +my −2m−1=0，则点P(2,−1)到直线l距离
的最大值为（ ）
A．√5
B．√10
C．5
D．10
变式2．（23-24 高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知A (−3,−4)，B (6,3)两点到直线l:ax + y +1=0的距
离相等，求a 的值（ ）
A．1
3
B．−9
7
C．−1
3
或−7
9
D．1
3
或−7
9
变式3．（多选）（23-24 高二上·全国·课后作业）直线x + y −1=0上与点P(−2,3)的距离等于√2的点的
坐标可以是（ ）
A．(−4,5)
B．(−1,2)
C．(−3,4)
D．(1,−5)
变式4．（多选）（23-24 高二下·内蒙古赤峰·期末）已知直线l: y =ax−a+1，下列说法正确的是
（ ）
A．直线l过定点(−1,1)
B．当a=1时，l关于x轴的对称直线为x + y =0
C．直线l一定经过第四象限
D．点P(3,−1)到直线l的最大距离为2√2
变式5．（多选）（23-24 高二上·湖南衡阳·期末）已知点P(1,3)与Q (−3,1)到直线l的距离相等，则l的方
程可以是（ ）
A．2 x + y =0
B．x−2 y −3=0
C．2 x +3 y −5=0
D．3 x−2 y +7 =0
变式6．（24-25 高二上·上海·课后作业）若点P(−2,−1)到直线l：(1+3 λ) x +(1+2 λ) y =2+5 λ的距离为
d，则d 的取值范围是 ．
5
变式7．（24-25 高二上·上海·课后作业）已知点P(3,4)到直线l 的距离为5，且直线l 在两坐标轴上的截距
相等，则满足条件的直线共有 条．
变式8. （24-25 高二上· 上海· 课后作业）若恰有三组不全为0 的实数对(a,b)满足关系式
|2a+b+3|=|5a−3b+3|=t √a
2+b
2，求实数t 的所有可能的值．
【方法技巧与总结】
应用点到直线的距离公式应注意的三个问题
（1）直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式.
（2）点P 在直线l 上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用.
（3）直线方程Ax+By+C=0 中，A=0 或B=0 公式也成立，但由于直线是特殊直线（与坐标轴垂直），故也可
用数形结合求解.
【题型3：两条平行线之间的距离】
例3．（24-25 高二上·陕西西安·开学考试）直线l1：x−y +1=0与直线l2：2 x−2 y +3=0的距离是
（ ）
A．√2
4
B．√2
2
C．√2
D．1
变式1．（23-24 高二上·浙江杭州·期中）已知l1//l2,l1:2 x + y + 4 =0,l2:6 x +ay +2=0,则它们的距离为
（ ）
A．2√5
15
B．2√5
5
C．√5
5
D．2√5
3
变式2．（23-24 高二上·天津和平·期末）设点P，Q 分别为直线3 x + 4 y −7=0与直线6 x +8 y +3=0上的
任意一点，则|PQ|的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．17
10
D．11
10
变式3．（多选）（23-24 高二上·广东茂名·期末）已知两条平行直线m,n，直线m: x + y −1=0，直线
n:2 x +2 y +a=0，直线m,n之间的距离为√2，则a的值可以是（ ）
A．-8
B．-6
C．2
D．4
变式4．(多选)（23-24 高二上·江西九江·期末）已知两条平行直线l1: x +√3 y +1=0,l2: x +√3 y −3=0.若
直线l被l1,l2截得的线段长为2√2，则直线l的倾斜角可能是（ ）
A．15
∘
B．75
∘
C．105
∘
D．165
∘
变式5．（23-24 高二上·安徽·期末）已知直线l1: y =kx +1，l2: y =k (x−2)，则直线l1，l2之间距离的最大
6
值为 ．
变式6．（23-24 高二上·河南开封·期末）已知点A ,B分别是直线l1:2 x + y −2=0与直线l2:4 x +2 y +1=0
上的点，则|AB|的取值范围是 ．
变式7．（23-24 高二上·上海松江·期末）已知P ,Q分别在直线l1: x−y +1=0与直线l2: x−y −1=0上，且
PQ⊥l1，点A (−4,6)，B (5,−1)，则|AP|+|PQ|+|QB|的最小值为
【方法技巧与总结】
对两条平行直线之间的距离公式的理解
1.求两条平行线之间的距离可以转化为求点到直线的距离，也可以利用公式.
2.利用公式求平行线之间的距离时，两条直线方程必须是一般式，且x，y 的系数对应相等.
3.当两条直线都与x 轴（或y 轴）垂直时，可利用数形结合来解决.
【题型4：点与点、点与线的对称问题】
例4．（23-24 高二上·广东佛山·期中）点(2,1)关于直线x−y +1=0对称的点的坐标为（ ）
A．(−2,5)
B．(0,3)
C．(0,−1)
D．(−1,2)
变式1．（22-23 高二上·福建厦门·阶段练习）不论实数a取何值时，直线(2a−1) x +(−a+3) y −5=0
都过定点M，则直线2 x−y +3=0关于点M的对称直线方程为（ ）
A．x−2 y −6=0
B．x−2 y =0
C．2 x−y −9=0
D．2 x−y −3=0
变式2．（21-22 高二·全国·单元测试）直线ax＋y＋3a－1＝0 恒过定点M，则直线2x＋3y－6＝0 关于点
M 对称的直线方程为（ ）
A．2x＋3y－12＝0
B．2x＋3y＋12＝0
C．3x－2y－6＝0
D．2x＋3y＋6＝0
变式3．（多选）（23-24 高二上·安徽淮北·期中）下列说法中正确的是（ ）
A．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率
B．直线的倾斜角越大，它的斜率就越大
C．直线x−y −3=0与两坐标轴围成的三角形的面积是2
D．点(0,1)关于直线y = x的对称点为(1,0)
变式4．（23-24 高二上·内蒙古鄂尔多斯·期中）已知直线2 x−y −5=0与直线x +3 y +1=0交于点A，
则点A 关于直线x−y + 4 =0的对称点坐标是 .
变式5.（22-23 高二上·江西南昌·阶段练习）已知直线l的倾斜角为135
∘，且经过点P(1,1)．
(1)求直线l的方程；
(2)求点A (3,4)关于直线l的对称点A
′的坐标．
变式6．（23-24 高二上·江苏无锡·期中）已知直线l: x−2 y +1=0，点A (2,2).
(1)已知直线l与l
':ax−(a
2−3) y −1=0平行，求a的值；
7
(2)求点A (2,2)关于直线l的对称点A
′的坐标.
变式7．（23-24 高二上·陕西咸阳·阶段练习）直线l1：ax +3 y −1=0，直线l1的一个方向向量的坐标为
(−2,6)，直线l2：4 x +by −2=0与直线2 x−y +5=0垂直
(1)求a，b 的值；
(2)已知点P(−1,−3)，求点P关于直线l2对称的点Q的坐标．
变式8．（23-24 高二上·四川成都·期中）已知直线l过点P(2,−1)．
(1)若直线l与直线2 x + y +3=0垂直，求直线l的方程
(2)若已知直线l: x +2 y −2=0，点Q (−2,−1)关于直线l的对称点的坐标．
【方法技巧与总结】
1.实质：该点是两对称点连线段的中点
方法：利用中点坐标公式
说明：平面内点A(x0, y0)关于P(a,b)对称点坐标为(2a−x0,2b−y0)平面内点A(x1, y1)，A'(x2, y2)关
于点
P(
x1+x2
2
, y1+ y2
2 )对称
2.实质：轴（直线）是对称点连线段的中垂线
1.当直线斜率存在时：方法：利用”垂直“和”平分“这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标，
一般地：设点(x0，y0)关于直线Ax+By+C=0 的对称点(x’，y’)，则
2.当直线斜率不存在时：点(x0, y0)关于x=m 的对称点为（2m−x0，y0 ）
【题型5：直线关于点对称】
例5．（23-24 高二上·四川成都·期中）直线l：y =2 x−4关于点A(1,0)对称的直线方程为（ ）
A．y =2 x
B．y =−2 x
C．y =2 x−8
D．y =2 x + 4
变式1．（22-23 高二上·福建福州·期中）已知点P(2,1)，直线l：x−y −4 =0，则点P到直线l的距离为
，直线l关于点P对称的直线方程为 ．
8
变式2．（23-24 高二上·江苏南通·期中）已知三角形的三个顶点是A (4,0)，B (6,5)，C (0,3)，边BC 上
的高所在直线为l．
(1)求直线l 的方程；
(2)求直线l 关于点B 对称的直线l
′的方程．
变式3．（22-23 高二·全国·课后作业）已知点A的坐标为(−4,4)，直线l的方程为3 x + y −2=0，求：
(1)点A关于直线l的对称点A
′的坐标；
(2)直线l关于点A的对称直线l
′的方程．
变式4．（21-22 高二上·江苏连云港·期中）已知直线l经过两条直线2 x +3 y +8=0和x−y −1=0的交
点，且________，若直线m与直线l关于点(1,0)对称，求直线m的方程．试从以下两个条件中任选一个补充
在上面的问题中，完成解答，若选择多个条件分别解答，按照第一个解答计分．①与直线3 x +2 y +8=0
垂直；②在y轴上的截距为1
2
．
变式5．（23-24 高二上·河北石家庄·期中）将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,0)和点(
12
5 , −6
5 )重合，
点(7,3)和点(m,n)重合，则m+n=（ ）
A．34
5
B．36
5
C．28
3
D．32
3
变式6．（23-24 高二上·全国·单元测试）已知点A (0,1)，________，从条件①、条件②、条件③中选
择一个作为已知条件补充在横线处，并作答．条件①：点A关于直线l1的对称点B的坐标为(2,−1)；条件
②：点B的坐标为(2,−1)，直线l1过点(2,1)且与直线AB垂直；条件③点C的坐标为(2,3)，直线l1过点(2,1)
且与直线AC平行．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
(1)求直线l1的方程；
(2)求直线l2：x−2 y +2=0关于直线l1的对称直线的方程．
【方法技巧与总结】
实质：两直线平行
法一：转化为“点关于点”的对称问题（在l 上找两个特殊点（通常取直线与坐标轴的交点），求出各自
关于A 对称的点，然后求出直线方程）
法二：利用平行性质解（求出一个对称点，且斜率相等或设出平行直线系，利用点到直线距离相等）
【题型6：直线关于直线对称】
例6．（24-25 高二上·全国·课后作业）已知直线l：ax +by +c =0与直线l
′关于直线x + y =0对称，则l
′
9
的方程为（ ）
A．bx +ay −c =0
B．bx−ay +c =0
C．bx +ay +c =0
D．bx−ay −c =0
变式1．（24-25 高二上·上海·课堂例题）过原点的直线l 的倾斜角为θ，则直线l 关于直线y = x对称
的直线l
′的倾斜角不可能为（ ）
A．θ
B．π
2 −θ
C．π−θ
D．3 π
2 −θ
变式2．（多选）（23-24 高二上·山西太原·期中）已知直线l1: x + y =0,l2:2 x−3 y −6=0，则下列说
法正确的是（ ）
A．直线l1与l2相交于点(
6
5 ,−6
5)
B．直线l1、l2和x轴围成的三角形的面积为6
5
C．直线l2关于原点O 对称的直线方程为2 x−3 y +6=0
D．直线l2关于直线l1对称的直线方程为3 x−2 y +6=0
变式3．（多选）（23-24 高二上·江苏盐城·阶段练习）已知直线l1:ax−y +1=0,l2: x +ay +1=0，
a∈R，以下结论正确的是（ ）
A．无论a 为何值，l1与l2都互相垂直
B．当a 变化时，l1表示过定点(0,1)的所有直线
C．无论a 为何值，l1与l2都关于直线x + y =0对称
D．若l1与l2交于点M，则|MO|（O 为坐标原点）的最大值是√2
变式4．（24-25 高二上·上海·随堂练习）若直线l 与直线ax +by +c =0(ab>0)的夹角平分线为y = x，
则直线l 的方程为 .
变式5．（22-23 高二上·安徽六安·阶段练习）已知直线l1的方程为x−2 y + 4 =0.
（1）若直线l1和直线l2关于点(0,0)对称，求直线l2的方程 ；
（2）若直线l1和直线l2关于直线y = x对称，求直线l2的方程 .
变式6．（23-24 高二上·贵州遵义·阶段练习）已知△ABC的三个顶点是A (1,1)，B (3,3)，C (2,8)．
(1)过点B的直线l1与边AC相交于点D，若△BCD的面积是△ABD面积的3 倍，求直线l1的方程；
(2)求∠BAC的角平分线所在直线l2的方程．
变式7．（22-23 高二上·青海海南·期中）已知直线l:2 x +3 y −5=0，求满足下列条件的直线的方程．
(1)与直线l关于x轴对称；
(2)过点(3,1)，且与l平行．
10
【方法技巧与总结】
1.相交时：此问题可转化为“点关于直线”的对称问题
2.平行时：对称直线与已知直线平行
【题型7：反射光线问题】
例7．（23-24 高二上·湖北恩施·期末）已知光线从点A (−2,1)射出，经直线2 x−y +10=0反射，且反
射光线所在直线过点B(−8,−3)，则反射光线所在直线的方程是（ ）
A．x−3 y −1=0
B．3 x−y +21=0
C．x +3 y +17 =0
D．3 x + y +15=0
变式1．（22-23 高二上·浙江·阶段练习）一条光线从点P(−1,5)射出，经直线x−3 y +1=0反射后经过
点(2,3)，则反射光线所在直线的方程为（ ）
A．2 x−y −1=0
B．x−2=0
C．3 x−y −3=0
D．4 x−y −5=0
变式2．（23-24 高三上·河南三门峡·阶段练习）在等腰直角三角形ABC 中，AB = AC = 4，点P 是边AB
上异于A，B 的一点，光线从点P 出发经BC，CA 反射后又回到点P，若光线QR 经过△ABC的重心，则
△PQR的周长等于（ ）
A．8√5
3
B．2√37
3
C．4√15
D．5√3
3
变式3．（23-24 高二上·浙江温州·期中）在等腰直角△ABC中，AB = AC = 4，点P是边AB的中点，
光线从点P出发，沿与⃗AB所成角为θ的方向发射，经过BC ,CA反射后回到线段PB之间（包括端点），则
tanθ的取值范围是（ ）
A．[1,2]
B．[2,3]
C．[4,5]
D．[3,4]
变式4．（24-25 高二上·江苏泰州·阶段练习）在等腰直角三角形ABC中，AB = AC =1，点P是边AB
11
上异于A，B的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P，如图所示，若光线QR经过△ABC
的重心G，则AP的长度为 .
变式5．（23-24 高二上·山东潍坊·期中）如图，在直角坐标系xOy中，已知A (3,0)，B (0,3)，从点
P(1,0)射出的光线经直线AB反射到y轴上，再经y轴反射后又回到点P，则光线所经过的路程的为 .
变式6 ．（24-25 高二上· 上海· 随堂练习）如图，已知A (6,6√3)，B (0,0)，C (12,0)，直线l：
(k +√3) x−y −2k =0．
(1)求直线l经过的定点坐标；
(2)若P(2,2√3)，李老师站在点P用激光笔照出一束光线，依次由BC（反射点为K）、AC（反射点为I
）反射后，光斑落在P点，求入射光线PK的直线方程．
变式7．（23-24 高二上·浙江杭州·期中）已知光线经过点M (2,3)，在直线l: x + y +1=0上反射，且反
射光线经过点N (1,1)，求：
(1)入射光线与直线l 的交点．
12
(2)入射光线与反射光线所在直线的方程．
【题型8：将军饮马问题】
例8．（23-24 高二上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）设直线l：x + y −2=0，点A (−1,0)，B (1,0)，P 为l
上任意一点，则|PA|+|PB|的最小值为（ ）
A．√13
B．√10
C．√7
D．√5
变式1．（23-24 高二上·北京丰台·期末）已知点P在由直线y = x +3，y =5和x =−1所围成的区域内
（含边界）运动，点Q在x轴上运动.设点T (4,1)，则|QP|+|QT|的最小值为（ ）
A．√30
B．4√2
C．√34
D．2√10
变式2．（23-24 高二上·河南商丘·期中）已知点M (1,−2)，N (4,4)，H是直线l:2 x−y +1=0上的
动点，则|HM|+|NH|的最小值为（ ）
A．√13
B．3√5
C．√65
D．6√2
变式3．（23-24 高二上·上海奉贤·阶段练习）2023 年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们
对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象
力最丰富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，
黄昏饮马傍交河”.诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下
某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点
是A (2,4)，军营所在位置为B (6,2)，河岸线所在直线的方程为x + y −3=0，若将军从出发点到河边饮马，
再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则（ ）
A．将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是6 x−y −8=0
B．将军在河边饮马的地点的坐标为(
13
8 , 11
8 )
C．将军从河边回军营的路线所在直线的方程是x−6 y +6=0
D．“将军饮马”走过的总路程为5
变式4．（23-24 高二上·河南新乡·期中）√5 x
2−4 x +1+√5 x
2+ 4 x + 4
的最小值为（ ）
A．√195
5
B．3
C．√205
5
D．2√2
变式5．（23-24 高二上·河南信阳·期中）已知x + y +1=0，则√x
2+ y
2−2 x −2 y +2+√( x −3)
2+ y
2的
最小值是（ ）
A．√10
B．√13
C．√29
D．6
13
变式6 ．（22-23 高二上· 河北张家口· 期末）已知实数x ，y 满足x + y +1=0，则
√(x−1)
2+( y −1)
2+√(x−2)
2+ y
2的最小值为（ ）
A．√5
B．2√2
C．√10
D．2√5
变式7．（23-24 高二上·江苏·单元测试）已知点A (−3,1)，点M , N分别是x 轴和直线2 x + y −5=0上
的两个动点，则|AM|+|MN|的最小值等于 ．
【方法技巧与总结】
利用三角形边角关系，两边之和大于第三边，两边之差的绝对值小于等于第三边。
一、单选题
1．（23-24 高二下·全国·课后作业）三角形的三个顶点为A (2,−1),B (−1,3)，则AB的长为（ ）
A．3
B．5
C．9
D．25
2．（23-24 高二上·广东深圳·期末）若直线l1: x +3 y +m=0(m>0)与直线l2: x +3 y −3=0间的距离为
√10，则m=（ ）
A．17
B．17
2
C．14
D．7
3．（2023 高二上·全国·专题练习）若原点到直线ax +by +c =0的距离为1，则a，b，c 应满足的关系式
为（ ）
A．c
2=a
2+b
2
B．a
2=b
2+c
2
C．b
2=a
2+c
2
D．c =a+b
4．（22-23 高二上·江苏连云港·期中）已知点A (2,1)，点B 在直线x−y +3=0上，则|AB|的最小值为
（ ）
A．√5
B．√26
C．2√2
D．4
5．（23-24 高二上·四川遂宁·期中）已知直线l：x−y =0，则点A (−1,4)关于l对称的点的坐标为
（ ）
A．(4,1)
B．(4 ,−1)
C．(−1,−4)
D．(1,4)
6．（23-24 高二上·广西玉林·期中）已知A (−2,4)，B (−4,6)两点到直线l:ax−y +1=0的距离相等，
14
则a的值为（ ）
A．−1或−4
3
B．3 或4
C．3
D．4
7．（23-24 高二下·全国·课堂例题）直线3 x−(k +2) y +k +5=0与直线kx +(2k −3) y +2=0相交，则
实数k的值为（ ）
A．k ≠1或k ≠9
B．k ≠1或k ≠−9
C．k ≠1且k ≠9
D．k ≠1且k ≠−9
8．（23-24 高二上·广东湛江·期中）某地A ,B两厂在平面直角坐标系上的坐标分别为A (0,0),B (−2,0)
，一条河所在直线的方程为x +2 y −5=0.若在河上建一座供水站P，则P到A ,B两点距离之和的最小值为
（ ）
A．4√2
B．32
C．4√3
D．48
二、多选题
9．（23-24 高二下·广西·开学考试）若直线l1：y = 3
4 x +2，l2：3 x−4 y +8=0，l3：y = 3
4 x−1，l4：
y =−3
4 x +1，则（ ）
A．l1∥l2
B．l1与l3之间的距离为12
5
C．l2∥l3
D．l1与l4的倾斜角互补
10．（23-24 高二上·山西太原·期末）已知直线l1：2 x−y =0与l2：x + y −3=0交于点P，则下列说法
正确的是（ ）
A．点P到原点的距离为√5
B．点P到直线x−y −1=0的距离为1
C．不论实数m取何值，直线l3：(m+2) x−2 y −1=0都经过点P
D．(1,−1)是直线l2的一个方向向量的坐标
11．（23-24 高二上·湖北十堰·期末）点A (2，7)，B (−2，3)到直线l:ax−2 y +a−1=0的距离相
等，则a的值可能为（ ）
A．－2
B．2
C．9
D．11
三、填空题
12．（24-25 高二上·江苏泰州·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，点P(x , y)在直线x +2 y −5=0
上，当OP最小时，P点的坐标为 .
15
13．（23-24 高二下·江西·阶段练习）平面直角坐标系中，任意两点A(x1, y1)，B(x2, y2)，定义
d AB=√(x1−x2)
2+( y1−y2)
2为“A，B 两点间的距离”，定义||AB||=|x1−x2|+|y1−y2|为“A，B 两点间的
曼哈顿距离”，已知O(0,0)为坐标原点，P( x , y)( x ≥0, y ≤0)为平面直角坐标系中的动点，且||OP||=2
，则dOP的最小值为 .
14．（2024 高二上·全国·专题练习）已知直线l与直线2 x−3 y + 4 =0关于直线x =1对称，则直线l的方
程为 ．
15．（23-24 高二上·甘肃白银·期末）已知实数x , y满足xsinα + y cosα =3，则x
2+ y
2的最小值为
.
16．（2023 高二上·全国·专题练习）已知x , y ∈R，S =√(x +1)
2+ y
2+√(x −1)
2+ y
2，则S 的最小值是
.
四、解答题
17．（23-24 高二下·河北张家口·开学考试）已知直线l1：x +my +1=0和l2：2 x + y −1=0．
(1)若l1与l2互相垂直，求实数m的值；
(2)若l1与l2互相平行，求l1与l2间的距离．
18．（22-23 高二上·北京·期中）在平行四边形ABCD中，A (1,1),C (5,5)，边AB , AD所在直线的方程
分别为l1: x−3 y +2=0和l2:3 x−y −2=0．
(1)求BC边所在直线的方程和点A到直线BC的距离；
(2)求线段AC垂直平分线所在的直线方程；
(3)求过点B且在x轴和y轴截距相等的直线方程．
19．（23-24 高二上·上海杨浦·期中）已知两条直线l1:(t −1)x +2 y −t =0和l2: x +ty +t −4 =0.
(1)讨论直线l1与l2的位置关系；
(2)当直线l1与l2平行时，求它们之间的距离；当直线l1与l2相交时，求它们之间夹角的最大值，并指出相应
t的取值.
