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1
11.1.6 祖暅原理与几何体的体积
课程标准
学习目标
（1）熟记柱、锥、台和球的体积计算公式；
（2）能够运用柱、锥、台、球的体积公式求简
单几何体的体积.
（1）理解棱柱、棱锥和棱台的体积公式的推导
方法，了解祖暅原理，将空间问题转化为平面问
题；
（2）知道柱、锥、台和球的体积公式，能用公
式解决简单的实际问题.
知识点01 祖暅原理
1、祖暅原理的内容：幂势既同，则积不容异。
2、祖暅原理的含义：加在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面所截，两
个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积一定相等。
3、应用：等地面积、等高的两个柱体或锥体的体积相等。
【即学即练1】（多选）祖暅是南北朝时期伟大的数学家，5 世纪末提出体积计算原理，即祖暅原理：“需
势既同，则积不容异.”意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平
面所截，如果截面面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等，现有以下四个几何体：A 是从圆柱中
挖去一个圆锥所得的几何体，B、C、D 分别是圆锥、圆台和半球，则满足祖暅原理的几何体为（ ）
A．
B．
C．
D．
2
知识点02 柱、锥、台、球的体积公式
名称
体积
柱体
锥体
台体
球
其中
,
分别表示上、下底面的面积，
表示高，
表示球的半径。
【即学即练2】（22-23 高一下·广西柳州·期中）如图所示，圆柱与圆锥的组合体，已知圆锥部分的高为
，
圆柱部分的高为，底面圆的半径为，则该组合体的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【题型一：求柱体的体积】
3
例1．（22-23 高一下·云南保山·期中）已知某圆柱的高为10，底面周长为
，则该圆柱的体积为
（ ）
A．
B．
C．
D．
变式1-1．（23-24 高一下·广东茂名·期中）若甲、乙两个圆柱的体积相等，底面积分别为
和
，侧面积
分别为
和
.若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
变式1-2．（23-24 高一下·天津河西·期中）已知正三棱柱
的所有棱长均为
，且其体积为
，则
（ ）
A．2
B．
C．4
D．
变式1-3．（22-23 高一下·河南濮阳·期中）一个钢筋混凝土预制件可看成一个长方体挖去一个底面为等腰
梯形的四棱柱后剩下的几何体，其尺寸如图所示（单位：米），浇制一个这样的预制件需要 立
方米混凝土（钢筋体积略去不计）．
【方法技巧与总结】
柱体体积问题的处理方法
求解柱体体积问题的关键是能够应用棱柱或圆柱的定义确定底面和高.棱柱的高是两个平行底面间的距离，
其中一个平面上的任一点到另一个面的距离都相等，都是高.圆柱的高是其母线长.具体问题中要能准确应
用“底面”“高”的定义去求解相关元素.
【题型二：求锥体的体积】
4
例2．（23-24 高一下·四川眉山·月考）若圆锥的侧面展开图是圆心角为
、半径为4 的扇形，则这个圆
锥的体积是
变式2-1．（23-24 高一下·重庆·期中）某数学课外兴趣小组对一圆锥筒进行研究，发现将该圆锥放倒在一
平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点滚动，当这个圆锥在平面内首次转回到原位置时，圆锥本身恰好
滚动了周，如图，若该兴趣小组已测得圆锥的底面半径为，则该圆锥的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式2-2．（22-23 高一下·贵州黔西·月考）侧棱长为2 的正三棱锥，若其底面边长为3，则该正三棱锥的体
积是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式2-3．（22-23 高一下·山东菏泽·月考）分别以一个直角三角形的斜边、两条直角边所在直线为轴，其
余各边旋转一周形成的面围成的三个几何体体积分别记为
、
、
，则它们之间一定满足（ ）
A．
B．
C．
D．
【方法技巧与总结】
求解锥体的体积问题的关键是确定底面积和高，这些元素常常是放到平面图形中通过构造直角三角形，应
用勾股定理进行求解。
1、利用转化法求解体积问题的思路：
转化法是在用公式法求解一个几何体体积时，直接求解不便于计算时常考虑的基本方法，有两种常见的转
化思路：一是运用等体积转化法求解，即如果所求几何体对应的底面面积或者高较难求解时，利用几何体
5
体积的不变性转化为从另一个角度求底面面积和高，进而得到它的体积；二是运用比例转化法求解，即将
所求几何体按比例转化为常见的几何体，再考虑用公式法求解体积.
2、利用转化法求解体积的步骤：
第一步：等体积转化(或比例转化）.通过分析几何体的结构特征，利用体积的不变性将所求几何体的底面
和高转化为易于求解的底面和高（或将不易求解体积的几何体按照比例转化成易求解体积的几何体模型）.
第二步：计算体积.分别求出转化后的几何体底面面积和高，再用体积公式计算.第三步：得到结论.
【题型三：求台体的体积】
例3．（22-23 高一下·河南信阳·月考）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，
“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷
幄､决胜千里､大智大勇的象征（如图1）.图2 是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧
所在圆的半径分别是6 和12，且
，则该圆台的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式3-1．（22-23 高一下·江苏南通·月考）在梯形ABCD 中，
，
，
且
，将梯形绕着边BC 所在的直线旋转一周，形成空间几何体的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式3-2．（22-23 高一下·广东深圳·期中）如图，
是一个正三棱台，而且下底面边长为6，上
底面边长和侧棱长都为3，则棱台的高和体积分别为（ ）
6
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
变式3-3．（23-24 高一下·陕西咸阳·月考）在正四棱台
中，
，且三棱锥
的体积为12，则该正四棱台的体积为（ ）
A．
B．36
C．108
D．
【方法技巧与总结】
求解台体的体积问题的关键是求出上、下底面的面积及高，求解相关量时，应充分利用台体重的直角梯形、
直角三角形。另外，台体的体积还可以通过计算两个锥体的体积差的得到。
【题型四：求球的体积】
例4．（22-23 高一下·新疆阿克苏·月考）已知棱长为2 的正方体的体积与球
的体积相等，则球
的半径
为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式4-1．（23-24 高一下·河南郑州·期中）若一个球体的体积与其表面积的值相等，则该球体的半径为（
）
A．1
B．2
C．3
D．
变式4-2．（23-24 高二上·上海宝山·期末）已知球的表面积为
，则该球的体积为 ．
变式4-3．（2023 高二上·上海·专题练习）（1）已知球的直径为
，求它的表面积和体积；
（2）已知球的体积为
，求它的表面积；
7
（3）若三个球的表面积之比为
，求这三个球的体积之比.
【方法技巧与总结】
求解球的体积问题的关键是确定球的半径。一般地，题中不会直接给出球的半径，而是隐藏在某些条件或
解题过程中，一定要注意挖掘题目中的隐含条件。
【题型五：求组合体的体积】
例5．（23-24 高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱组成的．
已知中间圆柱部分的侧面面积与上下露在外面的球面面积之比为1：3，则中间圆柱部分的体积与上下两个
半球体体积之和的比值为（ ）
A．1:2
B．1:1
C．2:1
D．2:3
变式5-1．（23-24 高一下·河北保定·月考）宋代是中国瓷器的黄金时代，涌现出了五大名窑：汝窑、官窑、
哥窑、钧窑、定窑．其中汝窑被认为是五大名窑之首．如图1，这是汝窑双耳罐，该汝窑双耳罐可近似看
成由两个圆台拼接而成，其直观图如图2 所示．已知该汝窑双耳罐下底面圆的直径是12 厘米，中间圆的直
径是20 厘米，上底面圆的直径是8 厘米，高是14 厘米，且上、下两圆台的高之比是
，则该汝窑双耳
罐的体积是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式5-2．（22-23 高一下·辽宁·月考）某车间对一个正六棱柱形的工件进行加工，该工件的所有棱长均为
4cm．需要在底面的中心处打一个半径为
的圆柱形通孔（如图所示），当工件加工后的表面积最大时，
加工后的工件体积为
．
8
变式5-3．（22-23 高一下·湖北·月考）某种建筑使用的钢筋混凝土预制件模型如下图所示，该模型是由一
个正四棱台从正中间挖去一个圆柱孔而成，已知该正四棱台上底和下底的边长分别为
和
，棱
台的高为
，中间挖去的圆柱孔的底面半径为
.计算时
取3.14.
（1）求浇制一个这样的预制件大约需要多少立方厘米混凝土；
（2）为防止该预制件风化腐蚀，需要在其表面涂上一层保护液，若每升保护液大约可以涂
，请计
算涂一个这样的预制件大约需要购买保护液多少升？（结果取整数）
【方法技巧与总结】
求组合体的体积关键是将组合体分解成若干“柱、锥、台、球”的基本型，然后根据相关公式求解。
【题型六：祖暅原理的应用】
例6．（23-24 高一下·安徽·月考）中国南北朝时期数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子总结了魏晋时期著
名数学家刘徽的有关工作，提出“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高.详细点
说就是，界于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面
积相等，则这两个几何体的体积相等.上述原理在中国被称为祖暅原理.一个上底面边长为1，下底面边长为
2，高为
的正六棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为
.
9
变式6-1．（22-23 高一下·河北邢台·月考）祖暅（gèng）（5 世纪—6 世纪），字景烁，祖冲之之子，范阳
郡道县（今河北省涞水县）人，南北朝时期的伟大科学家.他在实践的基础上，于5 世纪末提出了下面的体
积计算原理：“幂势既同，则积不容异”.这就是“祖暅原理”.用现代语言可以描述为“夹在两个平行平
面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体
的体积相等”.例如可以用祖暅原理推导半球的体积公式，如图，半径为R 的半球与底面半径和高都为R 的
圆柱放置在同一底平面上，然后在圆柱内挖去一个半径为R，高为R 的圆锥后得到一个新的几何体，用任
何一个平行于底面的平面
去截这两个几何体时，所截得的截面面积总相等，由此可证明半球的体积和新
几何体的体积相等.若球心到平面
的距离为
，则平面
截半球所得的较小部分的几何体的体积等于
.
变式6-2．（22-23 高一下·陕西西安·期中）根据祖暅原理，界于两个平行平面之间的两个几何体，被任一
平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．如图1 所示，一
个容器是半径为R 的半球，另一个容器是底面半径和高均为R 的圆柱内嵌一个底面半径和高均为R 的圆锥，
这两个容器的容积相等．若将这两容器置于同一平面，注入等体积的水，则其水面高度也相同．如图2，
一个圆柱形容器的底面半径为
，高为
，里面注入高为
的水，将一个半径为
的实心球缓慢
放入容器内，当球沉到容器底端时，水面的高度为
．（注：
）
变式6-3．（22-23 高一下·安徽合肥·月考）刘徽构造的几何模型“牟合方盖”中说：“取立方棋八枚，皆
令立方一寸，积之为立方二寸．规之为圆，径二寸，高二寸，又复横规之，则其形有似牟合方盖矣．”牟
合方盖是一个正方体被两个圆柱从纵横两侧面作内切圆柱体时的两圆柱体的公共部分，计算其体积的方法
是将原来的“牟合方盖”平均分为八份，取它的八分之一（如图一）．记正方形OABC 的边长为r，设
，过P 点作平面PQRS 平行于平面OABC．
，由勾股定理有
，故此
10
正方形PQRS 面积是
．如果将图一的几何体放在棱长为r 的正方体内（如图二），不难证明图二中
与图一等高处阴影部分的面积等于
．（如图三）设此棱锥顶点到平行于底面的截面的高度为h，不难发
现对于任何高度h，此截面面积必为
，根据祖暅原理计算牟合方盖体积（ ）
注：祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”、意思是两个同高的立体图形，如在等高处的截面积相等，则
体积相等．
A．
B．
C．
D．
【方法技巧与总结】
1、祖暅原理的应用：如果在相同高度的截面上，两个几何体的截面积相等，那么根据祖暅原理，这两个
几何体的体积也相等。
2、祖暅原理构造法的关键：构造一个与原几何体等高的几何体，使得新构造的几何体在与原几何体等高
处的截面积相等，即两个截面积的函数解析式完全相同，同时新构造的几何体的体积我们可以直接计算，
其体积就直接等于所求的原几何体的体积
【题型七：几何体的外接球问题】
例7．（23-24 高一下·四川绵阳·月考）已知长方体的表面积为22，过一个顶点的三条棱长之和为6，则该
长方体外接球的表面积为 .
变式7-1．（23-24 高一下·湖南株洲·期中）已知正三棱锥
，各棱长均为
，则其外接球的表面积
为（ ）
A．
B．
C．
D．
11
变式7-2．（23-24 高一下·河南信阳·月考）若一个正四棱柱的底面积为32，高为6，则该正四棱柱的外接
球的表面积为 .
变式7-3．（22-23 高一下·河北保定·期中）已知直三棱柱
的各顶点都在球
的球面上，且
，
．若球
的体积为
，则这个直三棱柱的体积等于（ ）
A．
B．
C．2
D．
【方法技巧与总结】
球外接于几何体，则几何体的各顶点均在球面上.解题时要认真分析图形，一般需依据球和几何体的对称性，
明确接点的位置，根据球心与几何体特殊点间的关系，确定相关的数量关系，并作出合适的截面进行求解.
【题型八：几何体的内切球问题】
例8．（22-23 高一下·山西太原·月考）已知正方体的内切球(球与正方体的六个面都相切)的体积是
，
则该正方体的体积为（ ）
A．4
B．16
C．8
D．64
变式8-1．（23-24 高一下·河南新乡·期中）一个高为的圆锥形容器（容器壁厚度忽略不计）内部能完全容
纳的最大球的半径为
，若
，则这个圆锥的体积与这个最大球的体积之比为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式8-2．（22-23 高一下·山东烟台·月考）古希腊数学家阿基米德是世界上公认的三位最伟大的数学家之
一，其墓碑上刻着他认为最满意的一个数学发现——圆柱容球定理.如图，一个“圆柱容球”的几何图形，
即圆柱容器里放了一个球，该球顶天立地，四周碰边（即圆柱的底面直径和高都等于球的直径），则该球
与圆柱的体积之比为 .
12
变式8-3．（22-23 高一下·四川绵阳·月考）蹴鞠（如图），又名“蹴球”，“蹴圆”，“筑球”，“踢
圆”等，“蹴”有用脚蹴、蹋、踢的含义，“鞠”最早系外包皮革、内实米糠的球.因而“蹴鞠”就是指古
人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球.2006 年5 月20 日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院
批准列入第一批国家级非物质文化遗产名录.若把“鞠”看作一个表面光滑的球，已知某“鞠”内切于棱长
为2 的一个正四面体，则该“鞠”的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【方法技巧与总结】
解决几何体的内切球问题，应先作出一个适当的截面（一般作出多面体的对角面所在的截面），这个截面
应包括几何体与球的主要元素，且能反映出几何体与球的位置关系和数量关系.
一、单选题
1．（22-23 高一下·宁夏石嘴山·期中）一个圆柱的底面直径和高都同一个球的直径相等，那么圆柱与球的
体积之比是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（23-24 高一下·广西南宁·月考）若圆锥的侧面展开图是圆心角为180°、半径为4 的扇形，则这个圆锥
的体积是（ ）
A．
B．
C．
D．
13
3．（22-23 高一下·广东佛山·月考）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱的高为8，体积为64，则这个
球的表面积是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2022·山东菏泽·一模）如图1，在高为的直三棱柱容器
中，现往该容器内灌进一些水，
水深为2，然后固定容器底面的一边
于地面上，再将容器倾斜，当倾斜到某一位置时，水面恰好为
（如图2），则容器的高为（ ）
A．
B．3
C．4
D．6
5．（22-23 高一下·云南福贡·月考）如图所示，圆柱与圆锥的组合体，已知圆锥部分的高为
，圆柱部分
的高为
，底面圆的半径为，则该组合体的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（22-23 高一下·江苏徐州·月考）“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边
形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美，如图所示，这是一个“阿基米德多面体”花岗岩石凳，它
是将正方体沿交于一个顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此截去八个三棱锥得到．已知此石凳的体
积为
，则此石凳的棱长（单位：cm）为（ ）
A．15
B．
C．20
D．
7．（22-23 高一下·山东聊城·月考）《九章算术》是我国古代的数学名著.其“商功”中记载：“正四面形
棱台（即正四棱台）建筑物为方亭.”现有如图所示的烽火台，其主体部分为一方亭，将它的主体部分抽象
14
成
的正四棱台（如图所示），其中上底面与下底面的面积之比为
，方亭的高为棱台
上底面边长的倍.已知方亭的体积为
，则该方亭的表面积约为（ ）（
，
，
）
A．
B．
C．
D．
8．（23-24 高一下·福建泉州·期中）我国南北朝时期的著名数学家祖晅提出了祖暅原理：“幂势既同，则
积不容异．”意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个平面所截，
若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等．运用祖暅原理计算球的体积时，构造一个底面半径和高
都与球的半径相等的圆柱，与半球（如图1）放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆
心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体（如图2），用任何一个平行于底面的平面去截它
们时，可证得所截得的两个截面面积相等，由此可证明新几何体与半球体积
相等，即
．图3 是一种“四脚帐篷”的示意图，其中曲线
和
均是以2 为半
径的半圆，平面
和平面
均垂直于平面
，用任意平行于帐篷底面
的平面截帐篷，所
得截面四边形均为正方形，类比上述半球的体积计算方法，运用祖暅原理可求得该帐篷的体积为（
）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．（22-23 高一下·安徽安庆·月考）下列说法中正确的是（ ）
A．若一个球的直径为2，则此球的表面积为
B．若一个圆锥的底面积为
，母线长为2，则此圆锥的体积为
C．若两个球的半径之比为
，则这两个球的体积之比为
15
D．棱台的上下两个地面面积分别为
，高为，则体积为
10．（22-23 高一下·湖北·月考）已知圆锥的母线长为6，侧面积为
，则下列说法正确的是
（ ）
A．该圆锥的体积为
B．该圆锥的内切球的体积为
C．该圆锥的外接球的表面积为
D．该圆锥的内接正方体的棱长为
11．（23-24 高一下·四川攀枝花·月考）《九章算术》中将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称
为阳马．已知四棱锥
为阳马，底面
是边长为2 的正方形，其中两条侧棱长都为3，则
（ ）
A．该阳马的体积为
B．该阳马的表面积为
C．该阳马外接球的半径为
D．该阳马内切球的半径为
三、填空题
12．（22-23 高一下·安徽合肥·期中）若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且三条侧棱长分别为
，则其
外接球的表面积是 ．
13．（23-24 高一下·四川攀枝花·月考）如图，一个三棱柱形容器中盛有水，侧棱
，若侧面
水平放置时，水面恰好过
，
，
，
的中点，那么当底面
水平放置时，水面高为
．
14．（23-24 高一下·浙江杭州·月考）在一个如图所示的直角梯形
内挖去一个扇形，
恰好是梯形的
下底边的中点，将所得平面图形绕直线
旋转一圈，则所得几何体的体积为 ．
四、解答题
15．（22-23 高一下·福建厦门·月考）如图所示，正六棱锥的底面边长为4，H 是
的中点，O 为底面中心，
16
．
（1）求出正六棱锥的高，斜高，侧棱长；
（2）求六棱锥的表面积和体积．
16．（23-24 高一下·安徽·月考）如图，已知点
在圆柱
的底面圆
上，
为圆
的直径，
，
，三棱锥
的体积为
.
（1）求圆柱
的表面积；
（2）求三棱锥
外接球的体积.
17．（23-24 高一下·河南郑州·月考）如图，在梯形
中，
，在平面
内过点
作
，以为轴旋转一周
得到一个旋转体．
17
（1）求此旋转体的表面积．
（2）求此旋转体的体积．
18．（22-23 高一下·湖北·月考）意大利数学家卡瓦里在《不可分量几何学》中讲解了通过平面图形旋转计
算体积的方法．如图，
为半圆的直径，
、
为半圆弧上的点，
，
，阴影
部分为弦
、
、
与半圆弧所形成的弓形．将该几何图形绕着直径
所在直线旋转一周，阴影部
分旋转后会形成一个几何体．
（1）写出该几何体的主要结构特征（至少两条）；
（2）计算该几何体的体积．
19．（22-23 高一下·山东德州·期末）如图：三棱台
的六个顶点都在球
的球面上，球心位于
上下底面所在的两个平行平面之间，
，
和
分别是边长为
和
的
正三角形．
18
（1）求三棱台
的表面积；
（2）计算球
的体积．
