1
2.2.3 两条直线的位置关系
课程标准
学习目标
1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平
行或垂直
2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交
点坐标:
3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离
公式，会求两条平行直线间的距离
1.掌握两条直线平行的条件:
2.能应用两条直线平行的条件解题.
知识点01 两条直线的相交、平行与重合
1.若直线l1：y=k1x+b1,l2：y=k2x+b2,则两条直线的位置关系，可以用方程组{
y =k1k +b1
y =k2k +b2
的解的情况进行判
断，得出结论：①l1与l2相交：k1≠k2;②l1与l2平行：k1=k2且b1≠b2;③l1与l2重合：k1=k2且b1=b2
2.设直线l1：A1x+B1y+C1=0,l2：A2x+B2y+C2=0,则两条直线的位置关系可以用法向量来处理.
因为v1=(A1,B1)是直线l1的一个法向量，v2=(A2,B2)是直线l2的一个法向量，则：
①l1与l2相交（只有一个交点）的充要条件是v1与v2不共线，即A1B2≠A2B1
②l1与l2平行或重合的充要条件是v1与v2共线，即A1B2=A2B1，其中l1与l2重合的充要条件是，存在实数
A1=λA2，B1=λB2，C1=λC2。
3. 直线Ax+By+C1=0 与直线Ax+By+C2=0 平行的充要条件是C1≠C2，重合的充要条件C1=C2
【即学即练1】（23-24 高二上·新疆·期末）直线y =2 x−1与y =ax +1平行，则a=（ ）
A．−1
B．0
C．1
D．2
2
【答案】D
【分析】由两直线平行得斜率相等且截距不等，即可得解.
【详解】∵直线y =2 x−1与y =ax +1平行，且y =2 x−1的斜率为2，
∴它们在y轴上的截距不相等，且直线y =ax +1的斜率a也为2，
即a=2.
故选：D.
【即学即练2】（24-25 高二上·全国·课后作业）根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2是否平行．
(1)l1经过点A (2,1)，B (−3,5)，l2经过点C (3,−3)，D (8,−7)；
(2)l1的倾斜角为60°，l2经过点M (3,2√3)，N (−2,−3√3)．
【答案】(1)l1//l2
(2)l1//l2或l1与l2重合
【分析】（1）由k1=k2，且A，B，C，D，四点不共线，可判断；
（2）由k1=k2，可判断.
【详解】（1）设两直线l1，l2的斜率分别为k1，k2．
由题意知k1= 5−1
−3−2 =−4
5 ，k2= −7+3
8−3 =−4
5 ．
因为k1=k2，又k AC = −3−1
3−2 =−4，
所以k1≠k AC，所以A，B，C 三点不共线，所以A，B，C，D 四点不共线，
所以l1//l2．
（2）设两直线l1，l2的斜率分别为k1，k2．
由题意知k1= tan 60° =√3，k2= −3√3−2√3
−2−3
=√3．
所以k1=k2，所以l1//l2或l1与l2重合．
知识点02 两条直线的垂直
1. 一般地，若已知平面直角坐标系中的直线l1：y=k1x+b1,l2：y=k2x+b2,（k1，k2存在且不为0）可得l1⊥l2，
则k1k2=-1.
2. 设直线l1：A1x+B1y+C1=0,l2：A2x+B2y+C2=0,因为v1=(A1,B1)是l1直线的一个法向量，v2=(A2,B2)是l2直线
的一个法向量，所以l1⊥l2，则v1⊥v2，则A1A2+B1B2=0.
【即学即练3】（23-24 高二上·重庆长寿·期末）已知两条直线y =ax−2和3 x−y +1=0互相垂直，则a＝
.
3
【答案】−1
3
【分析】由两直线互相垂直斜率间的关系，求a的值.
【详解】直线3 x−y +1=0斜率为3，直线y =ax−2和3 x−y +1=0互相垂直，
则直线y =ax−2的斜率a=−1
3.
故答案为：−1
3
【即学即练4】（24-25 高二上·上海·课后作业）经过直线l1：5 x +2 y −3=0和l2：3 x−5 y −8=0的交点，
且与直线x + 4 y −7=0垂直的直线方程为 ．
【答案】4 x−y −5=0
【分析】首先求两条直线的交点，再利用垂直关系，利用待定系数法求直线方程.
【详解】联立¿，得¿，
设与直线x + 4 y −7=0垂直的直线方程为4 x−y +c =0，
得4×1+1+c =0，得c =−5，
所以直线方程为4 x−y −5=0.
故答案为：4 x−y −5=0
难点：分类讨论思想的运用
示例1 ：（22-23 高二上· 四川雅安· 阶段练习）已知点A (−4,0),B (4,0),C (2,2), D (−2,2)，直线
y =ax +b(a>0)将四边形ABCD分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是 ．
【答案】(4−√10,1]
【分析】分a≥1
2和0<a< 1
2两种情况进行讨论，根据面积关系结合等腰梯形的对称性从而可得a的取值范
围.
【详解】显然四边形ABCD为等腰梯形，
因为a>0，根据等腰梯形的对称性可知：当b>1或b≤0时不符合题意，所以0<b≤1，
当a= 1
2 ,b=1时，设直线EC : y = 1
2 x +1与y 轴的交点F (0,1)，
根据等腰梯形的对称性可得符合题意；
4
当a> 1
2 ,b=1时，设直线y =ax +1与梯形上、下底分别交于M、N，
因为三角形MCF与三角形NEF全等，
所以直线y =ax +1(a> 1
2)将四边形ABCD分割为面积相等的两部分；
当0<a< 1
2时，设直线y =b与y轴交于G点，与梯形两腰交于Q , H，
直线y =ax +b(a>0)将四边形ABCD分割为面积相等的两部分，则该直线与梯形的两腰交于K , H，
可知：直线AD: y = x + 4 ,BC : y = 4−x，
联立¿，解得¿，即K(
4−b
a−1 , 4 a−b
a−1 )，
同理可得：Q (b−4 ,b), H(
4−b
a+1 , 4 a+b
a+1 ), P(4−b,b)，
由题意可得：
(8+8−2b)b
2
−1
2
(4−b)(b−4 a−b
a−1 )+ 1
2
(4−b)(
4 a+b
a+1 −b)=6，
整理得a
2= 2(b
2−8b+6)
−20
∈(0, 1
4)，且0<b≤1，解得4−√10<b≤1；
综上所述：b的取值范围是(4−√10,1].
故答案为：(4−√10,1].
5
【点睛】关键点睛：利用等腰梯形的对称性，并分类讨论和数形结合处理问题.
【题型1：平行垂直关系的判定】
例1．（22-23 高二上·全国·课后作业）下列说法中正确的有（ ）
A．若两直线平行，则两直线的斜率相等
B．若两直线的斜率相等，则两直线平行
C．若两直线的斜率乘积等于−1，则两直线垂直
D．若两直线垂直，则两直线的斜率乘积等于−1
【答案】C
【分析】根据直线斜率与位置关系的相关知识直接判断即可.
【详解】对于A，两直线平行，可以是斜率都不存在，所以A 错误；
对于B，若两直线的斜率相等，则两直线平行或重合，所以B 错误；
对于C，若两直线的斜率乘积等于−1，则两直线垂直，故C 正确；
对于D，若两直线垂直，可能是一条直线斜率为0，另一条直线斜率不存在，则不是两直线的斜率乘积等
于−1，故D 错误；
故选：C
变式1．（2023 高二·上海·专题练习）已知直线m: y = x cosα和n:3 x + y =c，则（ ）
A．m 和n 可能重合
B．m 和n 不可能垂直
C．存在直线m 上一点P，以P 为中心旋转后与n 重合
D．以上都不对
【答案】C
6
【分析】A 选项求出直线m 与直线n 的斜率判断；B 选项由斜率之积是否为−1判断；C 选项由两直线不平
行，得出两直线相交判断.
【详解】对A，直线m: y = x cosα，斜率为k1=cosα；
直线n:3 x + y =c，斜率为k2=−3；
k1≠k2，所以m 和n 不可能重合，A 错误；
对B，cosα = 1
3时，k1⋅k2=−1，m 和n 垂直，所以B 错误；
对C，由k1≠k2知m 和n 不平行，设m、n 相交于点P，
则直线m 以P 为中心旋转后与n 重合，所以C 正确．
故选：C．
变式2．(多选)（23-24 高二上·江西九江·期末）设α ∈R，对于直线l：xsinα + y +2=0，下列说法中正
确的是（ ）
A．l的斜率为sinα
B．l在y轴上的截距为−2
C．l不可能平行于x轴
D．l与直线x−y sinα −1=0垂直
【答案】BD
【分析】根据已知条件，结合直线的斜率、截距的定义，以及直线垂直的性质，即可求解．
【详解】对于A，直线l：x sin α + y +2=0，
则l的斜率为−sin α，故A 错误；
对于B，令x =0，解得y =-2，
故l在y轴上的截距为−2，故B 正确；
对于C，当sin α =0时，直线l：y =-2，平行于x轴，故C 错误；
对于D，当sin α =0时，直线l: y =−2与直线x =1显然垂直，
当sin α ≠0时，直线x−y sin α −1=0的斜率为
1
sinα ，
直线l的斜率为−sin α，
所以
1
sinα ⋅(−sin α )=−1，故D 正确．
故选：BD．
变式3．（多选）（23-24 高二上·全国·课后作业）下列各直线中，与直线2 x−y −3=0平行的是
（ ）
A．2ax−ay +6=0(a≠0,a≠−2)
B．y =2 x
C．2 x−y +5=0
D．2 x + y −3=0
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【答案】ABC
【分析】根据直线平行的充要条件一一判定即可.
【详解】两直线l1: A1 x + B1 y +C1=0,l2: A2 x + B2 y +C2=0，
其平行的充要条件为A1B2= A2B1且A1C2≠A2C1或C1B2≠C2B1，
对于A 项，易知2×(−a)=−1×2a且−3×2a≠2×6，即A 正确；
对于B 项，易得y =2 x⇒2 x−y =0，有2×(−1)=−1×2且0×2≠−3×2，即B 正确；
对于C 项，易知2×(−1)=−1×2且5×2≠−3×2，即C 正确；
对于D 项，易知2×1≠−1×2，D 项不符合.
故选：ABC
变式4．（23-24 高二下·全国·课前预习）直线l1: y =3 x +2,l2: y =3 x−1，那么l1与l2 .
【答案】平行
【分析】根据两条直线斜率关系即可判断.
【详解】由题可得k1=k2=3，且l1与l2不重合，所以l1与l2平行；
故答案为：平行
变式5．（24-25 高二上·上海·课堂例题）已知a
2−3a+2=0，则直线l1：ax +(3−a) y −a=0和直线l2：
(6−2a) x +(3a−5) y −4+a=0的位置关系为 ．
【答案】垂直或重合
【分析】求出a值，再代入方程并确定位置关系即得.
【详解】由a
2−3a+2=0，得a=1或a=2，
当a=1时，l1：x +2 y −1=0，l2：4 x−2 y −3=0，k1=−1
2，k2=2，
显然k1k2=−1，所以直线l1与l2垂直；
当a=2时，l1：2 x + y −2=0，l2：2 x + y −2=0，所以直线l1与l2重合．
故答案为：垂直或重合
变式6．（24-25 高二上·全国·课前预习）判断下列两条直线是否垂直．
(1)直线l1的斜率为−10，直线l2经过点A (10,2)，B (20,3)；
(2)直线l1经过点A (3,4)，B (3,7)，直线l2经过点P(−2,4)，Q (2,4)；
(3)直线l1的法向量为(1,2)，直线l2的法向量为(2,−1)．
【答案】(1)垂直
(2)垂直
(3)垂直
【分析】（1）根据斜率关系判断两直线是否垂直；
8
（2）根据斜率关系判断两直线是否垂直；
（3）根据法向量关系判断两直线是否垂直.
【详解】（1）直线l1的斜率k1=−10，直线l2的斜率k2= 3−2
20−10 = 1
10，因为k1k2=−10× 1
10 =−1，所以
l1与l2垂直．
（2）直线l1的斜率不存在，故l1与x轴垂直，直线l2的斜率为0，故直线l2与x轴平行，所以l1与l2垂直．
（3）因为1×2−1×2=0，所以l1与l2的法向量垂直，所以l1与l2垂直．
【方法技巧与总结】
判断两条直线是否平行的步骤：
看斜率：
1.斜率都不存在⟹看横截距：①横截距相等时：两条直线重合②横截距不相等时：两条直线平行
2.斜率存在⟹看斜率是否相等：①斜率相等时⟹看纵截距：1）纵截距相等：两条直线重合，2）纵截距不
相等时：两条直线平行.
②斜率不相等时，两条直线不平行.
【题型2：由平行关系求参数】
例2．（24-25 高三上·湖北·开学考试）已知两条直线l1:ax + 4 y −1=0,l2: x +ay +2=0，则“a=2”是“
l1//l2”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由两直线平行求出a，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得.
【详解】当l1//l2时，a
1 = 4
a ≠−1
2 ，则a=±2，
所以“a=2”是“l1//l2”的充分不必要条件.
故选：A
变式1．（24-25 高二上·全国·课后作业）已知点A (m,3)，B (2m,m+ 4)，C (m+1,2)，D (1,0)，且直线
AB 与直线CD 平行，则m 的值为（ ）
A．−1或0
B．0 或1
C．1
D．2
【答案】B
【分析】分直线AB与直线CD的斜率不存在与存在两类分别讨论，斜率存在时由斜率相等建立关于m的关
系式，解之即可.
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【详解】当m=0时，直线AB与直线CD的斜率均不存在，此时直线AB的方程为x =0，
直线CD的方程为x =1，故AB∥CD；
当m≠0时，k AB= (m+ 4)−3
2m−m ，kCD=
2−0
(m+1)−1，
则k AB=kCD，即m+1
m
= 2
m，得m=1，
综上，m=0或1．
故选：B.
变式2．（24-25 高二上·全国·课后作业）已知A (1,−1)，B (2,2)，C (3,0)三点，且有一点D 满足
CD⊥AB，CB∥AD，则点D 的坐标为（ ）
A．(−1,0)
B．(0,−1)
C．(1,0)
D．(0,1)
【答案】D
【分析】设D (x , y)，根据平行、垂直关系列式求解即可.
【详解】由题意可知：k AB= 2+1
2−1 =3，kCB= 2−0
2−3 =−2，
若CD⊥AB，CB∥AD，可知直线AD ,CD的斜率存在，
设D (x , y)，则kCD= y −0
x−3 =
y
x−3，k AD= y +1
x−1，
则¿，即¿，解得¿，即D (0,1)．
故选：D.
变式3 ．（23-24 高二下· 安徽芜湖· 阶段练习）“ a= 1
6 ” 是“ 直线x +2ay −1=0与直线
(3a−1) x−ay +1=0平行”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据两直线平行的条件进行判断
【详解】当a= 1
6 时，直线x +2ay −1=0与直线(3a−1) x−ay +1=0，
即为直线x + 1
3 y −1=0与直线−1
2 x−1
6 y +1=0的斜率都是−3，纵截距不同，则两直线平行，是充分条
件；
若直线x +2ay −1=0与直线(3a−1) x−ay +1=0平行，当a=0时，两直线方程都为x−1=0，直线重合不
10
符合题意，
当a≠0时，两直线平行则斜率相等，截距不相等−1
2a = 3a−1
a
, 1
2a ≠1
a，解得a= 1
6，是必要条件；
故选：C
变式4．（23-24 高二下·山西长治·阶段练习）已知直线2 x−3 y −3=0与直线ax +by −4 =0平行，则a
b =
（ ）
A．−3
2
B．−2
3
C．2
3
D．3
2
【答案】B
【分析】利用两直线平行列式计算即可.
【详解】由题意可知，a
2 = b
−3 ≠−4
−3 ，所以a
b =−2
3，且¿.
故选：B.
变式5．（23-24 高三下·上海浦东新·期中）“a=1”是“直线ax−2 y −2=0与直线x−(a+1) y +1=0平
行”的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分又非必要条件
【答案】C
【分析】根据两直线平行的充要条件求a值即可得.
【详解】设l1:ax−2 y −2=0，l2: x−(a+1) y +1=0，
直线l1方程可化为y = a
2 x−1，且直线l1的斜率为a
2，
若l1//l2，则直线l2斜率存在，a+1≠0，
故直线l2: x−(a+1) y +1=0方程可化为y =
1
a+1 x +
1
a+1，
由¿，解得a=1，故l1//l2⇒ a=1，
当a=1时，直线l1的方程为x−2 y −2=0，直线l2的方程为x−2 y +1=0，
此时l1//l2，即a=1⇒ l1//l2.
因此，a=1是l1//l2的充要条件.
故选：C.
变式6．（23-24 高二下·上海·阶段练习）已知平行四边形ABCD中，一组对边AB、CD所在直线的方程分
别为ax + 4 y =a+2，x +ay =a，求实数a的值 .
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【答案】−2
【分析】
根据AB//CD得到方程和不等式，得到答案.
【详解】
因为ax + 4 y =a+2，x +ay =a，整理可得ax + 4 y −(a+2)=0，x +ay −a=0，
因为四边形ABCD为平行四边形，故AB//CD，则a
2−4 =0，且a⋅(−a)≠−(a+2)⋅1，
解得a=−2.
故答案为：−2
变式7．（23-24 高二下·上海·期中）已知直线l1: x +my +6=0，l2:(m−2)x +3 y +2m=0，根据下列条件
分别求实数m的取值范围．
(1)l1与l2相交；
(2)l1与l2重合．
【答案】(1)m≠−1且m≠3
(2)m=3
【分析】（1）易知当m=0满足题意，当m≠0时，两直线斜率不相等，可求得m的取值范围；
（2）根据直线方程的一般形式可得当m−2
1
= 3
m = 2m
6 时，即m=3时，l1与l2重合.
【详解】（1）当m=0时，l1的斜率不存在，此时l1: x +6=0与l2:−2 x +3 y =0相交，符合题意；
当m≠0时，l1的斜率为−1
m，需满足−1
m ≠−m−2
3
，
解得m≠−1且m≠3；
所以当m≠−1且m≠3时，l1与l2相交；
（2）若l1与l2重合，需满足m≠0，且m−2
1
= 3
m = 2m
6 ，
解得m=3，
即m=3时，l1与l2重合.
【方法技巧与总结】
设直线l1：y=k1x+b1,l2：y=k2x+b2,则有
1.l1与l2的斜率都存在，分别为，k1，k2则l1//l2⇔k1=k2,b1≠b2
2.设直线l1：A1x+B1y+C1=0,l2：A2x+B2y+C2=0，l1//l2⇔A1B2=A2B1,且直线不重合
【题型3：由垂直关系求参数】
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例3．（24-25 高三上·江苏宿迁·阶段练习）已知a>0，b>0，直线(a−1)x + y −1=0和x +2by +1=0垂
直，则2
a + 1
b 的最小值为（ ）
A．16
B．8
C．4
D．2
【答案】B
【分析】由题意利用两直线垂直的性质，求得a+2b=1，再利用基本不等式，求得2
a + 1
b的最小值．
【详解】∵a>0，b>0，直线l1:(a−1)x + y −1=0，l2: x +2by +1=0，且l1⊥l2，
∴(a−1)×1+1×2b=0，即a+2b=1．
则2
a + 1
b = 2a+ 4 b
a
+ a+2b
b
=2+ 4 b
a + a
b +2≥4 +2√
4 b
a ⋅a
b = 4 + 4 =8，当且仅当a=2b= 1
2时，等号成立，
故2
a + 1
b 的最小值为8，
故选：B．
变式1．（23-24 高二上·福建莆田·期中）若直线x +ay −2=0与直线a
2 x + y +1=0垂直.则a=（ ）
A．1
B．−1
C．0
D．0 或−1
【答案】D
【分析】利用两条直线垂直的充要条件，列式计算即得.
【详解】由直线x +ay −2=0与直线a
2 x + y +1=0垂直，得1×a
2+a×1=0，
所以a=−1或a=0.
故选：D
变式2．（2024·河南·三模）已知直线Ax + By +C =0与直线y =2 x−3垂直，则（ ）
A．A =−2B≠0
B．A =2B≠0
C．B =−2 A ≠0
D．B =2 A ≠0
【答案】D
【分析】由直线垂直的充要条件即可列式得解.
【详解】直线y =2 x−3的斜率为2，又两直线互相垂直，所以直线Ax + By +C =0的斜率为−1
2，
即−A
B =−1
2且A ≠0，B≠0，所以B =2 A ≠0.
故选：D.
变式3．（多选）（23-24 高二下·浙江·期中）已知直线l1: A1 x + B1 y +C1=0和直线l2: A2 x + B2 y +C2=0，
则下列说法正确的是（ ）
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A．若A2=0，则l2表示与x轴平行或重合的直线
B．直线l1可以表示任意一条直线
C．若A1B2−A2B1=0，则l1 ∥ l2
D．若A1 A2+ B1B2=0，则l1⊥l2
【答案】ABD
【分析】利用线线平行、线线垂直的性质可直接判断.
【详解】对于A，当A2=0时，l2斜率为0，与x轴平行或重合，故A 正确；
对于B，当B1=0时，l1斜率不存在，当B1≠0时，l1斜率存在，能表示任意直线，故B 正确；
对于C，若A1B2−A2B1=0，且A1C2−A2C1≠0或B1C2−B2C1≠0，则l1 ∥ l2，故C 错误；
对于D ，若B1B2≠0，则由A1 A2+ B1B2=0可得斜率之积为-1 ，故l1⊥l2，若B1=0(B2=0)，可得
A2=0( A1=0)，此时满足A1 A2+ B1B2=0，此时两条直线一条斜率为0，一条斜率不存在，故l1⊥l2，故
D 正确.
故选：ABD.
变式4．（23-24 高二下·上海·期中）若直线Ax + 4 y −2=0和直线2 x−5 y +C =0垂直，则A = ．
【答案】10
【分析】利用两直线垂直斜率乘积为−1计算可得A =10.
【详解】易知直线Ax + 4 y −2=0的斜率为−A
4 ，
直线2 x−5 y +C =0的斜率为2
5,
由两直线垂直可得−A
4 × 2
5 =−1，解得A =10.
故答案为：10
变式5．（24-25 高二上·广西·开学考试）已知直线l1:ax−(a−4) y +2=0，直线l2:2 x +ay −1=0.
(1)若l1 // l2，求实数a的值；
(2)若l1⊥l2，求实数a的值.
【答案】(1)a=2
(2)a=6或a=0.
【分析】（1）根据两条直线平行公式计算即可求参，再检验是否重合；
（2）根据两条直线垂直公式计算即可求参.
14
【详解】（1）因为l1 ∥ l2，所以a
2+2(a−4)=0，
整理得a
2+2a−8=(a−2)(a+ 4)=0,
解得a=2或a=−4.
当a=−4时，l1:−4 x +8 y +2=0,l2:2 x−4 y −1=0,l1,l2重合；
当a=2时，l1:2 x +2 y +2=0,l2:2 x +2 y −1=0，符合题意.
故a=2.
（2）因为l1⊥l2，所以2a−a(a−4)=0,
解得a=6或a=0.
变式6．（23-24 高二下·上海·期中）已知点A (1,0)，B (−1,2)．
(1)设m∈R，若直线AB与直线x−my +1=0垂直，求m的值；
(2)求过点B且与直线2 x−y +1=0夹角的余弦值为2√5
5
的直线方程．
【答案】(1)m=1
(2)3 x−4 y −11=0或x =−1
【分析】（1）根据直线垂直即可求解；
（2）先对△ACD用正弦定理，得到β的正弦值，对△BDE用正弦定理，得到|BE|，设出交点求解二次
方程即可求解.
【详解】（1）直线AB的斜率为2−0
−1−1 =−1，因为直线AB与直线x−my +1=0垂直，
所以1
m ×(−1)=−1，所以m=1；
（2）
如图点E为过点B且与直线2 x−y +1=0夹角的余弦值为2√5
5
的直线与直线y =2 x +1的交点，
点C(−1
2 ,0)为直线y =2 x +1与x轴的交点，点D(0,1)为直线AB与直线y =2 x +1的交点，
点E
'(−1,−1)为过点B作x轴的垂线交直线y =2 x +1的交点，∠α =∠BED，∠β =∠BDE，
15
设夹角为α，因为cosα = 2√5
5
，所以sin α = √5
5 ，
因为| AC |= 3
2，|CD|=√1
2+(−1
2 )
2
= √5
2
，
所以在△ACD中，sin β
| AC | = sin 45°
|CD| ，所以sin β = 3√2
2√5，
因为|BD|=√1
2+1
2=√2，所以在△BDE中，sin β
|BE| = sin α
|BD| ，
所以
3√2
2√5
|BE| =
√5
5
√2
，所以|BE|=3，易知|B E
'|=|BE|=3，
设交点E坐标为( x ,2 x +1)，所以( x +1)
2+(2 x +1−2)
2=3
2，
所以x = 7
5或−1，所以交点坐标为( 7
5 , 19
5 )或(−1,−1)，
所以直线方程为
x−7
5
y −19
5
=
−1−7
5
2−19
5
或x−(−1)
y −(−1) = −1−(−1)
2−(−1) ，
即3 x−4 y −11=0或x =-1.
变式7．（24-25 高二上·全国·课后作业）已知直线l1的斜率为1，若直线l2⊥l1，则直线l2的倾斜角为
．
【答案】135°
【分析】根据垂直关系可得直线l2的斜率k =−1，进而可得斜率.
【详解】因为直线l1的斜率k1=1，且直线l2⊥l1，则直线l2的斜率k =−1，
所以直线l2的倾斜角为135°．
故答案为：135°.
【方法技巧与总结】
1.设直线l1：y=k1x+b1,l2：y=k2x+b2,则有
对应关系
l1 与l2 的斜率都存在，分别为，k1，
k2则l1⊥l2⇔k1k2=-1
l1与l2中的一条斜率不存在，另一条斜率为0，则l1与
l2的位置关系是l1⊥l2
图示
3. 设直线l1：A1x+B1y+C1=0,l2：A2x+B2y+C2=0，l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0
16
【题型4：由平行关系求直线方程】
例4 ．（23-24 高二下·四川南充·阶段练习）与直线2 x +3 y +1=0平行且过点(0,1)的直线方程是
（ ）
A．2 x +3 y −3=0
B．3 x +2 y −2=0
C．2 x−3 y +3=0
D．3 x−2 y +2=0
【答案】A
【分析】设所求直线方程为2 x +3 y +C =0，代入点的坐标求得C，即可得出答案.
【详解】设所求直线方程为2 x +3 y +C =0，
又过点(0,1)，则可得3+C =0，解得C =−3，
则所求直线方程为2 x +3 y −3=0
故选：A
变式1．（2024 高二上·全国·专题练习）过点(5,0)且与x +2 y −2=0平行的直线方程是（ ）
A．2 x + y +5=0
B．2 x + y −5=0
C．x +2 y −5=0
D．x +2 y +5=0
【答案】C
【分析】根据两直线平行，可设所求直线方程为x +2 y +c =0,(c≠−2)，将点的坐标代入，求得c，即可
求得答案.
【详解】由题意可设所求直线方程为x +2 y +c =0,(c≠−2)，
因为(5,0)在该直线上，
所以5+2×0+c =0，得c =−5，
故该直线方程为x +2 y −5=0，
故选：C
变式2．（23-24 高二上·青海西宁·期末）经过点A (3,2)，且与直线4 x + y −2=0平行的直线方程是
（ ）
A．4 x−y −10=0
B．x + 4 y −11=0
C．4 x + y −14 =0
D．x−4 y +5=0
【答案】C
【分析】由与已知直线平行设出所求直线的一般式方程为4 x + y +c =0，代入已知点的坐标待定系数c可得.
17
【详解】与直线4 x + y −2=0平行的直线的方程可设为4 x + y +c =0(c≠−2)，
又经过点A (3,2)，所以12+2+c =0，解得c =−14，
故所求直线方程为4 x + y −14 =0.
故选：C.
变式3．（20-21 高二上·天津北辰·期末）过点(0,1)且与直线2 x−y −1=0平行的直线方程是（ ）
A．2 x−y +1=0
B．2 x−y −2=0
C．2 x + y −1=0
D．2 x + y −2=0
【答案】A
【分析】根据互相平行直线方程的特点，结合代入法进行求解即可.
【详解】与直线2 x−y −1=0平行的直线方程可设为2 x−y +m=0(m≠−1)，
因为点(0,1)在直线2 x−y +m=0上，
所以2×0−1+m=0⇒m=1，
即过点(0,1)且与直线2 x−y −1=0平行的直线方程是2 x−y +1=0，
故选：A
变式4．（23-24 高二上·北京西城·期末）过点A (2,−3)且与直线x + y +3=0平行的直线方程为
.
【答案】x + y +1=0
【分析】根据平行得出斜率，利用过点A (2,−3)即可得出直线方程.
【详解】由题意，
与直线x + y +3=0平行的直线的斜率为−1，
直线过点A (2,−3)，
∴过点A (2,−3)且与直线x + y +3=0平行的直线方程为：y −(−3)=−1(x−2)，
即：x + y +1=0.
故答案为：x + y +1=0.
变式5．（23-24 高二上·安徽蚌埠·期末）求过两条直线y =2 x +3与3 x−y +2=0的交点，且分别满足下列
条件的直线方程.
(1)过点P(2,3)；
(2)平行于直线3 x + y −1=0.
【答案】(1)2 x + y −7 =0
(2)3 x + y −8=0
【分析】（1）求出两条直线y =2 x +3与3 x−y +2=0的交点，利用两点式方程整理计算即可;
（2）求出平行于3 x + y −1=0的直线斜率，利用点斜式方程整理计算即可.
18
【详解】（1）由¿解得¿,
即两直线的交点坐标为(1,5).
直线经过点(1,5)和(2,3)，由两点式方程得，y −3
5−3 = x−2
1−2 ，
化简得所求直线方程为2 x + y −7 =0.
（2）由3 x + y −1=0可得直线的斜率为−3，
故平行于直线3 x + y −1=0的直线的斜率为−3，
结合（1）问可得：两条直线y =2 x +3与3 x−y +2=0的交点为(1,5)，
由点斜式方程得，y −5=−3(x−1)，
化简得所求直线方程为3 x + y −8=0.
【方法技巧与总结】
当所求直线与已知直线Ax＋By＋C＝0 平行时，可设所求直线为Ax＋By＋λ＝0(λ 为参数，且λ≠C)，再结合
其他条件求出λ，即得所求直线方程．
【题型5：由垂直关系求直线方程】
例5．（23-24 高二上·吉林延边·期中）过两条直线l1: x +2 y −4 =0，l2:2 x−y −3=0的交点，且与直线
x +3 y +1=0垂直的直线的方程为（ ）
A．3 x−y −5=0
B．6 x−2 y −3=0
C．x−3 y +3=0
D．3 x + y −7 =0
【答案】A
【分析】先求出两直线的交点坐标，再由与直线x +3 y +1=0垂直可设所求直线为3 x−y +m=0，将交点
坐标代入可求得结果.
【详解】由¿，得¿，
设与直线x +3 y +1=0垂直的直线的方程为3 x−y +m=0，则
3×2−1+m=0，得m=−5，
所以所求直线方程为3 x−y −5=0.
故选：A
变式1．（多选）（23-24 高二上·四川成都·期末）已知△ABC的顶点A (5,1)，边AB上的中线CM所在直
线方程为2 x−y −5=0，边AC上的高BH所在直线方程为x−2 y −5=0，则下列说法正确的有
（ ）
A．过点A且平行于CM的直线的方程为2 x−y −9=0
19
B．直线AC的方程为2 x + y −11=0
C．点C的坐标为(4,3)
D．边AC的垂直平分线的方程为x−2 y −1=0
【答案】ABC
【分析】设过点A且平行于CM的直线的方程为2 x−y +C =0，再将点A代入即可判断A；先求出AC的斜
率，再根据点斜式即可判断B；联立直线AC ,CM的方程即可判断C；求出边AC的中点坐标及所求直线的
斜率，再根据点斜式即可判断D.
【详解】对于A，设过点A且平行于CM的直线的方程为2 x−y +C =0，
则2×5−1+C =0，解得C =−9，
所以过点A且平行于CM的直线的方程为2 x−y −9=0，故A 正确；
对于B，由题意知，k BH = 1
2，
∵AC ⊥BH，∴k AC =−2，
所以直线AC的方程为y −1=−2(x−5)，即2 x + y −11=0，故B 正确；
对于C，联立¿，解得¿，
所以点C的坐标为(4,3)，故C 正确；
对于D，边AC的中点坐标为(
9
2 ,2)，k AC =−2，
所以边AC的垂直平分线的斜率为1
2，
所以边AC的垂直平分线的方程为y −2= 1
2(x−9
2)，即2 x−4 y −1=0，故D 错误.
故选：ABC.
变式2．（24-25 高二上·江苏徐州·开学考试）直线l过点(−2,2)且与直线x +2 y =0垂直，则直线l与坐标轴
围成的三角形面积为
【答案】9
【分析】根据直线垂直求出直线l的方程，再求出直线l与坐标轴的交点，进而可得与坐标轴围成的三角形
面积.
【详解】直线l过点(−2,2)且与直线x +2 y =0垂直，直线x +2 y =0的斜率为−1
2，得直线l的斜率为2，
故直线l的方程为y −2=2(x +2)，即y =2 x +6，
当x =0时，y =6，当y =0时，x =−3，
20
所以直线l与坐标轴围成的三角形面积为1
2 ×6×3=9.
故答案为：9
变式3．（23-24 高二下·河北张家口·开学考试）过直线x−2 y +1=0与3 x−y −2=0的交点，且垂直于直
线x−y +1=0的直线方程是 ．
【答案】x + y −2=0
【分析】首先利用二元一次方程组求出交点的坐标，进一步利用直线垂直的充要条件求出直线的方程．
【详解】过直线x−2 y +1=0与3 x−y −2=0的交点，
故¿，解得¿，故交点坐标为(1,1)；
故过点(1,1)且与直线x−y +1=0垂直的直线方程为y −1=−( x−1)，整理得x + y −2=0．
故答案为：x + y −2=0．
变式4．（23-24 高二上·北京·期中）经过点M (1,2)且与直线2 x−y +8=0垂直的直线方程为 .
【答案】x +2 y −5=0
【分析】由题可设直线方程为x +2 y +c =0，代入已知点坐标即得.
【详解】由题可设所求直线方程为x +2 y +c =0，
代入点M (1,2)，可得1+ 4 +c =0，即c =−5，
所以经过点M (1,2)且与直线2 x−y +8=0垂直的直线方程为x +2 y −5=0.
故答案为：x +2 y −5=0.
变式5．（23-24 高二上·四川成都·期中）已知△ABC的两顶点坐标为A (1,−1)，C (3,0)，B1(0,1)是边
AB的中点，AD是BC边上的高．
(1)求BC所在直线的方程；
(2)求高AD所在直线的方程.
【答案】(1)3 x + 4 y −9=0；
(2)4 x−3 y −7 =0.
【分析】（1）由条件结合中点坐标公式求B的坐标，利用点斜式求直线BC方程，再化为一般式即可；
（2）根据垂直直线的斜率关系求直线AD的斜率，利用点斜式求直线AD方程，再化为一般式即可.
【详解】（1）因为B1(0,1)是边AB的中点，所以B (−1,3)，
所以直线BC的斜率k BC =−3
4 ，
所以BC所在直线的方程为：y =−3
4
(x−3)，即3 x + 4 y −9=0，
（2）因为B1(0,1)是边AB 的中点，所以B (−1,3)，
21
因为AD是BC边上的高，
所以k BC⋅k AD=−1，所以3−0
−1−3 ⋅k AD=−1，
所以k AD= 4
3 ，
因此高AD所在直线的方程为：y +1= 4
3 ( x−1)，即4 x−3 y −7 =0.
变式6．（23-24 高二上·四川成都·阶段练习）已知直线l经过点(−2,2)，求分别满足下列条件直线l的方程：
(1)垂直于直线3 x−2 y + 4 =0；
(2)平行于直线4 x−3 y −7 =0.
【答案】(1)2 x +3 y −2=0
(2)4 x−3 y +14 =0
【分析】（1）首先根据两直线垂直求斜率，再代入点斜式直线方程，即可求解；
（2）首先根据两直线平行求斜率，再代入点斜式直线方程，即可求解.
【详解】（1）因为垂直于直线3 x﹣2 y + 4＝0，所以所求直线斜率为k =−2
3，
所求直线方程为y −2=−2
3
(x +2)，即2 x +3 y −2=0.
（2 ）因为平行于直线4 x﹣3 y ﹣7＝0,所以斜率k = 4
3 . 所求直线方程为y −2= 4
3
(x +2)，即
4 x−3 y +14 =0.
变式7．（23-24 高二下·全国·课后作业）已知点A (3,3)和直线l： y = 3
4 x−5
2，求：
(1)过点A 且与直线l 平行的直线的点斜式方程；
(2)过点A 且与直线l 垂直的直线的点斜式方程.
【答案】(1)y −3= 3
4
(x−3)
22
(2)y −3=−4
3
(x−3)
【分析】（1）可知直线l 的斜率k = 3
4 ，根据平行关系结合点斜式方程运算求解；
（2）根据垂直关系结合点斜式方程运算求解.
【详解】（1）因为直线l：y＝3
4 x−5
2，则直线l 的斜率k = 3
4 ，
可知与直线l 平行的直线的斜率k1= 3
4 ，
过点A (3,3)且与直线l 平行的直线方程为y −3= 3
4
(x−3).
（2）由（1）可知：与直线l 平行的直线的斜率k2=−4
3 ，
过点A (3,3)且与直线l 垂直的直线方程为y −3=−4
3
(x−3).
变式8．（23-24 高二上·甘肃白银·期中）已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(−3,0)，B(2,1)，
C(−2,3)，求：
(1)BC边所在直线的方程；
(2)BC边的垂直平分线所在直线的方程．
【答案】(1)x +2 y −4 =0
(2)2 x−y +2=0
【分析】（1）利用斜率公式求出直线BC的斜率，代入点斜式即可得解；
（2）利用中点坐标公式求出BC的中点坐标，然后利用相互垂直的直线斜率关系求出斜率，代入点斜式即
可求解.
【详解】（1）因为B(2,1)，C(−2,3)，
所以BC边所在直线的斜率为3−1
−2−2 =−1
2，且B(2,1)，
所以BC边所在直线的方程为y −1=−1
2
(x−2)，即x +2 y −4 =0.
（2）因为B(2,1)，C(−2,3)，所以BC的中点为(0,2)，
又直线BC的斜率为−1
2，所以BC边的垂直平分线所在直线的斜率为2，
所以BC边的垂直平分线所在直线的方程为y −2=2(x−0)，即2 x−y +2=0.
变式9．（23-24 高二上·广东珠海·期末）已知△ABC的三个顶点是A (4,0)，B (6,7)，C (0,4)．
23
(1)求BC边上的中线的直线方程；
(2)求BC边上的高的直线方程
(3)求AC 边的垂直平分线
【答案】(1)11 x +2 y −44 =0
(2)2 x + y −8=0
(3)x−y =0
【分析】（1）求出BC中点，则可得到中线的直线方程；
（2）根据直线垂直得到高的斜率，则得到BC边上的高的直线方程；
（3）求出AC 的中点，再根据斜率垂直则得到斜率，即可得到直线方程.
【详解】（1）B (6,7)，C (0,4)，由中点坐标公式得BC中点为(3, 11
2 )，
又A (4,0)，由直线方程的两点式得BC边上的中线的直线方程为
y −0
11
2 −0
= x−4
3−4 ，
整理得：11 x +2 y −44 =0.
（2）B (6,7)，C (0,4)，则k BC = 7−4
6−0 = 1
2，所以BC边上的高的直线的斜率为−2，
又A (4,0)，则BC边上的高的直线方程为y −0=−2（x−4 ），
整理得：2 x + y −8=0．
（3）因为A (4,0)，C (0,4)，则其中点坐标为(2,2)，
而k AC = 4−0
0−4 =−1，则AC 边的垂直平分线的斜率为1，其方程为：y −2= x−2，
即x−y =0.
【方法技巧与总结】
当所求直线与已知直线Ax＋By＋C＝0 垂直时，可设所求直线为Bx－Ay＋λ＝0(λ 为参数)，再结合其他条件
求出λ，即得所求直线方程．
一、单选题
1．（24-25 高二上·全国·课后作业）已知直线l：(a−1) x +(b+2) y +c =0，若l // y轴，则下列结论正确
24
的是（ ）
A．a≠1，b≠2，c≠0
B．a≠1，b=−2，c≠0
C．a=1，b≠−2，c≠0 D．a=1，b≠−2，c≠0
【答案】B
【分析】利用直线l与y轴平行但不重合的性质直接求解即可．
【详解】∵直线l：(a−1) x +(b+2) y +c =0平行于y 轴，
∴¿，解得a≠1，b=−2，c≠0．
故选：B.
2．（24-25 高二上·全国·课后作业）过点A (2,5)和点B (−4,5)的直线与直线y =3的位置关系是（ ）
A．相交但不垂直
B．平行
C．重合
D．垂直
【答案】B
【分析】根据斜率公式求得AB的斜率，得出直线AB的方程，进而得出两直线的位置关系.
【详解】由题意，由点A(2,5)和点B(−4,5)，可得k AB= 5−5
−4−2 =0，所以AB的方程为y =5，又由直线
y =3的斜率为0，且两直线不重合，所以两直线平行.
故选：B．
3 ．（24-25 高二上· 上海· 随堂练习）已知P(x0, y0)是直线l：Ax + By +C =0外一点，则方程
Ax + By +C +( A x0+ B y0+C)=0与l的倾斜角（ ）
A．相等
B．互余
C．互补
D．不相等
【答案】A
【分析】根据直线一般式判断两直线位置关系，即可判断.
【详解】由直线方程Ax + By +C +( A x0+ B y0+C)=0，即Ax + By + A x0+ B y0+2C =0，
又l：Ax + By +C =0，
又P(x0, y0)在直线Ax + By +C =0外，所以A x0+ B y0+C ≠0，
则A
A = B
B ≠A x0+ B y0+2C
C
，
所以直线与l平行，
即两直线倾斜角相等，
故选：A.
25
4 ．（23-24 高二下· 上海杨浦· 期末）“ m=−1” 是“ 直线l1: x +my −2=0与直线
l2:(m−2)x +3my +2m=0互相垂直”的（ ）．
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分也非必要条件
【答案】A
【分析】由两直线互相垂直可得1×(m−2)+m×3m=0，求解可得结论.
【详解】由直线l1: x +my −2=0与直线l2:(m−2)x +3my +2m=0互相垂直，
可得1×(m−2)+m×3m=0，解得m=−1或m= 2
3，
所以“m=−1”是“直线l1与直线l2互相垂直”的充分不必要条件.
故选：A.
5．（23-24 高二下·江西·开学考试）过点(1,−3)且与直线x−2 y +1=0平行的直线方程是（ ）
A．x−2 y −7 =0
B．x +2 y +5=0
C．2 x + y +1=0
D．2 x−y −5=0
【答案】A
【分析】根据直线Ax + By +C1=0与Ax + By +C2=0（C1≠C2）平行，先设出所求直线方程，代入已知点
的坐标，可求待定系数.
【详解】设与直线x−2 y +1=0平行的直线方程是x−2 y + λ =0( λ≠1)，
代入点(1,−3)，得1+6+ λ =0，解得λ =−7，
所以所求的直线方程是x−2 y −7 =0．
故选:A
6．（23-24 高二上·福建厦门·期末）已知直线l1的倾斜角为π
3 ，直线l2过点(−1,√3)，若l1//l2，则l2在y
轴上的截距为（ ）
A．−2√3
B．−2
C．2
D．2√3
【答案】D
【分析】求出直线l2的斜率，点斜式得到直线方程，求出答案.
【详解】由题意得直线l2的斜率为tanπ
3 =√3，故直线l2的方程为y −√3=√3(x +1)，
即y =√3 x +2√3，令x =0得y =2√3，
故l2在y轴上的截距为2√3.
故选：D
7．（23-24 高二上·湖南益阳·期末）已知直线x +2 y −3=0和2 x +my +2=0互相平行，则m的值是
26
（ ）
A．−4
B．−1
C．1
D．4
【答案】D
【分析】根据题意得到平行时的方程，解出即可.
【详解】由题意得−m+2×2=0，解得m= 4，
此时后者直线方程为x +2 y +1=0，满足题意.
故选：D.
8．（23-24 高二上·浙江金华·期末）过点P(−1,2)且与直线x +2 y +3=0垂直的直线方程是（ ）
A．x−2 y +5=0
B．x +2 y −3=0
C．2 x−y + 4 =0
D．2 x−y =0
【答案】C
【分析】由题意设直线方程为：2 x−y +m=0，将点P(−1,2)代入求解.
【详解】解：由题意设直线方程为：2 x−y +m=0，
因为该直线过点P(−1,2)，
所以2×(−1)−2+m=0，
解得m= 4，
所以直线方程为：2 x−y + 4 =0，
故选：C
二、多选题
9．（22-23 高二上·安徽马鞍山·期末）若三条直线l1:2 x−y +1=0,l2: x + y −1=0,l3:2 x +ay +a−2=0
可以围成一个三角形，则实数a的值可以为（ ）
A．−1
B．0
C．1
D．3
【答案】BD
【分析】由题意可得三条直线两两都不平行且不同时过同一个点，写出限定条件即可得结果.
【详解】根据题意可知三条直线两两都不平行，且不同时过同一个点；
当l1,l3平行时可得a=−1，此时不合题意，因此a≠−1；
联立l1,l2，即¿，解得交点坐标为(0,1)，
因此(0,1)不在l3:2 x +ay +a−2=0上，即可得a+a−2≠0，可得a≠1；
所以若三条直线围成一个三角形，只需a≠−1且a≠1即可.
故选：BD
10．（19-20 高二·全国·课后作业）设平面内四点P(−4,2)，Q (6,−4)，R (12,6)，S (2,12)，则下面四个
27
结论正确的是（ ）
A．PQ∥SR
B．PQ⊥PS
C．PS∥QS
D．PR⊥QS
【答案】ABD
【分析】求相应直线的斜率，结合平行、垂直关系逐项分析判断.
【详解】由题意可得：k PQ= −4−2
6+ 4 =−3
5，k SR= 12−6
2−12 =−3
5，k PS= 12−2
2+ 4 = 5
3，kQS= 12+ 4
2−6 =−4，
k PR= 6−2
12+ 4 = 1
4 ，
因为k PQ=k SR≠k PS，可知PQ∥SR，故A 正确；
因为k PQ⋅k PS=−1，可知PQ⊥PS，故B 正确；
因为k PS≠kQS，可知PS 与QS 不平行，故C 错误；
因为k PR⋅kQS=−1，可知PR⊥QS，故D 正确；
故选：ABD.
11．（22-23 高二上·安徽·阶段练习）已知△PMN的顶点坐标分别为P(1,√3), M (−1,−√3), N (4,0)，
则（ ）
A．△PMN为直角三角形
B．过点P 斜率范围是[−√3
3 ,√3]的直线与线段MN有公共点
C．x +√3 y =0是△PMN的一条中位线所在直线方程
D．x−√3 y +2=0是△PMN的一条高线所在直线的方程
【答案】AC
【分析】求直线PM , PN的斜率，根据斜率关系判断PM与PN的位置关系，由此判断△PMN的形状，结
合图像及两点斜率公式判断B，求△PMN的中位线方程，判断C，求△PMN的高的方程判断D.
【详解】由已知k PM = −√3−√3
−1−1
=√3,k PN = 0−√3
4−1 =−√3
3 ，所以k PM k PN =−1，故△PMN为直角三角形，
A 正确；如图可得过点P 与线段MN有公共点的直线斜率范围是(−∞,−√3
3 ]∪[√3,+∞)，B 错误；
P , M的中点为(0,0)，P , N的中点为(
5
2 ，√3
2 )，M , N的中点为(
3
2 ,−√3
2 )，过点(0,0)，(
3
2 ,−√3
2 )的
28
直线方程为x +√3 y =0，所以x +√3 y =0为△PMN的一条中位线，故C 正确；直线直线x−√3 y +2=0的
斜率为√3
3 ，又k PM =√3,k PN =−√3
3 ，k MN = √3
5 ，所以直线x−√3 y +2=0与△PMN的三条边都不垂直，
所以直线x−√3 y +2=0不是x−√3 y +2=0的高，故D 错误，
故选：AC.
三、填空题
12．（23-24 高二上·内蒙古赤峰·期末）过点M (2,−3)且与直线x +2 y −9=0垂直的直线方程是
.
【答案】2 x−y −7 =0
【分析】由垂直关系确定斜率，应用点斜式写出直线方程.
【详解】由题设，与直线x +2 y −9=0垂直的直线的斜率为2，
所以所求直线方程为y +3=2( x−2)，即2 x−y −7 =0.
故答案为：2 x−y −7 =0
13．（23-24 高二上·江苏淮安·期末）直线l过点(−2,2)且与直线x +2 y =0平行，则直线l与x，y轴围成的
三角形面积为 .
【答案】1
【分析】根据直线平行求出直线l的方程，再求出直线l与x，y轴的交点，进而可得与x，y轴围成的三角形
面积.
【详解】直线x +2 y =0的斜率为−1
2，
故直线l的方程为y =−1
2
(x +2)+2，即x +2 y −2=0，
当x =0时，y =1，当y =0时，x =2，
29
所以直线l与x，y轴围成的三角形面积为1
2 ×1×2=1.
故答案为：1
14．（23-24 高二上·全国·课后作业）已知直线l1的倾斜角为30°，直线l1//l2，则直线l2的斜率为
．
【答案】√3
3
【分析】根据题意，由两直线平行，斜率相等，即可得到结果.
【详解】因为直线l1的倾斜角为30°，所以kl1= tan30° = √3
3 ，
又l1//l2，所以kl2=kl1= √3
3 .
故答案为：√3
3
四、解答题
15．（23-24 高二下·全国·课堂例题）判断下列各组直线的位置关系，如果相交，求出交点坐标：
(1)l1: y =2 x +3，l2:2 x−y +5=0；
(2)l1: y =2 x +1，l2: x−2 y =0；
(3)l1: x =3，l2: x =10；
(4)l1: y =2 x +1，l2:2 x−y +1=0．
【答案】(1)l1//l2
(2)相交，交点为(−2
3 ,−1
3 )
(3)l1//l2
(4)重合
【分析】根据两直线的斜率关系，以及截距，即可结合两直线的位置关系求解.
【详解】（1）设两直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，在y轴上的截距分别为b1，b2．
因为k1=k2=2，b1=3，b2=5，b1≠b2，所以l1//l2．
（2）因为k1=2，k2= 1
2，k1≠k2，所以l1与l2相交．
¿，解得¿，所以交点为(−2
3 ,−1
3 ).
30
（3）由两直线的方程可知，l1// y轴，l2// y轴，且两直线在x轴上的截距不相等，所以l1//l2．
（4）l2: y =2 x +1，因为k1=k2=2，b1=b2=1，所以l1与l2重合．
16．（23-24 高二上·山东·期中）已知直线l过点(1,2)．
(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；
(2)设O为坐标原点，若l与x轴正半轴交于点A ,l与y轴正半轴交于点B，求△OAB面积的最小值．
【答案】(1)2 x−y =0或x + y −3=0
(2)4
【分析】（1）因为l在两坐标轴上的截距相等，所以按截距是否为0，分类求解；
（2）设直线斜率为k，求解与坐标轴的交点，将△OAB面积表示为函数f (k )，利用基本不等式求最值即
可.
【详解】（1）①当直线过坐标原点，直线l过点(1,2)．
所以l方程为y =2 x，即2 x−y =0；
②当直线不过坐标原点，，设l方程为x
a + y
a =1，
由直线l过点(1,2)，将(1,2)代入方程得1
a + 2
a =1，解得a=3，
所以直线l的方程为x
3 + y
3 =1，即x + y −3=0；
综上：l的方程为2 x−y =0或x + y −3=0.
（2）由题意知l斜率k存在且小于0，设l方程为y −2=k( x−1)，
令x =0，解得y =2−k；令y =0，解得x =1−2
k ；
因为k <0，所以−k >0，−2
k >0，
所以△OAB面积S = 1
2
(2−k )(1−2
k)= 1
2[4+(−k )+(−4
k)]
≥1
2(4+2√
(−k )(−4
k))= 4，
31
当且仅当−k =−4
k 即k =−2时取等号，
所以△OAB面积的最小值为4.
17 ．（23-24 高二上· 河北张家口· 阶段练习）菱形ABCD的顶点A ､C的坐标分别为
A (−1,−1)､C (9,−13),BC边所在直线过点P(4 ,−3).
(1)求AD边所在直线的方程；
(2)求对角线BD所在直线的方程.
【答案】(1)2 x + y +3=0
(2)5 x−6 y −62=0
【分析】（1）先根据菱形的性质得BC ∥ AD；再根据相互平行直线斜率相等及斜率公式计算k AD；最后
利用点斜式方程即可解答.
（2）先求出线段AC的中点坐标及k AC；再根据菱形性质、相互垂直直线斜率之间关系及点斜式方程即可
解答.
【详解】（1）
由菱形的性质可知:BC ∥ AD.
∵ BC边所在直线过点P(4 ,−3)，点C坐标为(9,−13)，
∴则k AD=k BC =kCP= −3+13
4−9 =−2.
32
又∵点A坐标为(−1,−1)，
∴ AD边所在直线的方程为y +1=−2(x +1)，即2 x + y +3=0.
所以AD边所在直线的方程为2 x + y +3=0.
（2）∵ A (−1,−1)､C (9,−13)，
∴线段AC的中点为E (4 ,−7)，且k AC = −13+1
9+1
=−6
5 .
由菱形的几何性质可知：BD⊥AC且E为BD的中点.
则k BD=−1
k AC
= 5
6 .
所以对角线BD所在直线的方程为y +7= 5
6
(x−4)，
即5 x−6 y −62=0.
所以对角线BD所在直线的方程为：5 x−6 y −62=0.
18．（23-24 高二上·福建厦门·期中）如图，已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标为A (−1,4)，
B (−2,−1)，C (2,3).
(1)求平行四边形ABCD的顶点D的坐标；
(2)在△ACD中，求CD边上的高线所在直线方程.
【答案】(1)D (3,8)
(2)x +5 y −19=0
【分析】（1）先求出线段AC中点M坐标，再利用平行四边形的性质得M为线段BD中点，从而利用中点
坐标公式列方程组求解即可；
（2）通过直线垂直求出高线的斜率，代入点斜式直线公式求解即可.
【详解】（1）设线段AC中点为M，则M点坐标为(
1
2 , 7
2)，
33
设点D坐标为(x , y)，由平行四边形性质得M为线段BD中点，有¿，
解得¿，所以D (3,8)；
（2）因为直线CD的斜率为k = 8−3
3−2 =5，
所以CD边上的高线所在直线的斜率为−1
5，
又A (−1,4)，故CD边上的高线所在直线的方程为y −4 =−1
5 ( x +1)，
即为x +5 y −19=0.
19．（22-23 高二上·浙江温州·期中）已知直线l： kx−y +2−k =0（k ∈R）交x轴正半轴于A，交y轴
正半轴于B．
(1)O为坐标原点，求△AOB的面积最小时直线l的方程；
(2)设点P是直线l经过的定点，求|PA|·|PB|的值最小时直线l的方程．
【答案】(1)2 x + y −4 =0
(2)x + y −3=0．
【分析】（1）求出点A ,B的坐标，表示△AOB的面积，结合基本不等式求其最小值，可得k的值，由此
确定直线l的方程；
（2）由直线方程求出定点P的坐标，结合数量积坐标运算求|PA|·|PB|，利用基本不等式求其最小值，由
此确定直线l的方程.
【详解】（1）作图可知k <0．
因为直线l的方程为kx−y +2−k =0，
令y =0，x =1−2
k ，所以A(1−2
k ,0)，令x =0，y =2−k，所以B (0,2−k )，
所以|OA|=1−2
k ,|OB|=2−k，
34
所以S△AOB= 1
2|OA||OB|= 1
2(1−2
k)(2−k )=2−k
2 −2
k ．
因为−k
2 >0,−2
k >0，由基本不等式可得−k
2 −2
k ≥2√(−k
2 )(−2
k )=2，当且仅当k =−2时取等号，
所以S△AOB=2−k
2 −2
k ≥2+2= 4，当且仅当k =−2时取等号，
所以△AOB面积最小时，直线l的方程为2 x + y −4 =0．
（2）因为直线l的方程可化为k (x−1)+(2−y)=0，
所以直线l经过的定点P(1,2)，
所以⃗PA =(−2
k ,-2),⃗PB =(−1,−k )
所以⃗PA ⋅⃗PB =(−2
k ,-2)⋅(−1,−k )= 2
k +2k =|PA|⋅|PB|cosπ =−|PA|⋅|PB|，
又−2
k >0,−2k >0，
所以|PA|⋅|PB|=−2
k −2k ≥2√(−2
k )(−2k )= 4，当且仅当k =−1时等号成立，
所以|PA|⋅|PB|的值最小时，直线l的方程为x + y −3=0．
