文档文本内容
1
11.1.4 棱锥和棱台
课程标准
学习目标
（1）理解棱锥和棱台的定义和结构特征.(重点）
（2）能在棱锥和棱台中构造恰当的特征图形，研
究其中的线段数量关系和位置关系.（难点)
（1）了解棱锥、棱台的定义和结构特征；
（2）掌握棱锥、棱台平行于底面的截面的性
质；
（3）3.知道棱锥、棱台的表面积计算公式，
能用公式解决简单的实际问题.
知识点01 棱锥
1、棱锥的定义：如果一个多面体有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，则称这个
多面体为棱锥。
2、棱锥的相关概念：
（1）这个多边形面叫做棱锥的底面；
（2）有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；
（3）相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱；
（4）各个侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点。
2
【注意】有一个面是多边形，其余各面都使三角形的几何体不一定是棱锥，如图。
棱锥还需要满足各三角形有且只有一个公共顶点。
3、棱锥的表示：棱锥可以用顶点与底面各顶点的字母来表示.
4、棱锥的分类：
按底面多边形的边数，可以把棱锥分成三棱锥、四棱锥和五棱锥。
【注意】如果棱锥的底面为正多边形，且棱锥的顶点与底面中心的连线垂直于底面，则称这个棱锥为正棱
锥，如正三棱锥、正四棱锥……
【即学即练1】（23-24 高一下·全国·专题练习）下列说法中正确的是（ ）
A．各侧棱都相等的棱锥为正棱锥
B．各侧面都是面积相等的等腰三角形的棱锥为正棱锥
C．各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥为正棱锥
D．底面是正多边形且各侧面是全等三角形的棱锥为正棱锥
【答案】D
【解析】对于A 中，各侧棱都相等，但无法保证底面为正多边形，所以A 错误；
对于B 中，各侧面都是面积相等的等腰三角形，
但无法保证各个等腰三角形全等且腰长均为侧棱长，所以B 错误；
对于C 中，各侧面都是全等的等腰三角形，但无法保证等腰三角形的腰长为侧棱长，所以C 错误；
对于D 中，底面是正多边形，各侧面是全等三角形，
则可以保证顶点在底面的射影为底面中心，满足正棱锥定义，所以D 正确.故选：D.
知识点02 棱台
1、棱台的定义：一般地，用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，所得截面与底面间的多面体称为棱台
2、棱台的相关概念：
（1）原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；
（2）其他各面叫做棱台的侧面；
（3）相邻侧面的公共边叫做棱台的侧棱；
（4）侧面与底面的公共顶点叫做棱台的顶点。
【注意】（1）棱台上下底面是互相平行且相似的多边形；
（2）侧面都是梯形；
（3）各侧棱的延长线交于一点。
3、棱台的高与侧面积
过棱台一个底面上的任意一个顶点，作另一个底面的垂线所得到的线段（或它的长度）称为棱台的高。
棱台所有侧面的面积之和称为棱台的侧面积。
4、棱台的分类
（1）按底面形状：由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台……
3
（2）正棱台：由正棱锥截得的棱台称为正棱台，正棱台的上下底面的中心连线是棱台的高。
正棱台的侧面都全等，且都是等腰梯形，这些等腰梯形的高也都相等，称为棱台的斜高。
【即学即练2】（23-24 高二上·海南海口·开学考试）（多选）棱台具备的特点有（ ）
A．两底面相似
B．侧面都是梯形
C．侧棱都相等
D．侧棱延长后都交于一点
【答案】ABD
【解析】因为棱台是由平行棱锥底面的平面截得的，
所以棱台的两底面相似，侧面都是梯形，侧棱延长后都交于一点，故选：ABD
【题型一：判断是否为棱锥或棱台】
例1．（23-24 高一下·全国·课后作业）下面图形中，为棱锥的是（ ）
A．①③
B．③④
C．①②④
D．①②
【答案】C
【解析】根据棱锥的定义和结构特征可以判断，①②是棱锥，③不是棱锥，④是棱锥.故选：C
变式1-1．（23-24 高一下·安徽亳州·月考）下列空间几何体中可能是棱台的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
4
【解析】根据空间几何体的几何特征知：选项A 是圆台，选项B 可能是棱台，
选项C 是棱柱，选项D 是圆柱.故选：
.
变式1-2．（23-24 高一·全国·课后作业）下列空间图形中是棱台的为 .(填序号)
【答案】③
【解析】由棱台的定义知，棱台的上底面必须与下底面平行，且侧棱延长后交于同一点.
图①中侧棱延长后不能交于同一点，图②中上底面不平行于下底面，
故图①和图②都不是棱台.图③符合棱台的定义与结构特征.故答案为：③
变式1-3．（23-24 高一下·全国·课后作业）如图，能推断这个几何体可能是三棱台的是（ ）
A．A1B1＝2，AB＝3，B1C1＝3，BC＝4，AC＝3，A1C1＝4
B．A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝3
C．A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝4
D．AB＝A1B1，BC＝B1C1，CA＝C1A1
【答案】C
【解析】棱台是由棱锥截成的，上下两个底面互相平行，且对应边之间的比值相等.
A：
，故A 不正确；
B：
，故B 不正确；
C：
，故C 正确；
5
D：满足这个条件的是一个三棱柱，不是棱台，D 不正确；故选：C
【方法技巧与总结】
1、判断一个多面体是棱锥时，尤其要注意“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公
共顶点的三角形”。
2、判断一个多面体是棱台，关键要抓住两个特征：（1）各侧棱的延长线交于一点；（2）两底面平行。
还可以由“两底面的对应边平行，且这些对应边成比例”这一性质进行判断。在把握棱台的结构特征时，
一定要认识到它是棱锥的一部分，而不能只看现象不看本质。
【题型二：棱锥和棱台的结构特征】
例2．（23-24 高一下·全国·课后作业）下列说法中正确的是（ ）
A．三棱锥的四个面不可能都是直角三角形
B．棱柱被平面分成的两部分可以都是棱锥
C．用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体是棱台
D．棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥
【答案】B
【解析】对于A，如图1，三棱锥
的四个面都是直角三角形，故A 错误；
对于B，棱柱被平面分成的两部分可以都是棱锥.
如：三棱柱
被平面
分为两个棱锥，如图2 所示，故B 正确；
对于C，用一个平行于底面的平面去截棱锥，
底面和截面之间的部分组成的几何体才是棱台，故C 错误；
对于D，棱锥被平面分成的两部分可以都是棱锥.
如：四棱锥
被平面SAC 分成两个三棱锥，如图3 所示，故D 错误.故选：B.
6
变式2-1．（23-24 高二上·四川内江·月考）（多选）下列说法中正确的有（ ）
A．正四面体是正三棱锥.
B．棱锥的侧面是全等的三角形.
C．正三棱锥是正四面体.
D．延长棱台所有侧棱，它们会交于一点.
【答案】AD
【解析】A 选项，正四面体的四个面都是等边三角形，是正三棱锥，A 选项正确.
B 选项，棱锥的侧面是三角形，不一定全等，B 选项错误.
C 选项，正三棱锥的侧棱长和底面棱长不一定相等，
所以正三棱锥不一定是正四面体，C 选项错误.
D 选项，根据棱台的定义可知，延长棱台所有侧棱，它们会交于一点，D 选项正确.故选：AD
变式2-2．（23-24 高一下·全国·专题练习）（多选）下列说法不正确的是（ ）
A．棱台的两个底面相似
B．棱台的侧棱长都相等
C．棱锥被平面截成的两部分是棱锥和棱台
D．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形
【答案】BCD
【解析】由棱台是用平行于底面的平面截棱锥而得，知A 正确，B，C 不正确；
棱柱的侧棱都相等且互相平行，且侧面是平行四边形，但侧面并不一定全等，D 不正确.故选：
BCD
变式2-3．（23-24 高一下·四川攀枝花·月考）下列关于棱锥、棱台的说法正确的是（ ）
A．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥
B．有两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体是棱台
C．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间那部分所围成的几何体叫做棱台
D．棱台的各侧棱延长后必交于一点
【答案】D
7
【解析】有一个面是多边形，其余各面是三角形，
若其余各面没有一个共同的顶点，则不是棱锥，故A 错误；
两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体不一定是棱台，
还要满足各侧棱的延长线交于一点，故B 错误，D 正确；
用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间那部分所围成的几何体叫做棱台，故C 错误．
故选：D.
【方法技巧与总结】
判断棱锥、棱台的两种方法：
（1）举反例法：结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断出关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确；
（2）直接法：
根据棱锥的判定方法：①确定底面，只有一个面是多边形即为底面；②看侧面，相交于一点。
根据棱台的判定方法：①确定底面，两个互相平行的面即为底面；②看侧面，侧棱延长后交于一点。
【题型三：棱锥的相关计算】
例3．（22-23 高一下·辽宁鞍山·月考）正三棱锥
的高为
，斜高为
，则该三棱锥的侧棱长
为（ ）
A．
B．
C．
D．4
【答案】D
【解析】依题意作图，其中E 是BC 的中点，D 是正三角形ABC 的中心，
并且
平面ABC，
，
则有
，在
中，
，
在
中，
；故选：D.
8
变式3-1．（23-24 高一下·山东济宁·期中）已知正三棱锥P－ABC 的底面边长为6，顶点P 到底面ABC 的
距离是
，则这个正三棱锥的侧面积为（ ）
A．27
B．
C．9
D．
【答案】A
【解析】由题意可知底面正三角形的中心到底面正三角形的边的距离为：
，
所以正三棱锥的斜高为：
，
所以这个正三棱锥的侧面积为：
.故选：
.
变式3-2．（22-23 高一下·陕西西安·期中）已知正四棱锥的底面边长为8，侧棱长为
，则表面积为
.
【答案】144
【解析】如图所示，正四棱锥的底面边长为8，侧棱长为
，
所以
，高
，
过
作
交
于
，连接
，
因为
是正四棱锥，易知
，且
，
所以正四棱锥的侧面积为
，又底面积为
，
故正四棱锥的表面积为144.
变式3-3．（22-23 高一下·重庆万州·月考）如图，已知正四棱锥
的底面是面积为4 的正方形
，侧面是全等的等腰三角形，一条侧棱长为3，
为棱
的中点，
为底面正方形
的中心．
9
（1）求四棱锥的高
；
（2）求四棱锥
侧面三角形底面上的高
．
【答案】（1）
；（2）
【解析】（1）因为
是正四棱锥，且
为底面正方形
的中心，
所以
底面
，而
底面
，因此
，
因为
是正方形，且面积为4，
所以该正方形的边长为2，
，
在直角三角形
中，
；
（2）因为侧面是全等的等腰三角形，且
为棱
的中点，所以
，
在直角三角形
中，
；
【方法技巧与总结】
求棱锥表面积的一般方法：定义法，注意“高”和“斜高”的区别。
另外，正棱锥的高为顶点与底面正多边形中心的连线。
【题型四：棱台的相关计算】
例4．（22-23 高一下·辽宁铁岭·期末）所有棱长均为6 的正三棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个
底面边长为2 的正三棱锥，则所得棱台的高为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】如图，根据题意可得所得棱台为正三棱台，
10
该棱台的高等于大正三棱锥的高的
.
设大正三棱锥的高为DH，则：
因为大正三棱锥的高为:
，
所以该棱台的高为
.故选：A
变式4-1．（23-24 高一下·广东广州·期中）将一个正四棱台物件放入有一定深度的电解槽中，对其表面进
行电泳涂装．如图所示，已知该物件的上底边长与侧棱长相等，且为下底边长的一半，一个侧面的面积为
，则该物件的高为（ ）
A．
B．1
C．
D．3
【答案】C
【解析】设
，则
.
因为该四棱台为正四棱台，所以各个侧面都为等腰梯形，上、下底面为正方形，
在四边形
中，过点
作
于点
，
则
，所以
，
11
所以
，解得
，
在平面
中，过点
作
于点
，
易知
为正四棱台的高，则
，
所以
.故选：C.
变式4-2．（22-23 高一下·内蒙古乌兰察布·月考）若正四棱台
的上、下底面边长分别是5
和
，则该棱台的高为 ．
【答案】3
【解析】由题意得，正四棱台的对角面
为等腰梯形，
其中上底
，下底长为
，
过点
分别作
，垂足分别为
，
则
，故
，
则高为
．
变式4-3．（22-23 高一下·北京延庆·期末）已知一个正六棱台的两底面边长分别为
，高是
，则
该棱台的斜高为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意，正棱台侧面为上下底边长分别为
的等腰梯形，
12
所以棱台的斜高为
.故选：C
【方法技巧与总结】
关于正棱台的计算，解题的关键是把所求线段转化到直角梯形中，常用到两类直角梯形：正棱台的两底面
中心的连线、两底面相应的内切圆的半径和斜高构成的直角梯形；正棱台的两底面中心的连线、侧棱和两
底面相应的外接圆的半径构成的直角梯形。
【题型五：棱锥的表面最短距离】
例5．（23-24 高二上·辽宁·开学考）如图，正三棱锥
中，
，侧棱长为
，过点
的平
面与侧棱
相交于
，则△
的周长的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】将正三棱锥
沿
剪开可得如下图形，
13
∵
，即
，又
的周长为
,
∴要使
的周长的最小，则
共线，即
，
又正三棱锥
侧棱长为
，
是等边三角形，
∴
.故选：B
变式5-1．（22-23 高一下·湖北武汉·期中）如图，在三棱锥
中，
，
，过点A 作截面，分别交侧棱PB，PC 于E，F 两点，则△AEF 周长的最小值
为 ．
【答案】
【解析】如图，沿着侧棱
把三棱锥
展开在一个平面内，如图所示：
则
即为
的周长的最小值，
在
中，
，
，
由余弦定理得：
．
变式5-2．（22-23 高一下·河北保定·月考）《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑．
如图，在鳖臑
中，
，
，
，
，
，
分别为棱
，
上一点，
则
的最小值为 ．
14
【答案】
【解析】由题意可知：
，则
，
所以
，
将
翻折至一个平面，过点A 作
，垂直为点
，
则
的最小值为点A 到边
的距离
，
因为
所以
，
即
的最小值为
.
变式5-3．（23-24 高一下·湖南衡阳·期中）如图，在正四棱锥
中，
，
，一小虫
从顶点A 出发，沿该棱锥的侧面爬一圈回到点A，则小虫走过的最短路线的长为 ．
15
【答案】2
【解析】画出正四棱锥
的侧面展开图，如图所示．
当A，M，N，E 共线时，小虫走过的路线最短，最短为
的长．
因为
，
，所以
，
则
是边长为2 的等边三角形，则
，即小虫走过的最短路线的长为2．
【方法技巧与总结】
求棱锥表面最短距离的方法步骤：
（1）首先需要将棱锥的侧面展开成平面图形，即将棱锥的侧面沿着某个轴线展开，形成一个多边形；
（2）在展开图中，需要识别出起点和终点，以及任何可能的中间转折点。这些点可能位于多边形的边缘
或内部。
（3）从起点开始，按照一定的顺序连接所有关键点，形成一条路径。这条路径应该尽可能直线，确定最
短路径所对应的选段长度进行求解。
一、单选题
1．（22-23 高一下·广东云浮·期末）一个几何体由6 个面围成，则这个几何体不可能是（ ）
16
A．四棱台
B．四棱柱
C．四棱锥
D．五棱锥
【答案】C
【解析】对于A，四棱台是上下两个四边形，四个侧面有6 个面，满足题意；
对于B，四棱柱是上下两个四边形，四个侧面有6 个面，满足题意；
对于C，四棱锥有一个底面，四个侧面有5 个面，不满足题意；
对于D，五棱锥有一个底面，五个侧面有6 个面，满足题意.故选：C
2．（22-23 高一下·四川成都·期中）下列几何体中，面的个数最小的是（ ）
A．四面体
B．四棱锥
C．三棱柱
D．三棱台
【答案】A
【解析】四面体有
个面，四棱锥有个面，三棱柱有个面，三棱台有个面，
所以下列几何体中，面的个数最小的是四面体.故选：A.
3．（22-23 高一下·安徽·月考）下列叙述正确的是（ ）
A．用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台
B．两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台
C．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台
D．棱台的侧棱延长后必交于一点
【答案】D
【解析】对于A，当截面不平行于底面时，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台，A 错误；
对于B，C，如图的几何体满足条件，但侧棱延长线不能相交于一点，不是棱台，B，C 错误；
对于D，由棱台结构特征知侧棱延长后必交于一点，D 正确.故选：D.
4．（23-24 高一下·广东佛山·月考）下列说法不正确的是（ ）
A．正棱锥的底面是正多边形，侧面都是等腰三角形
B．棱台的各侧棱延长线必交于一点
C．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分是棱台
D．棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形
【答案】C
【解析】对于A，正棱锥的底面是正多边形，侧面都是等腰三角形，故A 正确；
对于B，根据棱台的定义可得：棱台的各侧棱延长线必交于一点，故B 正确；
对于C，用一个平行棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分是棱台，故C 错误；
17
对于D，棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形，故D 正确；故选：C.
5．（22-23 高一下·山东临沂·月考）下列说法正确的是（ ）
A．棱台的侧棱长都相等
B．棱锥被平面截成的两部分是棱锥和棱台
C．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形
D．棱台的两个底面相似
【答案】D
【解析】由棱台的定义知棱台的侧棱长不一定都相等，而棱台的两个底面相似，所以
不正确，
正确；
若平面沿棱锥的高去截，则棱锥被平面截成的两部分可能都是棱锥，
不正确；
棱柱的侧棱都相等且相互平行，且侧面是平行四边形，但侧面并不一定全等，
不正确，故选：
D
6．（22-23 高一下·全国·课后作业）如图，三棱台
截去三棱锥
后，剩余部分是
（ ）
A．三棱锥
B．四棱锥
C．三棱台
D．四棱柱
【答案】B
【解析】三棱台
截去三棱锥
后，剩下的部分是多面体
，
是以四边形
为底面，点
为顶点的四棱锥
.故选：B
7．（22-23 高一下·湖北黄冈·月考）已知侧棱长为
的正三棱锥（底面为等边三角形）其底面周长为
，
则棱锥的高为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】依题意，取
中点
，连接
，过点作
平面
交底面于点
，如图，
因为三棱锥
为正三棱锥，
18
所以在平面
上的射影为
的中心
，即O 在CD 上，
因为
，底面
周长为
，
则
，
，
，
所以三棱锥的高
.故选：A.
8．（22-23 高一下·四川成都·期末）如图，在三棱锥P－ABC 中，AB＝AC＝2，
，A 为锐角，侧棱
PA＝PB＝PC＝2，一只小虫从A 点出发，沿侧面绕棱锥爬行一周后回到A 点，则小虫爬行的最短距离为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】根据题意，在三棱锥
中，
，
则有
，可得
，又
，则
，
而
，则
，又△PAB，△PAC 为正三角形，
将三棱锥沿侧棱
展开，得到如图所示的多边形，其中
，
根据余弦定理，最短距离
故选：D．
二、多选题
9．（23-24 高一下·河南信阳·期中）用一个平面去截一个三棱柱，可以得到的几何体是（ ）
A．四棱台
B．四棱柱
C．三棱柱
D．三棱锥
【答案】BCD
【解析】如图三棱柱
，连接
，
19
则可得平面
截三棱柱，得到一个三棱锥
，所以D 正确，
若用一个平行于平面
的平面去截三棱柱，如图平面
，
则得到一个三棱柱和一个四棱柱，所以BC 正确，
因为四棱台的上下底面要平行，所以要得到四棱台，则截面要与三棱柱的上下底面相交，
而四棱台的侧棱延长后交与一点，棱柱的侧棱是相互平行的，
所以用一个平面去截一个三棱柱，不可能得到一个四棱台，所以A 错误，故选：BCD
10．（23-24 高一下·福建宁德·月考）下列说法中，错误的是（ ）
A．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱；
B．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台；
C．底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；
D．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是正六棱锥.
【答案】ABCD
【解析】对于A：有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形，
且每相邻两个四边形的公共边互相平行的几何体一定是棱柱，故不正确；
对于B：有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体不一定是棱台，
只有当四个等腰梯形的腰延长后交于一点时，这个六面体才是棱台，故不正确；
对于C：底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥不一定是正三棱锥，
只有当三棱锥的顶点在底面的射影是底面中心时，才是正三棱锥，故不正确；
对于D：因为正六棱锥的底面是正六边形，侧棱在底面内的射影与底面边长相等，
所以正六棱锥的侧棱长一定大于底面边长，故不正确.故选：ABCD.
11．（22-23 高一下·新疆昌吉·期末）正六棱台的上、下底面边长分别是
和
，侧棱长是
，则下
列说法正确的是（ ）
A．该正六棱台的上底面积是
B．该正六棱台的侧面面积是
C．该正六棱台的表面积是
D．该正六棱台的高是
20
【答案】ACD
【解析】如图在正六棱台
中，
因为
，
所以侧面的梯形
的高即正六棱台斜高为：
，
所以梯形
的面积为：
，
故正六棱台的侧面积为:
，故B 选项错误；
由图可知该正六棱台的上底面积为6 个边长为2 的等边三角形组成，
所以该正六棱台的上底面积为：
，故A 正确；
同理下底面积为：
，
所以该正六棱台的表面积是
,故C 正确；
正六棱台的高为
，D 正确.故选：ACD.
三、填空题
12．（22-23 高一下·天津河北·期中）一个几何体的表面展开图如图，该几何体中与“祝”字相对的字是
；与“你”字相对的字是 .
【答案】 前 程
【解析】通过还原得几何体为四棱台，则与“祝”字相对的子是“前”，与“你”相对应的字为“程”.
21
13．（22-23 高一下·广东深圳·期中）已知正四棱台的上底边长为2，下底边长为4，侧棱长为2，则正四棱
台的高为 .
【答案】
【解析】如图，在正四棱台
中，分别取上、下底面的中心
，连
，
因为正四棱台的上底边长为2，下底边长为4，侧棱长为2，所以
，
过点
作
，垂足为
，则易知
且
，
在Rt
中，
，
，
所以
，故正四棱台的高为
.
14．（23-24 高二上·湖北恩施·月考）分子式
是有机化合物甲烷（农村沼气的主要气体），它作为燃料
广泛应用于民用和工业中. 近年来科学家通过观测数据，证明了甲烷会导致地球表面温室效应不断增加.
深入研究甲烷，趋利避害，成为科学家面临的新课题. 如图甲烷分子的结构为正四面体结构，四个氢原子
位于正四面体的四个顶点
，碳原子位于正四面体的中心
，碳原子和氢原子之间形成的四个碳氢
键的键长相同
、键角相等
. 请计算甲烷碳氢键的键角
的余弦值为 .
【答案】
【解析】如图：
22
设正四面体的棱长为
，正三角形
中，
，
正四面体的高
，
设
,则
中，
,
即
,解得
即
则
中，
即甲烷碳氢键的键角的余弦值为
四、解答题
15．（22-23 高一下·重庆万州·月考）如图，已知四棱锥
的底面是面积为
的正方形
，侧
面是全等的等腰三角形，一条侧棱长为
.
（1）计算四棱锥
的高；
（2）计算四棱锥
侧面三角形底边上的高.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）正方形
的边长为
，
由于四棱锥的侧面是全等的等腰三角形，
所以四棱锥是正四棱锥，设
，连接
，
则
平面
，由于
平面
，
所以
，由于
，
所以
,
即四棱锥
的高为.
23
（2）由于正四棱锥的侧面是全等的等腰三角形，
侧面三角形底边上的高为
.
16．（23-24 高一下·云南昆明·月考）如图，在边长为8 的正方形
中，E，F 分别为AB，BC 的中点，
沿图中虚线将3 个三角形折起，使点A，B，C 重合，重合后记为点P.
（1）折起后形成的几何体是什么几何体？这个几何体共有几个面？
（2）每个面的三角形有何特点？每个面的三角形面积为多少？
【答案】（1）三棱锥，4 个面；（2）
为等腰三角形，
为等腰直角三角形，
和
均
为直角三角形，
，
，
.
【解析】（1）如图，折起后的几何体是三棱锥，
这个几何体共有4 个面.
（2）由已知
，
，
，
，
所以
，
，
所以
为等腰三角形，
为等腰直角三角形，
和
均为直角三角形.
，
，
.
17．（22-23 高一下·宁夏银川·期中）正四棱台两底面边长分别为2 和4．
24
（1）若侧棱长为
，求棱台的表面积；
（2）若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的高．
【答案】（1）
；（2）
【解析】（1）如图，设
分别为上，下底面的中心，
分别取
的中点
，连接
，
则
为正四棱台的斜高，
，
则棱台的表面积
.
（2）两底面面积之和为
，
正四棱台的侧面积为
，解得
，
正四棱台的高
.
18．（23-24 高一下·四川成都·期中）如图，一个加盖密封的漏斗的上面部分是一个正方体，下面部分是一
个正四棱锥，该几何体所有棱长均为2 米.
25
（1）求该漏斗的表面积；
（2）若一只蚂蚁沿漏斗表面从点
爬到点
，求它爬过的最短路径的长；
（3）将图中正方形
水平放置，在由斜二测画法得到的水平放置的直观图中，求线段
的长.
【答案】（1）
（
）；（2）
（米）；（3）
米或
米
【解析】（1）由题意，该漏斗的表面积
（
）；
（2）将漏斗表面展开，如图所示：
由两点间距离最短可得线段
为蚂蚁爬行最短路径，
过点
作
交
延长线于点
，连接
，
则
，
，
在
中，
，
所以蚂蚁爬过的最短路径的长为
（米）；
（3）正方形
的斜二测画法有以下两种：
左图情况下，
，在
中由余弦定理可得：
，
26
右图情况下，
，在
中由余弦定理可得：
，
综上所述，
米或
米.
