文档文本内容
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2.2.3 一元二次不等式的解法
课程标准
学习目标
1、掌握用因式分解法解决一元二次不等式.
2、掌握用配方法解决一元二次不等式.
1、一元二次不等式的解法，由特殊到一般的配方
法、因式分解法.
2、 掌握一元二次不等式的的运算法则，探究运算
思路，选择相对应的运算方法。
3、一般一元二次不等式有两个解，需要验证其有效
性。
知识点01 一元二次不等式的概念
一般地，形如ax2＋bx＋c>0 的不等式称为一元二次不等式，其中a，b，c 是常数，而且a≠0.一元二次
不等式中的不等号也可以是“<”“≥”“≤”等．
注：一元二次不等式的二次项系数a 有a>0 和a<0 两种，注意a≠0.当a<0 时，我们通常将不等式两边
同乘以－1，化为二次项系数大于0 的一元二次不等式，但要注意不等号要改变方向，这样我们只需要研究
二次项系数大于0 的一元二次不等式．
【即学即练1】下列不等式中是一元二次不等式的是( )
A．a2x2＋2≥0 B．1
x
2＜3
C．－x2＋x－m≤0 D．x3－2x＋1＞0
2
知识点02 一元二次不等式的解法
（1）用因式分解法解一元二次不等式
一般地，如果x1<x2，则不等式(x－x1)(x－x2)<0 的解集是(x1，x2)，不等式(x－x1)(x－x2)>0 的解集是(－
∞，x1) (
∪x2，＋∞).
①这种方法只有在一元二次不等式左边能够因式分解(一般用十字相乘法)时才能使用，简记为“小于
零取中间，大于零取两边”．
②因式分解法就是将一元二次不等式转化为两个一元一次不等式组来求解．
依据是：ab>0 当且仅当或；
ab<0 当且仅当或
（2）用配方法解一元二次不等式
一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)通过配方总是可以变为(x－h)2>k 或(x－h)2<k 的形式，然后根据k 的
正负等知识，就可以得到不等式的解集．
注：(1)因式分解法只适用于特殊类型的一元二次不等式，一般的一元二次不等式可以通过配方法求得
解集．
(2)用配方法解一元二次不等式的关键是熟练掌握二次三项式的配方技巧．
【即学即练2】（2024·广东佛山·高一佛山市第二中学校考开学考试）解下列一元二次不等式：
(1)
；
(2)
；
(3)
．
【即学即练3】（2024·江苏·高一假期作业）解关于x 的不等式
知识点03 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
y＝ax2＋bx＋c(a＞0)
的图像
ax2＋bx＋c＝0(a＞0)
的根
有两个不相等的实数
根x1，x2(x1＜x2)
有两个相等的实数根
x1＝x2＝－b
2a
没有实数根
3
ax2＋bx＋c＞0(a＞0)
的解集
{x|x＜x1或x＞x2}
{x|x≠－b
2a}
R
ax2＋bx＋c＜0(a＞0)
的解集
{x|x1＜x＜x2}
∅
∅
【即学即练4】【多选】（2024·黑龙江佳木斯·佳木斯一中校考模拟预测）已知关于x 的不等式
的解集为
，则下列选项中正确的是（ ）
A．
B．不等式
的解集是
C．
D．不等式
的解集为
知识点04 分式不等式
分式不等式的概念
分母中含有未知数的不等式称为分式不等式．
注：当分式不等式等价转化为整式不等式时，其分母不为零最容易被忽略，这一点一定要注意．
【即学即练5】（2024·全国·高三对口高考）已知集合
，则
．
难点：含参数的一元二次不等式的解法
示例：解关于x 的不等式2x2＋ax＋2＞0.
4
【题型1：解不含参数的一元二次不等式】
例1．（2024·安徽合肥·高二校考学业考试）不等式
的解集为（ ）
A．
或
B．
C．
D．
或
变式1.（2024·全国·高一专题练习）不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式2．（2023 春·福建福州·高二福建省福州延安中学校考学业考试）不等式
的解集为
A．
B．
C．
D．
变式3．（2024·上海·高一专题练习）解下列不等式：
（1）
；
（2）
；
（3）
变式4．（2024·高一校考课时练习）解下列不等式：
（1）
（2）
（3）
（4）
变式5.（2024·全国·高一专题练习）求下列不等式的解集.
（1）
； （2）
；
（3）
； （4）
；
变式6.【多选】（2024·全国·高一专题练习）下列不等式的解集是空集的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5
变式7．【多选】（2024·江苏淮安·高一校考阶段练习）下列四个不等式中，解集为
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【方法技巧与总结】
一元二次不等式的解法：
(1)图像法：一般地，当a＞0 时，解形如ax2＋bx＋c＞0(≥0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)的一元二次不等式，
一般可分为三步：
①确定对应方程ax2＋bx＋c＝0 的解；②画出对应函数y＝ax2＋bx＋c 的图像简图；③由图像得出不等
式的解集．
对于a＜0 的一元二次不等式，可以直接采取类似a＞0 时的解题步骤求解；也可以先把它化成二次项
系数为正的一元二次不等式，再求解．
(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解，当p＜q 时，若(x－p)(x－q)＞0，则
x＞q 或x＜p；若(x－p)(x－q)＜0，则p＜x＜q.有口诀如下“大于取两边，小于取中间”．
【题型2：含参数的一元二次不等式的解法】
例2．（2024·全国·高一假期作业）若
，解不等式
．
变式1．（2024·高一校考课时练习）解关于x 的不等式:
.
变式2．（2024·北京·高一北京市第五十中学校考阶段练习）解不等式
.
变式3.（2024·全国·高一专题练习）不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式4．（2024·北京西城·高一北京铁路二中校考期中）设
，解关于
的不等式：
．
变式5．（2024·黑龙江鹤岗·高一鹤岗一中校考期中）已知
，
，求关
于
的不等式
的解集.
变式6.（2024·全国·高一专题练习）解下列关于
的不等式：
（
）；
6
【方法技巧与总结】
含参数一元二次不等式求解步骤
(1)讨论二次项系数的符号，即相应二次函数图像的开口方向；
(2)讨论判别式的符号，即相应二次函数图像与x 轴交点的个数；
(3)当Δ>0 时，讨论相应一元二次方程两根的大小；
(4)最后按照系数中的参数取值范围，写出一元二次不等式的解集．
【题型3：利用不等式的解集求参数】
例3.（2024·山东临沂·高一校考开学考试）若不等式
的解集是
，则
，
．
变式1．（2024·福建福州·高一福州三中校考阶段练习）已知不等式
的解集是
，
则
（ ）
A．-10
B．-6
C．0
D．2
变式2．（2024·福建泉州·高一校考阶段练习）若关于
的不等式
的解集是
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
变式3.（2024·上海徐汇·高一校考期中）已知关于
的不等式
的解集为
，则
.
变式4.（2024·河南南阳·高一校考阶段练习）关于
的不等式
的解集为
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式5.【多选】（2024·湖南株洲·高一校考阶段练习）已知不等式
的解集为
，则下
列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式6．（2024·广西柳州·高一柳铁一中校联考阶段练习）已知关于
的不等式
的解集是
，
则关于
的不等式
的解集是（ ）
7
A．
或
B．
C．
或
D．
变式7．（2024·江苏常州·高一江苏省前黄高级中学校考期中）已知函数
.
(1)若关于
的不等式
的解集是
，求
的值.
(2)若
，求关于
的不等式
的解集.
变式8．（2024·湖南永州·高二统考阶段练习）若不等式
的解集为
，则
.
变式9．（2024·全国·高三专题练习）若不等式
的解集是
的子集，则a 的范围是（
）
A．[－4，3]
B．[－4，2]
C．[－1，3]
D．[－2，2]
变式10.（2024·全国·高一专题练习）关于
的不等式
的解集中，恰有2 个整数，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
变式11．【多选】（2023 春·浙江温州·高二统考学业考试）关于x 的不等式
的解集
中恰有3 个正整数解，则a 的值可以为（ ）
A．
B．
C．
D．2
变式12.（2024·福建福州·高一校考开学考试）已知关于
的一元二次不等式
的解中有且
仅有4 个正整数，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【方法技巧与总结】
三个“二次”之间的关系
一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系，在解决具体的数学问题时，要注意三
者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换．
(1)若一元二次不等式的解集为区间的形式，则区间的端点值恰是对应一元二次方程的根，要注意解集
的形式与二次项系数的联系．
(2)若一元二次不等式的解集为R 或
，则问题可转化为恒成立问题，此时可以根据二次函数图像与
∅
x
轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的范围．
【题型4：简单的分式不等式的解法】
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例4．（2024·云南曲靖·高一校考阶段练习）不等式
的解集是 ．
变式1．（2024·陕西渭南·高二统考期末）不等式
的解集为 ．
变式2．（2024·河南商丘·高一统考期中）不等式
的解集是 ．
变式3．（2024·陕西西安·高三西北工业大学附属中学校考阶段练习）解不等式：
(1)
；
(2)
；
(3)
.
【方法技巧与总结】
简单的分式不等式的解法
对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母
不为零．对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号
右边为零，然后再用上述方法求解．
注：设A、B 均为含x 的多项式
（1）
（2）
（3）
（4）
【题型5：一元二次不等式的恒成立有解问题】
例5.（2024·全国·高一期中）已知不等式
，对任意实数
都成立，则
的取值范围（ ）
A．
B．
C．
D．
变式1.（2024·江西南昌·高一校考阶段练习）若不等式
的解集为
，则实数
的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式2．（2024·高一单元测试）设
.
(1)若不等式
对一切实数
恒成立，求实数
的取值范围;
(2)解关于
的不等式
.
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变式3．（2023 春·江苏南京·高二南京市中华中学校考阶段练习）设
．
(1)若不等式
对一切实数
恒成立，求实数
的取值范围；
(2)解关于
的不等式
．
变式4.（2024·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中校考阶段练习）已知函数
．
(1)若不等式
的解集为R，求m 的取值范围；
(2)解关于x 的不等式
．
变式5.（2024·四川遂宁·高一射洪中学校考阶段练习）设
．
(1)若不等式
对一切实数
恒成立，求实数
的取值范围；
(2)解关于
的不等式
．
变式6.（2024·高一课时练习）已知不等式
有解，求m 的取值范围．
变式7.（2024·高一课时练习）已知函数
，
，
.
(1)若关于
的不等式
的解集为
或
，求实数
，
的值；
(2)若关于
的不等式
在
上有解，求实数
的取值范围；
(3)若关于
的不等式
的解集中恰有个整数，求实数
的取值范围．
【方法技巧与总结】
1、不等式恒成立问题：不等式恒成立时对未知量
来说，因此也称不等式解集为R
（1）
恒成立
（2）
恒成立
（3）
恒成立
（4）
恒成立
2、不等式有解问题
（1）
有解
或
10
（2）
有解
或
（3）
有解
或
（4）
有解
或
【题型6：一元二次不等式的实际应用】
例6．（2024·高一校考单元测试）某小型雨衣厂生产某种雨衣，售价
（单位：元/件）与月销售量
（单
位：件）之间的关系为
，生产
件的成本（单位：元）
.若每月获得的利润
（单
位：元）不少于
元，则该厂的月销售量
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式1.（2024·全国·高一假期作业）某小型服装厂生产一种风衣，日销售量
（件）与单价
（元）之间的
关系为
，生产
件所需成本为
（元），其中
元，若要求每天获利不少于1300
元，则日销售量
的取值范围是（ ）.
A．
B．
C．
D．
变式2.（2024·全国·高一专题练习）某商品在最近
天内的价格
与时间 (单位：天)的函数关系是
；销售量
与时间的函数关系是
，则使这种商品日销
售金额不小于
元的的范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式3.（2023 春·河南安阳·高二林州一中校考阶段练习）某地每年消耗木材约20 万立方米，每立方米售价
480 元，为了减少木材消耗，决定按
征收木材税，这样，每年的木材消耗量减少
万立方米，为了既
减少木材消耗又保证税金收入每年不少于180 万元，t 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
35．（2024·四川绵阳·高一绵阳中学校考阶段练习）某种衬衫进货价为每件
元，若以
元一件出售，则
每天能卖出
件；若每件提价元，则每天卖出件数将减少一件，为使每天出售衬衫的净收入不低于
11
元，则每件衬衫的售价的取值范围是 ．(假设每件衬衫的售价是m)
变式4.（2024·全国·高一专题练习）商人如果将进货单价为8 元的商品按每件10 元销售，每天可销售100
件，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润．已知这种商品的售价每提高1 元，销售量就可能
相应减少10 件．若把提价后的商品售价设为x 元，怎样用不等式表示每天的利润不低于300 元？
【方法技巧与总结】
解不等式应用题的四步骤
(1)审：认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系．
(2)设：引进数学符号，用不等式表示不等关系．
(3)求：解不等式．
(4)答：回答实际问题．
特别提醒：确定答案时应注意变量具有的“实际含义”．
一、单选题
1．（2024 高一上·山西朔州·阶段练习）已知不等式
的解集为
，则下列选项正
确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024 高一上·江苏南通·开学考试）不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
3．（2024 高三·全国·专题练习）已知函数f (x)=a x
2+bx +c的图象如图所示，则下列结论错误的是
（ ）
12
A．
B．
C．
D．不等式
的解集是
4．（24-25 高三上·江苏无锡·开学考试）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2024 高三上·重庆南岸·阶段练习）已知p：
，那么命题p 的一个必要不充分条件是
（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2024 高三·全国·专题练习）在
上定义运算“
”：
，则满足
的实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2024 高一上·江苏苏州·阶段练习）不等式
的解集为
或
，则
的解集为
（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2024 高二下·安徽·学业考试）若不等式
对所有实数
恒成立，则
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
13
9．（24-25 高一上·全国·课后作业）已知二次函数
的图象如图所示，则下列选项正确
的是（ ）
A．
B．
C．
（m 为任意实数）
D．
10．（24-25 高一上·重庆沙坪坝·开学考试）已知不等式
，则下列说法正确的是（ ）
A．若
，则不等式的解集为
B．若不等式的解集为
，则
C．若不等式的解集为
，则
D．若不等式的解集为
，
11．（24-25 高一上·浙江温州·开学考试）已知函数
，则下列结论正确的是（ ）
A．关于x 的不等式
的解集可以是
B．关于x 的不等式
的解集可以是
C．函数
在
上可以有两个零点
D．“关于x 的方程
有一个正根和一个负根”的充要条件是“
”
三、填空题
12．（24-25 高一上·全国·随堂练习）若
，则不等式
的解集为 ．
13．（24-25 高三上·北京·开学考试）已知关于
的不等式
的解集为
，则
的值 .
14．（2024 高一下·江苏盐城·开学考试）某种汽车在水泥路面上的刹车距离（单位：
）和汽车刹车前
的车速（单位：
）之间有如下关系：
，在一次交通事故中，测得这种车的刹车
14
距离不小于
，则这辆汽车刹车前的车速至少为
．
15．（2024 高三上·陕西榆林·阶段练习）若存在
，使得
成立，则实数
的取值范围
.
四、解答题
16．（2024 高一上·河南郑州·阶段练习）夏秋交替时节， 某商家为了尽快清仓销货， 决定对短袖衬衫A
进行打折处理．经过市场调查发现，每个月A 的销量
（单位: 件）与折扣
（单位: 折）之间的关系近似
满足一次函数
．已知
的成本价为50 元/件，原售价为100 元/件，设A 每月的总利润为
（单位: 元）．
(1)求
的最大值;
(2)该商家将与A 相同成本价的短袖
恤
按60 元/件销售， 若每销售1 件
可销售1 件
， 要求A 与
的
总利润不低于3000 元， 求A 售价的最小值．
17．（2024 高三上·广东梅州·阶段练习）已知关于
的不等式
的解集为
或
．
(1)求
的值；
(2)求关于
的不等式
的解集．
18．（2024 高一上·福建莆田·阶段练习）已知命题
:“实数
满足
”命题
:“
都有意义”.
(1)已知
为假命题，
为真命题，求实数
的取值范围;
(2)若
是
的充分不必要条件，求实数
的取值范围.
19．（24-25 高三上·湖南常德·阶段练习）（1）若关于
的不等式
的解集为R，
求
的取值范围；
（2）解关于
的不等式
．
20．（2024 高二下·黑龙江绥化·期末）已知函数
．
(1)若对于任意
，不等式
恒成立，求实数a 的取值范围；
(2)当
时，解关于x 的不等式
．
21．（24-25 高一上·全国·课后作业）已知函数
（
）只能同时满足下列三个条件中
的两个：
①y＜0 的解集为
；
②
；
③y 的最小值为
．
15
(1)请写出这两个条件的序号，求y 的解析式；
(2)求关于x 的不等式
（
）的解集．
22．（24-25 高一上·辽宁·阶段练习）根据要求完成下列问题：
(1)已知
，集合
、集合
、集合
，则同时满足
A 且
的实数
、
是否存在？若存在，求出
、
的值；若不
存在，请说明理由；
(2)已知
，命题
：
和
是方程
的两个实根，不等式
对任意实
数
恒成立；命题
：不等式
有解；若命题
是真命题，命题
是假命题，求实数
的取值范围.
23．（2024 高一·上海·课堂例题）方程
的三个根1、2、3 将数轴划分为四个区间，
即
，
，
，
．试在这四个区间上分别考察
的符号，从而得出不等
式
与
的解集．一般地，对
、
、
，且
，试
分别求不等式
与
的解集．（提示：
、
、
相互之间
可能相等，需要分情况讨论）
