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6.3 利用导数解决实际问题
课程标准
学习目标
（1）了解导数在解决利润最大、效率最高、用料
最省等实际问题中的作用；
（2）能利用导数求出某些实际问题的最大值（最
小值）.
（1）1.通过导数的实际应用的学习，培养数学
建模素养；
（2）2.通过解决利润最大、效率最高、用料最
省等实际问题，提升逻辑推理、数学运算素养.
知识点01 导数在优化问题中的应用
1、最优化问题：生活中，经常会遇到求利润最大、用料最省、效率最高等实际问题，这些问题通常称为
最优化问题
2、利用导数解决生活中的最优化问题的一般步骤
（1）分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系
D=f(x)，根据实际意义确定定义域
（2）求函数y=f(x)的导数f(x).解方程f(x)=0 得出定义域内的实根，确定极值点；
（3）比较函数在区间端点和极值点处的函数值，获得所求的最大（小）值
（4）还原到原实际问题中作答
【即学即练1】（22-23 高二下·广东汕尾·期末）某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，一个瓶子的制
造成本是
分，其中（单位：
）是瓶子的半径．已知每出售
的饮料，制造商可获利0.2 分，
且制造商能制作的瓶子的最大半径为
，则使得每瓶饮料的利润最大时的瓶子的半径为（ ）
A．
B．
C．
D．
【题型一：面积、体积最值问题】
例1．（23-24 高二下·湖北·期中）已知圆锥的母线长为定值R，当圆锥的体积最大时，圆锥的底面半径为
（ ）
A．
B．
C．
D．
变式1-1．（23-24 高二下·广东广州·期中）用半径为R 的圆形铁皮剪出一个圆心角为
的扇形，制成一个
圆锥形容器，则容器的容积最大时，扇形的圆心角
为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式1-2．（23-24 高二下·黑龙江哈尔滨·月考）把一个周长为
的长方形围成一个圆柱，当该圆柱的体积
最大时，圆柱底面半径为（ ）
A．
B．1
C．
D．
变式1-3．（23-24 高二下·福建厦门·月考）某公园有一块如图所示的区域
，该场地由线段
、
、
及曲线段
围成．经测量，
，
米，曲线
是以
为对称轴的抛物线的
一部分，点
到
、
的距离都是50 米．现拟在该区域建设一个矩形游乐场
，其中点
在曲线
段
上，点
、
分别在线段
、
上，且该游乐场最短边长不低于30 米．设
米，游乐场的
面积为平方米．
（1）试建立平面直角坐标系，求曲线段
的方程；
（2）求面积关于
的函数解析式
；
（3）试确定点
的位置，使得游乐场的面积最大．（结果精确到0.1 米）（参考数据：
，
）
【方法技巧与总结】
面积、体积（容积）最大，周长最短，距离最小等实际几何问题，求解时先设出恰当的变量，将待求解最
值的问题表示为变量的函数，再按函数求最值的方法求解，最后检验.
【题型二：用料最省问题】
例2．（23-24 高二下·河北石家庄·月考）做一个无盖的圆柱形水桶，若要使水桶的容积是
，且用料最
省，则水桶的底面半径为 ．
变式2-1．（22-23 高二下·广东东莞·月考）如图，某水库有一个半径为1 百米的半圆形小岛，其圆心为C
且直径MN 平行坝面.坝面上点A 满足
，且AC 长度为3 百米，为便于游客到小岛观光，打算从点
A 到小岛建三段栈道AB、BD 与BE，水面上的点B 在线段AC 上，且BD、BE 均与圆C 相切，切点分别为
D、E，其中栈道AB、BD、BE 和小岛在同一个平面上.设
，则BE= （用含
的代数
式表示）此外在半圆小岛上再修建栈道
、
以及MN，则需要修建的栈道总长度的最小值为
百米.
变式2-2．（23-24 高二下·宁夏·月考）工厂需要围建一个面积为
的矩形堆料场，一边可以利用原有
的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，我们知道，砌起的新墙的总长度
（单位：
）是利用原有墙壁长度
（单位：
）的函数．
（1）写出
关于
的函数解析式，并确定
的取值范围；
（2）当堆料场的长、宽比为多少时，需要砌起的新墙用的材料最省？（运用导数知识解决）
变式2-3．（23-24 高二下·四川遂宁·月考）南京玄武湖号称“金陵明珠”，是我国仅存的皇家园林湖泊．
在玄武湖的一角有大片的荷花，每到夏季，荷花飘香，令人陶醉．夏天的一个傍晚，小胡和朋友游玄武湖，
发现观赏荷花只能在岸边，无法深入其中，影响观赏荷花的乐趣，于是他便有了一个愿景：若在玄武湖一
个盛开荷花的一角（该处岸边近似半圆形，如图所示）设计一些栈道和一个观景台，观景台
在半圆形的
中轴线
上（图中
与直径
垂直，
与
不重合），通过栈道把
连接起来，使人
行在其中，犹如置身花海之感．已知
，栈道总长度为函数
．
（1）求
；
（2）若栈道的造价为每米5 万元，试确定观景台
的位置，使实现该愿景的建造费用最小（观景台的建造
费用忽略不计），并求出实现该愿景的建造费用的最小值．
【方法技巧与总结】
1、用料最省问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究
的对象，正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答.
2、利用导数的方法解决实际问题.当在定义区间内只有一个点使f’(x)=0 时，如果函数在这点有极大（小）
值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大（小）值.
【题型三：成本最小问题】
例3．（23-24 高二下·吉林长春·月考）已知泳池深度为
，其容积为
，如果池底每平方米的维修
费用为
元．设入水处的较短池壁长度为
，且据估计较短的池壁维修费用与池壁长度成正比，且比例
系数为
，较长的池壁总维修费用满足代数式
，则当泳池的总维修费用最低时
的值为
．
变式3-1．（22-23 高二下·浙江·月考）据《九章算术》中记载：将军要在
营地到骑马到河边的
营地，
两营地之间相距50 千米．已知马没有在河边补充水分时，速度为
；在河边喝完水，速度为
．
如图所示，
营地离河边距离为
，河所在的直线为
，忽略马在河边喝水的时间．
（1）将军先骑马到河边的
处，再赶到
营地，一共要花多少时间；
（2）将军赶到
营地所花的最少时间为多少．
变式3-2．（22-23 高二下·山东·月考）某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：m），其中
容器的中间为圆柱体，左右两端均为半球体，按照设计要求容器的体积为
m3.假设该容器的建造费用仅
与其表面积有关．已知圆柱体部分每平方米建造费用为3 万元，半球体部分每平方米建造费用为4 万元．
设该容器的总建造费用为y 万元．
（1）将y 表示成r 的函数，并求该函数的定义域；
（2）确定r 和l 为何值时，该容器的建造费用最小，并求出最小建造费用．
变式3-3．（22-23 高二下·江西·月考）如图，一个仓库由上部屋顶和下部主体两部分组成，上部屋顶的形
状为正四棱锥
，
，下部主体的形状为正四棱柱
．已知上部屋顶的
造价与屋顶面积成正比，比例系数为
，下部主体的造价与高度成正比，比例系数为
．欲建造一
个上、下总高度为
，
的仓库．现存两个求总造价
的方案：
（1）设
，将总造价
表示为
的函数；
（2）设屋顶侧面与底面所成的二面角为
，将总造价
表示为
的函数．
请从上述两个方案中任选一个，求出总造价
的最小值．
【方法技巧与总结】
成本最小问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对
象，正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答.
【题型四：利润最大问题】
例4．（23-24 高二下·四川成都·月考）某个体户计划同时销售A，B 两种商品，当投资额为
千元时，
在销售A，B 商品中所获收益分别为
千元与
千元，其中
，
，如果该
个体户准备共投入5 千元销售A，B 两种商品，为使总收益最大，则B 商品需投（ ）千元．
A．
B．
C．
D．
变式4-1．（23-24 高二下·吉林通化·月考）某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量
与每吨产品
的价格
元
之间的关系式为
，且生产
产品的成本为
元，则该厂
每月生产
产品才能使利润达到最大．利润
收入成本
变式4-2．（23-24 高二下·广东清远·期中）已知一企业生产某产品的年固定成本为
万元，每生产千件需
另投入
万元，若该企业一年内共生产此种产品
千件，并且全部销售完，每千件的销售收入为
万
元，且
（1）写出年利润
（万元）关于年产品
（千件）的函数解析式；
（2）年产量为多少千件时，该企业生产此产品所获年利润最大?最大利润是多少?
（注：年利润
年销售收入-年总成本）
变式4-3．（23-24 高二下·河北张家口·月考）2023 年12 月28 日工业和信息化部等八部门发布了关于加快
传统制造业转型升级的指导意见，红星机械厂积极响应决定投资生产
产品．经过市场调研，生产
产品
的固定成本为300 万元，每生产
万件，需可变成本
万元，当产量不足50 万件时，
；当产量不小于50 万件时，
．每件
产品的售价为200 元，
通过市场分析，生产的
产品可以全部销售完．
（1）求利润函数的解析式；
（2）求利润函数的最大值．
【方法技巧与总结】
利润最大问题是生活中常见的一类问题，一般根据“利润=收入一成本”建立函数关系式，再利用导数求
最大值.求解时要注意：①价格要大干成本，否则就会亏本；②销量要大干0，否则不会获利.
一、单选题
1．（22-23 高二下·陕西咸阳·月考）一个矩形铁皮的长为
，宽为
，在四个角上截去四个相同的小
正方形，制成一个无盖的小盒子，若记小正方形的边长为
，小盒子的容积为
，则
（ ）
A．当
时，V 取得最小值
B．当
时，V 取得最大值
C．当
时，V 取得最小值
D．当
时，V 取得最大值
2．（22-23 高二下·甘肃天水·月考）从商业化书店到公益性城市书房，再到“会呼吸的文化森林”--图书馆，
建设高水平､现代化､开放式的图书馆一直以来是大众的共同心声，现有一块不规则的地，其平面图形如图
1 所示，
（百米），建立如图2 所示的平面直角坐标系，将曲线AB 看成函数
图象的一
部分，
为一次函数图象的一部分，若在此地块上建立一座图书馆，平面图为直角梯形
（如图
2），则图书馆占地面积（万平方米）的最大值为（ ）
A．2
B．
C．
D．
3．（22-23 高二下·湖北武汉·期末）已知正三棱锥的高为，且
，其各个顶点在同一球面上，且该
球的表面积为
，则该三棱锥体积的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（22-23 高二下·吉林长春·开学考试）某莲藕种植塘每年的固定成本是1 万元，每年最大规模的种植量
是8 万斤，每种植一斤藕，成本增加0.5 元. 已知销售额函数是
（x 是莲藕种植量，
单位：万斤；销售额的单位：万元，a 是常数），若种植2 万斤，利润是2.5 万元，则要使利润最大，每年
需种植莲藕（ ）
A．6 万斤
B．8 万斤
C．3 万斤
D．5 万斤
5．（22-23 高二下·湖北襄阳·月考）某制造商制造并出售球形瓶装的某种液体材料.瓶子的制造成本是
分，其中r（单位：cm）是瓶子的半径.已知每出售1mL 的液体材料，制造商可获利0.3 分，且制造
商能制作的瓶子的最大半径为8cm，则当每瓶液体材料的利润最大时，瓶子的半径为（ ）
A．3cm
B．4cm
C．5cm
D．6cm
6．（23-24 高二下·吉林长春·月考）进入4 月份以来，为了支援上海抗击疫情，A 地组织物流企业的汽车运
输队从高速公路向上海运送抗疫物资.已知A 地距离上海500
，设车队从A 地匀速行驶到上海，高速公
路限速为
.已知车队每小时运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变
部分与速度v
的立方成正比，比例系数为b，固定部分为a 元.若
，
，为了使全程运输
成本最低，车队速度v 应为（ ）
A．80
B．90
C．100
D．110
7．（22-23 高二下·宁夏青铜峡·月考）在“全面脱贫”行动中，某银行向某贫困地区的贫困户提供10 万元
以内的免息贷款，贫困户小李准备向银行贷款x 万元全部用于农产品土特产的加工与销售，据测算每年利
润y（单位：万元）与贷款x 满足关系式
，要使年利润最大，小李应向银行贷款
（ ）
A．3 万元
B．4 万元
C．5 万元
D．6 万元
8．（23-24 高二下·四川内江·月考）某学校高二年级一个学习兴趣小组进行社会实践活动，决定对某“知
名品牌”
系列进行市场销售量调研，通过对该系列的调研得知，
系列每日的销售量
（单位：千
克）与销售价格
百元/千克近似满足关系式
，其中
，
为常数．已知销售
价格为6 百元/千克时，每日可售出
系列3 千克．若
系列的成本为4 百元/千克，则该商场每日销售
系
列所获最大利润为（ ）百元．
A．10
B．12
C．14
D．16
二、多选题
9．（22-23 高二下·河北邯郸·月考）若将一边长为
的正方形铁片的四角截去四个边长均为
的小正方形，
然后做成一个无盖的方盒，则下列说法正确的是（ ）
A．当
时，方盒的容积最大
B．方盒的容积没有最小值
C．方盒容积的最大值为
D．方盒容积的最大值为
10．（23-24 高二下·全国·课时练习）(多选)如图，一窗户的上部是半圆，下部是矩形，如果窗户的面积为
S，为使窗户的周长最小，用料最省，那么（ ）
A．圆的半径应为
B．圆的半径应为
C．矩形的高应为
D．矩形的高应为
11．（23-24 高二上·浙江宁波·月考）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵一些？
高二某研究小组针对饮料瓶的大小对饮料公司利润的影响进行了研究，调查如下：某制造商制造并出售球
形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是
分，其中r（单位：cm）是瓶子的半径．已知每出售1mL 的
饮料，制造商可获利0.2 分（不考虑瓶子的成本的前提下），且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm．
下面结论正确的有（ ）（注：
；利润可为负数）
A．利润随着瓶子半径的增大而增大
B．半径为6cm 时，利润最大
C．半径为2cm 时，利润最小
D．半径为3cm 时，制造商不获利
三、填空题
12．（22-23 高二下·北京房山·期末）如图，将一张
的长方形纸片剪下四个全等的小正方形，
使得剩余部分经过折叠能糊成一个无盖的长方体纸盒，则小正方形的边长为
时，这个纸盒的
容积最大，且最大容积是
．
13．（23-24 高二下·四川成都·月考）某工件是底面半径为2，母线为4 的圆锥，现将该工件通过切削，加
工成一个长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则新工件体积的最大值为
．
14．（23-24 高二上·江苏南京·期末）某个体户计划同时销售A，B 两种商品，当投资额为x
千元时，
在销售A，B 商品中所获收益分别为
千元与
千元，其中
，
，如果该
个体户准备共投入5 千元销售A，B 两种商品，为使总收益最大，则B 商品需投 千元．
四、解答题
15．（23-24 高二下·广东佛山·月考）如图（图中单位为：m），将一个边长为16 的正方形铁片的四角截去
四个边长均为x 的小正方形，做成一个无盖方盒．
（1）试把方盒的容积V 表示为x 的函数；
（2）x 多大时，方盒的容积V 最大？最大容积为多少？
16．（22-23 高二下·新疆喀什·月考）喀什二中拟在高二年段举行手工制作书柜比赛，现有一边长为
的正方形硬纸板，纸板的四角截去四个边长为
的小正方形，然后做成一个无盖方柜，
（1）试把方柜的容积
表示为
的函数？
（2）
多大时，方柜的容积
最大？并求最大容积
．
17．（22-23 高二下·湖北咸宁·月考）某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两个桥墩相距
，余下的工
程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经预算，一个桥墩的工程费用为256 万元；距离为
的相邻两墩
之间的桥面工程费用为
万元/
．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素．
记余下的工程费用为
万元．
（1）试写出
关于
的函数解析式；
（2）当
=640
时，需要建多少个桥墩才能使
最小？
18．（23-24 高二下·安徽合肥·月考）为了积极响应国家“全面实施乡村振兴战略”的号召，某同学大学毕
业后决定利用所学专业知识进行自主创业．经过市场调查，生产某种小型电子产品需投入固定成本3 万元，
每生产
万件，需另投入流动成本
万元，当年产量小于10 万件时，
（万元）；当
年产量不小于10 万件时，
（万元）．已知每件产品售价为6 元，假若该产品当年
全部售完．
（1）写出年利润
（万元）关于年产量
（万件）的函数解析式；（注：年利润＝年销售收入－固定
成本－流动成本）
（2）当年产量约为多少万件时，该产品所获年利润最大？最大年利润是多少？（结果保留一位小数，取
）
19．（23-24 高二下·河北承德·月考）某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10 万元/辆，出
厂价为13 万元/辆，年销售量为
辆，本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，
若每辆车投入成本增加的比例为
，则出厂价相应提高的比例为
，年销售量也相应增加.已知
年利润＝(每辆车的出厂价－每辆车的投入成本)×年销售量.
（1）若年销售量增加的比例为
，写出本年度的年利润p(万元)关于x 的函数关系式；
（2）若年销售量关于x 的函数为
，则当x 为何值时，本年度年利润最大？最大年利
润是多少？
