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第四章 指数函数、对数函数与幂函数章末测试
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准
考证号填写在答题卡上．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1．（23-24 高一下·湖北咸宁·期末）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】化简集合
后由交集定义可得答案.
【详解】
集合表示函数
的定义域，则
，
集合表示函数
的值域，则
.
故
.
故选：A.
2．（23-24 高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知
是幂函数，则
（ ）
A．1
B．2
C．4
D．8
【答案】D
【分析】根据函数是幂函数求出参数，再求函数值即可.
【详解】因为
是幂函数，所以
，解得
，则
，
所以
.
故选：D.
3．（23-24 高一上·湖南湘西·期末）若函数
在区间
上单调递增，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由题意得：
在
上单调递增，根据二次函数的性质列不等式即可.
【详解】由题意得：
在
上单调递增，
2
所以对称轴
，所以
.
故选：B.
4．（23-24 高一下·江西·期末）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用指数函数与对数函数的性质比较大小即可.
【详解】因为
在
上递增，且
，
所以
，即
，
所以
，
因为
在
上递减，且
，
所以
，即
，
因为
在
上递增，且
，
所以
，即
，
所以
.
故选：B
5．（23-24 高一上·北京海淀·期末）在同一个坐标系中，函数
，
，
的图象
可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先根据的单调性相反排除AD，然后根据幂函数图象判断出
的范围，由此可得答案.
【详解】因为在同一坐标系中，所以函数
，
的单调性一定相反，
3
且图象均不过原点，故排除AD；
在BC 选项中，过原点的图象为幂函数
的图象，且由图象可知
，
所以
单调递减，
单调递增，故排除B，所以C 正确.
故选：C.
6．（23-24 高一下·广东韶关·阶段练习）函数
的零点个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】D
【分析】按
分段讨论，结合函数单调性、零点存在性定理及数形结合求解即得.
【详解】函数
的定义域为
，
当
时，
，显然函数
在
上都单调递减，
因此函数
在
上单调递减，而
，
则函数
在
上有唯一零点；
当
时，
，显然
，
因此函数
在区间
上至少各有一个零点，
当
时，由
，得
，
则
在
上的零点即为函数
的图象与直线
的交点横坐标，
在同一坐标系内作出函数
的图象与直线
，如图，
观察图象知，函数
的图象与直线
有两个交点，即
有两个解，
所以函数
的零点个数为3.
故选：D
7．（23-24 高一上·辽宁丹东·期末）已知函数
与
的图象关于直线
对称，
且
，则函数
的单调递减区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
4
【答案】C
【分析】利用反函数知识求出
，结合复合函数的单调性可判断出
的单调递减区间.
【详解】因为函数
与
的图象关于直线
对称，
所以
，
因为
，所以
，解得：
.
所以
，
由
，可得
的定义域为
，
令
，则
在
单调递减，
而
在定义域单调递增，
由复合函数的单调性可知:
在
单调递减.
故选：C.
8．（23-24 高一上·北京通州·期末）设函数
，
，
，
，则
下列结论正确的是（ ）
A．函数
和
的图象有且只有两个公共点
B．
，当
时，使得
恒成立
C．
，使得
成立
D．当
时，方程
有解
【答案】D
【分析】作出函数
和
的图象，结合函数图象即可判断A B；根据指数函数和对数函数的图象即可
判断C；根据当
时，函数
和
的图象都过过点
，即可判断D.
【详解】对于A，如图所示，作出函数
和
的图象，
由图可知，函数
和
的图象有三个公共点，故A 错误；
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对于B，由A 选项可知，当
时，
，
所以不存在
，当
时，使得
恒成立，故B 错误；
对于C，如图，作出函数
，
的图象，
由图可知，函数
的图象在
的图象的上方，
函数
的图象在
的图象的下方，
所以
，
，
所以不存在
，使得
成立，故C 错误；
对于D，因为
，
，
当
时，函数
的图象过点
，
函数
的图象过点
，即直线与函数图象有交点，
当
时，直线斜率更小，直线与函数图象有交点，
所以当
时，方程
有解，故D 正确.
故选：D.
【点睛】方法点睛：判定函数
的零点个数的常用方法：
（1）直接法：直接求解函数对应方程的根，得到方程的根，即可得出结果；
（2）数形结合法：先令
，将函数
的零点个数，转化为对应方程的根，进而转化为两个函数
图象的交点个数，结合图象，即可得出结果.
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．（23-24 高一上·浙江金华·期末）已知
（
）（ ）
A．当
时，
的值域为
B．当
时，
C．当
时，
是偶函数
D．当
时，
是奇函数
【答案】BC
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【分析】根据幂函数的性质即可求解AB，结合函数奇偶性的定义即可判断CD.
【详解】当
时，f (x)= 1
x ，此时
的值域为
，故A 错误，
当
时，
在
上单调递增，所以
，B 正确，
当
时，
，
，所以
是偶函数，C 正确，
当
时，
，
，则
，
，定义域不关于原点对称，故为非奇非偶函数，D
错误，
故选：BC
10．（23-24 高一上·海南海口·期末）已知函数
是定义在
上的偶函数，当
时，
则下列说法正确的是（ ）
A．当
时，
B．
C．存在
，使得
D．函数
的零点个数为
【答案】ACD
【分析】根据分段函数，求出
的解析式即可判断A；举反例，取一个特殊值验证选项的正误判断
B；作出函数的图象，发现函数
的值域为
，即可判断C；利用数形结合的思想，将函数的零点问题
转化为方程的根，进而转化为两个函数的交点个数问题，再结合图象即可得解判断D.
【详解】对于选项A，当
时，
，所以
，
所以
，故A 正确；
对于选项B，当
时，
与
矛盾，故B 错误；
对于选项C，由
为偶函数，可作出函数在
上的图象，
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观察图象，
的值域为
，即存在
，使得
，故C 正确；
对于选项D，由
的零点个数即为
根的个数，
即
与
的的交点个数，观察图象，在
时，有5 个交点，
根据对称性可得
时，也有5 个交点，共计10 个交点，故D 正确.
故选：ACD
【点睛】方法点睛：判断方程y = f (x)零点个数的常用方法：
①直接法：可利用判别式的正负直接判定一元二次方程根的个数；
②转化法：函数y = f (x)零点个数就是方程
根的个数，结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶
性、周期性、对称性）可确定函数的零点个数；
③数形结合法：一是转化为两个函数
的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其
交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为
的交点个数的图象的交点个数问题.
11．（23-24 高一上·山东日照·期末）对
，
表示不超过
的最大整数，如
，
，
，通常把
，
叫做取整函数，也称之为高斯（Gaussian）函数．下列说法正确的是
（ ）
A．
，
B．
，
C．
，若
，则
D．
，使
成立
【答案】BCD
【分析】举出反例可判断A，举例可判断B，设
，则
，
，求出
的范围可
判断C；根据
取值特征可判断D.
【详解】对于A，当
时，
，故A 错误；
对于B，设
，则
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，故B 正确；
对于C，设
，则
，
，则
，所以
，故C 正确；
对于D，
时，
，
当
时，
，当
时，
，
当
时，
，当
时，
，
由
，
可得
时，
成立，故D 正确.
故选：BCD.
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是对新定义的理解.
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分．
12．（23-24 高一上·天津·期末）函数
（
且
）无论
取何值，函数图像恒过一个定点，
则定点坐标为 .
【答案】
【分析】根据题意，令
，求得
和
，即可求解.
【详解】由函数
（
且
），
令
，解得
，则
，所以函数恒经过定点
.
故答案为：
.
13．（23-24 高一上·安徽·期末）已知实数m，n 满足
，则
.
【答案】1
【分析】根据已知条件，推得
，
，再结合对数的运算法则，即可求解．
【详解】解：
，
所以
，
，
所以
．
故答案为：1．
14．（23-24 高一上·天津·期末）已知函数
若函数
有三个零点，
则实数
的取值范围 .
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【答案】
【分析】转化为y = f (x)与
的图象有3 个交点，做出y = f (x)的图象，结合图象可得答案.
【详解】若函数
有三个零点，
则y = f (x)与
的图象有3 个交点，
，
当
时，
，
当
时，
，
与
轴的交点为(0,2)，
的大致图象如下，
要使y = f (x)与
的图象有3 个交点，
则
，解得
，或
.
故答案为：
.
【点睛】关键点点睛：解题的关键点是数形结合.
四、解答题：本题共5 小题，共77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13 分）（23-24 高一下·内蒙古鄂尔多斯·期中）计算：
(1)
；
(2)
.
【答案】(1)0
(2)2
【分析】（1）利用指数运算法则及指数式与对数式互化计算即得.
（2）利用对数运算法则求解即得.
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【详解】（1）
.
（2）
.
16．（15 分）（23-24 高一上·广西贺州·期末）已知函数
，
（其中
且
）．
(1)若函数
定义域为R ，求实数
的取值范围；
(2)判断函数
的奇偶性，并说明理由．
【答案】(1)
(2)
是偶函数
【分析】
（1）首先求出
的解析式，依题意可得
恒成立，即可得到
，从而求
出参数的取值范围；
（2）设
，首先求出定义域，再根据奇偶性的定义判断即可.
【详解】（1）由题意得
，
因为函数
定义域为
，
所以
恒成立，
即
， 解得
，
故实数
的取值范围
.
（2）设
，
定义域需满足：
，解得
，
故函数
的定义域为
，定义域关于原点对称，
则
，
又因为
，
即
，
所以
是偶函数，即
是偶函数.
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17．（15 分）（23-24 高一上·北京东城·期末）当药品
注射到人体内，它在血液中的残余量会以每小时
25%的速度减少.
(1)按照医嘱，护士给患者甲注射了
药品
两小时后，患者甲血液中药品
的残存量为
，求
的
值；
(2)另一种药物
注射到人体内，它在血液中的残余量会以每小时10%的速度减少.如果同时给两位患者分别
注射
药品
和
药品
，请你计算注射后几个小时两位患者体内两种药品的残余量恰好相等.
（第（2）问计算结果保留2 位小数）
参考值：
，
.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，列出方程代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，列出方程，结合对数的运算代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）由题意可得，注射药品
两小时后药品
的残存量为
，
所以
，解得
，即注射了
药品
，
的值为
.
（2）设药物
注射量为
，则
小时后残余量为
，
设药物
注射量为，则
小时后残余量为
，
又题可知，药物
注射量为
，药物
注射量为
，
设
小时后残余量相同，则
，
即
，两边取对数可得
，即
，
即
，即
，
即
，即
，
解得
，所以注射
小时后两位患者体内两种药品的残余量恰好相等.
18．（17 分）（23-24 高一上·天津·期末）若函数
为幂函数，且在
单调递
减．
(1)求实数
的值；
(2)若函数
，且
，
（ⅰ）写出函数
的单调性，无需证明；
（ⅱ）求使不等式
成立的实数的取值范围．
【答案】(1)1
12
(2)（ⅰ）
在区间
单调递增；（ⅱ）
【分析】（1）根据幂函数的定义求出
的值再由题设条件取舍；
（2）（ⅰ）根据单调性相同的两函数在公共区间上具有相同的单调性性质即得；
（ⅱ）利用（ⅰ）的结论求解抽象不等式即得.
【详解】（1）由题意知
，解得：
或
，
当
时，幂函数
，此时幂函数在
上单调递减，符合题意；
当
时，幂函数
，此时幂函数在
上单调递增，不符合题意；
所以实数
的值为1．
（2）（ⅰ）
，
在区间
单调递增.证明如下：
任取
，则
，
由
可得：
，
，则
，即
，
故
在区间
单调递增.
（ⅱ）由（ⅰ）知，
在区间
单调递增，又由
可得：
则
，解得
.
19．（17 分）（23-24 高一下·河南洛阳·期末）已知函数
，
.
(1)求函数
的最大值；
(2)设不等式
的解集为
，若对任意
，存在
，使得
，求实数
的值.
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）根据对数运算化简为二次函数的复合函数，结合二次函数的值域求出最值即可；
（2）先换元把指数函数复合函数转化为二次函数，再分段分类讨论求出最值，再根据已知等式求值即可.
【详解】（1）
，
，
，
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当
，即
时，
，当
，即
时，
，
当
时，
的最大值为2.
（2）由
，得
，
即
，
，
设
，则当
，
，
，
，
设
，
由题意，
是当
时，函数
的值域的子集.
①当
，即
时，函数
在
上单调递增，
则
解得
.
②当
，即
时，函数
在
上单调递减，
则
不等式组无解.
③当
，即
时，函数
在
上单调递减，
上单调递增，
则函数
的最大值是
与
的较大者.
令
，得
，
令
，得
，均不合题意.
综上所述，实数
的值为
.
【点睛】关键点点睛：本题第2 小问解决的关键是，利用换元法将问题转化为
是
的值域的子集，从而得解.
