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江苏省如皋中学 2024-2025 学年度第一学期综合练习（一）
高一创新班数学
命题人：陈国建 审核人：曹春茂
一、单选题：
1. 函数 的最小正周期是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据 即可求解.
【详解】由 ，
所以 ，
故选：C
2. 下列三角函数值为正数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用三角函数值在各个象限的符号即可判断出结论．
【详解】A． ， ，因此不正确；
B． ， ，因此不正确；
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学科网（北京）股份有限公司C． ， ，因此不正确；
D． ， ，因此正确．
故选：D．
3. 全集 ，集合 ，集合 ，则 为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】解不等式求出集合 、集合 ，再求 可得答案.
【详解】 ，
，
所以 ，
则 .
故选：A.
4. 已知幂函数 为奇函数，则实数 的值为（ ）
A. 4或3 B. 2或3 C. 3 D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】
先由 解得 或3，再讨论奇偶性可得.
【详解】 是幂函数，
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学科网（北京）股份有限公司，解得 或3，
当 时， 为奇函数；当 时， 为偶函数，
∴ .
故选：D.
5. 若 ， ， ，则它们的大小顺序是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用幂函数的单调性得出 、 的大小关系，再比较这三个数与零的大小关系，由此可得出这三
个数的大小关系.
【详解】幂函数 在 上为减函数，则 ，即 ；
对数函数 在 上为增函数，则 .
，所以， ，因此， .
故选：C.
【点睛】本题考查指数幂与对数式的大小比较，一般利用指数函数、对数函数、幂函数的单调性结合中间
值法来比较，考查推理能力，属于基础题.
6. 幂函数y＝xa，当a取不同的正数时，在区间[0，1]上它们的图象是一组美丽的曲线(如图)，设点A(1，
0)，B(0，1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数 y＝xa，y＝xb的图象三等分，即有BM＝MN＝
NA，那么 ＝（ ）
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学科网（北京）股份有限公司.
A 0 B. 1 C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】由题意得 ，代入函数解析式，进而利用指对互化即可得解.
【详解】BM＝MN＝NA，点A(1，0)，B(0，1)，
所以 ，
将两点坐标分别代入y＝xa，y＝xb，得
所以 ，
所以 .
故选：A.
【点睛】本题主要考查了幂函数的图像及对数的运算，涉及换底公式，属于基础题.
7. 已知 且 ，函数 在区间 上既是奇函数又是增函数，则函数
的图象是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据奇函数求出 ，根据增函数可知 ，进而判断函数 的图象.
【详解】解： 函数 在区间 上是奇函数，
，则 ，
又 函数 在区间 上是增函数，
.
所以 ，当 时， 为增函数，排除B，D选项；当 时，
为减函数，排除C.
故选：A.
【点睛】本题考查奇函数的特性，复合函数的增减性，对数函数的性质，考查数形结合的思想，分析问题
能力，属于基础题.
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学科网（北京）股份有限公司8. 已知函数其中 ．若 在区间 上单调递增，则ω的取值范
围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用正弦函数的单调性求出单调递增区间，然后分类讨论可得.
【详解】由 解得 ，
所以函数 的单调递增区间为 ，
因为 在区间 上单调递增，所以 ，所以 .
当 时，由 在区间 上单调递增可知 ，得 ；
当 时，由 解得 ；
当 时， 无实数解.
易知，当 或 时不满足题意.
综上，ω的取值范围为 .
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学科网（北京）股份有限公司故选：D
二、多选题：
9. （多选）下列说法正确的是（ ）
A. 函数 在定义域内是增函数
B. 函数 的增区间是
C. 函数 的定义域是
D. 函数 在 上的最大值为 ，最小值为0
【答案】BD
【解析】
【分析】根据正切函数的定义域、最值、单调性判断．
【详解】函数 在定义域内不具有单调性，故A错误；
由 ，得 ，故B正确；
由 ，解得 ，故C错误；
因为函数 在 上是增函数，所以函数 在 时取得最大值 ，在
时取得最小值0，故D正确．
故选：BD．
10. 函数 （ ）的部分图象如图所示，下列结论中正确的是（
）
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学科网（北京）股份有限公司A. 直线 是函数 图象 的一条对称轴
B. 函数 的图象关于点 对称
C. 函数 的单调递增区间为
D. 将函数 的图象向由右平移 个单位得到函数 的图象
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据图像，求出函数 的解析式，依次判断各个选项.
【详解】由图像知， ， ，又 ，
，又图像过点 代入得， ，
， ，即 ， ，又 ，
，即 .
由 可知，令 ， ，解得
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学科网（北京）股份有限公司其对称轴为： ，故A错误；
令 ，解得 ，
对称中心为： ，故B正确；
由 ，解得 ，
单调增区间为： （ ）,故C正确；
将函数 的图象向由右平移 个单位得到函数 ，故D正
确.
故选：BCD.
11. 已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数 为偶函数
B. 函数 的值域为
C. 当 时，函数 的图像关于直线 对称
D. 函数 的增区间为
【答案】AD
【解析】
【分析】对于A，利用奇偶性的定义判断即可，对于B，对函数化简后，利用基本不等式结合对数的性质
可求出函数的值域，对于C，通过计算 和 的值进行判断，对于D，利用对勾函数的性质和偶
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学科网（北京）股份有限公司函数的性质可求得结果
【详解】对于A，由 ，可知函数 为偶
函数，所以A正确，
对于B，不妨设 ，此时 ，由
（当且仅当 时取“=”），有 ，可得 ，可知函数 的值域为
，所以B错误，
对于C，由 ，
，可知当 时，函数 的图像不关于直线 对称，所
以C错误，
对于D， ，由函数 的增区间为
，减区间为 ，可知函数 的增区间为 ，所以D正确，
故选：AD
三、填空题：
12. =___________
【答案】3
【解析】
【分析】由题意结合对数的运算法则整理计算即可求得最终结果.
【详解】由题意结合对数的运算法则有：
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学科网（北京）股份有限公司.
故答案为3．
【点睛】本题主要考查对数的运算法则及其应用，属于基础题.
13. 函数 在区间 上的单调减区间是_____________.
【答案】 和
【解析】
【分析】利用正弦函数的性质可知 的单调增区间为 ， ，故可得
，从而求出函数 的单调减区间，最后 取特殊
值便可求得 的单调减区间.
【详解】函数 ，
令 ，
解得 ，
即函数 的单调减区间为：
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学科网（北京）股份有限公司令 得， ；令 得 ，
所以在区间 上的单调减区间为 和 ，
故答案为： 和 .
14. 若不等式 对一切正实数 ， ， 恒成立，则实数 的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】根据不等式恒成立可得 ，利用基本不等式求得其最小值即可得出结论.
【详解】由不等式 对一切正实数 ， ， 恒成立可得, 恒
成立，
令 ，
当且仅当 时，等号成立，此时 的最小值为2；
因此可得 即可，
所以实数 的取值范围是 .
故答案为:
四、计算题：
15. 已知非空集合 ， ．
（1）若 ，求 ；
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学科网（北京）股份有限公司（2）若“ ”是“ ”的充分而不必要条件，求实数a的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）将 代入集合求解，利用集合间的关系可求 ；
（2）利用充分不必要条件的定义，分类讨论集合可求实数 的取值范围．
【小问1详解】
已知集合 ， ．
当 时， ， 或
又 ，
；
【小问2详解】
因为“ ”是“ ”充分不必要条件，所以 是 的真子集，
又 ， ，
所以 ，
所以 ；
当 时， 是 的真子集；
当 时， 也满足是 的真子集，
综上所述： ．
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学科网（北京）股份有限公司16. 已知函数
（1）化简 ；
（2）若 ，求 ､ 的值；
（3）若 ，求 的值.
【答案】（1）
（2）答案见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）由诱导公式化简即可得出答案；
（2）利用同角三角函数的基本关系即可得出答案；
（3）由已知求出 ，结合 的范围，由诱导公式即可求出 的
值.
【小问1详解】
【小问2详解】
因为 ，所以 为第三象限角或第四象限角.
当 为第三象限角时， ；
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学科网（北京）股份有限公司当 为第四象限角村， .
【小问3详解】
因为 ，所以 .
因为 ，所以 .
故 .
因此 .
17. 某天数学课上，你突然惊醒，发现黑板上有如下内容：
例：求 ， 的最小值.
解：利用基本不等式 ，
得到 ，
于是 ，
当且仅当 时，取到最小值 .
（1）老师请你模仿例题，研究 ， 的最小值（提示：
）
（2）研究 ， 的最小值；
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学科网（北京）股份有限公司（3）当 ，求 ， 的最小值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用 ，结合a+b+c+d≥4√4 abcd(a,b,c,d>0)，即可求解；
（2）利用 ，结合 ，即可求解；
（3）利用 ，结合 ，即可求解．
【小问1详解】
由 ， ，
知 ，
当且仅当 时，取到最小值 ；
【小问2详解】
由 ， ，
知 ，
当且仅当 时，取到最小值 ；
【小问3详解】
由 ， ，
知 ；
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学科网（北京）股份有限公司当且仅当 时，取到最小值 .
18. 在大力推进城镇化的旧房改造进程中，晓颖家旧房拆迁拿到一套新房外加一间店面.晓颖准备将店面改
建成超市，遇到如下问题：如图所示，一条直角走廊宽为2米，现有一转动灵活的平板车希望能自如在直
角走廊运行.平板车平板面为矩形ABEF，它的宽为1米.直线EF分别交直线AC、BC于M、N，过墙角D
作DP⊥AC于P，DQ⊥BC于Q；请你结合所学知识帮晓颖解决如下问题：
（1）若平板车卡在直角走廊内，且∠ ，试将平板面的长AB表示为 的函数 ；
（2）证明：当 时，
（3）若平板车要想顺利通过直角走廊，其长度不能超过多少米?
【答案】（1） = （ ）；（2）证明见解析；（3） .
【解析】
【分析】（1）由题意分别表示出 ，DN= ， ， ，根据矩形面积
即可求解.
（2）在单位圆中作出锐角 的正弦线、余弦线，使得 在 中，
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学科网（北京）股份有限公司，再由 ，即证.
（3）由题意可知平板车的长度不能超过 的最小值，即平板车的长度 ，记
，利用函数的单调性即可求出最值.
【详解】（1） ，DN= ， ，
，
AB=EF=DM+DN-MF-EN +
= （ ）
（2）在单位圆中作出锐角 的正弦线、余弦线，
使得
在 中， ，即
且
由 得
且 ，故有
综上有当 时，
（3）“平板车要想顺利通过直角走廊”即对任意角 ，
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学科网（北京）股份有限公司的
平板车 长度不能超过 的最小值，即平板车的长度 ；
记 ，有 = ，
则 = =
记 ， ，则 ，
函数 在 上的单调递减；
当 时取得最小值 .
【点睛】关键点点睛：本题考查了三角函数的应用，解题的关键是表示出 = （
），令 ，换元得出函数 ，结合函数的单调性求解，考查了转化
能力、计算能力.
19. 已知函数 ， .
（1）若存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围；
（2）若不等式 ，对任意的 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ；
（2） .
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】（1）由题设，问题化为 在 有解，应用换元法及二次函数性质求
参数范围；
（2）由题设得 ，令 ，问题进一步化为 对任意的
恒成立，根据右侧单调性求最值，即可得参数范围.
【小问1详解】
∵ ， ，
∴ ，即 在 有解，
令 ，所以 ,
当 时 ；当 趋向于0或 时 趋向于 ，即 .
【小问2详解】
，即 ，
令 ，因为 ，所以 为增函数，
所以 ，则 ，
所以 ，化为 对任意的 恒成立，
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学科网（北京）股份有限公司在 上单调递减，
当 时，取得最大值为 ，
所以 ，实数 的取值范围为 .
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学科网（北京）股份有限公司
