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第04 讲 向量的坐标及其运算
课程标准
学习目标
1.了解直线上向量的坐标.
2.掌握平面向量的正交分解及坐标表示.
3.理解平面向量的坐标运算.
4.掌握向量平行的坐标表示．
1．掌握求直线上向量的坐标的方法．
2．熟练进行直线上向量的坐标运算．
3．掌握数轴上两点之间的距离公式及数轴上的中点坐
标公式．
4．掌握向量的坐标表示与运算。
5．能根据向量的坐标解决平行问题
知识点01 直线上向量的坐标及其运算
1．直线上向量的坐标
(1)定义：给定一条直线l 以及这条直线上一个单位向量e，由共线向量基本定理可知，对于直线l 上的
任意一个向量a，一定存在唯一的实数x，使得a＝xe，此时，x 称为向量a 的坐标．
(2)向量的模和方向与x 的关系
|a|＝|xe|＝|x||e|＝|x|(e 为单位向量)．
当x>0 时，a 的方向与e 的方向相同；
当x＝0 时，a 是零向量；
当x<0 时，a 的方向与e 的方向相反．
在直线上给定了单位向量，则直线上的向量完全被其坐标确定．
(3)直线上向量的坐标：在直线l 上指定一点O 作为原点，以e 的方向为正方向，e 的模为单位长度建
立数轴，对于l 上的任意一个向量a，如果我们把它的始点平移到原点O，那么a 的终点对应的数就是向量
2
a 的坐标．
2．直线上向量的运算与坐标的关系
如果直线上两个向量a，b 的坐标分别为x1，x2.
(1)a＝b 的充要条件是x1＝x2.
(2)a＋b 的坐标为x1＋x2，a－b 的坐标为x1－x2，λa 的坐标为λx1.
(3)设A(x1)，B(x2)是数轴上的两点，M(x)是线段AB 的中点，则AB＝|x2－x1|，x＝.
【即学即练1】
1.如图，向量OA的坐标为________.
2.已知直线上向量a，b 的坐标分别为－2，2，则向量a＋b 的坐标为( )
A.1
B．－1
C．0
D．4
知识点02 平面向量的坐标及其运算
1．平面向量的坐标
(1)向量的垂直：平面上的两个非零向量a，b，如果它们所在的直线互相垂直，则称向量a，b 垂直，
记作a⊥b.规定零向量与任意向量都垂直．
(2)向量的正交分解：如果平面向量的基底{e1，e2}中，e1⊥e2，则称这组基底为正交基底，在正交基底
下向量的分解称为向量的正交分解．
(3)向量的坐标：给定平面内两个相互垂直的单位向量e1，e2，对于平面内的向量a，如果a＝xe1＋
ye2，则称(x，y)为向量a 的坐标，记作a＝(x，y)．
2．平面上向量的运算与坐标的关系
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R，则：
(1)a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)．
(2)a－b＝(x1－x2，y1－y2)．
(3)λa＝(λx1，λy1)．
(4)向量相等的充要条件：a＝b⇔x1＝x2且y1＝y2.
(5)模长公式：|a|＝.
3.平面直角坐标系内两点之间的距离公式与中点坐标公式
如图所示，在平面直角坐标系中，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：
(1)向量OA＝(x1，y1)，OB＝(x2，y2)，向量AB＝(x2－x1，y2－y1)．
3
(2)它们之间的距离：AB＝|AB|
＝.
(3)设AB 的中点M(x，y)，则x＝，y＝.
【解读】(1)区别AB的坐标与a－b 的坐标：AB的坐标为终点坐标减去始点坐标，而a－b 的坐标是对应
的坐标相减．
(2)由于自由向量的始点可以任意选取，如果向量以坐标原点为始点，那么向量的坐标就与其终点的坐
标相同；如果向量不以坐标原点为始点，那么向量的坐标就与其终点的坐标不同．
4．向量平行的坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x2y1＝x1y2.
【即学即练2】如图所示，{e1，e2}为正交基底，则向量2a＋b 的坐标为( )
A．(3，4)
B．(2，4)
C．(3，4)或(4，3)
D．(4，2)或(2，4)
题型01 直线上向量的坐标及运算
【典例1】如图所示，直线上向量a，b 的坐标分别为( )
A．－2，4
B．2，4
C．4，－2
D．－4，－2
【变式1】已知向量a，b 在同一直线上，|a|＝2|b|，若b 的坐标为2，则a 的坐标为( )
A．4
B．－4
C．2 或－2
D．4 或－4
【变式2】若e 是直线l 上的一个单位向量，这条直线上的向量a，b 的坐标分别为x，y，下列说法错误的
是( )
A．|a|＝x
B．b＝ye
C．a＋b 的坐标为x＋y
D．|e|＝1
【变式3】若数轴上A，B 两点的坐标分别为－2，x，且AB的坐标是－8，则x＝________．
【变式4】已知e 是直线l 上的一个单位向量，a＝4e，b＝－2e，则a＋b 的坐标为( )
A．1
B．2
4
C．－2
D．4
题型02 平面向量的坐标表示
【典例2】（23-24 高一下·浙江宁波·期末）已知平行四边形
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（23-24 高一下·浙江·期中）已知
，把向量
按向量
平移后，所得向量
的坐标是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（2024 高二下·安徽·学业考试）点
，
,则向量
＝（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（23-24 高一下·陕西渭南·期末）已知向量
，则与向量
方向相反的单位向量是（ ）
A．
B．
C．
D．
或
题型03 平面向量的坐标运算
【典例3】（2024 高二下·湖北·学业考试）已知向量
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（23-24 高一下·新疆·期中）已知
，
，若
，则
（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【变式2】（23-24 高一·上海·课堂例题）已知点
、
、
，求
．
【变式3】（23-24 高一下·全国·单元测试）已知
，
，求：
(1)
；
(2)
.
题型04 根据线段比例求点的坐标
【典例4】（23-24 高一·上海·课堂例题）已知点
、
，点
是直线
上一点，且
，求点
的坐标．
【变式1】（24-25 高三上·湖北·期中）已知
，点
在线段
的延长线上，且
，
则点
的坐标为（ ）
5
A．
B．
C．
D．
【变式2】（23-24 高一下·四川绵阳·期中）（多选）点
，向量
，
，点
是线
段
的三等分点，则
点坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（23-24 高一·上海·课堂例题）已知点
、
，且
，求点
的坐标．
题型05 根据坐标求向量的模
【典例5】（2024 高一·全国·专题练习）已知向量
，
，则
（ ）
A．
B．2
C．
D．10
【变式1】（23-24 高一下·江苏盐城·期中）已知向量
，则向量
的模为（ ）
A．
B．4
C．2
D．
【变式2】（23-24 高一下·湖南株洲·期末）已知向量
，
在正方形网格中的位置如图所示.若网格中每个
小正方形的边长均为1，则
（ ）
A．2
B．
C．4
D．8
【变式3】（23-24 高三下·湖南·阶段练习）已知
，平面向量
，
，则
的最小值
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4】（23-24 高三上·山西忻州·开学考试）已知向量
，
，若
，则k=
.
题型06 根据坐标运算求参数
【典例6】（24-25 高三上·天津滨海新·阶段练习）已知点
，
，
，
．
若点
在
轴上，则实数
的值为 ．
6
【变式1】（24-25 高二下·云南曲靖·阶段练习）已知向量
，
，
，则实数
m 的值为（ ）
A．
B．
C．
D．1
【变式2】（23-24 高一下·河南郑州·期中）如图，在直角梯形
中，
，
，
，
为
的中点，若
，则
的值（ ）
A．
B．
C．2
D．
【变式3】（24-25 高三上·天津·阶段练习）在正六边形
中，对角线
，
相交于点
，若
，则
．
题型07 向量共线的坐标表示
【典例7】（24-25 高三上·河北石家庄·阶段练习）已知向量
，若
，则实数
（ ）
A．
B．
C．11
D．2
【变式1】（23-24 高一下·北京顺义·期末）已知向量
，
，那么向量
可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（24-25 高一上·河北保定·期中）已知向量
，
，
，若
，则实数
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型08 利用坐标法求最值（范围）
【典例8】（23-24 高一下·江苏南京·阶段练习）四边形
是正方形，延长
至点
，使得
，
若
为
中点，
为
中点，点
在线段
上移动（包含端点），设
，求
的
取值范围 ．
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【变式1】（23-24 高一下·江苏淮安·阶段练习）正方形
中棱长为4，E 为
的中点，
为
边上一点（不包括C，D），若
，则
的取值范围为 ．
【变式2】（23-24 高一下·陕西咸阳·期中）（多选）如图，在长方形
中，
，点
满足
，其中
，则
的取值可以是（ ）
A．8
B．9
C．10
D．11
【变式3】（23-24 高一下·四川德阳·阶段练习）边长为4 的正方形
，点
在正方形内（含边界），
满足
，当点
在线段
上时，则
的最小值为 .
题型09 坐标法在几何中的应用
【典例9】（23-24 高一下·山西运城·阶段练习）如图，正方形
的边长为6，E 是
的中点，F 是
边上靠近点B 的三等分点，
与
交于点M．
(1)求
的值；
(2)已知点P 是正方形
四条边上的动点，若
，求
的长度．
【变式1】如图，在平面直角坐标系中，
，
，
．
8
(1)求点B 的坐标；
(2)求证：
．
【变式2】如图，已知直角梯形
中，
，过点C 作
于点E，M 为
的中点.
求证：（1）
；
（2）D，M，B 三点共线.
【变式3】如图，在平面直角坐标系中，
，
，
（1）求点
的坐标；
（2）求证：四边形
为等腰梯形．
一、单选题
1．直线上向量
，
的坐标分别为-3，5，则向量
的坐标和模分别是（ ）
A．-19，19
B．21，21
C．-19，5
D．1，1
2．（23-24 高一下·广西梧州·期末）已知点
，则向量
（ ）
9
A．
B．
C．
D．
3．（23-24 高一下·甘肃·期末）已知
，
分别为
的边
，
的中点，若
，
，则点
的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（23-24 高一下·福建漳州·期中）已知向量
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．10
D．
5．（23-24 高一下·浙江嘉兴·期中）已知向量
，则与向量
反向的单位向量的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（24-25 高三上·湖南长沙·阶段练习）已知向量
，
，
且实数
，
若A，B，C 三点共线．则
（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
7．（23-24 高一下·山东东营·期末）如图，已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
8．我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一幅“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵
爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，若E 为AF 的中点，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
10
二、多选题
9．（2024 高一下·全国·专题练习）下面几种说法中正确的有（ ）
A．相等向量的坐标相同
B．平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标
C．一个坐标对应于唯一的一个向量
D．平面上一个点与以原点为始点、该点为终点的向量一一对应
10．（23-24 高三下·山东济宁·开学考试）已知
为坐标原点，向量
是线段
的
三等分点，则
的坐标可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（23-24 高一下·广东湛江·期末）已知向量
，
，
，若点A，B，C
能构成三角形，则实数m 可以是（ ）
A．0
B．1
C．
D．
三、填空题
12．已知点
，点
在线段
的延长线上，且
，则点P 的坐标是 .
13．（23-24 高一下·全国·课前预习）平面内距离公式与中点坐标公式：设
，
，则
，两点之间的距离
，
中点的坐标为 .
14．如图．在直角梯形
中．
，点P 是腰
上的动点，则
的最小值为 ．
四、解答题
15．（24-25 高一上·上海·课堂例题）已知向量
、
.
(1)求
的模
和其单位向量
；
(2)若
，以
、
为基表示向量.
16．（24-25 高一上·上海·随堂练习）如图，在平行四边形
中，已知
、
、
，其对
角线交点为M.求：
11
(1)向量
与
的坐标；
(2)点D 与M 的坐标.
17．（23-24 高一下·河南·期末）如图，已知平行四边形
的三个顶点
、
、
的坐标分别是
、
、
.
(1)求顶点
的坐标；
(2)在线段
上是否存在一点
满足
，若存在，求
；若不存在，请说明理由.
18．如图，在直角梯形
中，
//CB，
，
，
为AB上靠近
的三等分点，
交
于
，
为线段
上的一个动点．
(1)用
和
表示
；
(2)设
，求
，
的取值范围．
19．（23-24 高一下·北京·期中）对于任意实数a，b，c，d，表达式
称为二阶行列式，记作
．
(1)求下列行列式的值：
①
；②
12
(2)求证：向量
与向量
共线的充要条件是
；
(3)讨论关于
，
的二元一次方程组
（
）有唯一解的条件，并求出解．（结果用
二阶行列式的记号表示）
