1
2.3.1 圆的标准方程2.3.2 圆的一般方程
课程标准
学习目标
1. 掌握圆的标准方程，能根据圆心坐标和半
径熟练地写出圆的标准方程，也能根据圆的
标准方程熟练地写出圆的圆心坐标和半径
2. 掌握圆的一般方程，了解圆的一般方程的
结构特征，熟练掌握圆的标准方程和一般方
程之间的互化
1.重点：圆的标准方程、一般方程会，根据条件求圆
的方程
2.难点：圆的一般方程的结构特征，以及圆方程的求
解和应用
知识点01 圆的标准方程
1.圆的基本要素：圆心和半径
2.圆的标准方程
一般地，如果平面直角坐标系中⊙C 的圆心为C（a，b），半径为r（r>0），设M（x，y）为平面直角坐
标系中任意一点，则点M 在⊙C 上的充要条件是CM=r，即√（x−a）
2+（y −b）
2=r两边平方，得
（x−a）
2+（y −b）
2=r
2，此式通常称为圆的标准方程．
【即学即练1】（24-25 高二上·全国·课前预习）求满足下列条件的圆的标准方程：
2
(1)圆心是(4,0)，且过点(2,2)；
(2)圆心在y轴上，半径为5，且过点(3,−4)；
(3)求过两点C (−1,2)和D(1,2√3)，圆心在x轴上的圆的标准方程．
【答案】(1)(x−4)
2+ y
2=8
(2)x
2+ y
2=25或x
2+( y +8)
2=25
(3)(x−2)
2+ y
2=13
【分析】（1）利用两点距离公式可先求半径，再写标准方程即可；
（2）利用点的特征结合半径可先求圆心坐标，再写标准方程即可；
（3）设圆心坐标，利用到C、D 距离相等计算求得圆心坐标，再写标准方程即可.
【详解】（1）由题意可知：r
2=(2−4)
2+(2−0)
2=8，
∴圆的标准方程为(x −4)
2+ y
2=8；
（2）设圆心为C (0,b)，
则(3−0)
2+(−4−b)
2=5
2，
∴b=0或b=−8，
∴圆心为(0,0)或(0,−8)，
又r =5，∴圆的标准方程为x
2+ y
2=25或x
2+( y +8)
2=25；
（3）设圆心为M (a,0)，
∵|MC|=|MD|，
∴(a+1)
2+(0−2)
2=(a−1)
2+(0−2√3)
2，
即a
2+2a+1+ 4 =a
2−2a+1+12，
∴a=2，r =|MC|=√13，
∴圆的标准方程为(x −2)
2+ y
2=13
【即学即练2】（24-25 高二上·全国·假期作业）写出下列圆的标准方程：
(1)圆心为C (−3,4)，半径是√5；
3
(2)圆心为C (−8,3)，且经过点M (−5,−3).
【答案】(1)( x +3)
2+( y −4)
2=5
(2)(x +8)
2+( y −3)
2= 45
【分析】（1）根据圆心和半径，直接写出圆的标准方程；
（2）先求出圆的半径，可得圆的标准方程．
【详解】（1）∵圆心在C(−3,4)，半径长是√5，
故圆的标准方程为( x +3)
2+( y −4)
2=5．
（2）∵圆心在C(−8,3)，且经过点M (−5,−3)，
故半径为|MC|=√(−5+8)
2+(−3−3)
2=3√5，
故圆的标准方程为(x +8)
2+( y −3)
2= 45．
知识点02 由圆的标准方程确定点与圆的位置关系
圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心A(a，b)，半径为r.设所给点为M(x0，y0)，则
位置关系
判断方法
几何法
代数法
点在圆上
│MA│＝r⇔点M 在圆A 上
点M(x0，y0)在圆上⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2
点在圆内
│MA│<r⇔点M 在圆A 内
点M(x0，y0)在圆内⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2
点在圆外
│MA│>r⇔点M 在圆A 外
点M(x0，y0)在圆外⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2
【即学即练3】（22-23 高二上·四川雅安·阶段练习）若点A (a+1,3)在圆C：(x−a)
2+( y −1)
2=m外，则
实数m 的取值范围是（ ）
A．(−∞,√5)
B．(−∞,5)
C．(0,5)
D．(0,√5)
【答案】C
【分析】利用点与圆的位置关系，列出不等式求解即得.
【详解】由点A (a+1,3)在圆C：(x −a)
2+( y −1)
2=m外，得m<1
2+(3−1)
2=5，而m>0，
所以实数m 的取值范围是(0,5).
4
故选：C
【即学即练4】（24-25 高二下·上海·随堂练习）已知点P(1,−5)，则该点与圆x
2+ y
2=25的位置关系是
．
【答案】在圆的外部
【分析】由点到圆心的距离与圆的半径比较大小即得.
【详解】由圆x
2+ y
2=25的圆心(0,0)到点P(1,−5)的距离为d =√1
2+(−5)
2=√26>5=r，
知点P(1,−5)在圆的外部.
故答案为：在圆的外部.
知识点03 圆的一般方程
1.当D2＋E2－4F＞0 时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 称为圆的一般方程，其圆心为，半径为
r＝ .
2. 当D2＋E2－4F=0 时,方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 表示点.
3.当D2＋E2－4F<0 时,方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 不表示任何图形.
【即学即练5】（23-24 高二上·全国·课后作业）若方程x
2+ y
2+tx +ty +t + 4 =0表示圆，则实数t的取值范
围为（ ）
A．(−2,4)
B．(−∞,−2)∪(4 ,+∞)
C．(−4,2)
D．(−∞,−4)∪(2,+ ∞)
【答案】B
【分析】利用二元二次方程表示圆的充要条件，列出不等式求解即得.
【详解】依题意，t
2+t
2−4(t + 4)>0，解得t <−2或t >4，
所以实数t的取值范围为(−∞,−2)∪(4 ,+∞).
故选：B
【即学即练6】（23-24 高二下·重庆铜梁·开学考试）已知A(2,0)，B(4,2)，O为原点，则△AOB的外接
圆方程为
.
【答案】x
2+ y
2−2 x−6 y =0
【分析】利用待定系数法设出圆的一般方程，将三个点坐标代入，就可求得外接圆方程.
【详解】设△AOB外接圆方程为x
2+ y
2+ Dx + Ey + F =0( D
2+ E
2−4 F >0)，
因为原点O，A(2,0)，B(4,2)三点都在圆上，所以有
5
¿，解得¿，则圆的方程为x
2+ y
2−2 x−6 y =0，
故△AOB的外接圆方程为x
2+ y
2−2 x−6 y =0.
故答案为：x
2+ y
2−2 x−6 y =0
知识点04 由圆的一般方程确定点与圆的位置关系
已知M(x0，y0)和圆的方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0），其位置关系如下表：
位置关系
代数关系
点在圆上
x0
2＋y0
2＋Dx0＋Ey0＋F=0
点在圆内
x0
2＋y0
2＋Dx0＋Ey0＋F<0
点在圆外
x0
2＋y0
2＋Dx0＋Ey0＋F>0
判断二元二次方程Ax²＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F=0 表示圆要" 两看"：
一看方程是否具备圆的一般方程的特征：①A=C≠0，②B=0；
二看它能否表示圆．此时判断D²＋E²- 4AF 是否大于0，或直接配方变形，判断等号右边是否为大于零的常
数.
【即学即练7】（22-23 高二上·辽宁朝阳·期中）已知A(1,2)为圆C : x
2+ y
2−2ax−4 y +5a=0外一点，
则实数a的取值范围为 .
【答案】(4 ,+∞)
【分析】整理得到圆C的标准方程，由题设及圆的性质可得，¿，计算即可求解.
【详解】整理得，圆C :( x−a)
2+( y −2)
2=a
2−5a+ 4，
因为点A(1,2)在圆C外，所以¿，化简得¿，解得a>4．
故答案为：(4 ,+ ∞)
【即学即练8】（22-23 高二上·上海杨浦·期中）已知点P（2，1）在圆x²+y²+（λ−1）x+2λy+λ=0 外，则实
数λ 的取值范围是
【答案】(−3
5 ，1
5)∪(1，+∞)
【分析】P点坐标代入方程左边所得值应大于0，还要考虑方程是表示圆，两者结合可得结论．
【详解】由题意题设方程表示圆，则( λ−1)
2+ 4 λ
2−4 λ>0，λ< 1
5或λ>1，
点P在圆外，则4 +1+2( λ−1)+2 λ+ λ>0，λ>−3
5，
综上，λ的范围是(−3
5 , 1
5 )∪(1,+ ∞)．
6
故答案为：(−3
5 , 1
5 )∪(1,+∞)．
难点：动点问题
示例1：（22-23 高二下·江西赣州·期中）已知O 为坐标原点，A (2,0)，设动点C 满足|OC|≤2，动点P 满
足⃗PA ⋅⃗PC =0，则|OP|的最大值为（ ）
A．2√2
B．√3+1
C．2
D．√2
【答案】A
【分析】根据条件得到点C在圆O: x
2+ y
2= 4的内部或圆周上，点P的轨迹是以AC为直径的圆，再结合平
面图形的性质和基本不等式即可得出答案.
【详解】因为|OC|≤2，所以点C 在圆O：x
2+ y
2= 4的内部或圆周上，
又动点P 满足⃗PA ⋅⃗PC =0，
所以当A，C，P 三点不重合时，点P 的轨迹是以为AC 直径的圆，如图：
当点C 在圆O 内时，延长AC 交圆O 于点D，设AC 的中点为M，AD 的中点为N，
则|MA|=|MP|，ON ⊥AD，|AM|<|AN|，
当点C 在圆O 上时，M，N 两点重合，C，D 两点重合，所以|AM|≤|AN|，
当且仅当点C 在圆O 上时取等号，则|OP|≤|OM|+|MP|=|OM|+|AM|，当且仅当O，M，P 三点共线时
取等号，
因为|OM|+|AM|≤|ON|+|MN|+|AM|=|ON|+|AN|，
当且仅当M，N 重合时取等号，因为ON ⊥AD，所以|ON|
2+|AN|
2=|OA|
2= 4，
所以|ON|+|AN|≤√2(|ON|
2+|AN|
2)=2√2，当且仅当|ON|=|AN|=√2时取等号，此时OD⊥OA，
7
所以|OP|≤2√2，当且仅当O，M，P 三点共线且点C 在圆x
2+ y
2= 4与y 轴的交点处时取等号，
所以|OP|的最大值为2√2，
故选：A．
【题型1：由圆的标准、一般方程确定圆心与半径】
例1．（23-24 高二上·广东湛江·期中）在平面直角坐标系中，圆心为(1,0)，半径为2 的圆的方程是
（ ）
A．(x −1)
2+ y
2=2
B．(x +1)
2+ y
2=2
C．(x −1)
2+ y
2= 4
D．(x +1)
2+ y
2= 4
【答案】C
【分析】由圆心和半径直接确定圆的方程.
【详解】由题意可得方程为(x −1)
2+ y
2= 4.
故选：C.
变式1．（23-24 高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知圆的圆心在(−3,4)，半径为5，则它的方程为
（ ）
A．(x−3)
2+( y −4)
2=5 B．(x +3)
2+( y + 4)
2=25
C．( x +3)
2+( y −4)
2=25
D．(x +3)
2+( y −4)
2=5
【答案】C
【分析】根据圆的标准方程得解.
【详解】因为圆心为(−3,4)，半径为5，
8
所以圆的标准方程为( x +3)
2+( y −4)
2=25，
故选：C
变式2．（多选）（24-25 高二上·全国·课堂例题）（多选）下列说法正确的是（ ）
A．圆(x−1)
2+( y −2)
2=5的圆心为(1,2)，半径为√5
B．圆(x +2)
2+ y
2=b
2(b≠0)的圆心为(−2,0)，半径为b
C．圆(x−√3)
2+( y +√2)
2=2的圆心为(√3,−√2)，半径为√2
D．圆(x +2)
2+( y +2)
2=5的圆心为(2,2)，半径为√5
【答案】AC
【分析】根据圆的标准方程特征即可求得圆心和半径.
【详解】圆(x−1)
2+( y −2)
2=5的圆心为(1,2)，半径为√5，A 正确；
圆(x +2)
2+ y
2=b
2(b≠0)的圆心为(−2,0)，半径为|b|，B 错误；
圆(x−√3)
2+( y +√2)
2=2的圆心为(√3,−√2)，半径为√2，C 正确；
圆(x +2)
2+( y +2)
2=5的圆心为(−2,−2)，半径为√5，D 错误．
故选：AC.
变式3．（23-24 高二下·湖南岳阳·阶段练习）已知⊙C : x
2+ y
2+ x−2 y + 1
2 =0，则该圆的圆心坐标和半
径分别为（ ）
A．(−1
2 ,1)，√3
2
B．(−1,2)，√3
C．(
1
2 ,1)，√3
D．(1,−2)，√3
2
【答案】A
【分析】将圆的一般方程化成标准方程即可求解.
【详解】⊙C : x
2+ y
2+ x−2 y + 1
2 =0的标准方程为(x + 1
2)
2
+( y −1)
2= 3
4 ，故所求分别为(−1
2 ,1)，√3
2 .
故选：A.
9
变式4．（23-24 高二上·陕西宝鸡·阶段练习）已知圆的方程是x
2+ y
2−2 x + 4 y +3=0，则下列直线中通过
圆心的是（ ）
A．x + y −2=0
B．x−y −1=0
C．2 x−y −3=0
D．x−2 y −5=0
【答案】D
【分析】求出给定圆的圆心坐标，再验证即可得解.
【详解】圆x
2+ y
2−2 x + 4 y +3=0的圆心为(1,−2)，
(1,−2)不满足方程x + y −2=0，x−y −1=0，2 x−y −3=0，ABC 不是；
(1,−2)满足x−2 y −5=0，D 是.
故选：D
变式5．（24-25 高二上·全国·假期作业）求下列各圆的圆心坐标和半径：
(1)x
2+ y
2−2 x−5=0；
(2)x
2+ y
2+2 x−4 y −4 =0.
【答案】(1)圆心为(1,0)，半径为√6；
(2)圆心为(−1,2)，半径为3
【分析】根据题意，把圆的方程化为圆的标准方程，结合圆的标准方程，即可求解.
【详解】（1）解：圆x
2+ y
2−2 x−5=0，可得化为( x−1)
2+ y
2=6，
可得圆心坐标为(1,0)，半径为√6.
（2）解：圆x
2+ y
2+2 x−4 y −4 =0，可得化为( x +1)
2+( y −2)
2=9，
可得圆心坐标为(−1,2)，半径为3.
变式6.（23-24 高二下·全国·课前预习）方程x
2+ y
2+2 x−4 y −4 =0表示的圆的圆心为 ，半径
为 .
【答案】 (−1,2) 3
【分析】将圆的一般式方程转化为标准式(x +1)
2+( y −2)
2=9，即可得解.
【详解】根据题意，方程x
2+ y
2+2 x−4 y −4 =0，
即(x +1)
2+( y −2)
2=9，
所以圆心为(−1,2)，半径为3.
故答案为：(−1,2)；3.
10
变式7.（24-25 高二上·上海·课堂例题）若方程x
2+ y
2+2ax−4 ay +6a−1=0表示圆，求a 的取值范围，
并求出圆心坐标和半径．
【答案】a>1或a< 1
5．圆心坐标为(−a,2a)，半径为√5a
2−6a+1
【分析】配方后根据方程表示圆得出圆心，半径，由半径建立不等式求出a的范围.
【详解】原方程可化为(x +a)
2+( y −2a)
2=5a
2−6a+1．
由5a
2−6a+1>0，得(5a−1)(a−1)>0，解得a>1或a< 1
5，
所以a 的取值范围是a>1或a< 1
5，圆心坐标为(−a,2a)，半径为√5a
2−6a+1．
【方法技巧与总结】
由圆的标准方程，可直接得到圆的圆心坐标和半径大小；反过来说，给出了圆的圆心和半径，即可直接写
出圆的标准方程，这一点体现了圆的标准方程的直观性，为其优点.
【题型2：由圆心与半径确定圆的标准方程】
例2．（2024·海南·模拟预测）下列方程中表示圆心在直线 y = x上，半径为 √2，且过原点的圆的是
（ ）
A．( x −1)❑
2+( y −1)❑
2=√2
B．( x −1)❑
2+( y +1)❑
2=√2
C．( x −1)❑
2+( y +1)❑
2=2
D．( x −1)❑
2+( y −1)❑
2=2
【答案】D
【分析】假设圆的标准方程，根据题意列出方程求解圆心和半径即可.
【详解】因为圆心在y = x上，所以设圆心为(a,a),
因为圆的半径为√2，
所以设圆的标准方程为( x −a)
2+( y −a)
2=2,
因为该圆过原点，
所以(−a)
2+(−a)
2=2，
解得a=±1,
所以圆心为(1,1)或(−1,−1),
当圆心为(1,1)时，圆的标准方程为( x −1)
2+( y −1)
2=2，D 对;
11
当圆心为(−1,−1)时，圆的标准方程为( x +1)
2+( y +1)
2=2.
故选：D.
变式1．（23-24 高二下·山东烟台·阶段练习）圆心在y轴上，半径为2，且过点(2,4)的圆的方程为
（ ）．
A．x
2+( y −1)
2=1
B．(x −2)
2+ y
2= 4
C．(x −2)
2+( y −4)
2= 4 D．x
2+( y −4)
2= 4
【答案】D
【分析】设圆心为(0,b)，则圆的方程为x
2+( y −b)
2= 4，再根据圆过点(2,4)，求出b的值，即可得解.
【详解】依题意设圆心为(0,b)，则圆的方程为x
2+( y −b)
2= 4，
又2
2+(4−b)
2= 4，解得b= 4，所以圆的方程为x
2+( y −4)
2= 4.
故选：D
变式2．（23-24 高二下·安徽·阶段练习）已知A (4,0)，B(1,√3)，圆M 经过A，B 两点，且圆的周长被x
轴平分，则圆M 的标准方程为（ ）
A．(x−5
2)
2
+( y −√3
2 )
2
=3
B．(x −2)
2+ y
2= 4
C．x
2+ y
2= 4
D．(x−1)
2+ y
2= 4
【答案】B
【分析】求出线段AB的中垂线，求得与x轴的交点即为圆心坐标，进而求得圆的方程.
【详解】由题意，k AB= 0−√3
4−1 =−√3
3 ，AB中点为(
5
2 , √3
2 )，
所以线段AB的中垂线为y −√3
2 =√3(x−5
2)，令y =0得x =2，
所以M (2,0)，半径r =2，所以圆M 的标准方程为(x−2)
2+ y
2= 4．
故选：B.
12
变式3．（24-25 高二上·江西鹰潭·开学考试）已知圆C :(x−1)
2+ y
2=1，以圆心C和P(3,2)为直径的圆的
标准方程是 ．
【答案】(x −2)
2+( y −1)
2=2
【分析】由题可得C (1,0)，进而由题意结合中点坐标公式和两点间距离公式可求出所求圆的圆心和半径，
进而可得该圆的标准式方程.
【详解】由题得C (1,0)，故以C和P(3,2)为直径的圆的圆心为(2,1)，半径为
1
2|CP|= 1
2 √(3−1)
2+(2−0)
2=√2，
所以以圆心C和P为直径的圆的标准方程是(x−2)
2+( y −1)
2=2.
故答案为：(x−2)
2+( y −1)
2=2.
变式4．（2024·江西南昌·三模）设圆心在x轴的圆C过点(1,1)，且与直线y =2 x−1相切，则圆C的标准方
程为 .
【答案】(x −3)
2+ y
2=5
【分析】设圆C的圆心为(m,0)，根据已知条件得出半径为|2m−1|
√5
，再将(1,1)代入
(x−m)
2+ y
2= (2m−1)
2
5
即可解出m=3，从而得到答案.
【详解】设圆C的圆心为(m,0)，则由于该点到直线y =2 x−1的距离d =|2m−1|
√2
2+1
2 =|2m−1|
√5
，结合圆C与
直线相切，知圆C的半径为|2m−1|
√5
.
所以圆C的方程是(x−m)
2+ y
2= (2m−1)
2
5
.
而圆C过点(1,1)，所以(1−m)
2+1
2= (2m−1)
2
5
，解得m=3.
所以圆C的标准方程是(x −3)
2+ y
2=5.
13
故答案为：(x−3)
2+ y
2=5.
变式5．（23-24 高二下·上海·期中）已知点A (−1,1)，B (3,5)，以线段AB为直径的圆的标准方程为
.
【答案】(x−1)
2+( y −3)
2=8
【分析】求出圆心坐标和半径可得.
【详解】根据题意，圆心坐标为(1,3)，半径为1
2|AB|= √(−1−3)
2+(1−5)
2
2
=2√2，
所以圆的标准方程为(x−1)
2+( y −3)
2=8.
故答案为：(x−1)
2+( y −3)
2=8.
变式6．（23-24 高二下·上海·阶段练习）已知圆心为C (−1,3)，半径r =√3，写出圆的标准方程 ．
【答案】(x +1)
2+( y −3)
2=3
【分析】根据圆的标准方程求解即可.
【详解】已知圆心为C (−1,3)，半径r =√3，
则圆的标准方程为：(x +1)
2+( y −3)
2=3.
故答案为：(x +1)
2+( y −3)
2=3.
变式7．（22-23 高二上·江苏·阶段练习）已知圆C经过A (0,1)，B (4 ,a)(a>0)两点.
(1)当a=3，并且AB是圆C的直径，求此时圆C的标准方程；
(2)如果AB是圆C的直径，证明：无论a 取何正实数，圆C恒经过除A外的另一个定点，求出这个定点坐标.
【答案】(1)(x−2)
2+( y −2)
2=5；
(2)定点坐标为(4,1)，证明见解析.
【分析】（1）求出C的坐标，根据两点间的距离公式求出|CA|，从而可求解；
（2）设点P(x , y)是圆C上任意一点，由AB是圆C的直径，得⃗AP⋅⃗BP =0，从而可求出圆C的方程，即
可得出结论
【详解】（1）当a=3，B (4,3)，故C (2,2)，|CA|=√(2−0)
2+(2−1)
2=√5，
14
所以此时圆C的标准方程为(x−2)
2+( y −2)
2=5.
（2）设点P(x , y)是圆C上任意一点，
因为AB是圆C的直径，所以⃗AP⋅⃗BP =0，
即(x , y −1)⋅(x−4 , y −a)= x (x−4)+( y −1)( y −a)=0，
所以圆C的方程为：x (x−4)+( y −1)( y −a)=0，
则x = 4，y =1，等式恒成立，定点为(4,1)，
所以无论a取何正实数，圆C恒经过除A外的另一个定点，定点坐标为(4,1).
【方法技巧与总结】
圆的标准方程的两种求法
（1）几何法：利用图形的平面几何性质，如"弦的中垂线必过圆心"，" 两条弦的中垂线的交点必为圆心"，
以及中点坐标公式、两点间距离公式等，直接求出圆心坐标和半径，进而得到圆的标准方程.
（2）待定系数法：由三个独立条件得到三个方程，解方程组可得到圆的标准方程中三个参数，从而确定
圆的标准方程．它是求圆的方程最常用的方法，一般步骤是：
①设————设所求圆的方程为（x- a）²+（y-b）²=r²；
②列——由已知条件，建立关于a，b，r 的方程组；③解———解方程组，求出a，b，r；
④代————将a，b，r 代入所设方程，得所求圆的方程.
【题型3：圆的一般方程的求解】
例3．（2024·山西临汾·二模）已知圆C过点O(0,0), A(2,0),B(0,4)，则C的方程为 .
【答案】x
2+ y
2−2 x−4 y =0
【分析】利用待定系数法及圆的一般方程即可求解.
【详解】设圆C的一般式方程为：x
2+ y
2+ Dx + Ey + F =0(D
2+ E
2−4 F >0)，
因为圆C经过点O(0,0), A(2,0),B(0,4),
所以¿,解得¿，
所以圆C的一般式方程为：x
2+ y
2−2 x−4 y =0.
15
故答案为：x
2+ y
2−2 x−4 y =0.
变式1．（23-24 高三上·江苏·期末）已知△ABC的顶点是A (5,1)，B (7,−3)，C (1,−1)，则△ABC的外
接圆的方程是 ．
【答案】x
2+ y
2−8 x + 4 y +10=0
【分析】设圆的一般方程为x
2+ y
2+ Dx + Ey + F =0，分别将三个点坐标代入圆的方程，解方程组求出
D , E , F，即可得结论.
【详解】设所求圆的一般方程为x
2+ y
2+ Dx + Ey + F =0，
因为点A (5,1)，B (7 ,−3)，C (1,−1)在圆上，
所以¿，
解得¿，
则所求圆的一般方程为：x
2+ y
2−8 x + 4 y +10=0，
.故答案为：x
2+ y
2−8 x + 4 y +10=0.
变式2.（22-23 高二上·北京石景山·期末）在△ABC中，A (0,3)，B(−√3,0)和C(√3,0)．则△ABC的外接
圆方程为 ．
【答案】x
2+ y
2−2 y −3=0
【分析】设出圆的一般方程，代入点的坐标求解即可．
【详解】由题意设圆的方程为x
2+ y
2+ Dx + Ey + F =0，
代入三个点的坐标可得¿，解得¿，
所以△ABC的外接圆方程为x
2+ y
2−2 y −3=0，
故答案为：x
2+ y
2−2 y −3=0．
变式3．（23-24 高二上·湖南·期末）已知四边形ABCD的三个顶点A(1,0)，B(3,−2)，C(4 ,−1)．
(1)求过A，B，C 三点的圆的方程．
(2)设线段AB上靠近点A 的三等分点为E，过E 的直线l 平分四边形ABCD的面积．若四边形ABCD为平
行四边形，求直线l 的方程．
【答案】(1)(x−5
2)
2
+( y + 1
2)
2
= 5
2
(2)x−5 y −5=0
【分析】
（1）方法一：根据斜率分析可知AB⊥BC，结合直角三角形的外接圆的性质分析求解；方法二：设圆的
一般方程，代入A，B，C 三点运算求解即可；
16
（2）利用向量关系求得E(
5
3 ,−2
3).方法一：根据题意可知直线l 过线段AC的中点M(
5
2 ,−1
2)，再利用
直线的两点式方程运算求解；方法二：设l 与CD相交于点F (x2, y2)，可知⃗CF =−1
3⃗DC，利用向量关系
求得点F(
10
3 ,−1
3)，再利用直线的两点式方程运算求解.
【详解】（1）
方法一：因为A(1,0)，B(3,−2)，C(4 ,−1)，
则k AB= −2−0
3−1 =−1，k BC = −1−(−2)
4−3
=1，
由k AB⋅k BC =−1，得AB⊥BC，
则过A，B，C 三点的圆的圆心为线段AC的中点M(
5
2 ,−1
2)，
半径r = 1
2|AC|= 1
2 √(4−1)
2+(−1−0)
2= √10
2 ，
所以过A，B，C 三点的圆的方程为(x−5
2)
2
+( y + 1
2)
2
= 5
2；
方法二：设过A，B，C 三点的圆的方程为x
2+ y
2+ Dx + Ey + F =0，
则¿，解得¿，
故过A，B，C 三点的圆的方程为x
2+ y
2−5 x + y + 4 =0，即(x−5
2)
2
+( y + 1
2)
2
= 5
2.
（2）
设E(x1, y1)，
由题意可得：⃗DC =⃗AB =(2,−2)，⃗AE =(x1−1, y1)，
因为线段AB上靠近点A 的三等分点为E，则⃗AE = 1
3⃗AB =(
2
3 ,−2
3)，
则¿，解得¿，即E(
5
3 ,−2
3)．
方法一：直线l 平分四边形ABCD的面积，可知直线l 过线段AC的中点M(
5
2 ,−1
2)，
17
所以直线l 的方程为
y + 2
3
−1
2 + 2
3
=
x−5
3
5
2 −5
3
，整理得x−5 y −5=0；
方法二：设l 与CD相交于点F (x2, y2)，则⃗CF =(x2−4 , y2+1)，
由直线l 平分四边形ABCD的面积，可得⃗CF =−1
3⃗DC =(−2
3 , 2
3)，
则¿，解得¿，即F(
10
3 ,−1
3)，
所以直线l 的方程为
y + 2
3
−1
3 + 2
3
=
x−5
3
10
3 −5
3
，整理得x−5 y −5=0.
变式4．（23-24 高二上·全国·期中）已知△ABC 的三个顶点为A (4,0),B (0,2),C (2,6)．
(1)求AC 边上的高BD 所在直线的方程；
(2)求△ABC 的外接圆的方程．
【答案】(1)x−3 y +6=0
(2)x
2+ y
2−6 x−6 y +8=0
【分析】（1）先根据A、C 两点的坐标求出直线AC 的斜率；再利用垂直关系求出高线BD 的斜率；最后
利用点斜式写出直线BD 的方程；
（2）设△ABC 的外接圆方程为x
2+ y
2+ Dx + Ey + F =0，把A、B、C 三点的坐标代入方程求出D、E、F
即可．
【详解】（1）因为△ABC 的三个顶点为A (4,0),B (0,2),C (2,6)，
所以直线AC 的斜率为k AC = 6−0
2−4 =−3，
所以AC 边上的高BD 所在直线的斜率为k BD= 1
3，
18
所以直线BD 的方程为y −2= 1
3
(x−0)，
化为一般式方程为x−3 y +6=0.
（2）设△ABC 的外接圆方程为x
2+ y
2+ Dx + Ey + F =0，
把A、B、C 三点的坐标代入方程，得¿，即¿，
解得：D =−6, E =−6, F =8；
所以所求圆的方程为x
2+ y
2−6 x−6 y +8=0．
变式5．（23-24 高二上·山东枣庄·阶段练习）已知O(0,0), A (1,1),B (4,2)三点，求：
(1)△OAB的面积.
(2)△OAB外接圆的一般方程.
【答案】(1)1
(2)x
2+ y
2−8 x +6 y =0
【分析】（1）利用两点距离公式求得|OA|，再利用点线距离公式求得B到直线OA的距离，再利用三角形
面积公式即可得解；
（2）利用待定系数法即可得解.
【详解】（1）因为O(0,0), A (1,1)，所以|OA|=√1+1=√2，kOA =1，
故直线OA的方程为y = x，即x−y =0，
又B (4,2)，所以B到直线OA的距离为d =|4−2|
√1+1 =√2，
所以S△OAB= 1
2|OA|⋅d = 1
2 ×√2×√2=1；
（2）设△OAB外接圆的一般方程为x
2+ y
2+ Dx + Ey + F =0，
则¿，所以¿，
所以△OAB外接圆的一般方程为x
2+ y
2−8 x +6 y =0.
变式6．（23-24 高二上·安徽·阶段练习）已知在△ABC中，AB 边所在直线的方程为x−3 y −6=0，AC 边
所在直线的方程为x−y −2=0，AC 边上的中线所在直线的方程为x + y −2=0．
(1)求C 点的坐标；
(2)求△ABC的外接圆方程．
【答案】(1)(4,2)
(2)x
2+ y
2−x−3 y −10=0．
【分析】（1）由AB , AC直线方程联立求交点A，由AC , AC边上的中线联立求得AC的中点M，进而由
中点坐标公式得C点坐标；
19
（2）联立AB , AC边上的中线得B点坐标，设出圆的一般方程，由A ,B ,C三点坐标代入待定系数即得.
【详解】（1）由¿，得¿，
所以A 点的坐标为(0,−2)，
由¿，得¿，即边AC 的中点为M (2,0)，
所以C 与A 关于点M 对称，
设C (x0, y0)，则¿，得¿，
所以C 点的坐标为(4,2)．
（2）由¿，得¿，
故B 点的坐标为(3,−1)，
设△ABC的外接圆方程为x
2+ y
2+ Dx + Ey + F =0，且D
2+ E
2−4 F >0，
则¿，得¿，
则所求圆的方程为x
2+ y
2−x−3 y −10=0．
变式7．（23-24 高二上·新疆喀什·期中）已知三角形ABC 的三个顶点为A(−1,1)，B(−4,0)，
C(4 ,−4)，
(1)求三角形ABC 外接圆O1的方程；
(2)判断点M 1(3,−1), M 2(2,−3)是否在这个圆上.
【答案】(1)x
2+ y
2+2 x +8 y −8=0
(2)点M 1在这个圆上，点M 2不在这个圆上
【分析】（1）设出圆的一般方程，代入计算即可；
（2）将点的坐标代入圆方程判断即可.
【详解】（1）设三角形ABC 外接圆O1的方程为x
2+ y
2+ Dx + Ey + F =0( D
2+ E
2−4 F >0)
由已知可得方程组：¿解得：¿，
则圆O1的方程为x
2+ y
2+2 x +8 y −8=0.
20
（2）圆的标准方程化为( x +1)
2+( y + 4)
2=25.
把点M 1(3,−1)的坐标代入圆的方程，得(3+1)
2+(−1+ 4)
2=25，
即点M 1的坐标满足圆的方程，所以点M 1在这个圆上，
把点M 2(2,−3)的坐标代入圆的方程得(2+1)
2+(−3+ 4)
2=10≠25，
即点M 2的坐标不满足圆的方程，所以点M 2不在这个圆上.
【题型4：由一般方程确定参数取值范围】
例4．（24-25 高二上·江苏徐州·阶段练习）方程x
2+ y
2−2mx −4 y +2m
2−4 m−1=0所表示的圆的最大
面积为（ ）
A．4 π
B．9π
C．8π
D．16π
【答案】B
【分析】对方程配方整理，结合圆的标准方程求m的取值范围，以及半径的最大值，即可得结果.
【详解】由题意整理可得：(x −m)
2+( y −2)
2=−m
2+ 4 m+5，
则−m
2+ 4 m+5>0，解得−1<m<5，
且圆的半径r =√−m
2+ 4 m+5=√−(m−2)
2+9≤3，
当且仅当m=2时，等号成立，
即圆的半径最大值为3，所以圆的最大面积为9 π.
故选：B.
变式1．（23-24 高二上·江苏南通·期中）若方程x
2+ y
2+ 4 mx−2 y + 4 m
2−m=0表示一个圆，则实数 m
的取值范围是（ ）
A．m<−1
B．m<1
C．m>−1
D．m≥−1
【答案】C
【分析】若二元二次方程x
2+ y
2+ Dx + Ey + F =0表示圆，则必须满足D
2+ E
2−4 F >0.
【详解】由D
2+ E
2−4 F >0，
得(4 m)
2+(−2)
2−4(4 m
2−m)>0，
即4 m+ 4>0,
解得m>−1.
故选：C.
21
变式
2 ．（23-24
高二上· 福建厦门· 期中）若a∈{−2,−1,0, 3
4 ,1}，则方程
x
2+ y
2+ax +2ay +2a
2+a−1=0表示的圆的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】根据圆的一般方程表示圆的条件求出参数a的取值范围，即可判断.
【详解】若方程x
2+ y
2+ax +2ay +2a
2+a−1=0表示圆，
则a
2+(2a)
2−4(2a
2+a−1)=−3a
2−4 a+ 4>0⇒(3a−2)(a+2)<0，
解得−2<a< 2
3，
又a∈{−2,−1,0, 3
4 ,1}，所以a=−1或a=0，
即程x
2+ y
2+ax +2ay +2a
2+a−1=0表示的圆的个数为2.
故选：B
变式3．（23-24 高二上·广东·期末）已知方程x
2+ y
2+2 x−2ay +2a+ 4 =0表示一个圆，则实数a取值范
围是（ ）
A． (−∞,−1]∪[3,+∞)
B．[−1,3]
C．(−∞,−1)∪(3,+∞)D．(−1,3)
【答案】C
【分析】根据方程表示圆的条件可得结果.
【详解】因为方程x
2+ y
2+2 x−2ay +2a+ 4 =0表示一个圆，
所以2
2+(−2a)
2−4×(2a+ 4)>0，
即a
2−2a−3>0，所以a>3或a<−1，
故选：C.
变式4．（22-23 高二上·全国·期中）“实数m<2”是“方程x
2+ y
2−3 x + y +m=0表示圆”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】首先求实数m的取值范围，再根据充分，必要条件的定义，即可判断选项.
【详解】若方程x
2+ y
2−3 x + y +m=0表示圆，则(−3)
2+1
2−4 m=10−4 m>0，解得m< 5
2，
22
因为¿¿，
所以 “实数m<2”是“方程x
2+ y
2−3 x + y +m=0表示圆”的充分不必要条件.
故选：A
变式5．（多选）（23-24 高二上·河北邢台·期末）已知曲线C :a x
2+a y
2−2 x + 4 a
2 y =0，下列结论正确
的是（ ）
A．当a=0时，曲线C是一条直线
B．当a≠0时，曲线C是一个圆
C．当曲线C是圆时，它的面积的最小值为2π
D．当曲线C是面积为5 π的圆时，|a|=1
【答案】AB
【分析】将a=0代入曲线C的方程化简，可判断A 选项；利用圆的一般方程可判断B 选项；求出圆的半径，
利用圆的面积公式结合基本不等式可判断C 选项；利用圆的半径公式可求出|a|的值，可判断D 选项.
【详解】对于A 选项，当a=0时，曲线C的方程为x =0，此时，曲线C是一条直线，A 对；
对于B 选项，当a≠0时，曲线C的方程可化为x
2+ y
2−2
a x + 4 ay =0，
因为(−2
a)
2
+16a
2= 4
a
2 +16a
2>0，此时，曲线C是一个圆，B 对；
对于C 选项，当曲线C是圆时，其半径为r =√
4
a
2 +16a
2
2
=√
4 a
2+ 1
a
2 ≥√
2√
4 a
2⋅1
a
2 =2，
当且仅当4 a
2= 1
a
2时，即当a=± √2
2 时，等号成立，即r的最小值为2，
因此，当曲线C是圆时，它的面积的最小值为π×2
2= 4 π，C 错；
对于D 选项，当曲线C是面积为5 π的圆时，其半径为r =√
4 a
2+ 1
a
2 =√5，
即4 a
2+ 1
a
2 =5，解得a=±1或a=± 1
2，D 错.
故选：AB.
变式6．（24-25 高二上·全国·课后作业）若方程x
2+ y
2−ax +by +c =0表示圆心为(1,2)，半径为1 的圆，
则a+b+c = ．
【答案】2
23
【分析】根据题意可得圆的标准方程，进而可得一般方程，进而可得a,b,c，即可得结果.
【详解】因为圆心为(1,2)，半径为1 的圆的方程为(x−1)
2+( y −2)
2=1，即x
2+ y
2−2 x−4 y + 4 =0，
结合题意可得¿，所以a+b+c =2.
故答案为：2.
变式7．（24-25 高二上·全国·随堂练习）若方程(x−m)
2+( y −2)
2=m
2−m−2表示圆的标准方程，则m的
取值范围是 ．
【答案】(−∞,−1)∪(2,+ ∞)
【分析】由题意可得m
2−m−2>0，求解即可.
【详解】方程(x −m)
2+( y −2)
2=m
2−m−2表示圆的标准方程，
可得m
2−m−2>0，解得m<−1或m>2，
所以m的取值范围是(−∞,−1)∪(2,+ ∞).
故答案为：(−∞,−1)∪(2,+∞).
【方法技巧与总结】
二元二次方程与圆的关系
1.形如x²＋y²+Dx＋By＋F=0 的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有如下两种方法：
①由圆的一般方程的定义判断D²＋E²- 4F 是否为正. 若D²＋E²- 4F>0，则方程表示圆，否则不表示圆；
②将方程配方变形成“标准"形式后，根据圆的标准方程的特征，观察是否可以表示圆.
2.由圆的一般方程x²＋y²＋Dx＋Ey＋F=0 求圆心和半径长的方法：
①利用配方法将圆的一般方程化为标准方程，可以非常直观地求出圆心及半径长；
②运用二元二次方程x2+y²+Dx＋Ey+F=0 判断是否为圆，如果是，也可以利用公式写出圆心，利用公式求
出半径
【题型5：点与圆的位置关系】
例5．（23-24 高二上·湖北荆门·期末）已知圆C的方程为x
2+ y
2−2mx + 4 my +5m
2−3m+3=0，若点
(1,−2m)在圆外，则m的取值范围是（ ）
A．(−∞,1)∪(4 ,+ ∞) B．(1,+ ∞)
C．(1,4)
D．(4 ,+ ∞)
【答案】D
【分析】先将圆C的一般化为标准方程，再结合点在圆外，得到关于m的不等式组，解之即可得解.
24
【详解】由题意得，圆C的标准方程为( x−m)
2+( y +2m)
2=3m−3，
故3m−3>0，∴m>1，
又点(1,−2m)在圆外，所以(1−m)
2+(−2m+2m)
2>3m−3，
∴m
2−5m+ 4>0，∴m>4或m<1，
所以m 的取值范围为(4 ,+∞)．
故选：D.
变式1．（24-25 高二上·江苏徐州·阶段练习）已知圆x
2+ y
2−2ax + 4 ay +5a
2−9=0上的所有点都在第二
象限，则实数a的取值范围是（ ）
A．(−∞,−3)
B．[−3,−3
2]
C．[3,+∞)
D．(−3,−3
2)
【答案】A
【分析】将圆的一般方程化为标准方程后可得圆心及其半径，结合圆的性质与第二象限的点的性质计算即
可得解.
【详解】由x
2+ y
2−2ax + 4 ay +5a
2−9=0化简可得(x−a)
2+( y +2a)
2=9，
则该圆圆心为(a,−2a)，半径为3，
由题意可得¿，解得a<−3，故实数a的取值范围是(−∞,−3).
故选：A.
变式2．（2024·河北沧州·二模）若点A (2,1)在圆x
2+ y
2−2mx −2 y +5=0（m为常数）外，则实数m的
取值范围为（ ）
A．(−∞,2)
B．(2,+∞)
C．(−∞,−2)
D．(−2,+∞)
【答案】C
【分析】由点A在圆外代入圆的方程可得m<2，再由圆的一般方程中D
2+ E
2−4 F >0可得m<−2，最后
求交集即可.
【详解】由题意知2
2+1
2−4 m−2+5>0，
故m<2，
又由圆的一般方程x
2+ y
2+ Dx + Ey + F =0，
可得D
2+ E
2−4 F >0，即(−2m)
2+(−2)
2−4×5>0，
即m<−2或m>2，
所以实数m的范围为m<−2.
25
故选：C.
变式3 ．（24-25 高二上· 全国· 课后作业）已知圆(x−a)
2+( y −1)
2=2a(0<a<1)，则原点O 在
（ ）
A．圆内
B．圆外
C．圆上
D．圆上或圆外
【答案】B
【分析】将圆的方程化为标准方程，代入原点求出距离和半径对比可判断.
【详解】由圆的标准方程(x −a)
2+( y −1)
2=2a，知圆心为(a,1)，
则原点与圆心的距离为√a
2+1，因为0<a<1，
所以√a
2+1>√2a=r，即原点在圆外.
故选：B.
变式4．（22-23 高二上·河南郑州·期中）若点P(−1,2)在圆C : x
2+ y
2−2 x + 4 y + k =0的外部，则实数k的
取值范围是（ ）
A．(−5,5)
B．(−15,5)
C．(−∞,−15)∪(5,+ ∞)
D．(−15,2)
【答案】B
【分析】由方程表示圆的条件以及点到圆心的距离大于半径求解即可
【详解】圆C : x
2+ y
2−2 x + 4 y + k =0，
则圆C :(x−1)
2+( y +2)
2=5−k，圆心C (1,−2)，半径r =√5−k (k <5)，
∵点P(−1,2)在圆C : x
2+ y
2−2 x + 4 y +k =0的外部，
∴|PC|>r，即√(1+1)
2+(−2−2)
2>√5−k，解得k >−15，
综上所述，实数k的取值范围是(−15,5).
故选：B.
变式5．（22-23 高二上·浙江·期中）若点A (a,2)不在圆( x−1)
2+( y +1)
2=5a的外部，则实数a的取值范
围为（ ）
A．[1,5]
B．[2,5]
C．[3,5]
D．[4,5]
【答案】B
26
【分析】由题意可得(a−1)
2+(2+1)
2≤5a且a>0，求解即可.
【详解】解：因为点A (a,2)不在圆( x−1)
2+( y +1)
2=5a的外部，
所以(a−1)
2+(2+1)
2≤5a且a>0，
化简得：a
2−7a+10≤0
解得：2≤a≤5.
故选：B.
变式6．（21-22 高二上·安徽·阶段练习）若圆C ：x
2+ y
2−(m−2) x +(m−2) y +m
2−3m+2=0过坐标原
点，则实数m 的值为（ ）
A．1
B．2
C．2 或1
D．－2 或－1
【答案】A
【分析】把坐标(0,0)代入圆方程求解．注意检验，方程表示圆．
【详解】将(0,0)代入圆方程，得m
2−3m+2=0，解得m=1或2，当m=2时，x
2+ y
2=0，舍去，所以
m=1.
故选：A．
变式7 ．( 多选) （23-24 高二下· 江苏南京· 期中）点P(3,a)关于直线x + y −a=0的对称点在圆
(x −2)
2+( y −4)
2=13内，则实数a可以为（ ）
A．4
B．6
C．8
D．10
【答案】BC
【分析】利用轴对称的性质，算出点P(3,a)关于直线x + y −a=0的对称点Q的坐标，然后根据点Q在圆内
建立关于a的不等式，解出a的取值范围，即可得到本题的答案．
【详解】设点P(3,a)关于直线x + y −a=0的对称点为Q (x , y)，
则¿，得¿，即Q (0,a−3)，
若点Q在圆(x−2)
2+( y −4)
2=13内，则(0−2)
2+(a−3−4)
2<13，解得：4<a<10．
对照各个选项，可知B、C 两项符合题意．
故选：BC．
【题型6：圆过定点问题】
例6．（23-24 高二上·湖北荆州·期末）圆C : x ²+ y ²+ax−2ay −5=0恒过的定点为（ ）
27
A．(−2,1),(2,−1)
B．(−1,−2),(2,1)
C．(−1,−2),(1,2)
D．(−2,−1),(2,1)
【答案】D
【分析】将方程进行变形整理，解方程组即可求得结果.
【详解】圆C : x
2+ y
2+ax−2ay −5=0的方程化为a(x−2 y)+(x
2+ y
2−5)=0，
由¿得¿或¿，
故圆C恒过定点(−2,−1),(2,1)．
故选：D．
变式1．（21-22 高二上·浙江温州·期中）点P(x , y)是直线2 x + y −5=0上任意一点，O是坐标原点，则以
OP为直径的圆经过定点（ ）
A．(0,0)和(1,1)
B．(0,0)和(2,2)
C．(0,0)和(1,2)
D．(0,0)和(2,1)
【答案】D
【分析】设点P(t ,5−2t )，求出以OP为直径的圆的方程，并将圆的方程变形，可求得定点坐标.
【详解】设点P(t ,5−2t )，则线段OP的中点为M(
t
2 , 5−2t
2 )，
圆M的半径为|OM|=√
t
2+(5−2t )
2
4
= √5t
2−20t +25
2
，
所以，以OP为直径为圆的方程为(x−t
2)
2
+( y −5−2t
2 )
2
= 5t
2−20t +25
4
，
即x
2+ y
2−tx +(2t −5) y =0，即(x
2+ y
2−5 y)+t (2 y −x)=0，
由¿，解得¿或¿，
因此，以OP为直径的圆经过定点坐标为(0,0)、(2,1).
故选：D.
变式2．（2024 高三·全国·专题练习）当m 变化时，圆x2＋y2＋（m＋2）x＋y－2＝0 恒过定点 .
【答案】（0，－2）和（0，1）
【详解】
解析：方程x2 ＋y2 ＋（m ＋2 ）x ＋y －2 ＝0 可化为（x2 ＋y2 ＋2x ＋y －2 ）＋mx ＝0. 由
得
所以定点坐标是（0，－2）和（0，1）.
28
变式3．（23-24 高二上·江西南昌·阶段练习）已知圆C : x
2+ y
2= 4，点M (1,1)，平面内一定点N（异于点
M），对于圆C上的任意动点A，都有|AN|
|AM|为定值，定点N的坐标为 ．
【答案】(2,2)
【分析】设出点A , N利用两点间距离公式得到比值关系，设为λ，最后利用方程与N 无关得到关系式计算
得到答案.
【详解】设A(x0, y0), N (m,n)，且x0
2+ y0
2= 4，
|AN|
|AM|=√
( x0−m)
2+( y0−n)
2
( x0−1)
2+( y0−1)
2 =√
(−2m)x0+(−2n) y0+m
2+n
2+ 4
(−2)x0+(−2) y0+6
，
因为|AN|
|AM|为定值，设(−2m)x0+(−2n) y0+m
2+n
2+ 4
(−2)x0+(−2) y0+6
= λ，
化简得：(2 λ−2m)x0+(2 λ−2n) y0+m
2+n
2+ 4−6 λ =0，与A点位置无关，
所以¿，
解得：m=n=1或m=n=2，
因为异于点M，所以定点N 为(2,2).
故答案为：(2,2).
变式4．（23-24 高二上·重庆·期中）已知直线(m+2) x +(m+3) y −7−3m=0(m∈R)过定点P，圆C 经
过P 点且与x 轴和y 轴正半轴都相切.
(1)求定点P 的坐标；
(2)求圆C 的方程.
【答案】(1)(2,1)
(2)( x−1)
2+( y −1)
2=1或( x−5)
2+( y −5)
2=25
【分析】（1）将(m+2) x +(m+3) y −7−3m=0(m∈R)分离参数，可得(x + y −3)m+2 x +3 y −7=0，
解方程组，即可求得答案.
（2）设出圆的标准方程( x−a)
2+( y −b)
2=r
2(r >0)，由题意列出方程，求得参数，即可得答案.
【详解】（1）直线(m+2) x +(m+3) y −7−3m=0(m∈R)，即(x + y −3)m+2 x +3 y −7=0，
29
由于m∈R，故¿，
即直线(m+2) x +(m+3) y −7−3m=0(m∈R)过定点P(2,1).
（2）设圆C 的方程为( x−a)
2+( y −b)
2=r
2(r >0)，
由题意得圆C 经过P 点且与x 轴正半轴和y 轴正半轴都相切，
则a=b=r且(2−a)
2+(1−b)
2=r
2，即a
2−6a+5=0，
解得a=1或a=5，
故圆C 的方程为( x−1)
2+( y −1)
2=1或( x−5)
2+( y −5)
2=25.
变式5．（2021 高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系xOy 中，曲线Γ：y＝x2－mx＋2m(m∈R)与x 轴
交于不同的两点A，B，曲线Γ 与y 轴交于点C．
(1)是否存在以AB 为直径的圆过点C？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由；
(2)求证：过A，B，C 三点的圆过定点．
【答案】(1)存在；(x + 1
4)
2
+ y
2= 17
16
(2)证明见解析
【分析】（1）令y＝0，得x2－mx＋2m＝0，根据⃑AC ⋅⃑BC =0结合韦达定理得到m=−1
2，得到半径和圆
心，得到圆方程.
（2）设过A，B 两点的圆的方程为x2＋y2－mx＋Ey＋2m＝0，代入点C 坐标，得到圆方程，确定¿，得到
定点.
【详解】（1）由曲线Γ：y＝x2－mx＋2m(m∈R)，令y＝0，得x2－mx＋2m＝0．
设A(x1，0)，B(x2，0)，可得Δ＝m2－8m＞0，则m＜0 或m＞8．x1＋x2＝m，x1x2＝2m．
令x＝0，得y＝2m，即C(0，2m)．
若存在以AB 为直径的圆过点C，则⃑AC ⋅⃑BC =0，(−x1,2m)⋅(−x2,2m)=0,
得x1x2＋4m2＝0，即2m＋4m2＝0，所以m＝0(舍去)或m=−1
2．
此时C(0，－1)，AB 的中点M(−1
4 ,0)即圆心，半径r＝|CM|＝√17
4 ，
故所求圆的方程为(x + 1
4)
2
+ y
2= 17
16．
30
（2）设过A，B 两点的圆的方程为x2＋y2－mx＋Ey＋2m＝0，
将点C(0，2m)代入可得E＝－1－2m，
所以过A，B，C 三点的圆的方程为x2＋y2－mx－(1＋2m)y＋2m＝0．
整理得x2＋y2－y－m(x＋2y－2)＝0．
令¿可得¿或¿
故过A，B，C 三点的圆过定点(0，1)和(
2
5 , 4
5)．
一、单选题
1．（23-24 高二上·江苏南京·开学考试）已知直角梯形ABCD，且A (1,1)，B (3,1)，C (3,3)，D (2,3)，则
过其中三点的圆的方程可以为（ ）
A．(x −2)
2+ y
2=3
B．(x −2)
2+ y
2=2
C．(x −2)
2+( y −2)
2=2 D．(x −3)
2+( y −2)
2=2
【答案】C
【分析】直接将点的坐标代入检验即可逐一判断各个选项.
【详解】对于A，A (1,1)，B (3,1)的坐标都不满足圆的方程(x −2)
2+ y
2=3，
即圆(x −2)
2+ y
2=3不可能过四个点中的三个点，故A 不符合题意；
对于B，C (3,3)，D (2,3)的坐标都不满足圆的方程(x −2)
2+ y
2=2，
即圆(x −2)
2+ y
2=2不可能过四个点中的三个点，故B 不符合题意；
对于C，A (1,1)，B (3,1)，C (3,3)的坐标都满足圆的方程(x −2)
2+( y −2)
2=2，
D (2,3)的坐标不满足圆的方程(x −2)
2+( y −2)
2=2，
31
即圆(x−2)
2+( y −2)
2=2过四个点中的三个点，故C 符合题意；
对于D，A (1,1)，B (3,1)的坐标都不满足圆的方程(x−3)
2+( y −2)
2=2，
即圆(x−3)
2+( y −2)
2=2不可能过四个点中的三个点，故D 不符合题意.
故选：C.
2．（23-24 高二上·吉林延边·期中）已知圆C :(x−1)
2+( y −1)
2=1，则下列点在圆C 内的是（ ）
A．(0,0)
B．(1,0)
C．(2,1)
D．(
1
2 , 1
2)
【答案】D
【分析】将每一个点的坐标代入圆方程求解验证即可.
【详解】对于A，因为(0−1)
2+(0−1)
2=2>1，所以点(0,0)在圆外，所以A 错误，
对于B，因为(1−1)
2+(0−1)
2=1，所以点(1,0)在圆上，所以B 错误，
对于C，因为(2−1)
2+(1−1)
2=1，所以点(2,1)在圆上，所以C 错误，
对于D，因为(
1
2 −1)
2
+(
1
2 −1)
2
= 1
2 <1，所以(
1
2 , 1
2)在圆内，所以D 正确.
故选：D
3．（2024 高三·全国·专题练习）已知圆C : x
2+ y
2+mx +1=0的面积为π，则m=（ ）
A．±2
B．±2√2
C．± 4√2
D．±8
【答案】B
【分析】由题意确定圆的半径，结合圆的面积公式建立方程，解之即可求解.
【详解】因为圆C : x
2+ y
2+mx +1=0，即( x + m
2 )
2
+ y
2= m
2
4 −1，
所以S = π r
2=( m
2
4 −1)π = π，解得m=±2√2.
故选：B.
4．（2024 高三·全国·专题练习）经过点(2，0)，且圆心是两直线x－2y＋1＝0 与x＋y－2＝0 的交点的圆的
方程为（ ）
32
A．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1
B．(x－1)2＋(y－1)2＝1
C．(x＋1)2＋(y－1)2＝2
D．(x－1)2＋(y－1)2＝2
【答案】D
【详解】由
得
即所求圆的圆心坐标为(1，1).又该圆过点(2，0)，所以其半径为
＝
，故圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.
5．（2024 高三·全国·专题练习）若点(2a，a＋1)在圆x2＋(y－1)2＝5 的内部，则实数a 的取值范围是（
）
A．{a|－1＜a＜1}
B．{a|0＜a＜1}
C．{a|a＜－1 或a＞1}
D．{a|－1＜a＜0}
【答案】A
【详解】点(2a，a＋1)在圆x2＋(y－1)2＝5 的内部，∴ (2a)2＋a2＜5，解得－1＜a＜1.
6．（2024 高三·全国·专题练习）圆x2＋y2＝4 上的点到点(1，0)的距离的最大值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．5
【答案】C
【详解】
因为点(1，0)在圆x2＋y2＝4 内，且点(1，0)到圆心(0，0)的距离为1，所以圆上的点到点(1，0)的距离的最
大值为2＋1＝3.
7．（23-24 高二下·全国·课堂例题）若直线2 x + y −1=0是圆x
2+( y +a)
2=1的一条对称轴，则圆心坐标为
（ ）
A．(0,1)
B．(0,−1)
C．(0, 1
2 )
D．(0,−1
2 )
【答案】A
【分析】首先得到圆心坐标，即可得到圆心在直线上，从而求出参数的值.
33
【详解】圆x
2+( y +a)
2=1的圆心为(0,−a)，
因为直线2 x + y −1=0是圆的一条对称轴，
所以圆心(0,−a)在直线2 x + y −1=0上，
所以2×0+(−a)−1=0，解得a=−1，
故圆心坐标为(0,1).
故选：A.
8．（24-25 高三上·北京海淀·开学考试）若圆x
2+ y
2−2ax +6 y =0的圆心到x轴、y轴的距离相等，则a=
（ ）
A．2
B．3
C．±3
D．±6
【答案】C
【分析】求出圆心坐标，从而得到答案.
【详解】x
2+ y
2−2ax +6 y =0⇒(x −a)
2+( y +3)
2=a
2+9，
故圆心为(a,−3)，要想圆心到x轴、y轴的距离相等，
则a=±3.
故选：C
二、多选题
9 ．（21-22 高二上· 安徽芜湖· 期中）设圆C :(x−k )
2+( y −k )
2= 4 (k ∈R)，则下列命题正确的是
（ ）
A．所有圆的面积都是4 π
B．存在k ∈R，使得圆C 过点(3,0)
C．经过点(2,2)的圆C 有且只有一个
D．不论k 如何变化，圆心C 始终在一条直线上
【答案】AD
【分析】对于A，直接由圆的半径是2，即得到答案；对于B，利用不等式说明圆C 必定不过(3,0)即可；
对于C，给出k =2−√2和k =2+√2作为例子即可；对于D，说明圆心总在y = x上即可.
【详解】对于A，由于每个圆的半径都是2，故面积都是4 π，A 正确；
对于B，由于(3−k )
2+(0−k )
2=2k
2−6k +9=2(k −3
2)
2
+ 9
2 ≥9
2 >4，故圆C 必定不过(3,0)，B 错误；
对于C，对k =2−√2和k =2+√2，均有(2−k )
2=2，故(2−k )
2+(2−k )
2= 4，即圆C 经过点(2,2)，C 错误；
34
对于D，圆心(k ,k )始终在直线y = x上，D 正确.
故选：AD.
10．（2024 高三·全国·专题练习）已知圆C 关于y 轴对称，经过点(1，0)，且被x 轴分成两段，弧长之比为
1∶2，则圆C 的方程可能是（ ）
A．x2＋(y＋√3
3 )2＝1
3
B．x2＋(y－√3
3 )2＝1
3
C．x2＋(y＋√3
3 )2＝4
3
D．x2＋(y－√3
3 )2＝4
3
【答案】CD
【详解】
题可知，圆心在y 轴上，且被x 轴所分劣弧所对圆心角为
，设圆心为(0，b)，半径为r，则r sin
＝
1，r cos
＝|b|，解得r＝
，|b|＝
，即b＝±
.故圆的方程为x2＋(y±
)2＝.
11．（23-24 高二上·安徽亳州·阶段练习）已知P1(4,9)，P2(6,3)两点，以线段P1 P2为直径的圆为圆P，则
（ ）
A．M (6,9)在圆P 上
B．N (3,3)在圆P 内
C．Q (5,3)在圆P 内
D．R (2,7)在圆P 外
【答案】AC
【分析】先计算圆P 的圆心及半径，在利用点到圆心的距离与半径的大小关系一一判定即可.
【详解】以线段P1 P2为直径的圆的圆心坐标为P(5,6)，半径r =|P P1|=√10，
易知|MP|=√10=r，|NP|=√13>r，|QP|=3<r，|RP|=√10=r，
所以M 、R点在圆P 上，点N 在圆P 外，点Q 在圆P 内．
故选：AC．
三、填空题
12．（24-25 高二上·江苏徐州·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，已知点A (2,0)，若点M满足
M A
2+ M O
2=10，则点M的轨迹方程是 ．
【答案】x
2+ y
2−2 x−3=0
【分析】设点M (x , y)，借助两点间距离公式代入计算即可得.
35
【详解】设M (x , y)，则有(x−2)
2+( y −0)
2+ x
2+ y
2=10，
化简得x
2+ y
2−2 x−3=0，即点M的轨迹方程是x
2+ y
2−2 x−3=0.
故答案为：x
2+ y
2−2 x−3=0.
13．（23-24 高二上·四川宜宾·期中）已知点P(4 ,−2)，点A为圆x
2+ y
2= 4上任意一点，则PA连线的中点
轨迹方程是 ．
【答案】(x −2)
2+( y +1)
2=1
【分析】首先设中点坐标为Q (x , y)，再设出相关点A的坐标，代入圆的方程，即可求解.
【详解】设PA连线的中点为Q (x , y)，则A (2 x−4,2 y +2)，
则(2 x −4)
2+(2 y +2)
2= 4，即(x −2)
2+( y +1)
2=1.
故答案为：(x −2)
2+( y +1)
2=1
14．（23-24 高二下·贵州黔东南·期末）若点P(2，1)在圆C : x❑
2+ y❑
2+2 x−a=0上，则C的半径r =
.
【答案】√10
【分析】由圆的方程求出圆心C的坐标，则r =|CP|，从而可得答案.
【详解】由题可知C的圆心坐标为(−1，0)，
因为点P(2，1)在圆C : x❑
2+ y❑
2+2 x−a=0上，
所以圆C的半径r =|CP|=√(2+1)❑
2+1❑
2=√10.
故答案为：√10
四、解答题
15．（2024·广东深圳·模拟预测）已知过点(1,0)的动直线l 与圆C1: x
2+ y
2−4 x =0相交于不同的两点A，
B．
(1)求圆C1的圆心坐标；
(2)求线段AB的中点M 的轨迹C 的方程．
【答案】(1)(2,0)
(2)(x−3
2)
2
+ y
2= 1
4
36
【分析】（1）根据题意，将圆的一般式化为标准式，即可得到结果；
（2）根据题意，由kC1 M ⋅k AB=−1列出方程，化简即可得到结果.
【详解】（1）圆C1的方程可变形为(x −2)
2+ y
2= 4，
故C1的圆心坐标为(2,0)，半径为2.
（2）设M (xM , y M)，因为点M 是AB的中点，∴C1 M ⊥AB，
∴kC1 M ⋅k AB=−1，
故
y M
xM −2 ⋅
y M
xM −1 =−1，
由此可得xM
2 −3 xM + y M
2 +2=0，
故轨迹方程为(xM −3
2)
2
+ y M
2 = 1
4 ，轨迹是以圆心为(
3
2 ,0)，半径为1
2的圆.
16．（23-24 高二上·广东河源·期末）已知点A(0,−2)，B(1,−1)，直线l: x +2my +1=0与直线AB垂直.
(1)求m的值；
(2)若圆C经过点A ,B，且圆心C在x轴上，求点C的坐标.
【答案】(1)1
2；
(2)(−1,0).
【分析】（1）求出直线AB的斜率，再结合垂直的条件求出m的值.
（2）求出线段AB的中垂线，再求出圆心C的坐标.
【详解】（1）依题意，直线AB的斜率为k = −1−(−2)
1−0
=1，由直线AB垂直于直线l，得−1
2m =−1，
所以m= 1
2.
（2）线段AB的中点坐标为( 1
2 ,−3
2 )，则线段AB的中垂线方程为y + 3
2 =−( x−1
2 )，即x + y =−1，
37
由圆C经过点A ,B，得圆心C在直线x + y =−1上，而圆心C又在x轴上，
所以点C的坐标为(−1,0).
17．（23-24 高二下·全国·课堂例题）从以下三个条件中任选一个，补充在下面的问题横线处，并进行解答.
①经过点C (0,−2)；②圆心在直线x−y −1=0上；③以线段AB为直径.
问题：已知圆E经过A (6,−2),B (0,6)两点，且__________.求圆E的方程；
注：如选择多个条件分别解答，按第一个条件计分.
【答案】选择见解析；( x −3)
2+( y −2)
2=25
【分析】设圆方程为x
2+ y
2+ Dx + Ey + F =0，利用待定系数法即可得解；
【详解】若选①：
依题意，设圆E方程为x
2+ y
2+ Dx + Ey + F =0，A (6,−2),B (0,6)，C (0,−2)，
则¿，解得¿，
所以圆E方程为x
2+ y
2−6 x−4 y −12=0，标准方程为( x −3)
2+( y −2)
2=25．
若选②：
依题意，设圆E方程为x
2+ y
2+ Dx + Ey + F =0，A (6,−2),B (0,6)，
又圆心(−D
2 ,−E
2)在直线x−y −1=0上，
所以¿，解得¿，
所以圆E方程为x
2+ y
2−6 x−4 y −12=0，标准方程为( x −3)
2+( y −2)
2=25.
若选③：
依题意，点E 为AB 中点，故E 点坐标为(3,2)，圆E 的半径r =| AB|
2
= √(0−6)
2+(6+2)
2
2
=5，
所以圆E标准方程为( x −3)
2+( y −2)
2=25.
18．（23-24 高二上·江苏南通·阶段练习）已知矩形ABCD 的两条对角线相交于点M (2,0)，AB 边所在直
线的方程为x−3 y −6=0，点T (−1,1)在AD 边所在的直线上.
(1)求AD 边所在直线的方程；
(2)求矩形ABCD 外接圆的标准方程.
【答案】(1)3 x + y +2=0
38
(2)(x−2)
2+ y
2=8
【分析】（1）根据斜率关系，再应用点斜式求出直线方程；
（2）根据矩形求出外接圆的圆心及半径得出圆的标准方程.
【详解】（1）因为AB 边所在直线的方程为x−3 y −6=0，且AD 与AB 垂直，
所以直线AD 的斜率为−3.
又因为点T (−1,1)在直线AD 上，所以AD 边所在直线的方程为y −1=−3(x +1)，
即3 x + y +2=0.
（2）由¿，解得点A 的坐标为(0,−2).
因为矩形ABCD 两条对角线的交点为M (2,0).
所以M 为矩形ABCD 外接圆的圆心．
又|AM|=√(2−0)
2+(0+2)
2=2√2，
从而矩形ABCD 外接圆的方程为( x−2)
2+ y
2=8.
19．（23-24 高二上·山西运城·阶段练习）已知圆C经过A (0,2),B (1,1)，且圆心在直线l1:2 x + y −4 =0上.
(1)求圆C的方程；
(2)若从点M (3,5)发出的光线经过直线l2: x + y −1=0反射后恰好平分圆C的圆周，求反射光线所在直线的
方程.
【答案】(1)( x −1)
2+( y −2)
2=1
(2)4 x−5 y +6=0
【分析】（1）先求AB的垂直平分线方程，联立直线l1的方程可得圆心坐标，然后可得半径，进而得出圆
的标准方程；
（2）设M关于l2的对称点为N (x , y)，结合反射光线原理可得其对称点坐标，进而利用直线的两点式方程
即可得出结果.
【详解】（1）由题知AB中点为(
1
2 , 3
2)，k AB= 2−1
0−1 =−1，
所以AB的垂直平分线方程为y −3
2 = x−1
2，即x−y +1=0，
联立¿，解得¿，即圆心为(1,2)，
39
所以圆C的半径为r =√(1−0)
2+(2−2)
2=1，
故圆C的方程为( x−1)
2+( y −2)
2=1.
（2）设M关于l2的对称点为N (x , y)，
则直线MN与l2垂直，且MN的中点(
x +3
2
, y +5
2 )在直线l2上，
则¿，解得N (−4 ,−2)，
由题意知反射光线过圆心，故y −2
−4 = x−1
−5 ，
即4 x−5 y +6=0.
