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第三章 排列、组合与二项式定理章末测试
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准
考证号填写在答题卡上．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1．（23-24 高二下·广东肇庆·阶段练习）
（ ）
A．24
B．60
C．48
D．72
2．（23-24 高二下·广东中山·期末）用数字
，，
，，
，组成的有重复数字的三位数且是偶数的个
数为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（23-24 高二下·湖南益阳·期末）已知
，那么
的
值为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（23-24 高二下·福建南平·期末）将分别标有数字1，2，3，4，5 的五个小球放入A，B，C 三个盒子，
每个小球只能放入一个盒子，每个盒子至少放一个小球．若标有数字1 和2 的小球不放入同一个盒子，则
不同方法有（ ）
A．72 种
B．42 种
C．114 种
D．36 种
5．（23-24 高二下·山东菏泽·期末）若
能被25 整除，则正整数
的最小值为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
6．（23-24 高二下·山西吕梁·期末）若
的展开式中常数项是20，则
（ ）
A．-2
B．-3
C．2
D．3
7．（23-24 高二下·江苏镇江·期末）2024 年第二届贵州“村超”总决赛阶段的比赛正式拉开帷幕某校足球
社的6 名学生准备分成三组前往村超球队所在的平地村口寨村忠诚村
､
､
3 个村寨进行调研，每个村各有一
组来调研，每个组至多3 名学生，则不同的安排方法种数为（ ）
A．900
B．600
C．450
D．150
8．（23-24 高二下·江苏泰州·期末）已知
的展开式中，仅有第5 项的二项式系数最大，则展开式中
2
系数的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．（24-25 高二上·福建龙岩·期中）传承红色文化，宣扬爱国精神，湖洋中学国旗队在高一年级招收新成
员，现有小明、小红、小华等7 名同学加入方阵参加训练，则下列说法正确的是（ ）
A．7 名同学站成一排，小明、小红、小华必须按从左到右的顺序站位，则不同的站法种数为840
B．7 名同学站成一排，小明、小红两人相邻，则不同的排法种数为720
C．7 名同学站成一排，小明、小红两人不相邻，则不同的排法种数为480
D．7 名同学分成三组（每组至少有两人），进行三种不同的训练，则有630 种不同的训练方法
10．（24-25 高二上·四川眉山·期中）已知
展开式的二项式系数和为
，
，下列选项正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（23-24 高二下·江苏扬州·期中）“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，激发起一批又一批数
学爱好者的探究欲望．如图，由“杨辉三角”，下列叙述正确的是（ ）
A．
B．第2023 行中从左往右第1013 个数与第1014 个数相等
C．记第n 行的第i 个数为
，则
D．第20 行中第8 个数与第9 个数之比为
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分．
12．（23-24 高二下·河北石家庄·期末）
的展开式中
的系数为 ．（用数字作
答）
13．（23-24 高二下·重庆·期末）如图，为我国数学家赵爽验证勾股定理的示意图，用五种颜色（其中一种
为黄色）对图中四个区域
进行染色，每个区域只能用一种染色.若必须使用黄色，则四个区域中有
且只有一组相邻区域同色的染色方法有 种；若不使用黄色，则四个区域中所有相邻区域都不同
色的染色方法有 种.
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14．（23-24 高二下·上海宝山·期末）设集合A 是由所有满足下面条件的有序实数组
构成的：
每一个元素
等于0、1、
中之一，其中
，2，3，4，5.那么集合A 中满足条件“
”的元
素个数为 .
四、解答题：本题共5 小题，共77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13 分）（23-24 高二下·北京丰台·期末）2024 年春节期间，全国各大影院热映《第二十条》、《飞
驰人生2》、《热辣滚烫》、《熊出没．逆转时空》4 部优秀的影片．现有4 名同学，每人选择这4 部影片
中的1 部观看．
(1)如果这4 名同学选择观看的影片均不相同，那么共有多少种不同的选择方法？
(2)如果这4 名同学中的甲、乙2 名同学分别选择观看影片《第二十条》、《飞驰人生2》，那么共有多少
种不同的选择方法？
(3)如果这4 名同学中恰有2 名同学选择观看同一部影片，那么共有多少种不同的选择方法？
16．（15 分）（23-24 高二下·新疆克孜勒苏·期末）已知
（其中
）的展开式中前3 项
的二项式系数之和等于16.
(1)求
的值；
(2)若展开式中
的系数为
，求实数
的值.
17．（15 分）（23-24 高二下·河北邢台·期末）达活泉月季园位于河北省邢台市达活泉公园东部，占地面积
4700 平方米，共收集6 大类23 个月季品种
万株，是集观光、科普、研究、展示及繁育等多种功能于一
体的花卉展园．某天，甲游客计划按照一定的先后顺序去该月季园观赏北京红、红从容、黄从容、醉红颜、
白佳人、金凤凰这6 种月季花，且甲第一个观赏的不是北京红．
(1)求甲不同的观赏方案数；
(2)若甲上午和下午均观赏3 种月季花，且观赏红从容和黄从容的时间一个在上午，一个在下午，求甲不同
的观赏方案数．
18．（17 分）（23-24 高二下·河南信阳·期末）已知5 名同学站成一排，要求甲站在正中间，乙与丙相邻，
记满足条件的所有不同的排列种数为
.
(1)求
的值；
(2)设
，
①求
的值；
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②求奇次项的系数和.
19．（17 分）（23-24 高二下·黑龙江齐齐哈尔·期末）莱布尼茨（德国数学家）三角（如图1 所示）是与杨
辉（南宋数学家）三角数阵（如图2 所示）相似的一种几何排列，但与杨辉三角不同的是，莱布尼茨三角
每个三角形数组顶端的数等于底边两数之和. 现记莱布尼茨三角第1 行的第2 个数字为
，第2 行的第2 个
数字为
，第
行的第2 个数字为
.
(1)求
的值；
(2)将杨辉三角中的每一个数
都换成
就得到了莱布尼茨三角.我们知道杨辉三角的最基本的性质
，也是二项式系数和组合数性质，请你类比这个性质写出莱布尼茨三角的性
质，并证明你的结论.
