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第四章 概率与统计章末测试
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准
考证号填写在答题卡上．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1．（23-24 高二下·福建福州·期中）下列叙述中，是离散型随机变量的是（ ）
A．某电子元件的寿命
B．高速公路上某收费站在一小时内经过的车辆数
C．某人早晨在车站等出租车的时间
D．测量某零件的长度产生的测量误差
2．（23-24 高二下·安徽安庆·期中）若随机变量X 的分布列如下表所示，且
，则表中a 的值为
（ ）
X
4
a
9
P
0.5
0.1
b
A．
B．7
C．5.61
D．6.61
3．（23-24 高二下·四川遂宁·阶段练习）已知随机变量
服从两点分布，且
，设
，
那么
的值是（ ）
A．0.84
B．0.7
C．0.4
D．0.3
4．（23-24 高二下·福建宁德·阶段练习）已知变量
和
的统计数据如下表：
6
8
10
12
2
3
5
6
根据上表可得回归直线方程
，据此可以预测当
时，
（ ）
A．7.8
B．6.5
C．9.6
D．8.2
5．（23-24 高二下·浙江·期中）从7 男3 女共10 名学生干部中随机选出5 名学生干部，抽到的女生人数的
均值为（ ）
A．
B．
C．
D．2
6．（24-25 高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，一个质点从原点0 出发，每隔一秒随机等可能地向左
2
或向右移动一个单位，共移动4 次，在质点第一秒位于1 的位置的条件下，该质点共经过两次2 的位置的
概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（24-25 高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）今有水平相当的棋手甲和棋手乙进行某项围棋比赛，胜者可获
得48000 元奖金.比赛规定下满五局，五局中获胜局数多者赢得比赛，比赛无平局，若比赛已进行三局，甲
两胜一负，由于突发因素无法进行后面比赛，如何分配奖金最合理？（ ）
A．甲24000 元，乙24000 元
B．甲32000 元，乙16000 元
C．甲40000 元，乙8000 元
D．甲36000 元，乙12000 元
8．（24-25 高二上·四川眉山·阶段练习）某人有两把雨伞用于上下班，如果一天上班时他也在家而且天下
雨，只要有雨伞可取，他将拿一把去办公室，如果一天下班时他也在办公室而且天下雨，只要有雨伞可取，
他将拿一把回家.；如果天不下雨，那么他不带雨伞.假设每天上班和下班时下雨的概率均为
，不下雨的概
率均为
，且与过去情况相互独立.现在两把雨伞均在家里，那么连续上班两天，他至少有一天淋雨的概率
为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．（24-25 高二上·黑龙江·期中）有6 个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机
取两次，每次取一个球.事件
“第一次取出的球的数字是1”，事件
“第二次取出的球的数字是
2”，事件
“两次取出的球的数字之和是8”，事件
“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ）
A．
与
互斥
B．
与
互斥
C．
与
相互独立
D．
与
相互独立
10．（24-25 高二下·全国·课后作业）（多选）假设某厂有两条包装食盐的生产线甲、乙，生产线甲正常情
况下生产出来的包装食盐质量服从正态分布
（单位：g），生产线乙正常情况下生产出来的包装
食盐质量为
，随机变量x 的概率分布密度函数为
，其中
，则（ ）
附：随机变量
，则
，
.
A．正常情况下，从生产线甲任意抽取一包食盐，质量小于
的概率为0.135%
B．生产线乙的食盐质量
C．曲线
的峰值为
3
D．生产线甲上的检测员某天随机抽取两包食盐，称得其质量均大于
，于是判断出该生产线出现
异常，该判断是合理的
11．（23-24 高二下·黑龙江哈尔滨·期末）某计算机程序每运行一次都随机出现一个十位二进制数
（例如若
，则
），已知
出现“0”的概率为
，出现“1”的概率为
，记
，则当程序运行一次时（ ）
A．X 服从二项分布
B．
C．
D．
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分．
12．（23-24 高二下·四川眉山·期末）以曲线
拟合一组数据时，经
代换后的线性回归方程为
，则
．
13．（23-24 高二下·天津和平·期中）甲从装有除颜色外都相同的3 个黑球和m 个白球的布袋中随机摸取一
球，有放回的摸取3 次，记摸出黑球的个数为X，若
，则
．
14．（24-25 高二上·湖北十堰·阶段练习）假定某工厂甲、乙、丙个车间生产同一种螺钉，产量依次占全
厂的
、
、
，如果各车间的次品率依次为
、
、
.现在从待出厂产品中检查出个次品，
则它是由甲车间生产的概率是 ．
四、解答题：本题共5 小题，共77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（24-25 高二上·四川眉山·期中）随着互联网的高速发展和新媒体形式的不断丰富，微短剧作为一种新
兴的文化载体，正逐渐成为拓展文化消费空间的重要途径.某媒体为了了解微短剧消费者的年龄分布，随机
调查了200 名消费者，得到如下列联表：
年龄不超过40 岁
年龄超过40 岁
合计
是微短剧消费者
30
45
不是微短剧消费者
合计
100
200
(1)根据小概率值
的独立性检验，能否认为“是微短剧消费者”与“年龄不超过40 岁”有关联？
(2)记2020~2024 年的年份代码x 依次为1，2，3，4，5，下表为2020~2023 年中国微短剧市场规模及2024
年中国微短剧预测的市场规模y（单位：亿元）与x 的统计数据：
年份代码x
1
2
3
4
5
市场规模y
9.4
36.8
101.7
373.9
m
根据上表数据求得y 关于x 的经验回归方程为
，求相关系数r，并判断该经验回归方程
4
是否有价值.
参考公式：
，其中
，
.
，相关系数
.
.
若
，则认为经验回归方程有价值.
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
16．（24-25 高三上·重庆·期中）某工厂生产一批机器零件，现随机抽取100 件对某一项性能指标进行检测，
得到一组数据
，如下表：
性能指标X
66
77
80
88
96
产品件数
10
20
48
19
3
(1)求该项性能指标的样本平均数
的值．若这批零件的该项指标
近似服从正态分布
其中
近
似为样本平均数
的值，
，试求
的值．
(2)若此工厂有甲、乙两台机床加工这种机器零件，且甲机床的生产效率是乙机床的生产效率的2 倍，甲机
床生产的零件的次品率为0.02，乙机床生产的零件的次品率为0.01，现从这批零件中随机抽取一件．
①求这件零件是次品的概率：
②若检测出这件零件是次品，求这件零件是甲机床生产的概率；
③若从这批机器零件中随机抽取300 件，零件是否为次品与该项性能指标相互独立，记抽出的零件是次品，
且该项性能指标恰好在
内的零件个数为
，求随机变量
的数学期望（精确到整数）．
参考数据：若随机变量
服从正态分布
则
，
17．（24-25 高二上·北京·期中）图像识别是人工智能领域的一个重要研究方向.某中学人工智能兴趣小组研
发了一套根据人脸照片识别性别的程序.在对该程序的一轮测试中，小组同学输入了500 张不同的人脸照片
作为测试样本，获得数据如下表（单位：张）：
识别结果真实性
别
可以识别
无法识别
男
女
男
180
15
5
5
女
20
275
5
该程序对每张照片的识别都是独立的.
(1)现从这500 张人脸照片中随机抽取，
①若抽取一张，求识别结果正确的概率；
②若抽取一张男性照片和一张女性照片，求至少有一张照片无法被成功识别（含无法识别或识别错误）的
概率；
(2)为处理无法识别的照片，该小组同学提出上述程序修改的三个方案：
方案一：将无法识别的照片全部判定为女性；
方案二：将无法识别的照片全部判定为男性；
方案三：将无法识别的照片随机判定为男性或女性（即判定为男性或女性概率均为50%）.
现从若干张不同人脸照片（其中男性、女性照片数量之比为
中随机抽取一张，分别用方案一、方案二、
方案三进行识别，其识别正确的概率估计值分别记为
，
，
，试比较
，
，
的大小.（假设用
频率估计概率，结论不要求证明）
18．（23-24 高二下·河南漯河·阶段练习）为不断改进劳动教育，进一步深化劳动教育改革，现从某单位全
体员工中随机抽取3 人做问卷调查.已知某单位有N 名员工，其中
是男性，
是女性.
(1)当
时，求出3 人中男性员工人数X 的分布列和数学期望；
(2)我们知道，当总量N 足够大而抽出的个体足够小时，超几何分布近似为二项分布.现在全市范围内考虑，
从N 名员工(男女比例不变)中随机抽取3 人，在超几何分布中男性员工恰有2 人的概率记作
，在二项分
布中，即男性员工的人数
男性员工恰有2 人的概率记作
.那么当N 至少为多少时，我们可以
在误差不超过0.001（即
）的前提下认为超几何分布近似为二项分布(参考数据:
)
19．（24-25 高二上·黑龙江齐齐哈尔·期中）4 月23 日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”．为了解
某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了500 名高一学生进行在线调查，得到了这500
名学生的日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成[0,2]，
，
，
，
，
，
，
，
九组，绘制成如图所示的频率分布直方图．
6
(1)从这500 名学生中随机抽取一人，日平均阅读时间在
内的概率；
(2)为进一步了解这500 名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在
，
，
三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10 人，现从这10 人中随机抽取3
人，记日平均阅读时间在
内的学生人数为X，求X 的分布列和数学期望和方差；
(3)以样本的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取10 名学生，用
表示这10 名学生中恰有
k 名学生日平均阅读时间在
内的概率，其中
，1，2，…，10．当
最大时，写出k 的值．
（写出证明）
