文档文本内容
1
第04 讲 向量的坐标及其运算
课程标准
学习目标
1.了解直线上向量的坐标.
2.掌握平面向量的正交分解及坐标表示.
3.理解平面向量的坐标运算.
4.掌握向量平行的坐标表示．
1．掌握求直线上向量的坐标的方法．
2．熟练进行直线上向量的坐标运算．
3．掌握数轴上两点之间的距离公式及数轴上的中点坐
标公式．
4．掌握向量的坐标表示与运算。
5．能根据向量的坐标解决平行问题
知识点01 直线上向量的坐标及其运算
1．直线上向量的坐标
(1)定义：给定一条直线l 以及这条直线上一个单位向量e，由共线向量基本定理可知，对于直线l 上的
任意一个向量a，一定存在唯一的实数x，使得a＝xe，此时，x 称为向量a 的坐标．
(2)向量的模和方向与x 的关系
|a|＝|xe|＝|x||e|＝|x|(e 为单位向量)．
当x>0 时，a 的方向与e 的方向相同；
当x＝0 时，a 是零向量；
当x<0 时，a 的方向与e 的方向相反．
在直线上给定了单位向量，则直线上的向量完全被其坐标确定．
(3)直线上向量的坐标：在直线l 上指定一点O 作为原点，以e 的方向为正方向，e 的模为单位长度建
立数轴，对于l 上的任意一个向量a，如果我们把它的始点平移到原点O，那么a 的终点对应的数就是向量
2
a 的坐标．
2．直线上向量的运算与坐标的关系
如果直线上两个向量a，b 的坐标分别为x1，x2.
(1)a＝b 的充要条件是x1＝x2.
(2)a＋b 的坐标为x1＋x2，a－b 的坐标为x1－x2，λa 的坐标为λx1.
(3)设A(x1)，B(x2)是数轴上的两点，M(x)是线段AB 的中点，则AB＝|x2－x1|，x＝.
【即学即练1】
1.如图，向量OA的坐标为________.
【答案】3
【解析】因为向量OA的始点在原点，因此终点A 的坐标就是向量的坐标，故向量OA的坐标为3.
2.已知直线上向量a，b 的坐标分别为－2，2，则向量a＋b 的坐标为( )
A.1
B．－1
C．0
D．4
【答案】B
【解析】因为向量a，b 的坐标分别为－2，2，所以向量a＋b 的坐标为－2＋×2＝－1.
知识点02 平面向量的坐标及其运算
1．平面向量的坐标
(1)向量的垂直：平面上的两个非零向量a，b，如果它们所在的直线互相垂直，则称向量a，b 垂直，
记作a⊥b.规定零向量与任意向量都垂直．
(2)向量的正交分解：如果平面向量的基底{e1，e2}中，e1⊥e2，则称这组基底为正交基底，在正交基底
下向量的分解称为向量的正交分解．
(3)向量的坐标：给定平面内两个相互垂直的单位向量e1，e2，对于平面内的向量a，如果a＝xe1＋
ye2，则称(x，y)为向量a 的坐标，记作a＝(x，y)．
2．平面上向量的运算与坐标的关系
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R，则：
(1)a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)．
(2)a－b＝(x1－x2，y1－y2)．
(3)λa＝(λx1，λy1)．
(4)向量相等的充要条件：a＝b⇔x1＝x2且y1＝y2.
(5)模长公式：|a|＝.
3.平面直角坐标系内两点之间的距离公式与中点坐标公式
如图所示，在平面直角坐标系中，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：
(1)向量OA＝(x1，y1)，OB＝(x2，y2)，向量AB＝(x2－x1，y2－y1)．
3
(2)它们之间的距离：AB＝|AB|
＝.
(3)设AB 的中点M(x，y)，则x＝，y＝.
【解读】(1)区别AB的坐标与a－b 的坐标：AB的坐标为终点坐标减去始点坐标，而a－b 的坐标是对应
的坐标相减．
(2)由于自由向量的始点可以任意选取，如果向量以坐标原点为始点，那么向量的坐标就与其终点的坐
标相同；如果向量不以坐标原点为始点，那么向量的坐标就与其终点的坐标不同．
4．向量平行的坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x2y1＝x1y2.
【即学即练2】如图所示，{e1，e2}为正交基底，则向量2a＋b 的坐标为( )
A．(3，4)
B．(2，4)
C．(3，4)或(4，3)
D．(4，2)或(2，4)
【答案】A
【解析】∵a＝e1＋e2，∴2a＝2e1＋e2.又b＝e1＋3e2，∴2a＋b＝(2e1＋e2)＋(e1＋3e2)＝3e1＋4e2.
∴2a＋b 在基底{e1，e2}下的坐标为(3，4)．
题型01 直线上向量的坐标及运算
【典例1】如图所示，直线上向量a，b 的坐标分别为( )
A．－2，4
B．2，4
C．4，－2
D．－4，－2
【答案】C
【解析】向量a 的始点在原点，则a 的坐标为4，把向量b 的始点平移到原点，则b 的坐标为－2.故选C.
4
【变式1】已知向量a，b 在同一直线上，|a|＝2|b|，若b 的坐标为2，则a 的坐标为( )
A．4
B．－4
C．2 或－2
D．4 或－4
【答案】D
【解析】由b 的坐标为2，得b＝2e，由|a|＝2|b|，得a＝4e 或a＝－4e，故a 的坐标为4 或－4.故选D.
【变式2】若e 是直线l 上的一个单位向量，这条直线上的向量a，b 的坐标分别为x，y，下列说法错误的
是( )
A．|a|＝x
B．b＝ye
C．a＋b 的坐标为x＋y
D．|e|＝1
【答案】A
【解析】由题意知，|e|＝1，|a|＝|x|，b＝ye, a＋b＝xe＋ye＝(x＋y)e，所以a＋b 的坐标为x＋y，只有A 错误．
【变式3】若数轴上A，B 两点的坐标分别为－2，x，且AB的坐标是－8，则x＝________．
【答案】－10
【解析】由题意得，AB的坐标为x＋2＝－8，
解得x＝－10，
故答案为－10.
【变式4】已知e 是直线l 上的一个单位向量，a＝4e，b＝－2e，则a＋b 的坐标为( )
A．1
B．2
C．－2
D．4
【答案】B
【解析】因为a＝4e，b＝－2e，所以a＋b＝4e－2e＝2e，故a＋b 的坐标为2．故选B．
题型02 平面向量的坐标表示
【典例2】（23-24 高一下·浙江宁波·期末）已知平行四边形
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由
两点的坐标求得
，由平行四边形的性质有
，求值即可.
【详解】由
，
，有
，
平行四边形
中，有
，即
，
故选：D.
【变式1】（23-24 高一下·浙江·期中）已知
，把向量
按向量
平移后，所得向量
的坐标是（ ）
A．
B．
C．
D．
5
【答案】C
【分析】向量平移后与原向量为相等向量，所求坐标即为向量
的坐标.
【详解】根据题意可知，
，把向量
按向量
平移后，与原向量相等，
所得向量
仍然为
.
故选：C.
【变式2】（2024 高二下·安徽·学业考试）点
，
,则向量
＝（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由向量坐标的概念即可求解.
【详解】
.
故选：B
【变式3】（23-24 高一下·陕西渭南·期末）已知向量
，则与向量
方向相反的单位向量是（ ）
A．
B．
C．
D．
或
【答案】C
【分析】利用单位向量及相反向量的意义求解即得.
【详解】向量
，则
，
所以与向量
方向相反的单位向量是
.
故选：C
题型03 平面向量的坐标运算
【典例3】（2024 高二下·湖北·学业考试）已知向量
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】运用向量的坐标运算计算即可.
【详解】因为向量
，所以
.
故选：D.
【变式1】（23-24 高一下·新疆·期中）已知
，
，若
，则
（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
6
【答案】B
【分析】由平面向量加法的坐标运算求解即可．
【详解】已知向量
，
，
则
，解得
．
故选：B．
【变式2】（23-24 高一·上海·课堂例题）已知点
、
、
，求
．
【答案】
【分析】首先表示出
，
，再根据平面向量线性运算的坐标表示计算可得.
【详解】因为
、
、
，
所以
，
，
所以
.
【变式3】（23-24 高一下·全国·单元测试）已知
，
，求：
(1)
；
(2)
.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）（2）由向量线性运算的坐标运算，即可得到结果..
【详解】（1）因为
，
，
所以
.
（2）因为
，
，
所以
.
题型04 根据线段比例求点的坐标
【典例4】（23-24 高一·上海·课堂例题）已知点
、
，点
是直线
上一点，且
，求点
的坐标．
【答案】
或
7
【分析】设
，由
可得
或
，再设
，表示出
，
，根据
平面向量线性运算的坐标表示得到方程组，解得即可.
【详解】因为点
是直线
上一点，
所以设
，又
，所以
或
，
即
或
，
设
，又
、
，
所以
，
，
所以
或
，
即
或
，
解得
或
，
即
或
.
【变式1】（24-25 高三上·湖北·期中）已知
，点
在线段
的延长线上，且
，
则点
的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据已知条件及中点坐标公式即可求解.
【详解】因为点
在线段
的延长线上，且
，所以点
为
中点，
设点
，则
，解得
，所以点
的坐标为
.
故选：C.
【变式2】（23-24 高一下·四川绵阳·期中）（多选）点
，向量
，
，点
是线
段
的三等分点，则
点坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
8
【答案】AD
【分析】结合向量的坐标运算，并分类讨论，即可求解.
【详解】设点
坐标为
，因为向量
，
，则
，
，
当点
为靠近点
的三等分点时，则
，故
，解得：
，
，故点
坐标为
，
当点
为靠近点
的三等分点时，则
，故
，解得：
，
，故点
坐标为
，
故选：AD
【变式3】（23-24 高一·上海·课堂例题）已知点
、
，且
，求点
的坐标．
【答案】
【分析】设点
的坐标为
，利用平面向量的坐标运算与向量相等列出方程组，求解即可．
【详解】设点
，由
得，
，
因为
，所以
，解得
，
所以点
的坐标为
．
题型05 根据坐标求向量的模
【典例5】（2024 高一·全国·专题练习）已知向量
，
，则
（ ）
A．
B．2
C．
D．10
【答案】C
【分析】根据条件，利用向量的坐标运算得到
，再利用模长的计算公式，即可求解.
【详解】因为
，
，所以
，
得到
，
故选：C.
【变式1】（23-24 高一下·江苏盐城·期中）已知向量
，则向量
的模为（ ）
A．
B．4
C．2
D．
9
【答案】C
【分析】求出向量
的坐标，再求模长.
【详解】因为向量
，
所以向量
，
所以
.
故选：C.
【变式2】（23-24 高一下·湖南株洲·期末）已知向量
，
在正方形网格中的位置如图所示.若网格中每个
小正方形的边长均为1，则
（ ）
A．2
B．
C．4
D．8
【答案】B
【分析】根据题图写出向量坐标，再进行坐标运算即可.
【详解】根据题图，以题图向量起点为原点，该点横纵方向为
轴，
则
，
，所以
，
则
.
故选：
.
【变式3】（23-24 高三下·湖南·阶段练习）已知
，平面向量
，
，则
的最小值
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用平面向量的坐标运算结合二次函数性质求解即可.
【详解】易知
,故
，当
时，
最小，
10
此时由二次函数性质得
，故
，
故
的最小值为
，故A 正确.
故选：A
【变式4】（23-24 高三上·山西忻州·开学考试）已知向量
，
，若
，则k=
.
【答案】
【分析】利用平面向量的坐标运算求得
的坐标，根据求模公式建立方程，解出即可.
【详解】因为向量
，
，
所以
，
则
，
解得
.
故答案为：
题型06 根据坐标运算求参数
【典例6】（24-25 高三上·天津滨海新·阶段练习）已知点
，
，
，
．
若点
在
轴上，则实数
的值为 ．
【答案】
【分析】根据向量坐标运算，表示
的坐标，结合点
在
轴上求
的值.
【详解】∵O(0,0)，
，
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
∵点
在
轴上，
∴
，
∴
.
故答案为：1
3
11
【变式1】（24-25 高二下·云南曲靖·阶段练习）已知向量
，
，
，则实数
m 的值为（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】D
【分析】先求得
的坐标，再由
求解.
【详解】因为向量
，
，
所以
，
又因为
，
所以
，
解得
.
故选：D.
【变式2】（23-24 高一下·河南郑州·期中）如图，在直角梯形
中，
，
，
，
为
的中点，若
，则
的值（ ）
A．
B．
C．2
D．
【答案】B
【分析】建立平面直角坐标系，由
，利用向量相等求解.
【详解】解：建立如图所示平面直角坐标系：
12
则
，
所以
，
因为
，
所以
，
则
，解得
，
所以
，
故选：B
【变式3】（24-25 高三上·天津·阶段练习）在正六边形
中，对角线
，
相交于点
，若
，则
．
【答案】
【分析】建立直角坐标系坐标表示向量，由向量相等关系建立方程组求解系数即可.
【详解】以
为坐标原点，
所在直线为
轴，
所在直线为
轴建立如图所示的平面直角坐标系，
设正六边形ABCDEF 边长为，
则
，
，
13
由
，则
，
所以有
，解得
，则
.
故答案为：
题型07 向量共线的坐标表示
【典例7】（24-25 高三上·河北石家庄·阶段练习）已知向量
，若
，则实数
（ ）
A．
B．
C．11
D．2
【答案】D
【分析】根据向量共线的坐标表示得到方程，解出即可.
【详解】
，因为
，
则
，解得
.
故选：D.
【变式1】（23-24 高一下·北京顺义·期末）已知向量
，
，那么向量
可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用共线向量的坐标表示判断即得.
【详解】对于A，由
，得
与
不共线，A 不是；
对于B，由
，得
与
不共线，B 不是；
对于C，由
，得
与
不共线，C 不是；
对于D，由
，得
，D 是.
故选：D
【变式2】（23-24 高一下·河北·期中）若向量
，则
的取值集合为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据平面共线向量的坐标表示建立方程，解之即可求解.
【详解】因为
，
，
所以
，解得
或0．
14
即x 的取值集合为
.
故选：C
【变式3】（24-25 高一上·河北保定·期中）已知向量
，
，
，若
，则实数
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由平面向量共线的坐标表示，代入计算，即可得到结果.
【详解】由题意可得，
，且
，
由
可得
，解得
.
故选：B
【变式4】（23-24 高一下·河南南阳·期中）已知
，
，
，若
，则
（ ）
A．10
B．11
C．12
D．13
【答案】D
【分析】代入向量共线的坐标表示，即可求解．
【详解】
，
，
，
则
，
，
，
则
，解得
．
故选：D
题型08 利用坐标法求最值（范围）
【典例8】（23-24 高一下·江苏南京·阶段练习）四边形
是正方形，延长
至点
，使得
，
若
为
中点，
为
中点，点
在线段
上移动（包含端点），设
，求
的
取值范围 ．
【答案】
【分析】由图建立平面直角坐标系，利用平面向量坐标运算可得
的范围.
【详解】
15
如图，建立平面直角坐标系，设
，则
，
，
由题意设
，
则
，
由
得
，
则
，故
，
即
，
故答案为：
【变式1】（23-24 高一下·江苏淮安·阶段练习）正方形
中棱长为4，E 为
的中点，
为
边上一点（不包括C，D），若
，则
的取值范围为 ．
【答案】
【分析】建系标点，设
，根据向量的坐标表示可得
，进而可得取值范围.
【详解】如图，以A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，
则
，设
，
可得
，
若
，
16
则
，解得
，
可得
，
因为
，则
，可得
，
所以
的取值范围为
.
故答案为：
.
【变式2】（23-24 高一下·陕西咸阳·期中）（多选）如图，在长方形
中，
，点
满足
，其中
，则
的取值可以是（ ）
A．8
B．9
C．10
D．11
【答案】ABC
【分析】建立平面直角坐标系，写出点的坐标，得到
，
，从而求出
，求出值域。
【详解】以
为坐标原点，
，
所在直线分别为
，
轴，建立平面直角坐标系，则
，
，
，
，
设
，因为
，所以
，即
，
，故
，
，
则
，
，因为
，所以
.
故选：ABC
17
【变式3】（23-24 高一下·四川德阳·阶段练习）边长为4 的正方形
，点
在正方形内（含边界），
满足
，当点
在线段
上时，则
的最小值为 .
【答案】
【分析】建立平面直角坐标系，求出
线段方程，由
在线段
上可得
，利用二次函数值域计
算即可得出结果.
【详解】建立平面直角坐标系如图所示，根据题意可得：
，
，
，
，
设
为
，则
，
，
，
因为
，
所以
，
，
，
，所以
，
易知
线段方程为：
，
，
，
因为点
在
上，所以
，
，
，
所以
，
，
，
所以
，
，
，
，
，
则
，
当
时取得最小值为
.
故答案为：
题型09 坐标法在几何中的应用
【典例9】（23-24 高一下·山西运城·阶段练习）如图，正方形
的边长为6，E 是
的中点，F 是
边上靠近点B 的三等分点，
与
交于点M．
18
(1)求
的值；
(2)已知点P 是正方形
四条边上的动点，若
，求
的长度．
【答案】(1)
(2)
或
【分析】（1）建立适当的平面直角坐标系，求出
的坐标，由向量坐标的数量积公式即可求解；
（2）首先由
，
，得出点
满足的两条直线方程，联立得
的坐标，进一步由
，对
分类讨论即可求出它的位置，由向量模的坐标公式即可求解.
【详解】（1）如图所示，建立以点A 为原点的平面直角坐标系．
则
，
，
，
，
所以
，
，
所以
．
（2）设
，
所以
，
因为
，
所以
，
所以
．
因为
，
，
，
所以
，所以
，
所以
，所以
，
，所以
．
19
由题得
，又
，由图易知，点P 在线段
上或线段
，
①若P 在
上，设
，
，
，
，则
，
解得
，
所以
，
．
②若P 在
上，设
，
，
，
，则
，
解得
，
所以
，
．
综上，
的长度为
或
．
【变式1】如图，在平面直角坐标系中，
，
，
．
(1)求点B 的坐标；
(2)求证：
．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据
结合
，根据直角三角形中的关系结合
求解即
可；
（2）先求得
，再根据向量平行的性质证明
即可
20
【详解】（1）由题意，因为
，
，故
，故
，即点B 的坐标为
（2）由题意，
，又
，故
，且
不共线，故
【变式2】如图，已知直角梯形
中，
，过点C 作
于点E，M 为
的中点.
求证：（1）
；
（2）D，M，B 三点共线.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）建立平面直角坐标系，证明四边形
为正方形，分别写出各点的坐标，然后利用向量
共线证明即可；
（2）用向量证明
，结合
与
有公共点，即可求证
【详解】以E 为原点，
所在直线为x 轴，
所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图.
令
，则
，因为
，
，
所以四边形
为正方形，所以各点坐标分别为
.
（1）因为
，
，
21
所以
，即
.
（2）因为M 为
的中点，所以
，
所以
，
，
所以
，所以
.
又
与
有公共点，所以D，M，B 三点共线.
【变式3】如图，在平面直角坐标系中，
，
，
（1）求点
的坐标；
（2）求证：四边形
为等腰梯形．
【答案】（1）
；
；（2）证明见解析．
【分析】（1）先根据
，
，求得B 的坐标，再加上向量
的坐标即
得点C 的坐标；
（2）利用向量的坐标可得
,计算模可得
，从而证得.
【详解】解：（1）设
，则
，
，
，
，
；
（2）证明：连接
,
，
，
22
，
且
，
又
，
，
,
四边形
为等腰梯形.
一、单选题
1．直线上向量
，
的坐标分别为-3，5，则向量
的坐标和模分别是（ ）
A．-19，19
B．21，21
C．-19，5
D．1，1
【答案】A
【分析】根据直线上向量的坐标运算法则代入数据即可求得答案.
【详解】由题可知，向量
的坐标为
，
向量
的模为
故选：A
2．（23-24 高一下·广西梧州·期末）已知点
，则向量
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据向量的坐标运算即可求解.
【详解】
，
故选：C
3．（23-24 高一下·甘肃·期末）已知
，
分别为
的边
，
的中点，若
，
，则点
的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据向量的数乘运算，向量坐标与终点、始点的关系求解.
【详解】因为
，
分别为AB，AC 的中点，所以
.
设E (x , y)，又
，所以
，即
解得
23
即点
的坐标为
.
故选：A.
4．（23-24 高一下·福建漳州·期中）已知向量
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．10
D．
【答案】C
【分析】运用向量共线的结论可解.
【详解】向量
，由
，得
，所以
.
故选：C
5．（23-24 高一下·浙江嘉兴·期中）已知向量
，则与向量
反向的单位向量的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】与向量
方向相反的单位向量为
求解即可.
【详解】因为
，所以
，
与向量
方向相反的单位向量为
，
故选：B
6．（24-25 高三上·湖南长沙·阶段练习）已知向量
，
，
且实数
，
若A，B，C 三点共线．则
（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】D
【分析】由三点共线转化为两个向量共线，即
共线，由向量共线的坐标表示计算．
【详解】
，
，
因为A，B，C 三点共线，所以
，
则
，解得
或
，
，
.
24
故选：D.
7．（23-24 高一下·山东东营·期末）如图，已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】题中有90°，因此建立平面直角坐标系，用坐标表示向量进行运算即可．
【详解】建立如图所示的直角坐标系，
，
，
设
，
，
，解得
，
所以
.
故选：A.
8．我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一幅“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵
爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，若E 为AF 的中点，
，则
（ ）
25
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】构建以
为坐标原点，
所在直线为
轴，
所在直线为
轴，建立如图直角坐标系，设
，标注相关点的坐标，进而可得
坐标，结合
，应用向量线性运算的坐
标表示列方程求出
即可.
【详解】以
为坐标原点，
所在直线为
轴，
所在直线为
轴，建立如图直角坐标系，设
，
又
为
的中点，
∴
，则
，
由
，得：
，
∴
，解得
，则
故选：B.
二、多选题
9．（2024 高一下·全国·专题练习）下面几种说法中正确的有（ ）
A．相等向量的坐标相同
B．平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标
C．一个坐标对应于唯一的一个向量
26
D．平面上一个点与以原点为始点、该点为终点的向量一一对应
【答案】ABD
【分析】根据向量的定义和坐标的定义，即可判断选项.
【详解】A.相等向量的坐标相同，故A 正确；
B.根据向量坐标的定义，可知平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标，故B 正确；
C.由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量，故C 错误；
D. 平面上一个点与以原点为始点、该点为终点的向量一一对应，故D 正确.
故选：ABD
10．（23-24 高三下·山东济宁·开学考试）已知
为坐标原点，向量
是线段
的
三等分点，则
的坐标可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【分析】根据向量的坐标运算求解，注意三等分点有两种可能.
【详解】因为
，
，可得
，
又因为点
是线段
的三等分点，则
或
，
所以
或
，
即
点的坐标为
或
.
故选：AC.
11．（23-24 高一下·广东湛江·期末）已知向量
，
，
，若点A，B，C
能构成三角形，则实数m 可以是（ ）
A．0
B．1
C．
D．
【答案】BCD
【分析】根据题意分析可知
不共线，结合向量共线的坐标表示运算求解.
【详解】因为
，
，
，
则
，
若点A，B，C 能构成三角形，即A，B，C 不共线，则
不共线，
可得
，即
，
27
结合选项可知A 错误；BCD 正确.
故选：BCD.
三、填空题
12．已知点
，点
在线段
的延长线上，且
，则点P 的坐标是 .
【答案】
【分析】根据题意转化为
，设
，结合向量的坐标表示，列出方程组，即可求解.
【详解】因为点
，点
在线段
的延长线上，且
，
可得
，
设
，则
，即
，
解得
，即点
的坐标为
.
故答案为：
.
13．（23-24 高一下·全国·课前预习）平面内距离公式与中点坐标公式：设
，
，则
，两点之间的距离
，
中点的坐标为 .
【答案】
【分析】由向量的坐标表示，及两点间距离公式、中点坐标公式即可求解.
【详解】由
，
，
可得：
，
由两点间距离公式可得：
，
由中点坐标公式可得
中点的坐标为：
，
故答案为：
，
，
14．如图．在直角梯形
中．
，点P 是腰
上的动点，则
的最小值为 ．
28
【答案】4
【分析】建立平面直角坐标系，设
，求得相关点坐标，求出
的表达式，结合二次函数的
性质即可求得答案.
【详解】由在直角梯形
中．
，
则
，则以A 为原点，
为
轴建立平面直角坐标系，
设
，设
，则
，
故
，
所以
，故
，
当且仅当
即
时取得等号，
即
的最小值为4，
故答案为：4
四、解答题
15．（24-25 高一上·上海·课堂例题）已知向量
、
.
(1)求
的模
和其单位向量
；
(2)若
，以
、
为基表示向量.
【答案】(1)
，
(2)
【分析】（1）利用平面向量的坐标运算求出向量的模，再利用单位向量的性质求解单位向量即可.
29
（2）利用平面向量的坐标运算建立方程，求解参数，表示即可.
【详解】（1）∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
的单位向量
.
（2）设
，则
，
∴
解得
，∴
16．（24-25 高一上·上海·随堂练习）如图，在平行四边形
中，已知
、
、
，其对
角线交点为M.求：
(1)向量
与
的坐标；
(2)点D 与M 的坐标.
【答案】(1)
，
.
(2)
，
【分析】（1）根据向量的坐标运算即可求解；（2）利用中点坐标公式，然后求解M 点坐标，再根据向量
相等，即可利用坐标相等求解D 点坐标.
【详解】（1）因为
所以
，
.
（2）设
，因为M 为
中点，
、
，
30
所以
，所以
.
设
，则
，
由
得
，
即
所以
即
.
17．（23-24 高一下·河南·期末）如图，已知平行四边形
的三个顶点
、
、
的坐标分别是
、
、
.
(1)求顶点
的坐标；
(2)在线段
上是否存在一点
满足
，若存在，求
；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）利用
和平面向量的坐标表示建立方程组，解之即可求解；
（2）设
，根据平面向量线性运算的坐标表示可得
，结合向量的垂
直表示建立方程，解之即可求解.
【详解】（1）设
，又
、
、
，
，
.
又四边形
是平行四边形，所以
，
，
即
解得
顶点A 的坐标为
.
31
（2）存在.
由（1）可知，
，
，
，
设
，则
.
又
，
，
解得，
，即
.
18．如图，在直角梯形
中，
//CB，
，
，
为AB上靠近
的三等分点，
交
于
，
为线段
上的一个动点．
(1)用
和
表示
；
(2)设
，求
，
的取值范围．
【答案】(1)
；
(2)
，
.
【分析】（1）利用向量的线性运算，结合已知条件，即可容易表达；
（2）以
为坐标原点，建立平面直角坐标系，写出对应向量的坐标，用
点横坐标表达
，进而根据
点横坐标的范围，即可求得结果.
【详解】（1）因为
为AB上靠近
的三等分点，故可得
，
又CB//
，且
，故
，
则
.
即
.
32
（2）根据题意，因为
，故以
为坐标原点，
建立如图所示平面直角坐标系：
设
，则
，
因为点
在CB上运动，故可设其坐标为
，
则
，
由
可得
，
则
，因为
，则
，
故
.
19．（23-24 高一下·北京·期中）对于任意实数a，b，c，d，表达式
称为二阶行列式，记作
．
(1)求下列行列式的值：
①
；②
(2)求证：向量
与向量
共线的充要条件是
；
(3)讨论关于
，
的二元一次方程组
（
）有唯一解的条件，并求出解．（结果用
二阶行列式的记号表示）
【答案】(1)①1； ②0
(2)证明见详解
(3)答案见详解
【分析】（1）利用行列式的定义可以直接求出行列式的值；
（2）根据向量共线的坐标运算结合充要条件分析证明；
（3）求出
，
，由此能求出当
时，关于x，y 的
33
二元一次方程组
（
）有唯一解，并能求出解.
【详解】（1）①由题意可得：
；
②由题意可得：
.
（2）若向量
与向量
共线，则：
当
时，有
，即
，
当
时，有
，即
，所以必要性得证.
反之，若
，即
，
当c，d 不全为0 时，即
时，
不妨设
，则
，可得
，
因为
，则
，
可得
，则
与
共线，
当
且
时，
，则
与
共线，充分性得证；
综上所述：向量
与向量
共线的充要条件是
.
（3）用
和
分别乘上面两个方程的两端，然后两个方程相减，消去y 得：
，③
同理，消去x，得：
，④
当
时，即
时，由③④得：
，
，
34
所以当
时，关于x，y 的二元一次方程组
（
）有唯一解，且
，
.
【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于借助行列式的定义表示出x、y，从而得出其有唯一解的条件.
