文档文本内容
6.2.1 导数与函数的单调性
课程标准
学习目标
（1）理解在某区间上函数的单调性与导数的关
系；
（2）能够利用导数求函数的单调区间。
（1）掌握利用导数判断或证明函数单调性的方
法；
（2）能够利用导数求函数的单调区间；
（3）能够根据函数的单调性求参数；
（4）理解函数图象与其导函数图象之间的关系；
（5）通过利用导数判断函数单调性法则的学习提
升数学抽象核心素养。
知识点01 导数与函数单调性的关系
1、导数与函数单调性定义：
在某个区间
内，如果
，那么函数
在这个区间内单调递增；
如果
，那么函数
在这个区间内单调递减．
2、对导数与函数单调性概念理解；
（1）在某区间内
（
）是函数
在此区间上为增（减）函数的充分不必要条件；
（2）可导函数
在
上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有
（
）
且
在
上的任何子区间内都不恒为零．
【即学即练1】（22-23 高二下·四川成都·期末）函数
在
上是（ ）
A．偶函数、增函数 B．奇函数、减函数 C．偶函数、减函数 D．奇函数、增函数
【答案】D
【解析】
，则
，所以函数
是奇函数，
，所以
在
上是单调递增的.故选：D
知识点02 函数图象变化趋势与导数的绝对值的大小的关系
观察函数图象，分析函数的导数绝对值的大小与函数图象的变化关系
函数图象
导数
导数为正，且绝对值
越来越大
导数为正，且绝对值
越来越小
导数为负，且绝对值
越来越大
导数为负，且绝对值
越来越小
函数值
函数值变化越来越快
函数值变化越来越慢
函数值变化越来越快
函数值变化越来越慢
图象特点
越来越陡峭
越来越平缓
越来越陡峭
越来越平缓
【即学即练2】（23-24 高二·全国·课时练习）已知函数
在
上有导函数，
图象如图所示，则下
列不等式正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设函数
，则
，则函数
为增函数，
又
，则
，故选：A.
【题型一：求不含参函数的单调区间】
例1．（23-24 高二上·陕西西安·期末）函数
的单调递减区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】函数定义域是
，
由已知
，由
得
，∴减区间为
，故选：A．
变式1-1．（23-24 高二上·山东青岛·阶段练习）函数
在
上的单调递增区间为
．
【答案】
，
【解析】函数
，求导得
，
当
时，由
，得
，解得
或
，
所以所求单调递增区间为
，
.
变式1-2．（23-24 高二上·江苏宿迁·期末）函数
的单调增区间为 .
【答案】
【解析】函数
，
，
单调递增，
单调递减，所以
单调递增，
当
时，
，所以当
时，
，
所以函数的单调递增区间是
.
变式1-3．（23-24 高三上·贵州黔东南·阶段练习）（多选）下列函数在定义域上为增函数的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【解析】由
在
上是增函数，故A 正确；
对于函数
，
当
时，
，当
时，
，
所以
在定义域
上不是增函数，故B 错误；
函数
的定义域为
，
所以
在定义域
上是增函数，故C 正确；
，
定义域为
，
在定义域内不是增函数，故D 错误；故选：AC.
【方法技巧与总结】
求函数单调区间的步骤
（1）确定函数
的定义域；
（2）求
（通分合并、因式分解）；
（3）解不等式
，解集在定义域内的部分为单调递增区间；
（4）解不等式
，解集在定义域内的部分为单调递减区间．
【题型二：求含参函数的单调区间】
例2．（23-24 高二下·全国·课时练习）已知函数
讨论
的单调性.
【答案】答案见解析
【解析】函数
，求导得
，
当
时，
，
，
单调递减，
，
，
单调递增；
当
时，当
或
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，
当
时，
，函数
在R 上单调递增；
当
时，当
或
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，
所以当
时，函数
的递减区间为
，递增区间为
；
当
时，函数
的递增区间为
，
，递减区间为
；
当
时，函数
的递增区间为
；
当
时，函数
的递增区间为
，
，递减区间为
.
变式2-1．（2024 高二·上海·专题练习）设函数
，其中
.
（1）当
时，求函数
在
处的切线方程；
（2）讨论
的单调性；
【答案】（1）
；（2）函数
在
上单调递减，在
上单调递增
【解析】（1）当
时，
，故
，
此时函数
在
处的切线方程为：
.
（2）由题意，
的定义域为
，
，
则当
时，
单调递增；当
时，
单调递减.
故函数
在
上单调递减，在
上单调递增.
变式2-2．（23-24 高二下·全国·课前预习）已知函数
.
（1）若
，求曲线
在点
处的切线；
（2）讨论
的单调性；
【答案】（1）
；（2）答案见解析
【解析】（1）当
时，函数
，则
，切点坐标为
，
，则曲线
在点
处的切线斜率为
，
所求切线方程为
，即
.
（2）
，函数定义域为R，
，
①
，
解得
或
，
解得
，
所以
在
和
上单调递增，在
上单调递减，
②
，
解得
或
，
解得
，
所以
在
和
上单调递增，在
上单调递减，
③
，
恒成立，
在
上单调递增.
综上，当
时，
在
和
上单调递增，在
上单调递减；
当
时，
在
和
上单调递增，在
上单调递减；
当
时，
在
上单调递增.
变式2-3．（23-24 高二上·河北石家庄·期末）设函数
．
（1）若
，求
的导数；
（2）讨论函数
的单调性．
【答案】（1）
，其中
；（2）见解析
【解析】（1）若
，则
，故
，其中
.
（2）
，
当
时，当
时，
；当
时，
.
故
的减区间为
，增区间为
.
当
时，若
，则当
时，
；
当
时，
，故
的减区间为
，增区间为
.
若
，则当
时，
；
当
时，
，故
的减区间为
，增区间为
.
若
，
恒成立（不恒为零），故
的增区间为
，无减区间.
综上：当
时，故
的减区间为
，增区间为
.
当
时，故
的减区间为
，增区间为
.
若
，故
的减区间为
，增区间为
.
若
，
的增区间为
，无减区间.
【方法技巧与总结】
讨论含参函数的单调性，其本质是导函数符号的变化情况，所以讨论的关键是抓住导函数解析式中的符号
变化部分，即导数的主要部分，简称导主。讨论时要考虑参数所在的位置及参数取值对导函数符号的影响，
一般需要分四个层次来分类：
（1）最高次幂的系数是否为0，即“是不是”；
（2）导函数是都有变号零点，即“有没有”；
（3）导函数的变号零点是否在定义域或指定区间内，即“在不在”；
（4）导函数有多个零点时大小关系，即“大不大”。
【题型三：已知函数的单调性求参数】
例3．（23-24 高二上·湖南常德·期末）若函数
在区间
上是减函数，则实数
的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为函数
在区间
上是减函数，
所以
，对
恒成立，即
，对
恒成立，
令
，由对勾函数的性质得
，所以
，故选：D
变式3-1．（23-24 高二上·浙江宁波·期中）若函数
在区间
上有单调递增区间，则
实数
的取值范围是 ．
【答案】
【解析】
，由题意
在
上有解，即
在
上有解，
根据对勾函数的性质可知，
在
上单调递增，所以在
时取最大值，
故
，故实数
的取值范围是
.
变式3-2．（2024 高二下·全国·专题练习）若函数
恰好有三个单调区间，则实数
的
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】依题意知，
有两个不相等的零点，
故
， 解得
且
.故选：D.
变式3-3．（22-23 高二下·辽宁阜新·期末）若函数
在区间
上单调，则实数
的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．不存在这样的
实数
【答案】A
【解析】因为
，该函数的定义域为
，
，
由
可得
，由
可得
或
，
所以，函数
的增区间为
、
，减区间为
，
因为函数
在区间
上单调，
则
或
或
，
若
，则
，解得
；
若
，则
，解得
；
若
，则
，解得
.
综上所述，实数
的取值范围是
.故选：A.
变式3-4．（23-24 高二上·河南许昌·期末）若函数
在其定义域的一个子区间
上，不是单调函数，则实数k 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由题意
单调递增，且
，
所以若函数
在其定义域的一个子区间
上，不是单调函数，
则
，解得
.
【方法技巧与总结】
已知函数的单调性求参数
1、函数
在区间D 上单调增（单减）⇒f
'(x)≥0（≤0）在区间D 上恒成立；
2、函数
在区间D 上存在单调增（单减）区间⇒f
'(x)>0（<0）在区间D 上能成立；
3、已知函数
在区间D 内单调⇒f '( x )不存在变号零点
4、已知函数
在区间D 内不单调⇒f '( x )存在变号零点
【题型四：原函数与导函数图象关系】
例4．（23-24 高二下·湖南株洲·开学考试）设
是函数
的导函数，
的图象如图所示，则
的图象最有可能的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由
的图象可知：当
和
时，
，所以
单调递增，
当
时，
，所以
单调递减，
结合选项可知，只有C 中函数符合要求，故选：C
变式4-1．（23-24 高二上·山西长治·期末）函数
的导函数
的图象如图所示，那么该函数
的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意知
与
轴有三个交点，不妨设为
，
当
，
，当
，
,
当
，
，当
，
，
所以
在区间
，
单调递减，故A、C 错误；
在区间
,
单调递增，故B 错误，故D 正确.故选：D.
变式4-2．（22-23 高二下·海南·期中）设函数
在定义域内可导，
的图象如图所示，则其导函
数
的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由
的图象可知，
在
上为单调递减函数，
故
时，
，故排除A，C；
当
时，函数
的图象是先递增，再递减，最后再递增，
所以
的值是先正，再负，最后是正，因此排除B，故选：D.
变式4-3．（22-23 高二下·全国·阶段）已知函数
的图象如图所示，则其导函数
的图象可能是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】原函数在
上从左向右有增、减、增，个单调区间；在
上递减.
所以导函数在
上从左向右应为：正、负、正；在
上应为负.
所以A 选项符合.故选：A
变式4-4．（2023·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知函数
的图象如图所示（其中
是函数
的
导函数），下面四个图象中可能是
图象的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由
的图象知，当
时，
，故
，
单调递增；
当
时，
，故
，当
，
，故
，
等号仅有可能在x＝0 处取得，所以
时，
单调递减；
当
时，
，故
，
单调递增，结合选项只有C 符合.故选：C.
【方法技巧与总结】
通过图象研究函数单调性的方法：
（1）观察原函数的图象重在找出“上升”“下降”产生变化的点，分析函数值的变化趋势；
（2）观察导函数的图象重在找出导函数图象与
轴的交点，分析导数的正负。
【题型五：利用单调性解不等式】
例5．（23-24 高二上·江苏泰州·期末）不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由
得
，
设
，则
，所以
在
上单调递减，
故由
得
，
所以
，解得
.故选：B.
变式5-1．（23-24 高二上·湖北武汉·期中）已知函数的定义域为
，
，对任意
，
，
则
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设
，则
，
对任意
，
，
对任意
，
，
在
上单调递减，
，
，
由
，得
，
的解集为
.故选：D.
变式5-2．（23-24 高三上·北京·期中）设
，
分别是定义域为
的奇函数和偶函数，当
时
，且
，则不等式
的解集为 .
【答案】
【解析】设
，
，
因为
是定义域为
的奇函数，
所以
，
即当
时，
，
单调递增，
由已知得
为奇函数，且在
，
上均为增函数，
因为
，所以
的解集为
.
变式5-3．（23-24 高二上·江苏盐城·期末）设函数
的定义域为
，其导函数为
，且满足
，
，则不等式
的解集为 .
【答案】
【解析】设
，则
，
由于
，故
，
即
，则
在R 上单调递减，
又
，
即为
，即
，故
，
则不等式
的解集为
.
变式5-4．（23-24 高三上·上海浦东新·期中）定义在
上的函数
满足
，其中
为
的导函数，若
，则
的解集为 .
【答案】
【解析】由题意知
，故
，
设
，则
，
即
在R 上单调递增，
由
，可得
，
故
即
，即
，则
，
故
，即
的解集为
.
【方法技巧与总结】
利用题目条件构造辅助函数，把求解不等式的问题转化为先利用导数研究函数的单调性问题，再由单调性
解不等式。
【题型六：利用单调性比较函数值大小】
例6．（23-24 高二上·江苏宿迁·期末）函数
是定义在
上的奇函数，对任意实数
恒有
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设
，则
，
由条件可知，
，所以
，则函数
在
上单调递增，
因为函数
是定义在
上的奇函数，则
，即
，故A 错误；
由函数的单调性可知，
，得
，故B 正确；
由
，得
，故C 错误；
由
，得
，故D 错误.故选：B
变式6-1．（23-24 高二上·河北石家庄·期末）已知
，则a，b，c 大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】根据式子结构，构造函数
，则
，
令
，则
，令
，得
，
因此
在
单调递增，在
单调递减，
而
，
，
，
因为
，所以
，即
.故选：D
变式6-2．（23-24 高二上·湖南长沙·期末）若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，
构造函数
，则
，
令
，解得
；当时，令
，解得
；
可得
在
上单调递减，在
上单调递增；
且
，所以
，即
.故选：C.
变式6-3．（23-24 高三上·广东深圳·期末）设
则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】令
，
则
，
易知
，
显然
和
时，
，即
在
和
上单调递减，
时，
，即
在
上单调递增，
易知
，且
，
所以
，
又
，
，
所以
.故选：D
变式6-4．（23-24 高二上·湖北武汉·期中）已知
，
，
，试比较
，
，的
大小（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设
则当
时
单调递减，
故
故
进而
，
设
由于函数
和
均为定义域内的单调递增函数，
所以
为
上的单调递增函数，
因此
，
故
，故
，
因此
，故选：B
【方法技巧与总结】
利用题目条件构造辅助函数，把比较函数值大小的问题转化为先利用导数研究函数的单调性问题，再由单
调性比较大小。
一、单选题
1．（23-24 高二上·山西大同·期末）函数
的单调递减区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由函数
，可得其的定义域为
，且
，
令
，解得
，所以函数
的单调递减区间是
．故选：B．
2．（23-24 高二上·江苏南京·期末）若定义在
上的函数
的图象如图所示，则函数
的增区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由图象可得，
当
时，由
得
，
在
上单调递增，
当
时，由
得
，
在
上单调递减，
当
时，由
得
，
在
上单调递减，
综上，函数
的增区间为
.故选：B.
3．（23-24 高二上·重庆·期末）已知函数
的导函数为
，
的图象如图所示，则
的图象
可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由
的图象可知
时，
，且
的值随x 的增大逐渐减小，
此时
的图象应是上升的，且上升趋势越来越平缓，
当
时，
，且
的值随x 的增大逐渐增大，
此时
的图象应是上升的，且上升趋势越来越陡峭，
结合选项，符合
的图象特征的为选项D 中图象，故选：D
4．（22-23 高二下·河南焦作·期末）已知函数
，则不等式
的解集
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
，
且函数
的定义域为
，所以
是偶函数.
当
时，因为函数
，所以
.
令
，则
.
因为
，所以
，当且仅当
，即
时，等号成立.
因为
，所以
，即
在
上单调递增，
所以
，即
，所以
在
上单调递增.
因为函数
是偶函数，所以
在
上单调递减.
所以不等式
等价于
，
两边平方得
，化为
，
即
，解得
.
所以不等式
的解集为
.故选：A
5．（23-24 高二下·陕西·开学考试）已知函数
的导函数为
，且
，则必有（
）
A．函数
为增函数 B．函数
为增函数
C．函数
为减函数 D．函数
为减函数
【答案】D
【解析】由
可得
，
由于
的正负无法确定，因此无法
判断单调性，
由
得
，
因此函数
为减函数，故D 正确 ，ABC 错误，故选：D
6．（2024 高二下·全国·专题练习）若
是区间
上的单调函数，则实
数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
或
D．
【答案】C
【解析】由题意，
，
令
，解得
，令
，解得
或
，
所以
在
上单调递减，在
，
上单调递减，
若函数
在区间
上单调，
则
或
或
，解得
或
或
，
即
或
.故选：C.
7．（2023·全国·模拟预测）已知定义在
上的偶函数
，对
，都有
，则
，
，
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由已知对
，都有
，
即当
，
，所以函数
在
上单调递减，
又函数
为偶函数，
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
因为
，
所以只需比较
，
，
三者的大小关系，
又
，
，
，
且
，
所以
所以
，即
，故选：D.
8．（23-24 高二上·福建·期末）定义在
上的函数
，
是它的导函数，且恒有
成立．则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】当
，
则不等式
等价为
，
即
，
设
，
，
则
，即函数
在
上单调递增，
则
，
，
，
，
即
，
，
，
，则
，故A 正确；
，得不出
，故B 错误．
，故C 错误．
，故D 错误．故选：A．
二、多选题
9．（23-24 高二下·云南·开学考试）下列不等式成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【解析】设
，则
，
当
时，
，当
时，
，
故
在
上为增函数，在
上为减函数，
因
，故
，即
，故A 正确；
因
，故
，即
，故B 错误；
因
，故
，即
即
，故C 错误；
因
，故
即
，故D 正确；故选：AD.
10．（23-24 高二上·安徽滁州·期末）已知函数
的定义域为
，其导函数为
，且对任意的
，
都有
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【解析】令
，所以
，
所以
在
上单调递增，
所以
，即
，故A 错误，B 正确；
又
，所以
，
即
，故C 正确，D 错误.故选：BC.
11．（23-24 高二上·安徽滁州·期末）已知函数
为定义在
上的奇函数，若当
时，
，且
，则（ ）
A．
B．当
时，
C．
D．不等式
解集为
【答案】ACD
【解析】构造函数
，其中
，
因为函数
为定义在
上的奇函数，则
，
所以
，故函数
为偶函数，
当
时，
，
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
因为
，则
，则
.
因为
，所以
，即
，
，故A 正确；
不妨取
，则
，
，B 错误；
因为偶函数
在
上单调递增，则
，
即
，整理可得
，C 正确；
当
时，由
可得
，解得
，
当
时，由
可得
，解得
.
综上所述，不等式
解集为
，D 正确.故选：ACD.
三、填空题
12．（22-23 高二下·河南省直辖县级单位·期末）
的单调增区间为 .
【答案】
【解析】函数定义域是
，
由已知
，由
得
，所以递增区间为
.
13．（23-24 高二上·江苏盐城·期末）已知函数
，若
在
上单调递增，则实数a
的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由题意，
在
上恒成立，即
在
上恒成立，
令
，
在
上恒成立，
所以
在
上单调递减，有
，所以
，解得
，
即实数a 的取值范围是
．
14．（23-24 高二上·江苏盐城·期末）已知定义在
上的可导函数
的导函数为
，满足
且
为偶函数，
为奇函数，若
，则不等式
的解集为
．
【答案】
【解析】由
，即
，
令
，则
，故
在
上单调递减，
由
为偶函数，故
，
又
为奇函数，故
，
故有
，
即有
，则
，
即
，故
为周期为的周期函数，
由
，故
，
由
，故
，
即
，故
，即有
，则
，
对
，有
，即有
，
由
在
上单调递减，故
，即不等式
的解集为
.
四、解答题
15．（23-24 高二上·陕西西安·期末）已知函数
（1）求曲线
在点
处的切线方程；
（2）求函数
的单调区间．
【答案】（1）
；（2）单调增区间为
，
，单调递减区间为
.
【解析】（1）
，则
，
则切线的斜率
，又
，
所以曲线
在点
处的切线方程为
．
（2）
，
则
，
由
，可得
或
；由
，可得
，
所以函数
的单调增区间为
，
，单调递减区间为
．
16．（23-24 高二上·河北沧州·期末）已知函数
．
（1）当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
（2）若函数
在
上单调递增，求实数a 的取值范围．
【答案】（1）
；（2）
【解析】（1）当
时，
，则
，∴
，
，
曲线
在点
处的切线方程为
，即
．
（2）由题意得当
时，
恒成立，
∴
在
时恒成立，
∵
，则
，由于二次函数
在
上单调递减，
∴当
时，
，
∴
，即实数a 的取值范围是
．
17．（23-24 高二上·广东深圳·期末）已知函数
．
（1）若函数
的图象在点
处的切线与直线
垂直，求
的单调递增区间；
（2）若函数
在
上为增函数，求实数k 的取值范围．
【答案】（1）
，
；（2）
【解析】（1）
的定义域为
，
，
由题意可知
，解得
，
所以
．
由
，得
或
，
所以函数
的单调递增区间是
，
；
（2）函数
的定义域为
，要使函数
在定义域内为增函数，
只需
在区间
上恒成立，
即
在区间
上恒成立，即
在区间
上恒成立.
令
，
，
则
，当且仅当
时等号成立，
所以
，即实数
的取值范围为
．
18．（23-24 高二下·江苏·阶段练习）（1）已知函数
，在区间
上存在减
区间，求
的取值范围；
（2）已知函数
．讨论函数的单调性；
【答案】（1）
；（2）答案见解析．
【解析】（1）
，若函数
在区间
上存在减区间，
等价于
，使得
成立，
可得
，使得
成立，构建
，
可知
开口向上，对称轴
，故
，解得
，
则
的取值范围为
．
（2）易知
定义域为
，
令
得
或
，
①当
即
时，令
得
或
，
令
得
；故
在
单调递减，在
上单调递增；
②当
即
时，
恒成立，故
在R 上单调递增；
③当
即
时，令
得
或
，
令
得
，
在
上单调递减，在
上单调递
增；
综上，当
时，
在
单调递减，在
上单调递增，
当
时，
在
上单调递增：当
时，
在
上单调递减，
在
上单调递增.
19．（23-24 高二上·重庆·期末）已知函数
.
（1）若曲线
在点
处的切线与直线
平行,求出这条切线的方程；
（2）讨论函数
的单调性.
【答案】（1）
；（2）见解析
【解析】（1）由题得
,则
在点
处的切线与直线
平行，
即
又
曲线
在点
处的切线为
即
.
（2）
令
得
或
（i）当
即
时,
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
（ii）当
即
时,
恒成立,
在
上单调递增,无单调递减区间.
（iii）当
即
时,
单调递
增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
综上所述,当
时,
的单调递增区间为
,
,单调递减区间为
；
当
时,
在
上单调递增,无单调递减区间；
当
时,
的单调递增区间为
,
,单调递减区间为
.
