文档文本内容
6.2.2 导数与函数的极值、最值
课程标准
学习目标
（1）理解函数极值、极值点的有关概念，掌握利用
导数求函数极值的方法；
（2）注意结合函数的图象理解用导数求函数极值的
方法，培养用数形结合的思想方法去分析问题和解决
问题的思维习惯；
（3）了解函数最值的有关概念；
（4）会用函数的导数求函数的最值。
（1）了解函数的极大（小）值与导数的关系；
（2）理解极大值、极小值的概念掌握；
（3）掌握不超过三次的多项式函数的极大（小）
值的求法；
（4）了解函数的最值与极值的区别和联系；
（5）理解函数最值的概念并掌握指定区间上不超
过三次的多项式函数的最大（小）值的求法。
知识点01 函数的极值点、极值
1、极值与极值点的定义
一般地，设函数
的定义域为
，设
，如果对于
附近的任意不同于
的
，都有：
（1）
，则称
为函数
的一个极大值点，且
在
处取极大值；
（2）
，则称
为函数
的一个极小值点，且
在
处取极小值；
极大值点与极小值点都成为极值点，极大值与极小值都成为极值。
2、函数的导数与极值关系
一般地，如果
是
的极值点，且
在
处可导，则必有
（1）函数的极值是一个局部性的概念，是仅对某一点的左右两侧附近的点而言的；
（2）极值点是函数定义域内的点，而函数定义域的端点绝不是函数的极值点；
（3）极大值与极小值没有必然的的大小关系，一个函数在其定义域内可以有许多个极小值和极大值，且
在某一点的极小值可能大于某一点的极大值；
（4）
只是可导函数
在
处取得极值的必要条件，不是充分条件。
3、函数的单调性与极值
一般地，设函数
在
处可导，且
（1）如果对于
左侧附近的任意
，都有
；对于
右侧附近的任意
，都有
，那么
此时
是
的极大值点；
（2）如果对于
左侧附近的任意
，都有
；对于
右侧附近的任意
，都有
，那么
此时
是
的极小值点。
（3）如果
在
的左侧附近与右侧附近均为正号（或均为负号），则
一定不是
的极值点。
【即学即练1】（23-24 高二上·山西忻州·期末）函数
的极大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
，当
时，
，
当
时，
.
所以
的极大值为
.故选：B.
知识点02 函数的最值
1、函数最值的定义
（1）最大值：如果在函数
的定义域
内存在一点
使得任意一点
，使得对任意的
，总有
，那么称
为函数在定义域上的最大值。
（2）最小值：如果在函数
的定义域
内存在一点
使得任意一点
，使得对任意的
，总有
，那么称
为函数在定义域上的最小值。
2、对函数最值的定义理解
（1）闭区间上的连续函数一定有最值，开区间内的连续函数不一定有最值。
（2）函数的最大值和最小值是一个整体性概念。
（3）函数
在
上连续，是函数
在
上有最大值或最小值的充分而非必要条件。
3、函数极值与最值的关系
一般地，如果函数
在定义域内的第一点都可导，且函数存在最值，则函数的最之巅一定是某个
极值点；如果函数
的定义域为
且存在最值，函数
在
内可导，那么函数的最
值点要么是区间端点
或
，那么是极值点。
【即学即练2】（22-23 高二下·新疆喀什·阶段练习）下列结论中，正确的是（ ）
A．若
在
上有极大值，则极大值一定是
上的最大值．
B．若
在
上有极小值，则极小值一定是
上的最小值．
C．若
在
上有极大值，则极大值一定是在
和
处取得．
D．若
在
上连续，则
在
上存在最大值和最小值．
【答案】D
【解析】函数在
上的极值不一定是最值，最值也不一定是极值，故AB 错误；
函数
在
上的极值一定不会在端点处取得，故C 错误；
若
在
上连续，则
在
上存在最大值和最小值，故D 正确.故选：D.
【题型一：导函数图象与极值的关系】
例1．（22-23 高二下·北京·期末）已知函数
的导函数
的图像如图所示，则
（ ）
A．有极小值，但无极大值 B．既有极小值，也有极大值
C．有极大值，但无极小值 D．既无极小值，也无极大值
【答案】A
【解析】由导函数图像可知：
导函数
在
上小于0，于是原函数
在
上单调递减，
在
上大于等于0，于是原函数
在
上单调递增，
所以原函数在
处取得极小值，无极大值，故选：A.
变式1-1．（22-23 高二下·广东梅州·期末）设
是
的导函数，
的图象如图所示，则下列说
法正确的是（ ）
A．
有两个极值点 B．
C．
为
的极小值 D．
有一个极大值
【答案】D
【解析】令
的图象与x 轴最右边交点横坐标为
，
观察图象知，由
，得
或
，由
，得
或
，
函数
有3 个极值点
，A 错误；
函数
在
上单调递增，
，B 错误；
显然2 不是函数
的极值点，则
不为
的极小值，C 错误；
显然1 是函数
的极大值点，则
有一个极大值，D 正确.故选：D
变式1-2．（23-24 高二上·安徽·期末）已知函数
为连续可导函数，
的图像如
图所示，以下命题正确的是（ ）
A．
是函数的极大值 B．
是函数的极小值
C．
在区间
上单调递增 D．
的零点是
和
【答案】B
【解析】因为
，
由图可知：
，
；
或
，
；
且
或
，
；
，
；
可得
或
，
；
，
；且函数
为连续可导函数，
则
在
内单调递减，在
内单调递增，
可知
有且仅有一个极小值
，无极大值，故AC 错误，B 正确；
由于不知
的解析式，故不能确定
的零点，故D 错误；故选：B.
变式1-3．（23-24 高二上·湖南长沙·期末）（多选）已知函数
的导函数
的图象如图所示，下
列说法正确的是（ ）
A．函数
在
上单调递增 B．函数
在
上单调递减
C．函数
在
处取得极大值 D．函数
有最大值
【答案】BC
【解析】由题意可知：当
时，
（不恒为0）；
当
时，
；
所以
在
上单调递减，
在
上单调递增.
可知：A 错误；B 正确；
且函数
在
处取得极大值，故C 正确；
虽然确定
的单调性，但没有
的解析式，故无法确定
的最值，故D 错误；故选：
BC.
【方法技巧与总结】
只是可导函数
在
处取得极值的必要条件，不是充分条件。只有当
两侧的导函数异号
才可确定其为极值点。
【题型二：求函数的极值或极值点】
例2．（23-24 高三上·广东东莞·阶段练习）若函数
，则
的极大值点为 .
【答案】2
【解析】
，
令
，解得
或6，
当
或
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，
故
在
取得极大值，故极大值点为2.
变式2-1．（23-24 高二下·湖南长沙·开学考试）函数
的极值点是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
，
令
，则
，得
．
由正弦函数的性质可知
在
的左右两侧的正负相反，
故
为函数的极值点，故选：A
变式2-2．（23-24 高二下·江苏南京·开学考试）设
，函数
的单调增区间是
．
（1）求实数a；
（2）求函数
的极值．
【答案】（1）2;（2）极小值为
，极大值为0.
【解析】（1）函数的定义域为：
，且
因为函数
的单调增区间是
，
所以
的解集是
.
所以方程
的解是
，，所以
.
（2）当
时，令
，则
或
当
变化时，
，
的变化情况如下表：
x
1
f'(x)
+
0
f(x)
↘
极小值
↗
极大
值
↘
当
时，
有极小值
；
当
时，
有极大值
.
变式2-3．（23-24 高二上·山东滨州·期末）已知函数
.
（1）求曲线
在点
处的切线方程；
（2）求
的极值.
【答案】（1）
；（2）极小值为
，无极大值
【解析】（1）
的定义域为
，
，所以
，
又因为
，所以切点为
，
所以曲线在
处的切线方程为
（2）
，
当
时，
，
当
时，
，函数
单调递增，
当
时，
，函数
单调递减，
所以当
时，
取得极小值，且极小值为
，无极大值.
【方法技巧与总结】
利用导数求函数极值的方法步骤
（1）求导数
；
（2）求方程
的所有实数根；
（3）观察在每个根
附近，从左到右导函数
的符号如何变化．
①如果
的符号由正变负，则
是极大值；
②如果由负变正，则
是极小值．
③如果在
的根
的左右侧
的符号不变，则不是极值点．
【题型三：已知函数的极值求参数】
例3．（23-24 高二上·陕西西安·期末）已知函数
在
时取得极大值4，则
．
【答案】
【解析】由题意可知
，
因为函数
在
时取得极大值4，
所以
，解之得
，
检验，此时
，令
或
，
令
，
即
在
上单调递增，在
上单调递减，
即
满足题意，故
.
变式3-1．（23-24 高二上·山西吕梁·期末）若函数
在
处有极小值，则
（ ）
A．
B．
C．
或
D．
【答案】A
【解析】由函数
，可得
，
因为函数在
处取得极小值，可得
，解得
或
，
当
时，令
，解得
或
；令
，解得
，
函数
在
上单调递增，在
上单调递减，在
单调递增，
所以
在
处有极大值，不符合题意，舍去；
当
时，令
，可得
或
；令
，可得
，
函数
在
上单调递增，在
上单调递减，在
单调递增，
所以
在
处有极小值，符合题意，
综上可得，
.故选：A.
变式3-2．（23-24 高二上·陕西榆林·开学考试）若-2 是函数
的极大值点，则实数
的
取值范围是 .
【答案】
【解析】
，令
，得
或
，
当
，即
时，
由
，得
或
，由
，得
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增，
所以-2 是函数
的极小值点，不符合题意；
当
，即
时，
由
，得
或
，由
，得
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增，
所以-2 是函数
的极大值点，符合题意；
当
，即
时，
恒成立，所以
没有极值点，不符合题意.
综上所述，实数
的取值范围是
.
变式3-3．（23-24 高二上·安徽·期末）已知函数
在
上有两个极值点，则
实数
的取值范围是 ．
【答案】
【解析】因为函数
在
上有两个极值点，
所以
在
上有两个变号零点，
因为
，令
，即
，可得
，
令
，则
，
令
，得
，令
，得
，
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
又
，作出函数
在
上图象，
当
时，直线
与函数
在
上的图象有两个交点，
设两个交点的横坐标分别为
、
，且
，由图可知，
当
或
时，
，此时
，
当
时，
，此时
，
所以函数
在
上递增，在
上递减，在
上递增，
此时，函数
有两个极值点，合乎题意.因此，实数
的取值范围为
.
变式3-4．（2022 高三·全国·专题练习）已知
没有极值，则实数
的取值范
围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由
得
，
根据题意得
，解得
．故A，B，D 错误.故选：C.
【方法技巧与总结】
1、已知可导函数的极值求参数问题的解题步骤：
①求函数的导数
；②由极值点的导数值为0，列出方程（组），求解参数
注意：求出参数后，一定要验证是够满足题目的条件。
2、对于函数在某区间内无机制的问题，往往转化为其导数的值非负或非正在某区间内恒成立的问题，即
转化为
或
在某区间内恒成立的问题，此时需注意不等式中的等号是否成立。
【题型四：利用导数求函数的最值】
例4．（22-23 高二下·黑龙江鹤岗·期中）函数
的最大值为（ ）
A．
B．
C．0 D．
【答案】A
【解析】因为
，且
，令
，则
或
（舍），
当
时，
，则函数
单调递增，
当
时，
，则函数
单调递减，
则当
时，函数
有极大值，即最大值为
.故选：A
变式4-1．（22-23 高二下·河南·期中）已知函数
，则
的最大值为（ ）
A．
B． C．
D．
【答案】C
【解析】
，令
，得
，
当
，
，
为减函数，
当
，
，
为增函数，
又
，则
.故选：C.
变式4-2．（22-23 高二下·吉林长春·阶段练习）函数
的最小值为（ ）
A．1 B．
C．0 D．
【答案】C
【解析】
，
，
令
，解得
；令
，解得
或
，
故
在
单调递减，在
单调递增，在
单调递减，
而
，故
在
上的最小值是0.故选：C．
变式4-3．（23-24 高二上·江苏宿迁·期末）已知函数
的图象在点
处的切线方程
是
.
（1）求
，
的值；
（2）求函数
在区间
上的最大值与最小值.
【答案】（1）
；（2）
【解析】（1）
，
，
所以
，解得
，
（2）由（1）得
，
当
，令
，解得
或
，
故
在
和
单调递增，在
单调递减，
又
，
，
，
由于
，
，
所以
变式4-4．（23-24 高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知函数
．
（1）讨论
的单调性；
（2）求
在
上的最小值
．
【答案】（1）答案见解析；（2）
【解析】（1）函数
的定义域为
，
则
．
当
时，
在
上恒成立，故此时
在
上单调递减；
当
时，由
，得
,由
，得
，
故此时
在
上单调递减，在
上单调递增．
综上，当
时，
在
上单调递减；
当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增．
（2）由（1）知，当
时，
在
上单调递减，
所以
在
上单调递减，所以
；
当
时，
(i)若
，即
时，
在
上单调递增，此时，
；
(ii)若
，即
时，
在
上单调递减，在
上单调递增，
此时，
；
(iii)若
，即
时，
在
上单调递减，
此时，
．
综上所述，
．
【方法技巧与总结】
利用导数求函数最值的方法
（1）若函数
的图象是一条连续不断的曲线，在曲线
内只有一个导数值为0 的点，且在这
一点处取得极值，则该点一定是函数的最值点.
（2）求一个函数在闭区间上的最值时，一定是找出该区间上导数值为0 的点，无需判断出是极大值点还是
极小值点，只需将这些点对应的函数值与端点处的函数值进行比较，期中最大的就是函数的最大值，最小
的就是函数的最小值。
【题型五：已知函数的最值求参数】
例5．（2024 高二下·全国·专题练习）若函数
在区间
内存在最小值，则实数
的取值范围是 .
【答案】
【解析】因为
，所以
，
令
，得
或
，
令
，得
或
；令
，得
，
所以函数
在
和
上单调递增，在
上单调递减，
所以
在
处取得极小值
，
令
，解得
或
，
若函数
在
内存在最小值，
则
，解得
.
变式5-1．（23-24 高三上·山东潍坊·阶段练习）已知函数
在区间
上的最小值为
，则实数a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】当
时，
单调递减，
故
在
处取得最小值，最小值为
，满足要求，
当
或
时，
，
令
得
或
，
当
时，
恒成立，
故表格如下：
0
+
0
极小值
极大值
故
在
上取得极小值，
且
，
，
要想
在区间
上的最小值为
，
则要
，变形得到
，
令
，
，
当
时，
，
单调递增，当
时，
，
单调递减，
且
，
，
故
的解集为
，
时，令
可得
，
当
时，
，
令
得
，故
在
上单调递减，
故
在
处取得最小值，最小值为
，满足要求，
当
时，
恒成立，
故表格如下：
+
0
0
+
极大值
极小值
故
在
上取得极小值，
且
，
，
要想
在区间
上的最小值为
，
则要
，变形得到
，
令
，
，
时，
，
单调递增，
又
，故
上，
无解，
综上：实数a 的取值范围是
.故选：C
变式5-2．（22-23 高二下·重庆江北·阶段练习）若函数
在区间
上的最小值为2e，则a 的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
，令
，得
，
时，
，
单调递减，
时，
，
单调递增，
而
，所以函数
在区间
上的最小值为2e，
必有
，即
.故选：B
变式5-3．（22-23 高二下·陕西西安·期中）已知函数
在区间
内有最值，则实
数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
，其中
，
当
时，
，故
在
上单调递减，此时
在
内无最值，
当
时，若
，则
，若
，则
，
故
在
上为增函数，在
上为减函数，故
在
处取最大值，
综上所述，实数a 的取值范围是
.故选：A.
变式5-4．（22-23 高二下·湖北·期末）已知1 是函数
（a，b，
）的极值点，
在
处的切线与直线
垂直.
（1）求a，b 的值；
（2）若函数
在
上有最大值2，在
上有最小值也有最大值，求实数m 的取值范围.
【答案】（1）
，
；（2）
【解析】（1）依题意，
在
处的切线的斜率为
，
，
，
，
所以
，
，经检验符合题意；
（2）由（1）得
，
，
，
，
的变化情况如下表所示
x
1
2
0
0
递增
递减
递增
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
上单调递增，
所以
，所以
，
所以
，又
在
上有最大值和最小值，所以
.
【方法技巧与总结】
已知函数的最值求参数问题常用方法有函数图象法、导数法等。
（1）图象法是较为直观的一种方法，通过观察函数的图象来判断函数的极值及其对应的参数值；
（2）导数法：对于已知的函数，我们可以先求出其导数，然后找出导数为零的点或者导数变号的点，这
些点就是函数取得极值的地方。接下来，可以通过这些点进行一些判断，例如使用二阶导数来判断极值类
型，从而得到函数的最值及其对应的参数值。
【题型六：函数极值与最值综合应用】
例6．（四川省宜宾市2023 届高三三模数学（理科）试题）已知函数
.
（1）讨论函数
的极值点个数；
（2）若
，
的最小值是
，求实数m 的所有可能值.
【答案】（1）
时，
恰有一个极值点；
时，
恰有三个极值点；（2）
.
【解析】（1）函数
的定义域是
，求导得
，
令
，求导得
，
递减，
递增，
，
①当
时，
，
递减，
递增，有1 个极小值点；
②当
时，
，
令
，则
，函数
在
上递增，
，即
，
当
时，
，此时
，使得
，
令
，有
，令
，
，
即有
在
上递增，
，函数
在
上递增，
，则
，
当
时，
，此时
，使得
，
因此
递减，
递增，
递减，
递增，
有3 个极值点，
所以当
时，
恰有一个极值点；当
时，
恰有三个极值点.
（2）由（1）知，①当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增，
，即
，令
，
，函数
在
上单调递增，
，则
；
②当
时，
，使得
，
，使得
，
递减，
递增，
递减，
递增，
其中
，则
，
显然
符合要求，即有
，
综上提
，所以m 的所有可能值是
上的实数.
变式6-1．（23-24 高三上·江苏淮安·阶段练习）已知函数
.
（1）若
在
处取得极值，求
的极值；
（2）若
在
上的最小值为
，求
的取值范围.
【答案】（1）极大值为
，极小值为
；（2）
【解析】（1）
，
，
.
因为
在
处取得极值，所以
，则
.
所以
，
，
令
得
或1，列表得
1
+
0
-
0
+
↗
极大值
↘
极小值
↗
所以
的极大值为
，极小值为
.
（2）
.
①当
时，
，所以
在
上单调递增，
的最小值为
，满足题意；
②当
时，令
，则
或
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
此时，
的最小值为
，不满足题意；
③当
时，
在
上单调递减，
的最小值为
，不满足题意.
综上可知，实数
的取值范围时
.
变式6-2．（22-23 高二下·广东佛山·阶段练习）已知函数
，且
是函数
的两个极值点.
（1）求
与
的值；
（2）若函数
在
上有最小值为
，在
上有最大值，求
的取值范围.
【答案】（1）
；（2）
【解析】（1）因为
，所以
，
由条件知
，即
，
解得
，经检验适合题意；
（2）由（1）可知
，则
，
令
，得
或
，
和
随
的变化情况如下表：
-2
-1
1
2
+
0
-
0
+
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递
增
因为
所以函数
在
上的最小值为
，
所以
，解得
，所以
，
因为函数在
和
上递增，在
上递减，且
，
画出函数图象如图所示，由于函数在区间
上有最大值，
根据图象可知
，即
.
变式6-3．（23-24 高二上·福建福州·期末）已知函数
.
（1）若曲线
在
处的切线与y 轴垂直，求实数a 的值；
（2）若函数
存在极大值为
，求实数a 的值.
【答案】（1）
；（2）
【解析】（1）依题意，
，
，
则
，
因为在
处的切线与y 轴垂直，所以
，解得
；
（2）由（1）知
，
当
时，由
得
，由
得
，
所以
的单调递增区间为
，单调递减区间
，
此时
有极大值
，解得
，不合题意，舍去；
当
时，分以下三种情况：
若
，则
在定义域内恒成立，
所以
的单调递增区间为
，无单调递减区间，无极值，舍去；
若
，令
得
或
，令
得
，
所以
的单调递增区间为
，单调递减区间为
，
此时
有极大值
，解得
；
若
，令
得
或
，令
得
，
所以
的单调递增区间为
，单调递减区间为
，
此时
有极大值
，
设
，因为
，所以
在
上单调递增，
所以
，所以
，故此时不存在a 符合题意，
综上所述，实数
.
【方法技巧与总结】
在函数极值与最值的综合问题时，一定要准确区分极值与最值的关系。
一、单选题
1．（23-24 高二上·江苏徐州·期末）己知函数
的定义域为
，导函数
的图象如图所示，则函
数
的极小值点的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】根据导函数
的图象可知，
有三个变号零点，
则可得函数
在
上的单调性为先增再减，再增又减，
所以函数
的极小值点的个数为1 个.故选：A
2．（23-24 高二上·陕西榆林·期末）已知函数
的极小值为（ ）
A． B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，所以
，令
得
，
令
得
，令
得
，
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
的极小值为
.故选：D
3．（23-24 高三上·陕西·阶段练习）函数390<417 的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意可得
.
由
，得
，由
，得
，
则
在
上单调递减，在
上单调递增，
故
.故选：D.
4．（23-24 高二上·江苏泰州·期末）已知函数
在
处取得极小值1，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由
，
因为在
处取得极小值1，
所以有
，
当
时，
单调递增，
当
时，
单调递减，
所以
是函数的极小值点，故
满足题意，
于是有
.故选：C
5．（23-24 高三下·福建·开学考试）已知函数
在区间
上存在最小值，则实数a
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意得
．
当
时，得
或
，当
时，
，
可得函数的单调增区间为
，
．减区间为
，
即
时，函数取得极小值
，
当
时，即
，解得
或
，
故要使函数
在区间
上存在最小值，
需有
，解得
，
即实数a 的取值范围为
，故选：A．
6．（22-23 高二下·甘肃兰州·阶段练习）定义在
上的函数
在区间
上的最大
值为
，则
的值为（ ）
A．7 B．
C．9 D．
【答案】A
【解析】依题意，
，
，
所以
在区间
上
单调递增；
在区间
上
单调递减.
，
，
所以
在区间
上的最大值为.故选：A
7．（23-24 高二上·江苏盐城·期末）已知函数
的导函数
，若
是函数
的极大值点，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】令
，则
或
，
明显函数
在
上单调递增，且值域为
，
所以方程
必有根，设为
，
即
的根为
或
，
又
是函数
的极大值点，
则函数
在
上单调递增，
上单调递减，
上单调递增，
即
，所以
，得
.故选：B.
8．（22-23 高二下·陕西榆林·期末）若函数
存在最小值，且其最小值记为
，则
的最大值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【解析】因为
，所以
的定义域为
，
，
当
时，
恒成立，所以
在定义域上单调递增，不满足题意；
当
时，令
得
，此时
单调递减，
令
得
，此时
单调递增，
所以当
时，
取得最小值，即
，
，
令
得
，此时
单调递增，令
得
，此时
单调递减，
所以当
时，
取得最大值，即
.故选：A.
二、多选题
9．（23-24 高二上·江苏镇江·期末）已知函数
的定义域为R，函数
的导函数
的图象如图所
示，则下列选项正确的是（ ）
A．函数
的单调递减区间是
B．函数
的单调递增区间是
，
C．
处是函数
的极值点 D．
时，函数的导函数小于0
【答案】BD
【解析】根据导函数
的图象，对于A 项，在
上，
，
可得函数
的单调递减区间是
，故A 错误；
对于B 项，在
上，
，在
上
，
可得函数
的单调递增区间是
，
，故B 正确；
对于C 项，
是
的变号零点，且
时，
，
当
时，
，故
是函数
的极大值点，
是
的不变号零点，
不是函数
的极值点，故C 错误；
对于D 项，
，故D 正确.故选：BD.
10．（2024 高二下·全国·专题练习）对于函数
，下列说法正确的是（ ）
A．
是增函数，无极值
B．
是减函数，无极值
C．
的单调递增区间为
，
，单调递减区间为
D．
是极大值，
是极小值
【答案】CD
【解析】
定义域为
，
，
当
时，
；当
时，
；
的单调递增区间为
，
；单调递减区间为
；AB 错误，C 正确；
的极大值为
，极小值为
，D 正确.故选：CD.
11．（23-24 高二上·江苏泰州·期末）已知函数
，则（ ）
A．当
时，函数
恰有1 个零点 B．当
时，函数
恰有2 个极值点
C．当
时，函数
恰有2 个零点 D．当函数
恰有2 个零点时，必有一个零点为2
【答案】ABD
【解析】因为
，所以
，
令
，
，
当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，
对于A：当
时，
，即
恒成立，
所以
在
上单调递增，
又
，
，所以函数
恰有1 个零点，A
正确；
对于B：当
时，
，令
，有
，设
，则
，
当
时，
，
单调递增，当
时，
，
单调递减，
所以
，作出
图象如下图：
又
，所以方程
必有
个根，即
必有两个零点，设为
，且
，
当
时，
，即
，
当
时，
，即
，
当
时，
，即
，
所以函数
在
上单调递增，在
单调递减，在
上单调递增，
即函数
恰有2 个极值点，B 正确；
对于CD：当函数
有2 个零点时，
或
，
所以
或
，
将
或
代入得
或
，
解得
或
，故C 错误，D 正确.故选：ABD.
三、填空题
12．（22-23 高二上·浙江·期中）函数
的最小值是 .
【答案】
【解析】显然函数的定义域为
，
令
，显然
，
当
时，
，
当
时，
该函数单调递增，当
时，
该函数单调递减，
所以当
时，函数有最小值，最小值为
.
13．（2024 高二下·全国·专题练习）已知函数
，其中
.若
在区间[1，4]上
的最小值为8，则a 的值为 .
【答案】
【解析】
，令
，解得
或
，
当
，
或
，此时
单调递增；
当
，
，此时
单调递减；
当
，即
时，
在
上为增函数，
由
解得
，不符合题意，应舍去；
当
，即
时，
在
上的最小值
，不符合题意，应
舍去；
当
，即
时，
在
上的最小值可能在
或
上取得，而
当
时，即
，解得
或
，均不符合题意，应舍去；
当
，即
，解得
或
（舍去）；
当
时，
在
上单调递减，
在
上的最小值为
，符合题意.
综上所述，
.
14．（23-24 高二上·河北邢台·阶段练习）若函数
在区间
内只有极小值，无极大值，
则实数
的取值范围是 .
【答案】
【解析】因为
在区间
内只有极小值，无极大值，
所以
0 在区间
内只有一个左负右正的异号根，
即关于
的方程
在区间
内只有一个左负右正的异号根，
所以
，得
.
四、解答题
15．（23-24 高二下·安徽淮南·开学考试）已知函数
，且当
时，
有极值
．
（1）求
的解析式；
（2）求
在
上的最大值和最小值．
【答案】（1）
；（2）最大值和最小值分别为
【解析】（1）
，由题意
，解得
，
所以
的解析式为
.
（2）
，
，
当
时，
，
在
上单调递增，
当
时，
，
在
上单调递减，
当
时，
，
在
上单调递增，
而
，
，
所以
在
上的最大值和最小值分别为
.
16．（23-24 高二上·山西·期末）已知函数
，且
为极值点.
（1）求实数
的值；
（2）判断
是极大值点还是极小值点，并分别求出极大值与极小值.
【答案】（1）
；（2）答案见解析
【解析】（1）
，
因为
为函数的极值点，所以
，解得
，
经检验符合题意，所以
；
（2）由（1）得
，
，
当
或
时，
，当
时，
，
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
为极大值点，极大值为
，
为极小值点，极小值为
.
17．（23-24 高二下·河北·开学考试）已知函数
．
（1）讨论
的极值；
（2）求
在
上的最小值
．
【答案】（1）答案见解析；（2）
【解析】（1）由题意知：
的定义域为
，
；
当
时，
，
恒成立，
在
上单调递增，
无极值；
当
时，若
，
；若
，
；
在
上单调递减，在
上单调递增；
的极小值为
，无极大值；
综上所述：当
时，
无极值；当
时，
的极小值为
，无极大值.
（2）当
时，
在
上恒成立，
在
上单调递增，
；
当
时，若
，
；若
，
；
在
上单调递减，在
上单调递增，
；
当
时，
在
上单调递减，
；
综上所述：
在
上的最小值
.
18．（23-24 高二上·浙江绍兴·期末）已知函数
．
（1）当
时，求函数
的单调区间；
（2）若函数
在
内存在两个极值点，求实数a 的取值范围．
【答案】（1）单调递增区间为：
和
，单调递减区间为：
；（2）
或
【解析】（1）当
时，
，定义域为
令
，得
或
，
所以
的单调递增区间为：
和
，单调递减区间为：
（2）
①当
时，
，所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
故
只有一个极小值点
，与条件矛盾，故舍去．
②当
时，
在
和
上单调递增，在
上单调递减，
故
有两个极值点a 和
，与条件相符．
③当
时，
在
和
上单调递增，在
上单调递减，
故
有两个极值点a 和
，与条件相符．
④当
时，
，故
在
上单调递增，无极值点，舍去．
⑤当
时，
，所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
故
只有一个极大值点
，与条件矛盾，故舍去．
综上可得：
或
19．（22-23 高二下·天津静海·阶段练习）已知函数
，
．
（1）当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
（2）若函数
在
上的最小值是
，求a 的值．
（3）讨论
在
上的最大值
【答案】（1）
；（2）
；（3）答案见解析
【解析】（1）当
时，
，
，
所以切点为
，
，则
，
所以切线方程为
，即
.
（2）
，
，
若
，则
在
上恒成立，所以
在
上单调递增，
所以
，不满足题意；
若
，令
，解得
，令
，解得
，
所以函数
在
单调递减，
单调递增，
所以
，解得
，满足题意；
若
， 则
在
上恒成立，所以
在
上单调递减，
所以
，解得
，不满足题意，
综上，
.
（3）由（2）可知若
，则
在
上恒成立，
所以
在
上单调递增，
若
，令
，解得
，令
，解得
，
所以函数
在
单调递减，
单调递增，
①
即
时，
，
②
即
时，
，
若
， 则
在
上恒成立，所以
在
上单调递减，
，
综上：当
时，
；当
时，
.
