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第七章 三角函数章末测试
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准
考证号填写在答题卡上．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1．（24-25 高一上·江苏无锡·期末）已知某扇形的周长为5cm，面积为
，则该扇形圆心角的弧度数是
（ ）
A．
B．3
C．
或3
D．
【答案】C
【分析】根据扇形的弧长和面积公式列方程组求解即可.
【详解】设该扇形的半径为，所对弧长为，
则
，解得
或
，
所以该扇形圆心角的弧度数
或
，
故选：C
2．（24-25 高一上·河北秦皇岛·期末）已知角
的终边上有一点
，则
（ ）
A．
B．2
C．
D．3
【答案】B
【分析】由三角函数定义及诱导公式可得答案.
【详解】由三角函数的定义，有
.
由诱导公式，
.
故选：B.
3．（24-25 高一上·山西运城·期末）若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先利用诱导公式化简，再利用同角三角函数的基本关系求齐次式的值.
【详解】因为
.
故选：B
4．（24-25 高一上·贵州黔西·期末）在下列四个函数中，以
为最小正周期，且在区间
上单调递减
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据三角函数的性质及函数图象的变换一一判断即可.
【详解】对A：对A：
的图象是由
的图象将
轴下方的图象关于
轴对称上去，
轴及
轴上方部分不变所得，其函数图象如下所示：
则
的最小正周期为
，且在
上单调递减，故A 正确；
对B：
的最小正周期为
，故B 错误；
对C：
的最小正周期为
，但是在
上单调递增，故C 错误；
对D：
的最小正周期为
，故D 错误.
故选：A.
5．（24-25 高一上·江苏无锡·阶段练习）在（0，2π）内，使sinx＞|cosx|的x 的取值范围是（ ）
A．（
，
）
B．（
，
]∪（
，
]
C．（
，
）
D．（
，
）
【答案】A
【分析】
由题意可得
，讨论当
时，当
时，当
时，运用同角三角函数的商数关系，
结合正切函数的图象，即可得到所求范围．
【详解】
解：由
，
可得
，
再由
，可得
，
当
时，
显然成立；
当
时，由
，即
，可得
；
当
时，
，即有
，
则
，解得
，
综上可得
．
故选：A．
6．（24-25 高一上·贵州安顺·期末）已知函数
，则（ ）
A．
的最小正周期是
B．
的定义域是
C．
在区间
上单调递增
D．不等式
的解集是
，
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用正切函数的图象、性质逐项判断.
【详解】对于A，函数
的最小正周期是
，A 错误；
对于B，由
，得
，
所以函数定义域为
，B 错误；
对于C，当
时，
函数
无意义，又
，则
在
上不单调递增，C 错误；
对于D，不等式
，则
，
解得
，
所以不等式
的解集是
，D 正确.
故选：D
7．（24-25 高一上·江苏徐州·期末）如图，摩天轮的半径为
，点
距地面的距离为
，摩天轮按逆
时针方向匀速转动，每
转一圈，若摩天轮上点
的起始位置在最高点处，则在摩天轮转动的过程中，
（ ）
A．转动
后点
距离地面
B．第
和第
点
距离地面的高度相同.
C．转速减半时转动一圈所需的时间变为原来的
D．转动一圈内，点
距离地面的高度不低于
的时长为
【答案】B
【分析】设转动过程中，点
离地面距离的函数为
，由题意求得解析式，然后逐项
求解判断.
【详解】设转动过程中，点
离地面距离的函数为：
，
由题意得：
，又
，
即
，故
，
，
所以
所以
，
选项A，转到
后，点
距离地面的高度为
，故A 错误；
选项B，因为
，
，
所以
，
即第
和第
点
距离地面的高度相同，故B 正确；
选项C，若摩天轮转速减半，则转动一圈所需的时间变为原来的2 倍，故C 不正确；
选项D，令
，则
，
由
，解得
，
考虑第一圈时，点
距离地面的高度不低于
的时长，可得
当
时，
，当
时，
，
即摩天轮转动一圈，点
距离地面的高度不低于
m 的时间为
，故D 错误；
故选：B.
8．（24-25 高一下·广东茂名·阶段练习）已知
，函数
在
上单调，则
的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据条件，利用
的性质，利用整体代入法分别求出
的单调递增和单调
递减区间，然后分函数
在
上单调递增和递减两种情况讨论，可得
和
且
，即可求出结果.
【详解】若函数
在
上单调递增，
由
，
得
，
所以
，又
，
取
，得
，
若函数
在
上单调递减，
由
，
得
，
所以
，
又
，
取
，得
，
所以
的取值范围是
，
故选：C
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．（24-25 高一下·河北张家口·开学考试）已知
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【分析】由
，平方可得
，进而可得
，求解可得
，逐项分析判断即可.
【详解】对A：因为
，则
，
所以
，
又因为
，则
，
，所以
，故A 正确；
对D：可得
，且
，
所以
，故D 错误；
对B：联立
，可得
，
，故B 正确；
对C：可得
，故C 正确.
故选：ABC.
10．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
（
，
，
）的部分图象
如图所示，则（ ）
A．
B．
C．
的图象关于直线
对称
D．
在
上的值域为
【答案】BC
【分析】根据函数图象分别根据最值，特殊点，代入求出得
，分类讨论分别计算求解判断各个
选项.
【详解】由函数图象可知，
，
，即
，又
，所以
或
．
根据图象可知
的最小正周期
应满足
，即
，
解得
．
若
，则
，
即
，即
，
，
，
令
，可得
，符合题意；
若
，则
，即
，
即
，
，
，
令
，得
，令
，得
，都不符合题意．
综上可得
，
，所以
．故A 不正确，B 正确．
对于C，当
时，
，
所以
的图象关于直线
对称，C 正确．
对于D，当
时，
，
所以
，即
，D 不正确．
故选:BC．
11．（24-25 高一上·江苏南通·期末）对于函数
（
），下列说法正确的是
（ ）
A．当
时，函数
在
上有且只有一个零点
B．若函数
在
单调递增，则
的取值范围为
C．若函数
在
时取最小值，在
时取最大值，且
，则
D．将函数
图象向左平移
个单位得到
的图象，若
为偶函数，则
的最小值为2
【答案】ABD
【分析】由正弦函数的单调性可得A、B 正确；由正弦函数的周期和诱导公式可得C 错误；由图象平移结
合偶函数的性质可得D 正确.
【详解】对于A，当
时，
，
令
，则
，
当
，为正弦函数的递减区间，此时
，
所以
有解，且只有一个零点，故A 正确；
对于B，
，
因为
单调递增，所以
，解得
，
又
，所以
，故B 正确；
对于C，由题可得
，所以
，故
，此时
，
令
，则
，
故
，所以
，故C 错误；
对于D，
，
若
为偶函数，则
，解得
，
所以当
时，
的最小值为2，故D 正确；
故选：ABD
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分．
12．（24-25 高一上·广东广州·期末）已知
，则
.
【答案】
【分析】利用诱导公式即可求解.
【详解】
.
故答案为：
.
13．（24-25 高一下·重庆渝中·开学考试）如图，以
为始边作角
与
，它们的终边
分别与单位圆相交于点
，已知点
的坐标为
，若
，求
的坐标为 ．
【答案】
【分析】首先由点在单位圆上，求
，再根据三角函数的定义求
，最后利用诱导公
式求
，
，再根据三角函数的定义求点的坐标.
【详解】因为点
在单位圆上且
，所以
，得
．
即
，且由三角函数定义知，
．由
，得：
，故
．
故答案为：
.
14．（24-25 高一上·云南昆明·期末）定义运算：
，若
，将函数
的图象向左平移
个单位长度，得到的函数为偶函数，则
的最小值为 ；若
在区间
内恰好有4 个零点，则
的取值范围是 .
【答案】
【分析】依题意得
，根据三角函数的平移变换结合奇函数的性质可得
，
即可求出
的最小值；将问题化为
在
上恰好有4 个解，结合正弦函数性质有
即可得结果.
【详解】依题意得
，
图像向左平移
个单位得
为偶函数，
所以
，所以
，
因为
，所以当
时，
的最小值为
.
在区间
内恰好有4 个零点，即
在区间
内恰好有4 个解，
所以
在区间
内恰好有4 个解，
因为
，即
，
所以
，解得：
.
故答案为：
；
.
四、解答题：本题共5 小题，共77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（24-25 高一上·云南昭通·期末）平面直角坐标系中，若角
的始边与
轴的非负半轴重合，终边经过
点
.
(1)求
和
的值；
(2)若
，化简并求值.
【答案】(1)
，
(2)
，
【分析】（1）根据任意角三角函数值的定义分析求解即可；
（2）利用诱导公式化简
，并结合齐次式问题分析求解.
【详解】（1）因为角
的终边经过点
，则
，
由三角函数的定义得，
，
.
（2）由题意可知：
，
由（1）可知：
，
所以
.
16．（24-25 高一上·北京顺义·期末）已知函数
的图象过点
.
(1)求
及
的最小正周期；
(2)求
的单调递增区间.
【答案】(1)
，最小正周期为
(2)单调递增区间为
【分析】（1）代入
即可求
，由周期公式可求最小正周期；
（2）通过整体代换法，即可求解；
【详解】（1）因为
的图象过点
，
所以
即
化简得
即
所以
.
的最小正周期：
（2）由（1）可知
令
，因为
的单调递增区间为
,
所以令
解得
所以
的单调递增区间为
17．（24-25 高一下·河南·开学考试）已知函数
．
(1)求
的单调递减区间；
(2)求
在
上的值域；
(3)若函数
在
上恰有3 个零点，求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用整体思想，根据正弦函数的单调性，建立不等式，可得答案；
（2）利用整体思想，根据正弦函数的图象与性质，可得答案；
（3）由题意建立方程，求得
的值，由小到大写出个零点，建立不等式，可得答案.
【详解】（1）由
，得
，
所以
的单调递减区间为
．
（2）由
，得
．
由正弦函数的图象可得
，
，
所以
在
上的值域为
．
（3）由
，得
，
得
或
，
解得
或
，
则
在
上的3 个零点为
，
，
，
所以
，
得
，即
的取值范围为
．
18．（24-25 高一上·江苏南通·期末）已知函数
（其中
，
，
）的部分
图象如图所示．
(1)求函数
的解析式及单调递减区间；
(2)将函数
的图象向右平移
，再向上平移m（
），得到函数
的图象．若对任意的
，都有
成立，求实数m 的取值范围．
【答案】(1)
；
(2)
【分析】（1）由图象结合正弦函数的周期，最值，单调递减区间可得；
（2）由图象平移得到
，再将问题转化为当
时，
恒成立，然后结合正弦
函数的单调性求解即可；
【详解】（1）由图象可得
，
，
所以
，所以
，
又
，所以
，
又
，所以
，所以
，
令
，可得
，
所以单调递减区间为
.
（2）
，
因为对任意的
，都有
成立，即当
时，
恒成立，
由
可得
，此时
，
由
可得
，此时
，
所以
，解得
.
19．（24-25 高一下·上海杨浦·期中）定义函数
为“正余弦”函数.结合学过的知识，可以
得到该函数的一些性质：容易证明
为该函数的周期，但是否是最小正周期呢？我们继续探究：
.可得：
也为函数
的周期.但是
否为该函数的最小正周期呢？我们可以分区间研究
的单调性：函数
在
是严格减函数，在
上严格增函数，再结合
，可以确定：
的最
小正周期为
.进一步我们可以求出该函数的值域了.定义函数
为“余正弦”函数，根据阅
读材料的内容，解决下列问题：
(1)求“余正弦”函数的定义域；
(2)判断“余正弦”函数的奇偶性，并说明理由；
(3)探究“余正弦”函数的单调性及最小正周期，说明理由，并求其值域.
【答案】(1)
(2)偶函数，理由见解析
(3)
在
是严格减函数，在
上严格增函数；最小
正周期为
；理由见解析.值域为
.
【分析】（1）根据函数定义域的求法，求得
的定义域.
（2）根据函数奇偶性的定义，求得
的奇偶性.
（3）结合题目所给的解题思路，求得
的单调区间、最小正周期、值域.
【详解】（1）
的定义域为
.
（2）对于函数
，
，所以
是偶函数.
（3）
，
在区间
上递减，
在区间
上递增，所以
在
上递减.
在区间
上递增，
在区间
上递增，所以
在
上递增.
所以
的最小正周期为
，
在
上是严格减函数，在
上是严格增函数.
结合
的单调性可知，
的值域为
.
