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第9 章：解三角形章末综合测试卷
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准
考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的．
1．（23-24 高一下·天津红桥·月考）在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a， b， c，
则角C 为（ ）
A．15°
B．45°
C．15°或105°
D．45°或135°
【答案】D
【解析】由正弦定理可得，
，即
，所以
，
由
知
，又
，
或
.故选：D
2．（23-24 高一下·江苏镇江·月考）在
中，已知
，
，
，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．3
【答案】D
【解析】依题意，设
，则
，又
，
由余弦定理
，得
，
即
，解得
（负值舍去），即
.故选：D.
3．（22-23 高一下·河北·期中）在
中，
，
，则
外接圆的半径为（ ）
A．2
B．
C．
D．4
【答案】D
【解析】因为
，所以
，解得
.
设
外接圆的半径为
，则
，解得
.故选：D
2
4．（23-24 高一下·福建漳州·月考）在
中，若
，则
=（ ）
A．90°
B．30°
C．120°
D．150°
【答案】B
【解析】因为
，所以
，
由余弦定理可得
，
，所以
.故选：B．
5．（23-24 高二上·江苏常州·暑期测试）古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，
也为地图学提供了数学基础．现根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑物的高度，已知点A 是球体建筑物
与水平地面的接触点（切点），地面上B，C 两点与点A 在同一条直线上，且在点A 的同侧．若在B，C 处
分别测得球体建筑物的最大仰角为60°和20°，且BC 100 m，则该球体建筑物的高度约为（ ）（cos10°
≈ 0.985）
A．49.25 m
B．50.76 m
C．56.74 m
D．58.60 m
【答案】B
【解析】如图，
设球的半径为
，
，故选：B
6．（22-23 高一下·黑龙江哈尔滨·月考）已知
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
．若
的面积
，且
，则
的周长为（ ）
A．
B．15
C．
D．
【答案】B
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【解析】已知
,由正弦定理得：
，
整理可得
，所以
，
由于
，所以
；
的面积
，所以
，
又
，所以由余弦定理
，
可得
，解得
或
（舍去），
所以
的周长
．故选：B
7．（23-24 高一下·山东·月考）定义平面向量的正弦积
（其中
为
，
的夹角）.已知
中，
，则此三角形一定是（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．锐角三角形
D．钝角三角形
【答案】A
【解析】在
中，由
，得
，
则
，由正弦定理得
，
即
，
而
，因此
，
又
，于是
，所以
是等腰三角形.故选：A
8．（21-22 高一下·河南南阳·期末）在锐角
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
为锐角三角形，
故
，故
进而由正弦定理可得
，故选：A
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二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．（22-23 高一下·江西赣州·期末）在
中，内角
所对的边分别为
，下列根据条件判断三
角形解的情况正确的是（ ）
A．
，无解
B．
，有两解
C．
，只有一解
D．
，只有一解
【答案】CD
【解析】对于
，显然有唯一结果，即只有一解，A 错误；
对于B，
，由正弦定理得
，无解，B 错
误；
对于C，
，有
，则
，
由正弦定理得
，有唯一解，C 正确；
对于
，有
，则
，此时
，有唯一解，D 正确．故选：
CD．
10．（22-23 高一下·重庆万州·月考）在
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c.下面四个结论正确的
是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
一定是锐角三角形
D．若
，则
【答案】ABD
【解析】对A：若
，则
，所以由正弦定理得
，故A 正确；
对B：由正弦定理及
可得，
，即
，
由
，知
，故B 正确；
对C：因为
，所以
为锐角，但
不确定，故C 错误；
对D：由正弦定理
及
可得，
，故D 正确.故选：ABD.
11．（23-24 高一下·山西大同·月考）已知
的内角
的对边分别为
，若
，
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则（ ）
A．
的外接圆的面积为
B．
的周长为
C．
是直角三角形
D．
的内切圆的半径为
【答案】ABC
【解析】对于选项A，因为
，由正弦定理可得
，即
，得到
，
所以
的外接圆的面积为
，故选项A 正确，
对于选项B，由余弦定理
，得到
，
整理得到
，解得
，所以
，
故
的周长为
，所以选项B 正确，
对于选项C，因为
，
，
，所以
，故选项C 正确，
对于选项D，设内切圆半径为，由
，得到
，解得
，
所以选项D 错误，故选：ABC.
第II卷
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分．
12．（22-23 高一下·陕西西安·月考）已知a，b，c 为
的三个内角A，B，C 所对的边，若
则
.
【答案】
【解析】因为
，由正弦定理可得
，
则
，
所以
.
13．（22-23 高一下·天津·月考）在
中，
的对边分别为
，若
，
，
，
则
的值为 ．
【答案】
【解析】因为
，所以
，
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由余弦定理得
，所以
，
故
外接圆的直径
，
所以
.
14 ．（23-24 高一下· 重庆渝中· 月考）在
中，角
所对的边分别为
，已知
，若
为
边上的中线，且
，则
的面积等
于 ．
【答案】
【解析】由
，得
，
，
注意
，得
，得
，
记
，由
，知
，
如图，以
为邻边做平行四边形
，
在
中：
，即
，
得
，所以
，
法（2）：设
，在
中：
①
因为
，则
，
由余弦定理可得
，得
②
联立①②知：
，即
，解得
，后面同上．
四、解答题：本题共5 小题，共77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
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15．（13 分）（23-24 高一下·河南洛阳·月考）在
中，角
的对边分别为
，已知
．
（1）求
和
的值；
（2）求
的面积．
【答案】（1）
；（2）
．
【解析】（1）在
中，由
，可得
．
又由
及
，可得
．
由余弦定理得
，得
，
由
，解得
．
所以
．
（2）由（1）知，
，
所以
的面积
．
16．（15 分）（23-24 高一下·甘肃武威·月考）在
中，内角
的对边分别为
，向量
且
.
（1）求角
；
（2）若
，求
内切圆的半径.
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】（1）因为向量
与
平行，所以
，
由正弦定理得
，
又
，所以
，所以
，
又
，所以
.
（2）由余弦定理得
，所以
，解得
或
（舍），
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所以
的面积
，
设
内切圆的半径为，
所以
，解得
.
17．（15 分）（23-24 高一下·山东·月考）在
中，已知
．
（1）求
的大小；
（2）请从条件①：
，条件②：
，这两个条件中任选一个作为条件，求
和
的值．
注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分
【答案】（1）
或
；（2）选条件①，
，
，选条件②，
，
【解析】（1）
中，因为
，所以
，
由正弦定理得：
，所以
，
且
，所以
或
.
（2）选条件①：
，则
，所以
（
舍去）.
此时
，
，
，
，
所以
，即
，
由余弦定理得：
，
即
，解得：
（
舍去）．
选条件②：
.
因为
，所以
，所以
（
舍去）.
此时
，
，
，
，
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所以
，
即
.所以
，
由正弦定理得：
，
即
，即
.
18．（17 分）（23-24 高一下·陕西西安·月考）在
中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c.已知
.
（1）求A；
（2）若
，求
周长的取值范围.
【答案】（1）
；（2）
【解析】（1）在
中，由已知结合正弦定理角化边可得
，
整理可得
，所以
.
又
，所以
.
（2）由（1）知
，
所以
，
，
记
的周长为，则
，
由
，
，得
，
所以
.
又
，所以
，则
，故
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19．（17 分）（23-24 高一下·安徽合肥·月考）在
中，内角
的对边分别是
，且
，
.
（1）求角B；
（2）若
，求边
上的角平分线
长；
（3）若
为锐角三角形，求边
上的中线
的取值范围.
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【解析】（1）由
及正弦定理得
，
即
，
即
，
所以
，因为
，所以
.
因为
，所以
.
（2）由
及余弦定理得
，又
，所以
，
由
得
，
所以
，所以
，解得
.
（3）因为
的
的中点，所以
，
则
，
由正弦定理得
，
因为
为锐角三角形，所以
，所以
，
所以
，所以
，所以
，
11
所以
，所以
，
即边
上的中线
的取值范围为
.
