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第7 章：三角函数章末重点题型复习
【题型一：任意角与弧度制概念】
例1．（23-24 高三上·海南省直辖县级单位·月考）若
是第一象限角，则下列各角为第四象限角的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
是第一象限角，所以
是第四象限角，
则
是第一象限角，故A 错误；
是第二象限角，故B 错误；
是第四象限角，故C 正确；
是第一象限角，故D 错误.故选：C.
变式1-1．（2024 高一下·全国·专题练习）已知
{第二象限角}，
{钝角}，
{大于90°的角}，那
么
关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】对A，如
在集合
里，但是并不是钝角，所以不在集合
里，所以选项A 错误；
对B，钝角大于90°，小于180°，故
，故选项B 正确；
对C，
错误，如
在第二象限，但是并不大于
，所以选项C 错误；
对D，
错误. 如
在第二象限，但是并不在集合
中，故D 错误.故选：B
变式1-2．（23-24 高一上·湖南长沙·期末）下列命题正确的是（ ）．
A．小于
的角是锐角 B．第二象限的角一定大于第一象限的角
C．与
终边相同的最小正角是
D．若
，则
是第四象限角
【答案】C
【解析】
，但是由锐角的定义知
不是锐角，故A 错误；
是第二象限的角，
是第一象限的角，但
，故B 错误；
因为
，所以与
终边相同的最小正角是
，故C 正确；
且
，所以
是第三象限角，故D 错误.故选：C
变式1-3．（23-24 高一上·宁夏银川·月考）下列命题中正确的个数是（ ）
①终边相同的角一定相等；②钝角一定是第二象限角：③第一象限角可能是负角；④小于90°的角都是锐
角：⑤与
终边相同的角是
.
A．1 B．2 C．3 D．5
【答案】B
【解析】终边相同的角可以相差
的整数倍，不一定相等，①错；
钝角是大于
且小于
的角，一定是第二象限角，②正确；
第一象限角可以是正角也可以是负角，③正确；
小于90°的角可以是负角，不是锐角，④错；
，
，因此
与
终边相同，
但与
终边相同的角是还有其他无数的角，⑤错．
正确个数是2，故选：B．
变式1-4．（23-24 高一下·河南安阳·月考）已知集合
，则M，P 之间的关系为（ ）
A．M=P B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，
，
所以
.故选：B.
【题型二：根据图形写出角的范围】
例2．（23-24 高一上·海南·月考）集合
中角所表示的范围(阴影部分)是(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由集合
，
当
为偶数时，集合
与
表示相同的角，位于第一象
限；
当
为奇数时，集合
与
表示相同的角，位于第三象限；
所以集合
中表示的角的范围为选项C，故选C.
变式2-1．（22-23 高一下·江西上饶·月考）如图所示，终边落在阴影部分（包括边界）的角
的集合为
．
【答案】
．
【解析】由图，阴影部分下侧终边相同的角为
，
上侧终边相同的角为
且
，
所以阴影部分（包括边界）的角
的集合为
.
变式2-2．（22-23 高一下·广西钦州·月考）如图所示，终边落在阴影部分区域（包括边界）的角
的集合
是 ．
【答案】
【解析】因为终边落在射线OA 上的角的集合是为
，
终边落在射线OB 上的角的集合为
．
所以终边落在阴影部分处（包括边界）的角
的集合是
．
变式2-3．（22-23 高一上·江苏南京·期末）如图所示，终边落在阴影部分包括边界的角
的集合是
.
【答案】
【解析】因为终边落在y 轴上的角为
，
终边落在图中直线上的角为
；
，
即终边在直线上的角为
，
，
所以终边落在阴影部分的角为
.
变式2-4．（22-23 高一下·河南驻马店·月考）用弧度表示终边落在如图所示的阴影部分内（不包括边界）
的角的集合.
【答案】（1）
；（2）
【解析】（1）
；
（2）
.
【题型三：确定n 分角与n 倍角的象限】
例3．（23-24 高一上·山西临汾·月考）若
在第三象限，那么
在（ ）
A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第二、三象限
【答案】C
【解析】因为
在第三象限
所以
，所以
，
所以
在第二、四象限.故选：C.
变式3-1．（23-24 高一上·山东济宁·月考）已知
为第二象限角，那么
是（ ）
A．第一或第二象限角 B．第一或第四象限角
C．第二或第四象限角 D．第一、二或第四象限角
【答案】D
【解析】∵
为第二象限角，
∴
，∴
,
当
时，
，属于第一象限，
当
时，
，属于第二象限，
当
时，
,属于第四象限，
∴
是第一、二或第四象限角．故选：D
变式3-2．（23-24 高一上·江苏连云港·月考）如果
是第三象限角，则
是（ ）
A．第一象限角 B．第一或第二象限角 C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限
角
【答案】C
【解析】
是第三象限角，则
，
故
，
当
为偶数时，
在第三象限；当
为奇数时，
在第一象限；故选：C.
变式3-3．（22-23 高一下·江西丰城·月考）（多选）若
是第二象限角，则（ ）
A．
是第一象限角 B．
是第一或第三象限角
C．
是第二象限角 D．
是第三象限角或
是第四象限角或
的终边在y 轴负半轴上
【答案】BD
【解析】因为
是第二象限角，所以可得
．
对于A，
，则
是第三象限角，所以A 错误;
对于B，可得
，当k 为偶数时，
是第一象限角；
当k 为奇数时，
是第三象限角．所以B 正确;
对于C，
，即
，
所以
是第一象限角，所以C 错误;
对于D，
，
所以
的终边位于第三象限或第四象限或y 轴负半轴上，所以D 正确．故选：BD．
变式3-4．（22-23 高一下·河北承德·开学考试）（多选）已知
是锐角，则（ ）
A．
是第三象限角 B．
是小于
的正角
C．
是第一或第二象限角 D．
是锐角
【答案】ABD
【解析】由题知，因为
是锐角，所以
，
对于A：所以
，故A 选项正确；
对于BC：
，故B 选项正确，C 选项错误；
对于D：
，故D 选项正确；故选：ABD.
【题型四：弧长与扇形面积公式】
例4．（23-24 高一上·四川攀枝花·月考）已知扇形的弧长为
，圆心角为
，则扇形的面积为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设扇形的半径为，扇形的弧长为
，圆心角为
，则
，
故扇形的面积为
．故选：C
变式4-1．（23-24 高一下·河北张家口·开学考试）已知扇形的面积为
，圆心角为2 弧度，则此扇形的
弧长为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设扇形所在圆半径为，依题意，
，解得
，
所以此扇形的弧长
（
）.故选：C
变式4-2．（22-23 高一下·上海宝山·月考）已知一扇形的圆心角为
，半径为R，弧长为l．
（1）若
，
，求扇形的弧长l；
（2）若扇形面积为16，求扇形周长的最小值，及此时扇形的圆心角
．
【答案】（1）
；（2）扇形周长的最小值为
，此时
【解析】（1）因为
，
，所以扇形的弧长
；
（2）由扇形面积
，得
，
则扇形周长为
，
当且仅当
，即
时，取等号，
此时，
，所以
，
所以扇形周长的最小值为
，此时
.
变式4-3．（23-24 高一上·安徽安庆·期末）第19 届亚运会于2023 年9 月23 日至10 月8 日在浙江省杭州市
举行，本届亚运会会徽“潮涌”的主体图形由扇面、钱塘江、钱江潮头、赛道、互联网符号及象征亚奥理
事会的太阳图形六个元素组成，其中扇面造型反映江南人文意蕴．已知扇面呈扇环形，内环半径为1，外
环半径为3，扇环所对圆心角为
，则该扇面的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】依题意，该扇面的面积为
.故选：B
变式4-4．（23-24 高一下·江苏·开学考试）数学中处处存在着美，机械学家莱洛沷现的莱洛三角形就给人
以对称的美感．莱洛三角形的画法：先画等边三角形ABC，再分别以点A，B，C 为圆心，线段AB 长为半
径画圆弧，便得到莱洛三角形．若线段AB 长为2，则莱洛三角形的面积是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由已知得
，
则
，故扇形的面积为
，
由已知可得，莱洛三角形的面积扇形面积的3 倍减去三角形面积的2 倍，
∴所求面积为
．故选：C.
变式4-5．（23-24 高一上·山西运城·期末）《九章算术》是一部中国古代的数学专著．第一章《方田》主
要讲各种形状的田地面积的计算方法，其中将圆环或不足一匝的圆环形田地称为“环田”（注：匝，意为
周，环绕一周叫一匝）书中提到如图所示的一块“环田”：中周九十五步，外周一百二十五步，所在扇形
的圆心角大小为5（单位：弧度），则“该环田”的面积为（ ）
A．600 平方步 B．640 平方步 C．660 平方步 D．700 平方步
【答案】C
【解析】设中周的半径是
，外周的半径是
，圆心角为
，
,解得：
，
则“该环田”的面积为
平方步.故选：C
变式4-6．（23-24 高一上·云南德宏·期末）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方
田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积
×（弦×矢＋矢）．弧田如图，由圆弧和其所
对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆弧为
，半
径为4 米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约为（ ）（结果取整数，参考数据：
）
A．4 平方米 B．5 平方米 C．8 平方米 D．9 平方米
【答案】D
【解析】依题意，圆弧所对圆心角为
，
所以，“矢”等于
，“弦”等于
，
所以弧田面积约为
平方米.故选：D
【题型五：三角函数符号的判断】
例5．（22-23 高一上·陕西安康·期末）
的符号为（ ）
A．正 B．0 C．负 D．无法确定
【答案】C
【解析】由1 弧度为第一象限角，2 弧度为第二象限角，3 弧度为第二象限角，4 弧度为第三象限角，
则
，
，
，
，
所以
．故选：C．
变式5-1．（23-24 高一下·上海·月考）如果
是第一象限角，则（ ）
A．
且
B．
且
C．
且
D．
且
【答案】C
【解析】因为
是第一象限角，则
，
，
所以
，
，所以
是第一或第三象限角，
则
或
，
，故排除B、D；
又
，
，
所以
的终边在第一、第二象限或在
轴的非负半轴上，则
，
当
的终边在
轴的非负半轴上时，
无意义，故排除A.故选：C
变式5-2．（23-24 高一上·湖北·期末）若
是第四象限角，则点
在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解析】由于
是第四象限角，所以
，
所以
在第二象限.故选：B
变式5-3．（23-24 高一上·河北沧州·期末）已知点
是第二象限的点，则
的终边位于（
）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【解析】由
在第二象限的点，所以
，
故
的终边位于第三象限，故选：C
变式5-4．（23-24 高一上·云南昭通·月考）“角
为第一象限角”是“
且
”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】若角
在第一象限角，则
，
，
若
，则
在第一象限或第三象限，
若
，则
在第一象限或第二象限或
轴正半轴上，所以角
在第一象限；
综上所述：角
在第一象限是
且
的充要条件.故选：C
变式5-5．（23-24 高一下·河南南阳·月考）已知
，则
是（ ）
A．第一象限角或第三象限角 B．第二象限角或第四象限角
C．第一象限角或第二象限角 D．第三象限角或第四象限角
【答案】B
【解析】因为
，所以
是第四象限角，即
，
则
，所以
是第二象限角或第四象限角.故选：B
【题型六：正、余弦齐次式的计算】
例6．（23-24 高一上·河南许昌·期末）已知
为角
终边上一点，则
（ ）
A．
B．
C．1 D．2
【答案】C
【解析】因为
为角
终边上一点，所以
，
所以
.故选：C
变式6-1．（23-24 高一上·四川德阳·期末）若
，则
（ ）
A．
或
B．
或
C．
D．
【答案】D
【解析】
.故选：D
变式6-2．（23-24 高三上·广东广州·月考）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意知
，则
，故选：D
变式6-3．（23-24 高一上·广西·月考）若角
终边经过点
，则
的值为（
）
A．
B．1 C．
D．
【答案】C
【解析】因为角
终边经过点
，所以
，
所以
，故选：C.
变式6-4．（23-24 高一上·河南开封·期中）已知函数
，其中
为第三象限角且
（1）求
的值；
（2）求
的值.
【答案】（1）
；（2）
【解析】（1）
，
为第三象限角，故
，
，故
，
.
（2）
.
【题型七：sinacosa、sina±cosa 关系】
例7．（23-24 高一下·上海·月考）已知
，则
的值为 ．
【答案】
【解析】由已知得
，即
，
，
由
，且
，
，
，
.
变式7-1．（23-24 高一下·四川眉山·开学考试）已知
，则
．
【答案】
【解析】根据已知，
，两边平方得
，
即
，所以
.
变式7-2．（23-24 高一上·山西吕梁·期末）（多选）已知
，
，则下列选项中正确
的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AB
【解析】由
，得
，所以
，故选项A 正确；
因为
，
，所以
，
，
又因为
，所以
，故选项B 正确；
因为
，故选项C 错误；
由
，
，所以
，故选项D 错误；故选：AB
变式7-3．（23-24 高一下·重庆铜梁·月考）已知
，
是方程
的两个实数解．
（1）求m 的值；
（2）若
为第二象限角，求
的值．
【答案】（1）
；（2）
【解析】（1）由题意知
是方程
的两个实数根，
故
；
且
，
因为
，故
，解得
，
满足
，故
；
（2）因为
为第二象限角，所以
，则
，
由（1）知
，
所以
，则
.
变式7-4．（2024 高一下·上海·专题练习）已知
（1）求
的值；
（2）求
的值．
【答案】（1）16；（2）
【解析】（1）因为
，所以
，所以
．
所以
；
（2）因为
，所以
，所以
，
又因为
，
所以
，
由
可得
．
所以
．
【题型八：利用诱导公式化简求值】
例8．（23-24 高一下·河南南阳·月考）
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
.故选：C
变式8-1．（23-24 高一下·湖北·开学考试）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
.故选：C
变式8-2．（23-24 高一上·安徽宿州·期末）（多选）设
，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【解析】对于A 项，
，故A 项正确；
对于B 项，
，故B 项错误；
对于C 项，
，故C 项正确；
对于D 项，
，故D 项错误.故选：AC.
变式8-3．（23-24 高一下·湖北黄冈·月考）化简：
（ ）
A．1 B．0 C．
D．2
【答案】C
【解析】
,
因为
,所以原式
.故选：C
变式8-4．（2024 高一下·上海·专题练习）
．
【答案】
【解析】
．
变式8-5．（23-24 高一上·贵州毕节·期末）已知
，α 是第三象限角，求：
（1）
的值；
（2）
的值．
【答案】（1）2；（2）
【解析】（1）因为
，α 是第三象限角，则
，
所以tan
；
（2）
.
【题型九：三角函数的单调性及应用】
例9．（23-24 高二上·甘肃武威·月考）已知函数
，则
在
上的单调递增区间为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】当
时，
，
所以当
，即
时，函数
单调递增．故选：B.
变式9-1．（23-24 高三下·甘肃·开学考试）函数
的单调递减区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
，
由题意
单调递减，且
，
则
，解得
，
，
所以
的单调递减区间是
.故选：D.
变式9-2．（23-24 高一下·河南南阳·月考）函数
的单调递增区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意可得
，
首先有
，解得
.
故
的定义域为
，
要使
单调递增，则
单调递增，
故令
，解得
.
则
的单调递增区间是
.故选：B.
变式9-3．（23-24 高一下·安徽宿州·开学考试）已知函数其中
．若
在区
间
上单调递增，则
的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由题意
，所以
在
单调递增，
若
在区间
上单调递增，则
在
上单调递增，
所以
，其中
，解得
，
从而
等号不能同时成立，解得
，
又
，所以只能
或
，
即
的取值范围是
.
变式9-4．（23-24 高一下·内蒙古鄂尔多斯·开学考试）（多选）已知函数
在
上单
调递增，则
可能的取值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【解析】令
，解得
，
故
的单调递增区间为
，
令
得，一个单调递增区间为
，
要想函数
在
上单调递增，
故
，所以
满足要求，
不合要求.故选：ABC
【题型十：三角函数的奇偶性及应用】
例10．（23-24 高一上·河北石家庄·期末）（多选）下面四个函数中为奇函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】CD
【解析】对于选项A，因为
，
所以
，所以选项A 错误，
对于选项B，因为
，所以
，
且其定义域为
，故
为偶函数，所以选项B 错误，
对于选项C，因为
，易知其定义域为
，关于原点对称，
又
，所以
为奇函数，故选项C 正确，
对于选项D，因为
，易知其定义域为
，关于原点对称，
又
，所以
为奇函数，故选项D 正确，故选：CD.
变式10-1．（23-24 高一上·全国·专题练习）函数y＝
是（ ）
A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数
【答案】A
【解析】定义域为R，
，则
是奇函数．故选：A.
变式10-2．（23-24 高一下·辽宁阜新·月考）已知函数
是奇函数，则
的值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由函数
是奇函数，得
，则
，
所以当
时，
.故选：B
变式10-3．（23-24 高一下·河北石家庄·开学考试）若
为奇函数，则
（ ）
A．0 B．1 C．2 D．-1
【答案】C
【解析】由题意得
，
因为
为奇函数，所以
为偶函数，
令
，定义域为R，则
，
即
，即
，
此时
，定义域为R，满足
，
即
为奇函数，故
.故选：C.
变式10-4．（23-24 高一上·浙江杭州·期末）（多选）设函数
，若
，
函数
是偶函数，则
的值可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【解析】
，又其为偶函数，
则图像关于
轴对称，则
，
得
，又
，则
或
.故选：BC.
【题型十一：三角函数的对称性及应用】
例11．（22-23 高三上·北京朝阳·期中）函数
的图象的一条对称轴是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
时
，不是对称轴；
时
，不是对称轴；
时
，是对称轴；
时
，不是对称轴；故选：C
变式11-1．（22-23 高一下·重庆·月考）函数
图象的对称轴方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】令
，解得：
，
的对称轴方程为
.故选：C.
变式11-2．（22-23 高一下·青海西宁·开学考试）函数
的图象关于原点对称，
则
的取值可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为函数
的图象关于原点对称，所以
，
.
又
，结合选项，得
的取值可能是
.故选：D
变式11-3．（23-24 高一下·上海·月考）已知函数
的初始相位为
，若
在区
间
上有且只有三条对称轴，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由于函数
的初始相位为
，即
，
当
时，
，
由于
在区间
上有且只有三条对称轴，
故
，解得
，故选：D
变式11-4．（22-23 高二下·陕西咸阳·月考）已知函数
在区间
上至少存在
两条对称轴，则
的最小值为（ ）
A．6 B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为函数
，
由
，可得
，
要使得函数
在区间
上至少存在两条对称轴，
根据余弦型函数的性质，则满足
，解得
，
所以实数
的最小值为
.故选：C.
【题型十二：三角函数的周期性及应用】
例12．（23-24 高一上·贵州安顺·期末）函数
的最小正周期为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】函数
的最小正周期为
.故选：B
变式12-1．（23-24 高一上·河北石家庄·期末）函数
的最小正周期是 ．
【答案】6
【解析】函数
的最小正周期为
，
显然
，即是函数
的周期，
在同一坐标系内作出函数
的图象，如图，
观察图象知，函数
的周期相同，所以函数
的最小正周期是6.
变式12-2．（23-24 高一上·湖北武汉·期末）（多选）已知下列函数中，最小正周期为
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【解析】作
的图象，如图，
由图可知函数的最小正周期为
，故A 正确；
由于
的周期为
，则根据对称性，
周期为
，故B 正确；
由于
的周期为
，
周期为
，故C 正确；
而
，周期为
，故D 错误.故选：ABC
变式12-3．（23-24 高一下·上海·开学考试）已知
，则
.
【答案】2
【解析】易知
以6 为周期.
枚举得
，
，
，
，
，
，
所以
.又
，
所以
.
变式12-4．（22-23 高一·全国·课时练习）已知函数
，则
．
【答案】1
【解析】
，函数周期是4，
.
【题型十三：三角函数的最值与值域】
例13．（23-24 高一下·安徽·开学考试）函数
的值域是 .
【答案】
【解析】
，
因为
，所以
，
所以
，所以
，
即函数
的值域是
.
变式13-1．（23-24 高一上·湖北武汉·期末）函数
，
的值域是 .
【答案】
【解析】
，令
，
则函数为
，故
在
上单调递增，在
上单调递减，
又
，
，所以
，
所以
的值域为
.
变式13-2．（23-24 高一下·湖北·开学考试）若函数
在
上的值域为
，则
的取值范围为 ．
【答案】
【解析】因为
，
，
令
，则
，因为
，
当
时，
，此时
；
令
即
，解得
，
又
，
，
结合
图象可知：
，所以
的取值范围为
.
变式13-3．（23-24 高一下·河北保定·开学考试）已知函数
在
上有且只有一个
最大值点（即取得最大值对应的自变量），则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由
，得
，
由题意可得
，解得
，即
的取值范围是
.故选：B
变式13-4．（23-24 高一上·山西长治·期末）已知函数
在区间
上恰有一个最大
值点与一个最小值点，则正实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】根据题意，当
时，有
，
而函数
在区间
上恰有一个最大值点与一个最小值点，
因此
，可得
．故选：C.
【题型十四：根据函数图象求解析式】
例14．（23-24 高一下·北京顺义·月考）函数
在一个周期内的图象如图所
示，则此函数的解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】根据函数图象可得
,
由周期
,即
，
当
时，
，
又函数图象过点
，则
，
所以
，即
，
又因为
，故
，则
；
当
时，
，
又函数图象过点
，则
，
所以
,即
，
又因为
，故
，则
，
综上知，
，故选：A.
变式14-1．（2022 高三·全国·专题练习）若函数
的部分图象如图所示，则
的解析
式可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C
【解析】如图：
易知：
，
，即
.
由
，
，
时，
.所以：
.故选：C
变式14-2．（23-24 高一下·河南·开学考试）（多选）已知函数
的
部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AB
【解析】由图可知
，
则
，因为
，所以
．、
由
，得
，得
，
因为
，所以
，
所以
．故选：AB
变式14-3．（2023·湖南岳阳·模拟预测）如图，函数
为锐角的图象经过点
，则
的值分别为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由图可得
，所以
，
又
，所以
，
因为
为锐角，所以
.故选：C.
变式14-4．（23-24 高三下·山东德州·开学考试）已知函数
的部分图象如
图所示，则
（ ）
A．1 B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由图可知
，即
，又
，所以
，
又
关于
对称，且
，
因为
且
，所以
，解得
，所以
，
所以
，解得
，所以
，
所以
.故选：A
【题型十五：三角函数的图象变换过程】
例15．（23-24 高一上·浙江宁波·期末）为了得到函数
的图象，可以将函数
的图象（
）
A．向左平移
个单位长度 B．向右平移
个单位长度
C．向左平移
个单位长度 D．向右平移
个单位长度
【答案】B
【解析】为了得到函数
的图象，可以将函数
的图象向右平移
个单位长度，故选：B.
变式15-1．（23-24 高一下·河南南阳·月考）要得到函数
的图象，只需要将函数
的图象上各点（ ）
A．横坐标缩短为原来的
，纵坐标不变 B．纵坐标缩短为原来的
，横坐标不变
C．横坐标伸长为原来的
倍，纵坐标不变 D．纵坐标伸长为原来的
倍，横坐标不变
【答案】A
【解析】因为
的最小正周期
，
函数
最小正周期
，
所以
，则横坐标缩短为原来的
，纵坐标不变.故选：A.
变式15-2．（23-24 高一上·浙江·期末）为了得到函数
的图象，只需把函数
图象上
的所有的点（ ）
A．向左平移1 个长度单位 B．向右平移1 个长度单位
C．向左平移
个长度单位 D．向右平移
个长度单位
【答案】D
【解析】由于
，为了得到函数
的图象，
只需把函数
图象上的所有的点向右平移
个长度单位，故选：D
变式15-3．（23-24 高三下·陕西安康·月考）为了得到函数
的图象，只需将函数
的图象（ ）
A．向左平移
个单位长度 B．向左平移
个单位长度
C．向右平移
个单位长度 D．向右平移
个单位长度
【答案】B
【解析】因为
，
则向左平移
个单位后得
，故选：B.
变式15-4．（23-24 高一上·河北唐山·期末）（多选）要得到
的图象，可以（ ）
A．将曲线
上所有的点向右平移
个单位长度
B．将曲线
上所有的点向右平移
个单位长度
C．将曲线
上所有的点横坐标缩短到原来的
，纵坐标不变
D．将曲线
上所有的点横坐标缩短到原来的
，纵坐标不变
【答案】BD
【解析】要得到
的图象，可以将曲线
上所有的点向右平移
个单位长度，
故选项A 错误，选项B 正确，
又
的图象也可将曲线
上所有的点横坐标缩短到原来的
，
纵坐标不变得到，所以选项C 错误，选项D 正确，故选：BD.
【题型十六：三角函数的综合应用】
例16．（23-24 高一上·山西运城·期末）（多选）已知函数
，且函数
在
上有且仅有5 个零点，则下列结论正确的是（ ）
A．
的取值范围是
B．函数
的图象在
上最多4 有条对称轴
C．函数
的图象在
上有2 个最大值点
D．函数
在
上单调递减
【答案】AC
【解析】不妨设
，当
时，
，即
，
作出函数
在
上的图象如图.
对于A 项，由题意知：
，解得：
，故A 正确；
对于B 项，因当
时，
，
由图知，当
时，函数
的图象在
上可以有5 条对称轴，故B 项错误；
对于C 项，由上分析即函数图象观察，不难得到，
函数
的图象在
上有且仅有2 个最大值点，故C 项正确；
对于D 项，当
时，
，
因
，则有
，
取
，而函数
在区间
上先减后增，故D 项错误.故选：AC.
变式16-1．（23-24 高一上·山东聊城·期末）（多选）已知函数
的部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．
在
上单调递增
C．若
、
，
且
，则
D．把
的图象向右平移
个单位长度，然后再把所得曲线上各点的横坐标变为原来的
倍（纵坐标
不变），得到函数
的图象，则
【答案】ACD
【解析】对于A 选项，由图可知，
，
函数
的最小正周期
满足
，
可得
，则
，则
，
又因为
，可得
，
因为
，则
，所以，
，可得
，
所以，
，A 对；
对于B 选项，当
时，
，
所以，
在
上不单调，B 错；
对于C 选项，当
时，
，
由
可得
，所以，函数
在区间
内的图象关于直线
对称，
若
、
，
且
，则
，
所以，
，C 对；
对于D 选项，把
的图象向右平移
个单位长度，
可得到函数
的图象，
再将所得曲线上各点的横坐标变为原来的
倍（纵坐标不变），得到函数
的图象，
则
，D 对.故选：ACD.
变式16-2 ．（23-24 高一下· 重庆铜梁· 月考）已知函数
，
，其中
．
（1）当
时，求函数
的最大值和最小值；
（2）求函数
在区间
上单调时
的取值范围．
【答案】（1）最大值为
，最小值为
；（2）
.
【解析】（1）当
时，函数
，而
，
则当
时，
，当
时，
，
所以函数
的最大值和最小值分别为
和
.
（2）函数
图象的对称轴为
，
依题意，
或
，解得
或
，
又
，解得
或
，
所以
的取值范围是
.
变式16-3．（23-24 高一下·湖北·开学考试）已知函数
，函数
图
象关于
对称，且函数
图象上相邻的最高点与最低点之间的距离为4．
（1）求
，
的值；
（2）求函数
的单调增区间；
（3）若方程
在
有两个根，求
的取值范围．
【答案】（1）
，
；（2）
；（3）
【解析】（1）∵
图象上相邻的最高点与最低点的距离为4．且
，
∴
，∴
即
，∴
，
又
图象关于
对称，∴
，
，∴
，
，
又∵
，∴
．
（2）
，
由
解得
，
∴
的单调增区间为
．
（3）当
时，
作出
时
的图象如下图：
若方程
在
有两个根，则
．
变式16-4．（23-24 高一下·河南南阳·月考）已知函数
.
（1）求不等式
的解集；
（2）设函数
，对任意的
恒成立，求
的取值范围.
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】（1）不等式
，即
，则
，
从而
，解得
，
故不等式
的解集为
.
（2）因为
，所以
，所以
，
所以
，即
.
设
，则
.
设函数
，则
.
当
，即
时，
在
上单调递增，
则
，解得
，
又
，所以
，即
不符合题意.
当
，即
时，
在
上单调递减，在
上单调递增，
则
，解得
，
又
，所以
.
当
，即
时，
在
上单调递减，
则
，解得
，
又
，所以
.
综上，
的取值范围是
.
