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第七章 三角函数（高效培优单元自测·强化卷）
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
一、单项选择题：（本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.）
1．角
的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与
轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点
，若
，则点
的横坐标是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．下列函数中，与函数
的奇偶性和定义域都相同的函数为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
5．将函数
的图象向左平移
个单位长度后得到函数
的图象，则
图象的一条对称
轴方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．以等边三角形每个顶点为圆心，边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就
是勒洛三角形．如图，已知等边三角形
的边长为2，则该勒洛三角形的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．
，则实数
（ ）
A．2
B．0
C．
D．
8．已知定义域为
的单调函数
满足：
，则函数
的零点的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
二、多项选择题：（本题共3 小题，每小题6 分，共18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分）
9．若角A，B，C 是
的三个内角，则下列结论中一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．已知函数
的部分图象如图所示，则下列说法正确的
是（ ）
A．
B．将
的图象向左平移
个单位长度后，得到函数
的图
象
C．直线
是
图象的一条对称轴
D．
图象的对称中心为
11．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，乘客坐在摩天轮慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色．
已知摩天轮最高点距离地面高度为
，转盘直径为
，开启后按逆时针方向匀速旋转，摩天轮设置
有若干个座舱，转一周需要
．游客甲在座舱转到距离地面最近的位置进舱，
后距离地面的高度
为
（单位：
），下述结论正确的是（ ）
A．
B．甲进舱10 分钟后距离地面的高度是
C．若在
，
时刻游客距离地面的高度相等，则
的最小值为30
D．在运行一周的过程中，
的时间超过
三、填空题：（本题共3 小题，每小题5 分，共计15 分.）
12．设
，则
（结果用含
的式子表示）.
13．已知函数
的最小正周期为
，
时函数图像位于最低点，则
．
14．若不等式
对
恒成立，则
.
四、解答题：（本题共5 小题，共计77 分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15．（13 分）已知锐角
满足
．
(1)求
、
的值；
(2)若角
的终边与角
的终边关于
轴对称，求
的值．
16．（15 分）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在
通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．下面是某港口在某季节每天
的时间与水深关系表：
时刻
0：00
3：00
6：00
9：00
12：
00
15：
00
18：
00
21：
00
24：
00
水深/米
4.5
6.5
4.5
2.5
4.5
6.5
4.5
2.5
4.5
(1)已知该港口的水深与时刻间的变化满足函数
，画出函数图
象，并求出函数解析式；
(2)现有一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为
米，安全条例规定至少要有
米的间隙（船底与
海底的距离），该船何时能进入港口？（参考数据：
)
17．（15 分）已知函数
．
(1)写出由
的图象变换得到
的图象的过程；
(2)求
在
上的单调减区间；
(3)若
，且
，求
．
18．（17 分）已知函数
．
(1)若
，求函数
的最小正周期；
(2)若函数
在区间
上为严格增函数，求
的取值范围；
(3)若函数
在
（
且
）上满足“关于x 的方程
在
上至少存在2024 个
根”，且在所有满足上述条件的
中，
的最小值不小于2024，求
的取值范围．
19．（17 分）如图，是函数
（
，
，
）图象的一部分
(1)求函数
的解析式；
(2)函数
在区间
上有且仅有两个零点，求实数
的取值范围；
(3)若关于x 的方程
在
上有解，求实数a 的取值范围.
